AD2 Q1 2017 2 Gabarito final

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 1 da AD 2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2
Questa˜o 1 (2,5 pontos) Vimos no EP8 que o mo´dulo |a−b| representa, na reta dos nu´meros reais,
a distaˆncia entre os pontos a e b. Como exemplo, a expressa˜o |x− 2| representa a distaˆncia entre o
valor da varia´vel x e o nu´mero real 2.
(a) Deˆ a inequac¸a˜o (com mo´dulos) satisfeita por todos os valores de x cuja distaˆncia a 5 seja menor
que 7. Represente geometricamente o conjunto dos pontos que satisfazem esta condic¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Os valores de x cuja distaˆncia a 5 e´ menor do que 7 sa˜o os que satisfazem a inequac¸a˜o
|x− 5| < 7.
Estes valores podem ser representados como abaixo:
(b) Deˆ a inequac¸a˜o (com mo´dulos) satisfeita por todos os valores de x cuja distaˆncia a −1 seja
menor que 4. Represente geometricamente o conjunto dos pontos que satisfazem esta condic¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Os valores de x cuja distaˆncia a −1 e´ menor do que 4 sa˜o os que satisfazem a
inequac¸a˜o
|x− (−1)| < 4.
Esta inequac¸a˜o pode ser reescrita como
|x+ 1| < 4.
Estes valores podem ser representados como abaixo:
(c) Deˆ a inequac¸a˜o (com mo´dulos) satisfeita por todos os valores de x cuja distaˆncia a` origem seja
maior ou igual a 1. Represente geometricamente o conjunto dos pontos que satisfazem esta
condic¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Os valores de x cuja distaˆncia a` origem (isto e´, ao ponto 0) e´ maior ou igual 1 sa˜o os
que satisfazem a inequac¸a˜o
|x− 0| ≥ 1.
Esta inequac¸a˜o pode ser reescrita como
|x| ≥ 1.
Estes valores podem ser representados como abaixo:
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 2 – 2017-2 2
(d) Represente, na forma de um intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, o conjunto dos
valores de x que satisfazem, simultaneamente, as condic¸o˜es dadas pelos treˆs itens anteriores.
Represente geometricamente.
Soluc¸a˜o: Vamos determinar, a partir da representac¸a˜o geome´trica das inequac¸o˜es obtidas, a
intersec¸a˜o entre os conjuntos determinados pelas condic¸o˜es:
|x− 5| < 7
|x+ 1| < 4
|x| ≥ 1
∩
Assim, o conjunto dos valores de x que satisfazem, simultaneamente, as treˆs condic¸o˜es e´ dado
por
(−2,−1] ∪ [1, 3).
(e) Represente, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, o conjunto soluc¸a˜o da
inequac¸a˜o |x− 2| < |x+4|. Como ferramenta para a resoluc¸a˜o da inequac¸a˜o, voceˆ pode utilizar
a interpretac¸a˜o do mo´dulo como distaˆncia, dada no enunciado acima, apresentando uma repre-
sentac¸a˜o geome´trica de sua soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o: A expressa˜o |x − 2| denota a distaˆncia entre o ponto x e o ponto 2. A expressa˜o
|x + 4|, que pode ser reescrita como |x− (−4)|, e´ a distaˆncia entre os pontos x e −4. Assim,
a inequac¸a˜o |x− 2| < |x+ 4| e´ satisfeita por todos os valores de x cuja distaˆncia ao ponto 2 e´
menor que a distaˆncia ao ponto −4. Representando estes pontos geometricamente, temos
De fato, vamos analisar as treˆs possibilidades:
• Se x e´ tal que x ≥ 2, a distaˆncia do ponto x ao ponto 2 e´ dada por |x − 2| = x − 2 e a
distaˆncia do ponto x ao ponto −4 e´ dada por |x+4| = x+4 = (x− 2)+ 6 = |x− 2|+6,
que e´ maior do que |x − 2| (note que 6 e´ a distaˆncia do ponto 2 ao ponto −4). Desta
forma, se x ≥ 2, x satisfaz a desigualdade dada.
• Para x entre −4 e 2 (−4 < x < 2), observe que se x estiver a` direita do ponto me´dio
entre 2 e −4, que e´ o ponto 2 + (−4)
2
= −1, i.e −1 < x < 2, x estara´ mais pro´ximo de 2
do que de −4. Portanto, se −1 < x < 2, x satisfaz a desigualdade dada. Ja´ se x estiver
a` esquerda do ponto −1, i.e −4 < x < −1, x estara´ mais pro´ximo de −4 do que de 2.
Portanto, se −4 < x < −1, x na˜o satisfaz a desigualdade dada.
• Se x e´ tal que x ≤ −4, a distaˆncia do ponto x ao ponto −4 e´ dada por |x+4| = −x−4 e a
distaˆncia do ponto x ao ponto 2 e´ dada por |x−2| = −x+2 = −x−4+6 = |x+4|+6, que
e´ maior do que |x+ 4| = −x− 4. Desta forma, se x ≤ −4, x na˜o satisfaz a desigualdade
dada.
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• Se x = −1 a distaˆncia de x a −4 e´ igual a` distaˆncia de x a −4 (|x − 2| = | − 1 − 2| =
| − 3| = 3 = |3| = | − 1 + 4| = |x+ 4|). Portanto, x na˜o satisfaz a desigualdade.
Assim, o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´ (−1,+∞).
A inequac¸a˜o tambe´m poderia ser resolvida utilizando as definic¸o˜es de |x − 2| e |x + 4|. Neste
caso, dividir´ıamos a reta real em treˆs intervalos, R = (−∞,−4)∪ [−4, 2)∪ [2,∞), dependentes
da traduc¸a˜o dos mo´dulos envolvidos e analisar´ıamos as traduc¸o˜es da inequac¸a˜o |x−2| < |x+4|,
para cada intervalo, na˜o esquecendo de interceptar as soluc¸o˜es da cada inequac¸a˜o traduzida com
o intervalo em questa˜o, pois a inequac¸a˜o original so´ e´ equivalente a` inequac¸a˜o resolvida, neste
intervalo. Experimente resolver a inequac¸a˜o desta forma.
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