Teoria Integrais de Linha e de Superfície Parte 2

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Pa´gina 8 UFU Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
Teorema de Green
O teorema de Green fornece a relac¸a˜o entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples C e uma
integral dupla sobre a regia˜o do plano D delimitada por C.
Convencionaremos que orientac¸a˜o positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido anti-hora´rio de C,
percorrido uma so´ vez.
Teorema de Green: Seja C uma curva simples, fechada, cont´ınua por partes, orientada positivamente, e seja D
a regia˜o delimitada por C. Se P e Q tem derivadas parciais de primeira ordem cont´ınuas sobre uma regia˜o aberta que
contenha D, enta˜o ∫
C
Pdx+Qdy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dA
Observe que o lado esquerdo desta equac¸a˜o e´ outra forma de escrever
∫
C
F · dr, onde F = Pi+Qj.
A notac¸a˜o
∮
C
Pdx +Qdy e´ usada para indicar que a integral de linha e´ calculada usando a orientac¸a˜o positiva da
curva fechada C.
Exemplo: Calcule
∫
C
x4dx + xydy, onde C e´ a curva triangular constitu´ıda pelos segmentos de reta de (0, 0) a
(1, 0) , de (1, 0) a (0, 1) , e de (0, 1) a (0, 0) .
Exemplo: Calcule
∮
C
(3y− esenx)dx+
(
7x+
√
y4 + 1
)
dy, onde C e´ o c´ırculo x2 + y2 = 9.
Uma aplicac¸a˜o da direac¸a˜o inversa do Teorema de Green esta´ no ca´lculo de a´reas. Como a a´rea de uma regia˜o D
e´
∫∫
D
dA, desejamos escolher P e Q tais que
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
= 1. Existem va´rias possibilidades. Podemos enta˜o, tomar as
seguintes fo´rmulas para a a´rea de D :
A =
∮
C
xdy = −
∮
C
ydx =
1
2
∮
xdy− ydx
Exemplo: Determine a a´rea delimitada pela elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Rotacional e Divergente
Definiremos duas operac¸o˜es que podem ser realizadas com campos vetoriais e que sa˜o essenciais nas aplicac¸o˜es de
ca´lculo vetorial em mecaˆnica dos fluidos e em eletricidade e magenetismo. Cada operac¸a˜o lembra uma derivac¸a˜o, mas
produz um campo vetorial, enquanto a outra gera um campo escalar.
Antes, definiremos o operador diferencial vetorial ∇ (”del”) como
∇ = i ∂
∂x
+ j
∂
∂y
+ k
∂
∂z
.
Observe que quando ele opera sobre uma func¸a˜o escalar f, produz o gradiente de f.
Se F = Pi+Qj+ Rk e´ um campo vetorial em R3 e as derivadas parciais de P, Q e R existem, enta˜o o rotacional
de F e´ o campo vetorial em R3 definido por
rot F = ∇× F =
(
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
)
i+
(
∂P
∂z
−
∂R
∂x
)
j+
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
k
Exemplo: Se F (x, y, z) = xzi+ xyzj− y2k, determine rot F.
Se f e´ uma func¸a˜o de treˆs varia´veis que tem derivadas parciais de segunda ordem cont´ınuas, enta˜o rot(∇f) = 0.
Assim, se F e´ um campo vetorial conservativo, ou seja, F = ∇f enta˜o rot F = 0.
Teorema: Se F for um campo vetorial definido sobre todo R3 cujas func¸o˜es componentes tenham derivadas parciais
de segunda ordem cont´ınuas e rot F = 0, F sera´ um campo vetorial conservativo.
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Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 9
Exemplo: Mostre que F (x, y, z) = y2z3i+ 2xyz3j+ 3xy2z2k e´ um campo vetorial conservativo. Determine uma
func¸a˜o f tal que F = ∇f.
Se F = Pi+Qj+ Rk e´ um campo vetorial em R3 e as derivadas parciais de P, Q e R existem, enta˜o o divergente
de F e´ a func¸a˜o de treˆs varia´veis definida por
divF =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
= ∇ · F
Exemplo: Se F (x, y, z) = xzi+ xyzj− y2k, determine divF.
Um outro operador surge quando calculamos o divergente do gradiente de um campo vetorial ∇f
div (∇f) = ∇ · (∇f) = ∂
2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
e essa expressa˜o aparece ta˜o frequentemente que abreviamos por ∇2f e o chamamos de operador de Laplace. Podemos
aplicar o laplaciano ∇2 a um campo vetorial F = Pi+Qj+ Rk em termos de suas componentes
∇2F = ∇2Pi+∇2Qj+∇2Rk
Utilizando esses dois operadores podemos escrever as formas vetoriais do Teorema de Green. Consideramos uma
regia˜o plana D, sua curva fronteira C e func¸o˜es P e Q que satisfac¸am as hipo´teses do Teorema de Green. Em seguida,
considerando o campo vetorial F = Pi+Qj. A sua integral de linha e´∮
C
F · dr =
∮
C
Pdx+Qdy
Consideremos que F = Pi+Qj+0k. Da´ı, rot F =
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
k. Donde, (rot F) · k =
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
. Logo,
∮
C
F · dr =
∫∫
D
(rot F) · kdA
Agora, supondo que a curva C seja dada pela equac¸a˜o vetorial r (t) = x (t) i+y (t) j temos o vetor normal unita´rio
externo a C, n (t) =
y′ (t)
|r′ (t)|
i−
x′ (t)
|r′ (t)|
j e da´ı,
∮
C
F · nds =
∫∫
D
divF (x, y)dA
Superf´ıcies Parametrizadas
Analogamente a` func¸o˜es vetoriais de um u´nico paraˆmetro t, podemos descrever uma superf´ıcie por meio de uma
func¸a˜o vetorial de dois paraˆmetros u e v. Suponhamos que
r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k
seja uma func¸a˜o a valores vetoriais definida sobre uma regia˜o D do plano uv. O conjunto de todos os pontos (x, y, z)
e R3 tal que
x = x (u, v) y = y (u, v) z = z (u, v)
e (u, v) varia ao longo de D, e´ chamado de superf´ıcie parametrizada de S. Assim como para func¸o˜es vetoriais, a
superf´ıcie e´ trac¸ada pela ponta do vetor posic¸a˜o r (u, v) enquanto (u, v) se move ao longo da regia˜o D (figura a seguir
a` esquerda).
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Pa´gina 10 UFU Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
Exemplo: Identifique e esboce a superf´ıcie com equac¸a˜o vetorial
r (u, v) = 2 cosui+ vj+ 2 senuk
Se uma superf´ıcie parametrizada S e´ dada por uma func¸a˜o vetorial r (u, v), enta˜o existem duas famı´lias de curvas
u´teis contidas em S, que sa˜o obtidas fazendo u constante e v constante. Observe que, neste caso, a func¸a˜o vetorial r
se torna uma func¸a˜o vetorial de um u´nico paraˆmetro. Tais curvas sa˜o chamadas curvas da grade.
Exemplo: Determine a func¸a˜o vetorial que representa o plano que passa pelo ponto P0 com vetor posic¸a˜o r0 e
que contenha dois vetores na˜o paralelos a e b.
r (u, v) = r0 + au+ bv
Exemplo: Determine uma representac¸a˜o parametrizada da esfera x2 + y2 + z2 = a2.
r (φ, θ) = a senφ cos θi+ a senφ sen θj+ a cosφk
com 0 ≤ φ ≤ pi e 0 ≤ θ ≤ 2pi, ou seja, nesse caso D = [0, pi]× [0, 2pi] .
Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o: No caso de uma superf´ıcie S ser obtida pela rotac¸a˜o da curva y = f (x) , a ≤ x ≤ b,
sobre o eixo x, com f (x) ≥ 0 enta˜o podemos tomar
x = x y = f (x) cos θ z = f (x) sen θ
onde θ e´ o aˆngulo de rotac¸a˜o, 0 ≤ θ ≤ 2pi.
Planos Tangentes: Dada uma superf´ıcie parametrizada determinada por uma func¸a˜o vetorial
r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k
e um ponto P0 com vetor posic¸a˜o r (u0, v0) . Da´ı, dadas as curvas de grade r (u0, v) e r (u, v0) , podemos encontrar os
vetores tangente a` essas curvas tomando-se a derivada parcial de r em relac¸a˜o a v e u, respectivamente. Denotemos
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Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 11
tais derivadas por ru e rv. Da´ı, caso ru × rv na˜o seja 0, enta˜o a superf´ıcie e´ dita suave (sem ”bicos”). Para uma
superf´ıcie suave, o plano tangente e´ o plano que conte´m os vetores tangentes ru e rv e o vetor ru×rv e´ o vetor normal
ao plano tangente.
Exemplo: Determine o plano tangente a` superf´ıcie com equac¸o˜es parame´tricas x = u2, y = v2 e z = u + 2v no
ponto (1, 1, 3) .
A´rea da Superf´ıcie: Se uma superf´ıcie parametrizada suave S e´ dada pela equac¸a˜o
r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k (u, v) ∈ D
e S e´ coberta uma u´nica vez quando (u, v) abrange todo o domı´nio D dos paraˆmetros enta˜o a a´rea da superf´ıcie de S e´
A (S) =
∫∫
D
|ru × rv|dA
onde ru =
∂x
∂u
i+
∂y
∂u
j+
∂z
∂u
k e rv =
∂x
∂v
i+
∂y
∂v
j+
∂z
∂v
k.
Exemplo: Determine a a´rea da esfera de raio a.
A´rea de Superf´ıcie do Gra´fico de uma Func¸a˜o: Para o caso em que S e´uma superf´ıcie com equac¸a˜o
z = f (x, y) , onde (x, y) esta´ em D e f tem derivadas parciais cont´ınuas,
A (S) =
∫∫
D
√
1+
(
∂z
∂x
)2
+
(
∂z
∂y
)2
dA
Exemplo: Determine a a´rea do parabolo´ide z = x2 + y2 que esta´ abaixo do plano z = 9.
Integrais de Superf´ıcie
Suponha que a superf´ıcie S tenha equac¸a˜o vetorial
r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k (u, v) ∈ D
Se as componentes sa˜o cont´ınuas e ru e rv sa˜o na˜o nulos e na˜o paralelos no interior de D∫∫
S
f (x, y, z)dS =
∫∫
D
f (r (u, v)) |ru × rv|dA
Exemplo: Calcule a integral de superf´ıcie
∫∫
S
x2dS, onde S e´ a esfera unita´ria x2 + y2 + z2 = 1.
No caso de a superf´ıcie S ser o gra´fico de uma func¸a˜o z = g (x, y) , temos
∫∫
S
f (x, y, z)dS =
∫∫
D
f (x, y, g (x, y))
√(
∂z
∂x
)2
+
(
∂z
∂y
)2
+ 1dA
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Pa´gina 12 UFU Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
Exemplo: Calcule
∫∫
zdS, onde S e´ a superf´ıcie cujo lado S1 e´ dado pelo cilindro x
2 + y2 = 1, cujo fundo S2 e´ o
c´ırculo x2 + y2 ≤ 1 no plano z = 0, e cujo topo S3 e´ a parte do plano z = 1+ x que esta´ acima de S2.
Superf´ıcies Orientadas: Se for poss´ıvel escolher um vetor normal n em cada ponto (x, y, z) de modo que n varie
continuamente sobre S, enta˜o S e´ chamada superf´ıcie orientada e a escolha de n fornece S com uma orientac¸a˜o.
Se S for uma superf´ıcie orientada suave dada na forma parametrizada pela equac¸a˜o vetorial r (u, v), enta˜o ela esta´
automaticamente associada a` orientac¸a˜o do vetor normal unita´rio
n =
ru × rv
|ru × rv|
Para uma superf´ıcie fechada, isto e´, uma superf´ıcie que seja fronteira de uma regia˜o so´lida E, a convenc¸a˜o e´ que a
orientac¸a˜o positiva e´ aquela para a qual os vetores normais apontam para fora de E, e os vetores normais que apontam
para dentro correspondem a` orientac¸a˜o negativa.
Integrais de uma Superf´ıcie de Campos Vetoriais: Se F for um campo vetorial cont´ınuo definido sobre uma
superf´ıcie orientada S com um vetor normal unita´rio n, enta˜o a superf´ıcie integral de F sobre S e´∫∫
S
F · dS =
∫∫
S
F · ndS
Essa integral e´ tambe´m chamada de fluxo de F atrave´s de S.
Caso S seja uma func¸a˜o vetorial dada por r (u, v)∫∫
S
F · dS =
∫∫
S
F· (ru × rv)dA
Exemplo: Determine o fluxo do campo vetorial F (x, y, z) = zi+yj+xk atrave´s da esfera unita´ria x2+y2+z2 = 1.
No caso de S ser dada por um gra´fico z = g (x, y) , podemos considerar x e y como paraˆmetros e da´ı∫∫
S
F · dS =
∫∫
D
(
−P
∂g
∂x
−Q
∂g
∂y
+ R
)
dA
Exemplo: Calcule
∫∫
S
F·dS, onde F (x, y, z) = yi+xj+zk e S e´ o limite da regia˜o so´lida E limitada pelo parabolo´ide
z = 1− x2 − y2 e o plano z = 0.
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Teorema de Stokes
Este teorema pode ser visto como uma versa˜o em dimensa˜o maior do Teorema de Green.
Teorema de Stokes: Seja S uma superf´ıcie orientada, suave por partes, cuja fronteira e´ formada por uma curva
C fechada, simples, suave por partes, com orientac¸a˜o positiva. Seja F um campo vetorial cujas componentes tem
derivadas parciais cont´ınuas em uma regia˜o aberta de R3 que conte´m S. Enta˜o,∮
C
F · dr =
∫∫
S
rot F · dS =
∫∫
S
rot F · n dS
Exemplo: Calcule
∮
C
F · dr, onde F (x, y, z) = −y2i+ xj+ z2k e C e´ a curva da intersec¸a˜o do plano y+ z = 2 com
o cilindro x2 + y2 = 1 (figura a seguir a` esquerda)
Exemplo: Use o Teorema de Stokes para calcular a integral
∫∫
S
rot F · dS, onde F (x, y, z) = xyi + yzj + xyk e S
e´ a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que esta´ dentro do cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy (figura anterior a`
direita).
Observe que no exemplo anterior, calculamos uma integral de superf´ıcie conhecendo os valores de F na fronteira
C. Isso significa que, se tivermos outra superf´ıcie orientada com a mesma fronteira C, obteremos o mesmo valor para
integral de superf´ıcie.
.
Refereˆncias Bibliogra´ficas
(1) Stewart, J. Ca´lculo (2 vols.). 7a. ed. Sa˜o Paulo: Cengage Learning, 2013.
(2) Thomas, G. B., et al. Ca´lculo (2 vols.). 12a. ed. Sa˜o Paulo: Editora Pearson Education, 2013.
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