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AD2 Q2 2017 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 2 da AD 2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2
Questa˜o 2 (2,5 pontos) Uma empresa procura o melhor prec¸o P > 0, em euros, para um produto
que pretende lanc¸ar no mercado mundial. Estudos indicam que, com o prec¸o P , esta empresa con-
seguira´ exportar (40− P ) milhares de unidades.
Como exemplo, se o prec¸o P for fixado em 10 euros, sera˜o exportadas (40 − 10) = 30 milhares de
unidades, ou seja, (40 − 10) · 1000 = 30.000 unidades. Como consequeˆncia, esta venda gerara´ um
faturamento de 10 · 30.000 = 300.000 euros.
[Observac¸a˜o: mais a` frente nesta disciplina, na Semana 13, veremos que ”(40 − P ) milhares de
unidades”e´ a demanda do produto.]
(a) Determine o faturamento gerado pela venda do produto quando o prec¸o e´ de 20 euros.
Soluc¸a˜o: Com o prec¸o P = 20 euros, sera˜o vendidas (40 − 20) · 1000 = 20.000 unidades do
produto, gerando, portanto, uma receita de
20 · 20.000 = 400.000 euros.
(b) Determine a expressa˜o do faturamento quando o prec¸o e´ P .
Soluc¸a˜o: Com o prec¸o P , sera˜o vendidas (40−P )·1000 unidades do produto, gerando, portanto,
uma receita de
P · (40− P ) · 1000 euros.
(c) Para que valor(es) de P o faturamento e´ de 375.000,00 euros?
Soluc¸a˜o: Queremos determinar P para que o faturamento, dado por P · (40− P ) · 1000, seja
igual a 375.000, isto e´,
P ·(40−P )·1000 = 375.000⇔ P ·(40−P ) = 375⇔ −P 2+40P−375 = 0⇔ P = 15 ou P = 25.
(Para resolver a equac¸a˜o do segundo grau acima, utilizamos a “fo´rmula de Bhaskara”).
Assim, o faturamento e´ de 375.000,00 euros com o prec¸o de 15 euros ou 25 euros.
(d) Para que valor de P o faturamento e´ de 400.000,00 euros?
Soluc¸a˜o: Queremos determinar P para que o faturamento, dado por P · (40− P ) · 1000, seja
igual a 400.000, isto e´,
P · (40− P ) · 1000 = 400.000⇔ P · (40− P ) = 400⇔ −P 2 + 40P − 400 = 0⇔ P = 20.
Assim, o faturamento e´ de 375.000,00 euros com o prec¸o de 20 euros.
No item (d) voceˆ deve ter encontrado um u´nico valor de P . Mais a` frente na disciplina (na
Semana 12), veremos que isto indica que este prec¸o determina um faturamento ma´ximo. Este
fato tambe´m pode ser justificado a partir de uma inequac¸a˜o, como nos itens a seguir:
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 2 da AD 2 – 2017-2 2
(e) Determine os valores de P para os quais o faturamento e´ menor ou igual a 400.000,00? A partir
dos valores encontrados, diga qual e´ o faturamento ma´ximo poss´ıvel, justificando com o maior
cuidado poss´ıvel!
Soluc¸a˜o: Queremos determinar P para que o faturamento, dado por P · (40− P ) · 1000, seja
menor ou igual a 400.000, isto e´,
P · (40− P ) · 1000 6 400.000⇔ P · (40− P ) 6 400⇔ −P 2 + 40P − 400 6 0.
Como 20 e´ a u´nica raiz da equac¸a˜o −P 2 + 40P − 400 = 0, podemos escrever
−P 2 + 40P − 400 6 0⇔ −(P − 20)2 6 0⇔ (P − 20)2 > 0.
Como o quadrado sera´ sempre maior ou igual a 0, a desigualdade sera´ satisfeita para todo valor
de P .
E´ importante destacar que o prec¸o na˜o pode ser negativo ou zero, Portanto, devemos fazer a
restric¸a˜o P > 0. Assim, a resposta mais correta devera´ ser que a “desigualdade sera´ satisfeita
para todo valor de P > 0”.
Por razo˜es que veremos em aulas vindouras, quando sera´ discutido conceito de demanda, vere-
mos que e´ necessa´rio termos P < 40. Mas, por agora, na˜o vamos nos prender a esta questa˜o.
Com isso, constatamos que o faturamento sera´ sempre menor ou igual a 400.000,00 euros, atin-
gindo este valor apenas quando P = 20 (pelo que vimos no item anterior). Logo, o faturamento
ma´ximo poss´ıvel e´ de 400.00,00 euros.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

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