01 CURSO DE NIVELAMENTO EM MATEMATICA UNIDADE I

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UNIVERSIDADE DE ITAÚNA Nivelamento em Matemática 
Prof. Tarcísio Valério 1
 
 
 
CURSO DE NIVELAMENTO EM MATEMÁTICA 
A Matemática é uma ciência que exige pré-requisitos para que o estudante continue 
desenvolvendo seu potencial. 
Nos primeiros períodos dos cursos de Engenharia, vê-se vários postulantes a Engenheiros se 
perderem logo no início do Curso, e isto se deve, indiscutivelmente, à falta de base em Matemática 
dos Ensinos Fundamental e Médio. 
Este material visa dar possibilidade aos estudantes que estiverem defasados criarem condições de 
aprendizado nas matérias básicas dos cursos superiores. 
É bom lembrar que não existem fórmulas mágicas que levarão esses estudantes a recuperarem o 
tempo perdido e tudo vai depender do esforço de cada um. 
BOM TRABALHO! 
Unidade I – Operações com números reais 
Antes de iniciarmos a unidade I, vamos conhecer os conjuntos numéricos: 
A) Conjunto dos números Naturais: 
Chamamos conjunto dos números naturais ao conjunto: { }.........,4,3,2,1.0=N 
Observe que este conjunto é ilimitado e nem todas as operações podem ser efetuadas dentro dele. 
Por exemplo, a operação 73 − tem como resultado um número que não é natural. 
B) Conjunto dos números Inteiros: 
Chamamos conjunto dos números inteiros ao conjunto: 
Observe que este conjunto é ilimitado e nem todas as operações podem ser efetuadas dentro dele. 
Por exemplo, a operação 7:3 tem como resultado um número que não é inteiro. 
C) Conjunto dos números Racionais: 
Chamamos conjunto dos números racionais ao conjunto 
O símbolo significa “tal que” e o símbolo ∈significa “pertence” 
Observe que este conjunto é muito denso pois todo número fracionário é da forma 
b
a
 e é portanto, 
um número racional. 
Veja por exemplo, que entre 0 e 1 existem infinitos números racionais. 





etc,
5
2
,
3
1
,
2
1
 
É bom lembrar que os decimais exatos e os decimais periódicos aparecem quando dividimos o 
numerador de um número fracionário pelo seu denominador. 
{ }.........,,3,2,1,0,1,2,3........ −−−=Z






≠∈= 0, beZba
b
aQ
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Assim, a fração 
5
4 é igual ao decimal exato 8,0 e a fração 
9
2 é igual ao decimal periódico ...222,0 
Daí, desprezando o rigor da matemática, podemos dizer que o conjunto dos números racionais é 
formado por todos os números inteiros, ( lembre-se: 
1
55 = ), fracionários, decimais exatos e 
decimais periódicos. 
Mesmo assim, existem cálculos que não podem ser feitos no conjunto dos números racionais. Se 
calculamos a raiz quadrada de 2 em uma calculadora, temos o seguinte resultado: 
.....4142135623,02 = .Veja que o resultado não é decimal exato e nem decimal periódico e 
portanto, não pode ser escrito em forma de fração e não é um número racional. 
Esses números são chamados números irracionais. Além das raízes não exatas, são também 
irracionais os números ...1415,3=pi , ...7182,2=e , entre outros. 
D) Conjunto dos números Reais. 
Quando juntamos todo o conjunto dos números racionais com os números irracionais, 
obtemos o conjunto dos números reais. 
Assim, { } QisirrracionaR ∪= 
O símbolo ∪ significa “união”. 
O conjunto dos números reais é muito mais denso que o conjunto dos números racionais e devido 
a isto, é comum representarmos o conjunto dos números reais por uma reta onde cada ponto 
representa um número real e cada número real tem seu lugar na reta. 
 
 
Uma figura que ilustra os conjuntos numéricos é: 
 
 
 
 
 
 
 
Mesmo em um conjunto tão denso, existem operações que não podem ser efetuadas no conjunto 
dos números reais. Por exemplo: ( esta operação pode ser feita em um conjunto chamado 
conjunto dos números complexos, que não será estudado em nosso curso ), 
 
R
0negativosnúmeros positivosnúmeros
R
Q
Z
N
0
1
2
2−
5−
3
2
2
1
−
37,0
...555,0−
2 5 17−
pi
e
9−
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Um outro exemplo é a operação . Assim, 0<∉ aeparénseRan e também, 
Rn ∉
0
. Obs: ∉= “não pertence”; < = “menor que”. 
Grande parte do curso de Cálculo Diferencial e Integral é trabalhado no conjunto dos números 
reais. 
Intervalos 
Dados dois números reais “a” e “b” com ba < , chamamos intervalo ao conjunto de todos os 
números reais compreendidos entre “a” e “b”. 
Os números “a” e “b” são chamados extremos e a diferença b – a de amplitude do intervalo. 
Primeiro caso: Intervalo fechado : os extremos pertencem ao intervalo. 
Representamos: [ ]ba , = intervalo fechado ab 
Na reta: 
O símbolo indica que os números “a” e “b” fazem parte do conjunto. 
Se imaginarmos um número “x” qualquer do conjunto, como o que está representado na reta 
acima, podemos afirmar que bxa ≤≤ , pois a vem antes de x que vem antes de b na reta real. 
Daí, uma nova representação para intervalo fechado: [ ] { }bxaRxba ≤≤∈=, 
O símbolo ≤ se deve ao fato de que um elemento desse intervalo pode ser inclusive o “a” ou o “b” . 
Exemplo: [ ] { }525,2 ≤≤∈= xRx . 
Na reta: 
 
Assim, [ ]5,22 ∈ [ ]5,2∈pi 
 [ ]5,25 ∈ [ ]5,217 ∈ , etc 
 [ ]5,23 ∈ 
Segundo caso: Intervalo aberto : os extremos não pertencem ao intervalo 
Representamos: ] [ { }bxaRxba <<∈=, = intervalo aberto ab 
Na reta: 
O símbolo indica que os números “a” e “b” não fazem parte do conjunto. 
Exemplo: ] [ { }525,2 <<∈= xRx . 
0
0: nn =
a bx
• •
R
•
2 5x
• •
R
a bx
o Ro
o
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Na reta: 
 
Assim, ] [5,22 ∉ ] [5,2∈pi 
 ] [5,25 ∉ ] [5,217 ∈ , etc 
 ] [5,23 ∈ 
Terceiro caso: Intervalos semi-abertos 
São intervalos em que um dos extremos pertence ao intervalo e o outro não pertence. Assim: 
[ [ { }bxaRxba <≤∈=, = intervalo aberto à direita 
] ] { }bxaRxba ≤<∈=, = intervalo aberto à esquerda 
 
Observação: A amplitude de um intervalo é igual a b – a , como já foi dito, independentemente dele 
ser aberto ou fechado. Assim, a amplitude do intervalo ] ]5,2 é igual a 5 – 2 = 3 
Quarto caso: Intervalos de amplitude infinita 
Considere o conjunto { }axRx ≥∈ 
Quando representamos esse conjunto na reta real, temos 
Observe que o extremo “b” não é definido pois a reta se prolonga indefinidamente. Imaginamos 
que “b” é um número infinitamente grande e representamos por ∞+ . 
Assim, { } [ [∞+=≥∈ ,aaxRx 
Nos símbolos ∞−∞+ e consideraremos sempre o intervalo aberto 
Do mesmo modo: { } ] [aaxRx ,∞−=<∈ 
O próprio conjunto R pode ser representado na forma de intervalo. ] [∞+∞−= ,R . 
Operações com intervalos. 
Existem algumas operações com intervalos que são muito úteis e trataremos aqui de 3 delas: 
intersecção, união e diferença. 
A) Intersecção 
Definimos intersecção entre dois conjuntos como sendo um terceiro conjunto formado pelos 
elementos comuns entre eles. Assim, { }BxeAxxBA ∈∈=∩ 
2 5x
o Ro
a
a
b
b
x
x
o
o•
•
•
a
R
R
R
R
o
a
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Ex: 
{ }
{ } { }4,37,6,5,4,3
4,3,2,1
=∩⇒=
=
BAB
A
 
Poderíamos ilustrar essa operação através de um diagrama: 
 
 
Obs: Quando não existem elementoscomuns, φ=∩ BA ( conjunto vazio ) 
Ex: 
{ }
{ } φ=∩⇒=
=
BAB
A
5,4,
,3,2,1
 
Em um intervalo existem infinitos elementos. A maneira mais segura de calcular uma intersecção 
entre intervalos é através de uma análise na reta real. 
Ex: 
{ }
{ }50
32
<≤∈=
<<−∈=
xRxB
xRxA
 
 
B) União 
Definimos { }BxouAxxBA ∈∈=∪ 
A união de dois conjuntos é formada pelos elementos que são somente de A, os que são somente 
de B e os que são dos dois conjuntos simultaneamente. 
Ex: 
{ }
{ } { }7,6,5,4,3,2,17,6,5,4,3
4,3,2,1
=∪⇒=
=
BAB
A
 
Poderíamos ilustrar essa operação através de um diagrama: 
 
 
Do mesmo modo que calculamos a intersecção de intervalos, devemos calcular a união, ou seja, 
através de uma análise na reta real. 
Ex: 
{ }
{ }50
32
<≤∈=
<<−∈=
xRxB
xRxA
 
 
C) Diferença 
Definimos { }BxeAxxBA ∉∈=− 
A B
BA ∩
2− 3
0 5
o o
o•
o•
0 3 { }30 <≤∈=∩⇒ xRxBA
A B
BA ∪
0 5
o o
o•
o•
2− 5 { }52 <≤−∈=∪⇒ xRxBA
2− 3
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A diferença entre os dois conjuntos é formada pelos elementos que pertencem ao primeiro 
conjunto e não pertencem ao segundo. 
Ex: 
{ }
{ } { },2,17,6,5,4,3
4,3,2,1
=−⇒=
=
BAB
A
 
 
 
Com intervalos procedemos como na intersecção e união. 
Ex: 
{ }
{ }50
32
<≤∈=
<<−∈=
xRxB
xRxA
 
Faça você: 
Sendo { }25 <<−∈= xRxA , { }52 <<−∈= xRxB e { }70 <<∈= xRxC , calcule: 
• A-) { }22:Re <<−∈∩ xRxspBA 
• B-) { }50:Re <<∈∩ xRxspCB 
• C-) ( ) { }55:Re <<−∈∩∪ xRxspCBA 
• D-) { }25:Re −≤<−∈− xRxspBA 
• E-) { }75:Re <≤∈− xRxspBC 
Potenciação de Números Reais 
Quando multiplicamos um número natural por ele mesmo “n” vezes criamos uma nova operação 
chamada potenciação. 
Assim, naaaaa =................. onde a = base 
 n = expoente 
O resultado da operação é chamado de potência. 
Ex: 322 5 = base : 2; expoente : 5 e potência : 32 
Entenderemos: 10 =a e aa =1 
Propriedades: 
P
 1 – Quando multiplicamos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os 
expoentes. Assim, . Ex: 
 
A B
BA −
0 5
o o
o•
o
2−
{ }52 <<−∈=−⇒ xRxBA
2−
0
n
3
o
nmnm aaa +=. 53232. xxxx == +
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P
 2 – Quando dividimos potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os 
expoentes, Assim, Ex: 
P
 3 – Quando elevamos uma potência a outra potência, conservamos a base e multiplicamos os 
expoentes. Assim, Ex: 
 
Expoente negativo: 
n
n
a
a
1
=
− Exemplo: 
8
1
2
12 3
3
==
− 
Se o expoente negativo estiver em uma fração, basta invertermos os termos dessa fração e passar 
o expoente para positivo. 
Assim, 
nn
a
b
b
a






=





−
. Exemplo: 
8
27
2
3
3
2 33
=





=





−
 
Expoente fracionário. 
Para elevar um número real a um expoente fracionário devemos proceder da seguinte forma: 
n mn
m
aa = Exemplos: 
41616
2555
2
1
33 23
2
==
==
 
Radicais 
Quando temos uma potência da forma ba n = , uma operação inversa da potenciação é chamada 
radiciação, e representamos abn = onde n é chamado índice, b de radicando e a de raiz. O 
símbolo é chamado de radical 
Quando o resultado de uma radiciação não é exato, surgem expressões que chamaremos de 
radicais e serão expressos sob a forma n ba . onde a = coeficiente 
 n = índice 
 b = radicando 
Exemplo: 3 52 , 
 
 
nm
n
m
nm a
a
a
aa −==:
415
5
5 : xx
x
x
xx ===
−
( ) nmnm aa .= ( ) 63.232 xxx ==
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Para trabalharmos com radicais temos de estudar técnicas específicas. 
Radicais semelhantes: têm o mesmo índice e o mesmo radicando. Ex: 33 2725 e 
Adição e subtração: 
Somente podemos somar ou subtrair radicais se eles forem semelhantes.Para isto, somamos ou 
subtraímos os coeficientes e conservamos o radical. 
Ex: 3333 710737875 =−+ 
Propriedades dos radicais: 
( ) n mmn
n
n
n
nnn
aa
b
a
b
a
baba
=
=
= ..
 
Simplificação de radicais: 
Muitas vezes um radical não se apresenta em sua forma mais simples e podemos fazer uma 
simplificação. 
1º caso: 
33 24:12 4:812 8; ; 4222: ==== Exaa
pn pnn m
 
2º caso: 
Para exemplificar o segundo caso, usaremos um exemplo: 
333 33 33 5.35.35.3135 === . Obs: Para transformarmos 135 em 5.3 3 usamos a 
decomposição em fatores primos: Assim, 5.3135 3= 
 
 
Aplicação: Calcule o resultado da operação seguinte: 
50188 +− . A princípio não podemos efetuar as operações indicadas pois os radicais não 
são semelhantes. Podemos tentar simplificar os radicais como o exemplo do segundo caso acima: 
1
55
315
345
3135
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255.250
233.218
222.228
2
2
23
==
==
===
 Portanto, 2425232250188 =+−=+− 
Redução de radicais ao mesmo índice: 
Existe uma técnica que nos permite reduzir radicais ao mesmo índice que ilustraremos com um 
exemplo. 
Observe os radicais: 6 54 3 xex 
Inicialmente calculamos o menor múltiplo comum ( mmc ) entre os índices ( 4 e 6 ) 
mmc ( 4 , 6 ) = 12 
Como calcular : 
1,1
33,1
23,2
26,4
 mmc ( 4 , 6 ) = 2 x 2 x 3 = 12 
O mmc será o novo índice para os dois radicais e o expoente de cada radicando será igual ao 
expoente anterior multiplicado pelo resultado da divisão do mmc pelo índice anterior. 
 
Teremos: 12 912 3.34 3 xxx == 
 
12 1012 2.56 5 xxx == 
A partir daí, os dois radicais têm o mesmo índice 12 e são equivalentes aos primeiros, 
respectivamente. 
Multiplicação de radicais. 
Somente podemos multiplicar radicais se eles tiverem o mesmo índice. Caso isto não aconteça, 
devemos reduzi-los ao mesmo índice antes de efetuarmos a multiplicação. 
Para efetuarmos a multiplicação, multiplicamos os coeficientes e os radicandos, mantendo o índice. 
Exemplos: 01-) ( ) 141527532573 =××=× 
 02-) ( ) 666 36 23 20068253223522352 =××=×=× 
Divisão de Radicais 
Usa-se o mesmo procedimento da multiplicação. 
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Exemplos: 01-) 
2
7
5
3
25
73
25:73 ==
 
 02-) 6
6 3
6 23
3
8
25
3
2
23
52
23
52
23:52 === 
Racionalização de frações. 
Não é aconselhável trabalharmos com frações que contém radicais nos denominadores. Quando 
elas aparecem devemos multiplicar os seus termos de modo que o radical não mais apareça no 
denominador. 
Mostraremos a técnica de racionalização de frações através de exemplos: 
1º exemplo: ( ) 3
35
3
35
33
35
3
5
2
==
×
×
= . A nova fração é equivalente à primeira e nãocontém radical no denominador. 
2º exemplo: ( ) 6
37
32
37
32
37
332
37
32
7
2
=
×
==
×
×
= 
3º exemplo: 
5
25
5
25
55
51
5
1 3
3 3
3
3 23
3 2
3
==
×
×
= 
Quando o denominador contém uma soma ou diferença, o processo é diferente. 
Observe a seguinte operação: ( ) ( ) 227272772727 ×−×+×−×=−×+ 
( ) 347472727 2 =−=−+− 
Poderíamos resolver diretamente usando a identidade ( ) ( ) 22. bababa −=−+ , que 
estudaremos na próxima unidade. 
Portanto, ( ) ( ) 347272727 22 =−=−=




−×+ 
Os números 27 + e 27 − são chamados conjugados. 
Para racionalizar frações que contém soma ou subtração no denominador, multiplicamos os termos 
da fração pelo conjugado do denominador. 
Exemplo: ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 3
62152
25
62152
25
62152
2525
2532
25
32
22
+
=
−
+
=
−
+
=
+×−
+×
=
−
 
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Exercícios 
01-) Considere os conjuntos { }52 <≤−∈= xRxA , { }71 ≤≤∈= xRxB e 
{ }35 ≤<−∈= xRxC . Calcule: 
• A) BA ∩ Resp: { }51 <≤∈ xRx 
• B) BA ∪ Resp: { }72 ≤≤−∈ xRx 
• D) AC − Resp: { }25 −<<−∈ xRx 
02-) Escreva na forma mais simples cada uma das expressões seguintes: 
• A) 
16
1
28 3 ×
 Resp: 2
27
2 
• B) 
3 9
81
13 ×
 Resp: 3
11
3
−
 
03-) Calcule o valor de cada uma das expressões seguintes: 
• A) 333 2505542128 +− Resp: 3 223 
• B) 3 2332 × Resp: 6 1086 
• C) 
6 5
3 2
7
35
x
xx ×
 Resp 
7
15 3 x
 
04-) Racionalize cada uma das frações seguintes: 
• A) 
7
5
 Resp: 
7
75
 
• A) 
3 3
2
 Resp: 
3
92 3
 
• A) 
27
5
−
 Resp: 
3
1075 +
 
• A) 
35
2
−
 Resp: 
2
610 +