Teoria Integrais de Linha e de Superfície Parte 2

Pa´gina 8 UFU Func¸o\u2dces de Va´rias Varia´veis
Teorema de Green
O teorema de Green fornece a relac¸a\u2dco entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples C e uma
integral dupla sobre a regia\u2dco do plano D delimitada por C.
Convencionaremos que orientac¸a\u2dco positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido anti-hora´rio de C,
percorrido uma so´ vez.
Teorema de Green: Seja C uma curva simples, fechada, cont´\u131nua por partes, orientada positivamente, e seja D
a regia\u2dco delimitada por C. Se P e Q tem derivadas parciais de primeira ordem cont´\u131nuas sobre uma regia\u2dco aberta que
contenha D, enta\u2dco \u222b
C
Pdx+Qdy =
\u222b\u222b
D
(
\u2202Q
\u2202x
\u2212
\u2202P
\u2202y
)
dA
Observe que o lado esquerdo desta equac¸a\u2dco e´ outra forma de escrever
\u222b
C
F · dr, onde F = Pi+Qj.
A notac¸a\u2dco
\u222e
C
Pdx +Qdy e´ usada para indicar que a integral de linha e´ calculada usando a orientac¸a\u2dco positiva da
curva fechada C.
Exemplo: Calcule
\u222b
C
x4dx + xydy, onde C e´ a curva triangular constitu´\u131da pelos segmentos de reta de (0, 0) a
(1, 0) , de (1, 0) a (0, 1) , e de (0, 1) a (0, 0) .
Exemplo: Calcule
\u222e
C
(3y\u2212 esenx)dx+
(
7x+
\u221a
y4 + 1
)
dy, onde C e´ o c´\u131rculo x2 + y2 = 9.
Uma aplicac¸a\u2dco da direac¸a\u2dco inversa do Teorema de Green esta´ no ca´lculo de a´reas. Como a a´rea de uma regia\u2dco D
e´
\u222b\u222b
D
dA, desejamos escolher P e Q tais que
\u2202Q
\u2202x
\u2212
\u2202P
\u2202y
= 1. Existem va´rias possibilidades. Podemos enta\u2dco, tomar as
seguintes fo´rmulas para a a´rea de D :
A =
\u222e
C
xdy = \u2212
\u222e
C
ydx =
1
2
\u222e
xdy\u2212 ydx
Exemplo: Determine a a´rea delimitada pela elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Rotacional e Divergente
Definiremos duas operac¸o\u2dces que podem ser realizadas com campos vetoriais e que sa\u2dco essenciais nas aplicac¸o\u2dces de
ca´lculo vetorial em meca\u2c6nica dos fluidos e em eletricidade e magenetismo. Cada operac¸a\u2dco lembra uma derivac¸a\u2dco, mas
produz um campo vetorial, enquanto a outra gera um campo escalar.
Antes, definiremos o operador diferencial vetorial \u2207 (\u201ddel\u201d) como
\u2207 = i \u2202
\u2202x
+ j
\u2202
\u2202y
+ k
\u2202
\u2202z
.
Observe que quando ele opera sobre uma func¸a\u2dco escalar f, produz o gradiente de f.
Se F = Pi+Qj+ Rk e´ um campo vetorial em R3 e as derivadas parciais de P, Q e R existem, enta\u2dco o rotacional
de F e´ o campo vetorial em R3 definido por
rot F = \u2207× F =
(
\u2202R
\u2202y
\u2212
\u2202Q
\u2202z
)
i+
(
\u2202P
\u2202z
\u2212
\u2202R
\u2202x
)
j+
(
\u2202Q
\u2202x
\u2212
\u2202P
\u2202y
)
k
Exemplo: Se F (x, y, z) = xzi+ xyzj\u2212 y2k, determine rot F.
Se f e´ uma func¸a\u2dco de tre\u2c6s varia´veis que tem derivadas parciais de segunda ordem cont´\u131nuas, enta\u2dco rot(\u2207f) = 0.
Assim, se F e´ um campo vetorial conservativo, ou seja, F = \u2207f enta\u2dco rot F = 0.
Teorema: Se F for um campo vetorial definido sobre todo R3 cujas func¸o\u2dces componentes tenham derivadas parciais
de segunda ordem cont´\u131nuas e rot F = 0, F sera´ um campo vetorial conservativo.
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Func¸o\u2dces de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 9
Exemplo: Mostre que F (x, y, z) = y2z3i+ 2xyz3j+ 3xy2z2k e´ um campo vetorial conservativo. Determine uma
func¸a\u2dco f tal que F = \u2207f.
Se F = Pi+Qj+ Rk e´ um campo vetorial em R3 e as derivadas parciais de P, Q e R existem, enta\u2dco o divergente
de F e´ a func¸a\u2dco de tre\u2c6s varia´veis definida por
divF =
\u2202P
\u2202x
+
\u2202Q
\u2202y
+
\u2202R
\u2202z
= \u2207 · F
Exemplo: Se F (x, y, z) = xzi+ xyzj\u2212 y2k, determine divF.
Um outro operador surge quando calculamos o divergente do gradiente de um campo vetorial \u2207f
div (\u2207f) = \u2207 · (\u2207f) = \u2202
2f
\u2202x2
+
\u22022f
\u2202y2
+
\u22022f
\u2202z2
e essa expressa\u2dco aparece ta\u2dco frequentemente que abreviamos por \u22072f e o chamamos de operador de Laplace. Podemos
aplicar o laplaciano \u22072 a um campo vetorial F = Pi+Qj+ Rk em termos de suas componentes
\u22072F = \u22072Pi+\u22072Qj+\u22072Rk
Utilizando esses dois operadores podemos escrever as formas vetoriais do Teorema de Green. Consideramos uma
regia\u2dco plana D, sua curva fronteira C e func¸o\u2dces P e Q que satisfac¸am as hipo´teses do Teorema de Green. Em seguida,
considerando o campo vetorial F = Pi+Qj. A sua integral de linha e´\u222e
C
F · dr =
\u222e
C
Pdx+Qdy
Consideremos que F = Pi+Qj+0k. Da´\u131, rot F =
(
\u2202Q
\u2202x
\u2212
\u2202P
\u2202y
)
k. Donde, (rot F) · k =
(
\u2202Q
\u2202x
\u2212
\u2202P
\u2202y
)
. Logo,
\u222e
C
F · dr =
\u222b\u222b
D
(rot F) · kdA
Agora, supondo que a curva C seja dada pela equac¸a\u2dco vetorial r (t) = x (t) i+y (t) j temos o vetor normal unita´rio
externo a C, n (t) =
y\u2032 (t)
|r\u2032 (t)|
i\u2212
x\u2032 (t)
|r\u2032 (t)|
j e da´\u131,
\u222e
C
F · nds =
\u222b\u222b
D
divF (x, y)dA
Superf´\u131cies Parametrizadas
Analogamente a` func¸o\u2dces vetoriais de um u´nico para\u2c6metro t, podemos descrever uma superf´\u131cie por meio de uma
func¸a\u2dco vetorial de dois para\u2c6metros u e v. Suponhamos que
r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k
seja uma func¸a\u2dco a valores vetoriais definida sobre uma regia\u2dco D do plano uv. O conjunto de todos os pontos (x, y, z)
e R3 tal que
x = x (u, v) y = y (u, v) z = z (u, v)
e (u, v) varia ao longo de D, e´ chamado de superf´\u131cie parametrizada de S. Assim como para func¸o\u2dces vetoriais, a
superf´\u131cie e´ trac¸ada pela ponta do vetor posic¸a\u2dco r (u, v) enquanto (u, v) se move ao longo da regia\u2dco D (figura a seguir
a` esquerda).
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Pa´gina 10 UFU Func¸o\u2dces de Va´rias Varia´veis
Exemplo: Identifique e esboce a superf´\u131cie com equac¸a\u2dco vetorial
r (u, v) = 2 cosui+ vj+ 2 senuk
Se uma superf´\u131cie parametrizada S e´ dada por uma func¸a\u2dco vetorial r (u, v), enta\u2dco existem duas fam\u131´lias de curvas
u´teis contidas em S, que sa\u2dco obtidas fazendo u constante e v constante. Observe que, neste caso, a func¸a\u2dco vetorial r
se torna uma func¸a\u2dco vetorial de um u´nico para\u2c6metro. Tais curvas sa\u2dco chamadas curvas da grade.
Exemplo: Determine a func¸a\u2dco vetorial que representa o plano que passa pelo ponto P0 com vetor posic¸a\u2dco r0 e
que contenha dois vetores na\u2dco paralelos a e b.
r (u, v) = r0 + au+ bv
Exemplo: Determine uma representac¸a\u2dco parametrizada da esfera x2 + y2 + z2 = a2.
r (\u3c6, \u3b8) = a sen\u3c6 cos \u3b8i+ a sen\u3c6 sen \u3b8j+ a cos\u3c6k
com 0 \u2264 \u3c6 \u2264 pi e 0 \u2264 \u3b8 \u2264 2pi, ou seja, nesse caso D = [0, pi]× [0, 2pi] .
Superf´\u131cies de Revoluc¸a\u2dco: No caso de uma superf´\u131cie S ser obtida pela rotac¸a\u2dco da curva y = f (x) , a \u2264 x \u2264 b,
sobre o eixo x, com f (x) \u2265 0 enta\u2dco podemos tomar
x = x y = f (x) cos \u3b8 z = f (x) sen \u3b8
onde \u3b8 e´ o a\u2c6ngulo de rotac¸a\u2dco, 0 \u2264 \u3b8 \u2264 2pi.
Planos Tangentes: Dada uma superf´\u131cie parametrizada determinada por uma func¸a\u2dco vetorial
r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k
e um ponto P0 com vetor posic¸a\u2dco r (u0, v0) . Da´\u131, dadas as curvas de grade r (u0, v) e r (u, v0) , podemos encontrar os
vetores tangente a` essas curvas tomando-se a derivada parcial de r em relac¸a\u2dco a v e u, respectivamente. Denotemos
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Func¸o\u2dces de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 11
tais derivadas por ru e rv. Da´\u131, caso ru × rv na\u2dco seja 0, enta\u2dco a superf´\u131cie e´ dita suave (sem \u201dbicos\u201d). Para uma
superf´\u131cie suave, o plano tangente e´ o plano que conte´m os vetores tangentes ru e rv e o vetor ru×rv e´ o vetor normal
ao plano tangente.
Exemplo: Determine o plano tangente a` superf´\u131cie com equac¸o\u2dces parame´tricas x = u2, y = v2 e z = u + 2v no
ponto (1, 1, 3) .
A´rea da Superf´\u131cie: Se uma superf´\u131cie parametrizada suave S e´ dada pela equac¸a\u2dco
r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k (u, v) \u2208 D
e S e´ coberta uma u´nica vez quando (u, v) abrange todo o dom\u131´nio D dos para\u2c6metros enta\u2dco a a´rea da superf´\u131cie de S e´
A (S) =
\u222b\u222b
D
|ru × rv|dA
onde ru =
\u2202x
\u2202u
i+
\u2202y
\u2202u
j+
\u2202z
\u2202u
k e rv =
\u2202x
\u2202v
i+
\u2202y
\u2202v
j+
\u2202z
\u2202v
k.
Exemplo: Determine a a´rea da esfera de raio a.
A´rea de Superf´\u131cie do Gra´fico de uma Func¸a\u2dco: Para o caso em que S e´