
Teoria Integrais de Linha e de Superfície Parte 2
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Pa´gina 8 UFU Func¸o\u2dces de Va´rias Varia´veis Teorema de Green O teorema de Green fornece a relac¸a\u2dco entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a regia\u2dco do plano D delimitada por C. Convencionaremos que orientac¸a\u2dco positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido anti-hora´rio de C, percorrido uma so´ vez. Teorema de Green: Seja C uma curva simples, fechada, cont´\u131nua por partes, orientada positivamente, e seja D a regia\u2dco delimitada por C. Se P e Q tem derivadas parciais de primeira ordem cont´\u131nuas sobre uma regia\u2dco aberta que contenha D, enta\u2dco \u222b C Pdx+Qdy = \u222b\u222b D ( \u2202Q \u2202x \u2212 \u2202P \u2202y ) dA Observe que o lado esquerdo desta equac¸a\u2dco e´ outra forma de escrever \u222b C F · dr, onde F = Pi+Qj. A notac¸a\u2dco \u222e C Pdx +Qdy e´ usada para indicar que a integral de linha e´ calculada usando a orientac¸a\u2dco positiva da curva fechada C. Exemplo: Calcule \u222b C x4dx + xydy, onde C e´ a curva triangular constitu´\u131da pelos segmentos de reta de (0, 0) a (1, 0) , de (1, 0) a (0, 1) , e de (0, 1) a (0, 0) . Exemplo: Calcule \u222e C (3y\u2212 esenx)dx+ ( 7x+ \u221a y4 + 1 ) dy, onde C e´ o c´\u131rculo x2 + y2 = 9. Uma aplicac¸a\u2dco da direac¸a\u2dco inversa do Teorema de Green esta´ no ca´lculo de a´reas. Como a a´rea de uma regia\u2dco D e´ \u222b\u222b D dA, desejamos escolher P e Q tais que \u2202Q \u2202x \u2212 \u2202P \u2202y = 1. Existem va´rias possibilidades. Podemos enta\u2dco, tomar as seguintes fo´rmulas para a a´rea de D : A = \u222e C xdy = \u2212 \u222e C ydx = 1 2 \u222e xdy\u2212 ydx Exemplo: Determine a a´rea delimitada pela elipse x2 a2 + y2 b2 = 1. Rotacional e Divergente Definiremos duas operac¸o\u2dces que podem ser realizadas com campos vetoriais e que sa\u2dco essenciais nas aplicac¸o\u2dces de ca´lculo vetorial em meca\u2c6nica dos fluidos e em eletricidade e magenetismo. Cada operac¸a\u2dco lembra uma derivac¸a\u2dco, mas produz um campo vetorial, enquanto a outra gera um campo escalar. Antes, definiremos o operador diferencial vetorial \u2207 (\u201ddel\u201d) como \u2207 = i \u2202 \u2202x + j \u2202 \u2202y + k \u2202 \u2202z . Observe que quando ele opera sobre uma func¸a\u2dco escalar f, produz o gradiente de f. Se F = Pi+Qj+ Rk e´ um campo vetorial em R3 e as derivadas parciais de P, Q e R existem, enta\u2dco o rotacional de F e´ o campo vetorial em R3 definido por rot F = \u2207× F = ( \u2202R \u2202y \u2212 \u2202Q \u2202z ) i+ ( \u2202P \u2202z \u2212 \u2202R \u2202x ) j+ ( \u2202Q \u2202x \u2212 \u2202P \u2202y ) k Exemplo: Se F (x, y, z) = xzi+ xyzj\u2212 y2k, determine rot F. Se f e´ uma func¸a\u2dco de tre\u2c6s varia´veis que tem derivadas parciais de segunda ordem cont´\u131nuas, enta\u2dco rot(\u2207f) = 0. Assim, se F e´ um campo vetorial conservativo, ou seja, F = \u2207f enta\u2dco rot F = 0. Teorema: Se F for um campo vetorial definido sobre todo R3 cujas func¸o\u2dces componentes tenham derivadas parciais de segunda ordem cont´\u131nuas e rot F = 0, F sera´ um campo vetorial conservativo. La´\u131s Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Func¸o\u2dces de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 9 Exemplo: Mostre que F (x, y, z) = y2z3i+ 2xyz3j+ 3xy2z2k e´ um campo vetorial conservativo. Determine uma func¸a\u2dco f tal que F = \u2207f. Se F = Pi+Qj+ Rk e´ um campo vetorial em R3 e as derivadas parciais de P, Q e R existem, enta\u2dco o divergente de F e´ a func¸a\u2dco de tre\u2c6s varia´veis definida por divF = \u2202P \u2202x + \u2202Q \u2202y + \u2202R \u2202z = \u2207 · F Exemplo: Se F (x, y, z) = xzi+ xyzj\u2212 y2k, determine divF. Um outro operador surge quando calculamos o divergente do gradiente de um campo vetorial \u2207f div (\u2207f) = \u2207 · (\u2207f) = \u2202 2f \u2202x2 + \u22022f \u2202y2 + \u22022f \u2202z2 e essa expressa\u2dco aparece ta\u2dco frequentemente que abreviamos por \u22072f e o chamamos de operador de Laplace. Podemos aplicar o laplaciano \u22072 a um campo vetorial F = Pi+Qj+ Rk em termos de suas componentes \u22072F = \u22072Pi+\u22072Qj+\u22072Rk Utilizando esses dois operadores podemos escrever as formas vetoriais do Teorema de Green. Consideramos uma regia\u2dco plana D, sua curva fronteira C e func¸o\u2dces P e Q que satisfac¸am as hipo´teses do Teorema de Green. Em seguida, considerando o campo vetorial F = Pi+Qj. A sua integral de linha e´\u222e C F · dr = \u222e C Pdx+Qdy Consideremos que F = Pi+Qj+0k. Da´\u131, rot F = ( \u2202Q \u2202x \u2212 \u2202P \u2202y ) k. Donde, (rot F) · k = ( \u2202Q \u2202x \u2212 \u2202P \u2202y ) . Logo, \u222e C F · dr = \u222b\u222b D (rot F) · kdA Agora, supondo que a curva C seja dada pela equac¸a\u2dco vetorial r (t) = x (t) i+y (t) j temos o vetor normal unita´rio externo a C, n (t) = y\u2032 (t) |r\u2032 (t)| i\u2212 x\u2032 (t) |r\u2032 (t)| j e da´\u131, \u222e C F · nds = \u222b\u222b D divF (x, y)dA Superf´\u131cies Parametrizadas Analogamente a` func¸o\u2dces vetoriais de um u´nico para\u2c6metro t, podemos descrever uma superf´\u131cie por meio de uma func¸a\u2dco vetorial de dois para\u2c6metros u e v. Suponhamos que r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k seja uma func¸a\u2dco a valores vetoriais definida sobre uma regia\u2dco D do plano uv. O conjunto de todos os pontos (x, y, z) e R3 tal que x = x (u, v) y = y (u, v) z = z (u, v) e (u, v) varia ao longo de D, e´ chamado de superf´\u131cie parametrizada de S. Assim como para func¸o\u2dces vetoriais, a superf´\u131cie e´ trac¸ada pela ponta do vetor posic¸a\u2dco r (u, v) enquanto (u, v) se move ao longo da regia\u2dco D (figura a seguir a` esquerda). lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´\u131s Rodrigues Pa´gina 10 UFU Func¸o\u2dces de Va´rias Varia´veis Exemplo: Identifique e esboce a superf´\u131cie com equac¸a\u2dco vetorial r (u, v) = 2 cosui+ vj+ 2 senuk Se uma superf´\u131cie parametrizada S e´ dada por uma func¸a\u2dco vetorial r (u, v), enta\u2dco existem duas fam\u131´lias de curvas u´teis contidas em S, que sa\u2dco obtidas fazendo u constante e v constante. Observe que, neste caso, a func¸a\u2dco vetorial r se torna uma func¸a\u2dco vetorial de um u´nico para\u2c6metro. Tais curvas sa\u2dco chamadas curvas da grade. Exemplo: Determine a func¸a\u2dco vetorial que representa o plano que passa pelo ponto P0 com vetor posic¸a\u2dco r0 e que contenha dois vetores na\u2dco paralelos a e b. r (u, v) = r0 + au+ bv Exemplo: Determine uma representac¸a\u2dco parametrizada da esfera x2 + y2 + z2 = a2. r (\u3c6, \u3b8) = a sen\u3c6 cos \u3b8i+ a sen\u3c6 sen \u3b8j+ a cos\u3c6k com 0 \u2264 \u3c6 \u2264 pi e 0 \u2264 \u3b8 \u2264 2pi, ou seja, nesse caso D = [0, pi]× [0, 2pi] . Superf´\u131cies de Revoluc¸a\u2dco: No caso de uma superf´\u131cie S ser obtida pela rotac¸a\u2dco da curva y = f (x) , a \u2264 x \u2264 b, sobre o eixo x, com f (x) \u2265 0 enta\u2dco podemos tomar x = x y = f (x) cos \u3b8 z = f (x) sen \u3b8 onde \u3b8 e´ o a\u2c6ngulo de rotac¸a\u2dco, 0 \u2264 \u3b8 \u2264 2pi. Planos Tangentes: Dada uma superf´\u131cie parametrizada determinada por uma func¸a\u2dco vetorial r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k e um ponto P0 com vetor posic¸a\u2dco r (u0, v0) . Da´\u131, dadas as curvas de grade r (u0, v) e r (u, v0) , podemos encontrar os vetores tangente a` essas curvas tomando-se a derivada parcial de r em relac¸a\u2dco a v e u, respectivamente. Denotemos La´\u131s Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Func¸o\u2dces de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 11 tais derivadas por ru e rv. Da´\u131, caso ru × rv na\u2dco seja 0, enta\u2dco a superf´\u131cie e´ dita suave (sem \u201dbicos\u201d). Para uma superf´\u131cie suave, o plano tangente e´ o plano que conte´m os vetores tangentes ru e rv e o vetor ru×rv e´ o vetor normal ao plano tangente. Exemplo: Determine o plano tangente a` superf´\u131cie com equac¸o\u2dces parame´tricas x = u2, y = v2 e z = u + 2v no ponto (1, 1, 3) . A´rea da Superf´\u131cie: Se uma superf´\u131cie parametrizada suave S e´ dada pela equac¸a\u2dco r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k (u, v) \u2208 D e S e´ coberta uma u´nica vez quando (u, v) abrange todo o dom\u131´nio D dos para\u2c6metros enta\u2dco a a´rea da superf´\u131cie de S e´ A (S) = \u222b\u222b D |ru × rv|dA onde ru = \u2202x \u2202u i+ \u2202y \u2202u j+ \u2202z \u2202u k e rv = \u2202x \u2202v i+ \u2202y \u2202v j+ \u2202z \u2202v k. Exemplo: Determine a a´rea da esfera de raio a. A´rea de Superf´\u131cie do Gra´fico de uma Func¸a\u2dco: Para o caso em que S e´
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