Listas de curvas paramétricas

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Lista 1: Curvas Parame´tricas
Daniel Niemeyer
Questa˜o 1: Elimine o paraˆmetro para encontrar uma equac¸a˜o cartesiana para cada curva.
a) x = 3− 4t, y = 2− 3t.
b) x = 1− t2, y = t− 2.
c) x =
√
t, y = 1− t.
d) x = sen
(
1
2
θ
)
, y = cos
(
1
2
θ
)
.
e) x = sen t, y = csc t.
f) x = e2t, y = t+ 1.
Questa˜o 2: Deˆ uma parametrizac¸a˜o para cada uma das curvas.
a) A reta 2x− 3y = 6.
b) A para´bola x2 = 4ay.
c) A circunfereˆncia (x− a)2 + (y − b)4 = r2.
d) A elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, x ≥ 0.
e) O ramo da hipe´rbole
x2
a2
− y
2
b2
= 1, x ≥ a.
f) A reta
x− 1
2
=
y + 1
3
.
g) O segmento de reta que passa pelos pontos (−1, 0) e (2, 3).
Questa˜o 3: Encontre equac¸o˜es parame´tricas para a trajeto´ria de uma part´ıcula que se move ao longo
do c´ırculo x2 + (y − 1)2 = 4 da seguinte maneira:
a) Uma vez no sentido ho´ra´rio, a partir do ponto (2,1).
b) Treˆs vezes no sentido anti-hora´rio, a partir do ponto (2,1).
c) Meia volta no sentido anti-hora´rio, a partir do ponto (0,3).
d) Diga qual o o raio deste c´ırculo e qual a posic¸a˜o de seu centro.
Questa˜o 4: Compare as curvas representadas pelas seguintes equac¸o˜es parame´tricas. Em que elas
diferem?
I- x = t3, y = t2. II- x = t6, y = t4. III- x = e−3t, y = e−2t.
Questa˜o 5: Suponha que a posic¸a˜o de uma part´ıcula no instante de tempo t seja dada por:
x1 = 3 sen t, y1 = 2 cos t, 0 ≤ t ≤ 2pi
e que a posic¸a˜o de uma segunda part´ıcula seja dada por:
x2 = −3 + cos t, y2 = 1 + sen t, 0 ≤ t ≤ 2pi
a) Esboce as trajeto´rias das part´ıculas.
b) Quantos pontos de intersec¸a˜o existem?
c) Algum destes pontos e´ tambe´m um ponto de colisa˜o, isto e´, ocorre no mesmo instante
de tempo para ambas as part´ıculas?
1?: Se a e b forem nu´meros fixos, encontre as equac¸o˜es parame´tricas para a curva que consiste
em todas as posic¸o˜es poss´ıveis do ponto P na figura, usando o aˆngulo θ como paraˆmetro.
Enta˜o elimine o paraˆmetro e identifique esta curva.
Figura 1:
GABARITO :
Questa˜o 1: a) y =
3
4
x− 1
4
ou 3x− 4y = 1.
b) x = 1− (y + 2)2.
c) y = 1− x2.
d) x2 + y2 = 1.
e) y =
1
x
.
f) y =
lnx
2
+ 1 ou x = e2(y−1).
Questa˜o 2: a) x = t, y =
2
3
t− 2.
b) x = t, y =
t2
4a
.
c) x = a+ r cos θ, y = b+ r sen θ.
d) x = a cos θ, y = b sen θ.
e) x = a sec θ, y = b tan θ.
f) x = t, y =
3
2
t− 5
2
.
g) x = t, y = t+ 1.
Questa˜o 3: a) x = 2 cos t, y = 1− 2 sen t, 0 ≤ t ≤ 2pi.
b) x = 2 cos 3t, y = 1 + 2 sen 3t, 0 ≤ t ≤ 2pi.
c) x = 2 cos
(
t
2
)
, y = 1 + 2 sen
(
t
2
)
, pi ≤ t ≤ 3pi.
Questa˜o 4: Os treˆs itens parametrizam a curva y = x2/3. Pore´m, enquanto no item a) a parametrizac¸a˜o
e´ de toda a curva, no item b) apenas a parametrizac¸a˜o da´ apenas o pedac¸o para x ≥ 0 e
no item c) surge apenas o ramo para x > 0.
Questa˜o 5: Vemos claramente na figura (2) que ha´ dois pontos de intersec¸a˜o. Pela parametrizac¸a˜o,
x1 percorre a elipse no sentido hora´rio, enquanto x2 percorre a cirtunfereˆncia no sentido
anti-hora´rio.
Assim, havera´ colisa˜o entre as part´ıculas no ponto de intersec¸a˜o (−3, 0), pois este ocorre
para ambas as part´ıculas no instante t =
3pi
2
U.A.1
Figura 2: Trajeto´ria das part´ıculas da questa˜o 5.
1U.A.: Unidades Arbitra´rias.