lista derivadas parciais

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Lista 4: Derivadas Parciais
Daniel Niemeyer
Questa˜o 1: Encontre a equac¸a˜o do plano para as func¸o˜es abaixo nos pontos pedidos. Em todos os
casos, considere z = z(x, y).
a) z = (x2 + y2 − 1)e−(x2+y2). No ponto (0, 0, 1).
b) z = x− 6y2. No ponto (1, 1,−5).
c) z = ex−y + xy2. No ponto (1, 1, 2).
d) x2 + 3y2 + 4z2 = 8. No ponto (1,−1, 1).
e) z + 3zx2 − 3yz2 = 1. No ponto (1, 1, 1).
f) sen z + 2x3y − 3z4 = 10. No ponto (1, 5, 0).
Questa˜o 2: Para as func¸o˜es abaixo, determine o vetor gradiente e calcule a derivada direcional na
direc¸a˜o do vetor ~v dado.
a) f(x, y) = x2 + y2, para ~v = (2, 2).
b) f(x, y) = ex
2−y2 , para ~v = (1, 3).
c) f(x, y, z) = xyz, para ~v = (1, 1, 1).
d) f(x, y, z) = x sen (yz), para ~v = (1, 2,−1).
Questa˜o 3: Se f(x, y) = x ey, determine a taxa de variac¸a˜o no ponto P = (2, 0) na direc¸a˜o de P a
Q =
(
1
2
, 2
)
. Encontre tambe´m a direc¸a˜o da taxa de crescimento ma´xima e qual o valor
dessa taxa.
Questa˜o 4: Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) do espac¸o seja dada por: T (x, y, z) =
80
1 + x2 + 2y2 + 3z2
, onde T e´ medida em graus Celcius e x, y e z em metros. Em que direc¸a˜o
no ponto (1, 1,−2) a temperatura varia mais rapidamente? Qual e´, aproximadamente, esta
taxa?
Questa˜o 5: Determine a equac¸a˜o do plano tangente no ponto (−2, 1,−3) ao elipso´ide: x
2
4
+y2+
z2
9
= 3.
4? Mostre que a equac¸a˜o do plano tangente ao elipso´ide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 no ponto (x0, y0, z0)
pode ser escrita como
xx0
a2
+
y y0
b2
+
z z0
c2
= 1
5? Mostre que todo plano que e´ tangente ao cone x2 + y2 = z2 passa pela origem.
GABARITO :
Questa˜o 1: a) z = 1.
b) z = x + 12y + 6.
c) z = 2x + y − 1.
d) z = −1
4
x +
3
4
y + 2.
e) z = 3x− 3
2
y − 1
2
.
f) z = −30x− 2y + 40.
Questa˜o 2: a) ~∇f = (2x, 2y), D~v =
√
2(x + y).
b) ~∇f = (2x ex2−y2 , 2y ex2−y2), D~v = 2√
10
(x− 3y)ex2−y2 .
c) ~∇f = (yz, xz, xy), D~v = 1√
3
(zy + xz + xy).
d) ~∇f = (sen (yz), xz cos (yz), xy cos (yz)), D~v = 1√
6
(sen (yz)+2xz cos (yz)−xy cos (yz)).
Questa˜o 3: A taxa de variac¸a˜o da func¸a˜o f(x, y) na direc¸a˜o P¯Q e´ 1. A direc¸a˜o de maior crescimento
e´ a direc¸a˜o do vetor gradiente, que no ponto P e´: ~∇f(2, 0) = (1, 2), cujo valor e´
√
5.
Questa˜o 4: A direc¸a˜o de maior variac¸a˜o e´ a do vetor gradiente, que e´ dada por: ~∇f(1, 1,−2) =
5
8
(−1,−2, 6). A taxa de variac¸a˜o da temperatura nessa direc¸a˜o e´ de ≈ 4 ◦C/m.
Questa˜o 5: z = −3
2
x + 3y − 9.