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Questão 4 da AD2 Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questão 4 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2017-2
Questão 4 (2,5 pontos) O distribuidor das rações ”Boi na Sombra”fornece, semanalmente, dois
tipos de ração, A e B, para uma fazenda. Pelo que foi estabelecido no contrato, as quantidades de
cada tipo de ração podem ser escolhidas livremente pela ”Boi na Sombra”, desde que o total seja 6
toneladas.
Para a Boi na Sombra, cada tonelada da ração A custa R$ 6.000,00, e cada tonelada da B custa R$
2.000,00. Para a remessa ser viável, o custo total em cada semana não pode ser maior do que R$
24.000,00.
Utilizando as variáveis a e b, para as quantidades de toneladas das rações do tipo A e do tipo B,
respectivamente, faça o que é pedido abaixo.
(a) Escreva a equação que modela a condição de que total de toneladas das rações fornecidas deve
ser de 6 toneladas.
Solução: Denotando por a a quantidade de toneladas da ração A e por b a quantidade de
toneladas de B, temos a condição
a+ b = 6.
Observe também que as quantidades devem ser não negativas.
(b) Esboce, no plano cartesiano, onde o eixos representam as os valores das variáveis a (eixo hori-
zontal) e b (eixo vertical) de toneladas das rações do tipo A e do tipo B, a reta que satisfaz a
condição acima.
Solução: Como trata-se de uma reta, basta obtermos dois de seus pontos para poder esboçá-la.
Podemos obter um ponto da reta fazendo a = 0, que nos dará 0 + b = 6, logo b = 6. Assim,
temos o ponto (0, 6). Fazendo b = 0 para obter outro ponto, teremos a+ 0 = 6, logo a = 6 e,
portanto, obtemos o ponto (6, 0). Esboçando a reta que une estes dois pontos, temos:
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 2 – 2017-2 2
No gráfico acima, tomamos o cuidado de esboçar apenas o segmento da reta em que a > 0 e
b > 0.
(c) Escreva a inequação que modela a condição de que o custo total em cada semana não pode ser
maior do que R$ 24.000,00.
Solução: Cada tonelada de ração A custa R$ 6.000,00, logo, o total desta ração custará, em
reais, 6.000 · a. Da mesma forma, o total da ração B custará 2.000 · b. Assim, a condição sobre
o preço total pode ser escrita como
6.000 · a+ 2.000 · b 6 24.000.
Devemos também observar que a > 0 e b > 0.
(d) Esboce, em um plano cartesiano como o do item (b), a região que satisfaz a condição do item (c).
Solução: O custo total da ração, isto é, a soma 6.000 · a + 2.000 · b será menor ou igual a
24.000 abaixo da reta 6.000 · a+2.000 · b = 24.000 ou nesta reta (porque a condição é 6 e não
só <). Simplificando a equação da reta, dividindo por 2.000, temos
6.000 · a+ 2.000 · b = 24.000⇔ 3a+ b = 12.
Para esboçar esta reta, e depois a região abaixo dela, precisamos conhecer dois de seus pontos.
Fazendo a = 0, temos b = 12, logo o ponto (0, 12). Fazendo b = 0, temos a = 4, logo o ponto
(4, 0). Esboçando a reta, temos:
Agora, a região abaixo e na reta:
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 2 – 2017-2 3
Note que a região atende também às condições a > 0 e b > 0.
(e) Esboce, em um plano cartesiano como o dos itens (b) e (d), a interseção entre as condições dos
itens (a) e (c), esboçadas em (b) e (d).
Solução: Esboçando em um mesmo plano a condições dos itens (b) e (d), temos:
Portanto, a interseção entre as condições é dada pelo esboço abaixo:
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 2 – 2017-2 4
O ponto de interseção entre as retas pode ser encontrado resolvendo-se o sistema{
a+ b = 6
3a+ b = 12
A primeira equação nos dá b = 6−a que, substituindo na segunda, nos leva a 3a+(6−a) = 12,
logo 2a = 6 e, portanto a = 3. Isto nos dá b = 6− 3 = 3 e temos, portanto, o ponto (3, 3).
(f) A fazenda que receberá a ração prefere a ração do tipo A, e solicitou que, dentro das 6 toneladas,
fosse enviado o máximo posśıvel desta ração. Se a Boi na Sombra pretende atender a solicitação
de seu cliente, porém sem extrapolar seu custo máximo de R$ 24.000,00, qual a quantidade
máxima de ração do tipo A poderá ser enviada? Dê a resposta e justifique com base no esboço
do item (e).
Solução: A maior quantidade de ração A é dada quando a coordenada horizontal a possui seu
maior valor dentro das condições acima. Pelo esboço feito no item anterior, vemos que o maior
valor posśıvel de a é 3 (no ponto (3, 3)). Assim, a maior quantidade de ração A que pode ser
enviada, dentro das condições contratadas, é 3 toneladas.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ

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