AD1-Q1-2017-2-Gabarito.pdf

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2
Esta e´ a u´ltima versa˜o do gabarito. Na inicial, houve um erro. Depois, foi postada uma correc¸a˜o,
na qual, indevidamente, o item (f) foi alterado de forma incorreta. A presente versa˜o traz todas as
observac¸o˜es sobre estes erros.
Questa˜o 1 (2,5 pontos) Na figura, sa˜o representados os conjuntos R, S e T , dentro de um con-
junto universo U. Cada letra minu´scula da figura representa a quantidade de elementos na regia˜o
correspondente.
A afirmac¸a˜o “O nu´mero de elementos de elementos de R e´ o dobro do nu´mero de elementos que
pertencem, simultaneamente, a S e T”pode ser escrita, de acordo com as informac¸o˜es da figura,
como
a+ d+ g + f = 2(g + e),
e a afirmac¸a˜o “A quantidade de elementos que pertencem a, no m´ınimo, dois conjuntos e´ dois terc¸os
da quantidade dos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos”pode ser escrita, de acordo com
as informac¸o˜es da figura, como
d+ e+ f + g =
2
3
· (a+ b+ c+ d+ e+ f + g).
Como nos exemplos acima, escreva por meio de uma igualdade envolvendo as informac¸o˜es da figura,
as seguintes afirmac¸o˜es:
(a) A quantidade de elementos que pertencem a somente um dos treˆs conjuntos e´ o triplo do nu´mero
de elementos que pertencem ao conjunto T .
(b) O nu´mero de elementos que pertencem a pelo menos um dos treˆs conjuntos, mas na˜o aos treˆs
simultaneamente, e´ igual ao nu´mero de elementos que na˜o pertencem a R, nem a S e nem a T .
(c) A quantidade de elementos que pertencem a apenas um dos conjuntos e´ metade da que pertencem
a pelo menos dois dos conjuntos.
(d) O nu´mero de elementos que pertencem pelo menos um dos treˆs conjuntos, mas na˜o pertencem
a T e´ o triplo do nu´mero de elementos que pertencem a T .
(e) A quantidade de elementos que na˜o pertencem a T e´ sete quintos da quantidade de elementos
que esta˜o apenas em R.
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – 2017-2 2
(f) O nu´mero de elementos que pertencem a, no ma´ximo, um dos conjuntos e´ metade do nu´mero
de elementos que pertencem a algum deles.
Observac¸a˜o: Nos itens acima, a palavra “conjunto”se refere a R, S e T , na˜o ao conjunto-universo U .
Soluc¸a˜o:
(a) A quantidade de elementos que pertencem a somente um dos treˆs conjuntos e´ dada por a+b+c.
A quantidade dos elementos que pertence a T e´ dada por c + e + f + g. Assim, a afirmac¸a˜o
corresponde a
a+ b+ c = 3 · (c+ e+ f + g).
Na primeira versa˜o, havia um “2”indevido no lugar do 3 destacado em vermelho.
(b) O nu´mero de elementos que pertencem a pelo menos um dos treˆs conjuntos e´ dada por a+ b+
c+ d+ e+ f + g, log0, descontando os que pertencem aos treˆs (g), temos a+ b+ c+ d+ e+ f .
O nu´mero de elementos que na˜o pertencem a R, S e T e´ dado por h. Assim,
a+ b+ c+ d+ e+ f = h.
(c) Os elementos que pertencem a somente um dos treˆs conjuntos e´ a+ b+ c, e os que pertencem
a pelo menos dois, sa˜o d+ e+ f + g. Assim,
a+ b+ c =
1
2
· (d+ e+ f + g).
(d) A quantidade dos elementos que pertencem a pelo menos um dos treˆs conjuntos, mas na˜o
pertencem a T e´ dada por a+ b+ d, e os que pertencem a T sa˜o c+ e+ f + g. Assim,
a+ b+ d = 3(c+ e+ f + g).
(e) A quantidade de elementos que na˜o pertencem a T e´ a + b + d + h e os que esta˜o apenas em
R sa˜o a. Assim,
a+ b+ d+ h =
7
5
a.
(f) Os elementos que pertencem a, no ma´ximo, um dos conjuntos sa˜o a + b + c + h. Note que,
os h elementos “fora”dos conjuntos R, S e T pertencem a nenhum conjunto, logo, atendem a`
condic¸a˜o de pertencer a, no ma´ximo, zero. Os que pertencem a algum deles sa˜o a+ b+ c+ d+
e+ f + g, assim,
a+ b+ c+ h =
1
2
(a+ b+ c+ d+ e+ f + g).
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