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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da Questa˜o 3 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2 Questa˜o 3 (2,5 pontos) Considere as afirmac¸o˜es: p: Para todo nu´mero inteiro b, existe um nu´mero inteiro a tal que a+ b = 10. q: Existe um nu´mero inteiro b tal que, para todo nu´mero inteiro a, a+ b = 10. (a) Escreva as duas afirmac¸o˜es acima utilizando os quantificadores “existe”e “para todo”e os con- juntos nume´ricos adequados, e sem utilizar palavras. (b) Diga, justificando adequadamente, se cada afirmac¸a˜o acima e´ verdadeira ou falsa. Soluc¸a˜o: (a) p: ∀b ∈ Z, ∃a ∈ Z | a+ b = 10 q: ∃b ∈ Z | ∀a ∈ Z, a+ b = 10 (b) A afirmac¸a˜o p e´ verdadeira. Para todo b ∈ Z, se tomarmos a = 10 − b, que e´ tambe´m um nu´mero inteiro, teremos a+ b = (10− b) + b = 10. Logo, para todo inteiro b, existe um inteiro a = 10− b tal que a+ b = 10. A afirmac¸a˜o q e´ falsa. Na˜o existe um inteiro b para o qual, todo inteiro a satisfaz a + b = 10. De fato, qualquer que seja b ∈ Z, na˜o e´ verdade que a soma com qualquer inteiro a seja 10. Se tomarmos, por exemplo, a = −b, teremos a+ b = −b+ b = 0 6= 10. (isso acontece para qualquer a diferente de 10− b, na˜o apenas para a = −b). E´ importante observar que apenas quando apresentamos um valor para a, no caso, a = −b, tal que a+b 6= 10 e´ que estamos justificando devidamente que a afirmac¸a˜o q e´ falsa. O texto inicial “Na˜o existe um inteiro b para o qual, todo inteiro a satisfaz a+ b = 10. De fato, qualquer que seja b ∈ Z, na˜o e´ verdade que a soma com qualquer inteiro a seja 10.” e´ apenas um reforc¸o, com outras palavras, de que a afirmac¸a˜o q e´ falsa.
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