08 CURSO DE NIVELAMENTO EM MATEMATICA UNIDADE VIII

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UNIVERSIDADE DE ITAÚNA 
Nivelamento em Matemática 
 
Prof. Tarcísio Valério Diniz 1
UNIDADE VIII – FUNÇÃO MODULAR 
Definição de módulo de um número real 
Seja “x” um número real. Definimos módulo de “x”, e representamos x como sendo: 
 



<−
≥
=
0
0
xsex
xsex
x 
Exemplos: 
33 = pois 03 > 
00 = pois 00 = 
( ) 555 =−−=−
 
 pois 05 <− 
Propriedades dos módulos: 
axouaxax
axaax
axax
Rxx
>−<⇒>−
<<−⇒<−
±=⇒=−
∈∀≥−
)04
)03
)02
0)01
 
Exemplos: 
77)01 ±=⇒=− xx pois 7777 =−=+ e 
444)02 ≤≤−⇒≤− xx ( teste alguns números do intervalo para verificar a 
propriedade ) 
777)03 >−<⇒>− xouxx
 ( teste alguns números do intervalo para verificar a 
propriedade ) 
EQUAÇÕES MODULARES 
São equações em que a variável aparece dentro de um módulo. 
Exemplo: 243 =− x 
A resolução das equações modulares são obtidas através do uso das propriedades dos 
módulos que foram citadas. 
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Veja os exemplos seguintes: 
01-) 243 =− x 
Pela propriedade ( 02 ), temos; 
( )
( )




=⇒=⇒−−=−⇒−=−
=⇒=⇒−−=−⇒+=−
⇒±=−
4
5541.54243
4
1141.14243
243
xxxx
xxxx
x
 






=
4
5
,
4
1S 
02-) 
652 ±=−⇒ xx
( )



−=
=
⇒
±
=
×
±−−
=⇒=−−⇒+=−
1
6
2
75
12
495
06565
,,
,
22
x
x
xxxxx
 
( )



=
=
⇒
±
=
×
±−−
=⇒=+−⇒−=−
2
3
2
15
12
15
06565
,,
,
22
x
x
xxxxx 
 
03-) xx 232 −=− 
( )xx 232 −±=−⇒ 
( )
3
553232232 =⇒=⇒−=−⇒−+=− xxxxxx 
( ) ( ) 11.1232232 =⇒−−=−⇒+−=−⇒−−=− xxxxxx 






=
3
5
,1S 
04-) 123 −=− xx 
Neste caso devemos impor a condição 101 ≥⇒≥− xx ( um módulo não pode ser 
negativo ) 
( )123 −±=−⇒ xx 
( ) )(
2
112123123 satisfaznãoxxxxxx =⇒=⇒−=−⇒−+=− 
{ }6,3,2,1−=S
652 =− xx
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( ) )(
4
334123123 satisfaznãoxxxxxx =⇒=⇒+−=−⇒−−=− 
 φ=S 
05-) 15.22 =+ xx 
Usaremos um artifício de cálculo para resolver esta equação. 
Façamos tx =
 
. Substituindo na equação teremos:
 
 
0152152 22 =−+⇒=+ tttt ( equação de segundo grau ). 






−=⇒
−−
=
⇒
±−
=⇒
±−
=
5
2
822
82
2
642
,,,, tt
tt 
Como 





−=
⇒=
)(5 admissívelénãox
tx
 
INEQUAÇÕES MODULARES 
Para resolvermos as inequações modulares utilizaremos as propriedades ( 3 ) e ( 4 ) 
Veja os exemplos: 
01-) 523 >+x 
Pela propriedade ( 4 ), 523523 >+−<+ xoux 
Devemos resolver isoladamente cada inequação e o conectivo ”ou” significa que devemos 
fazer a união entre os intervalos das respostas. 
Assim, 13
773523 Sxxx →−<⇒−<⇒−<+
 
 213
333523 Sxxxx →>⇒>⇒>⇒>+ 
 
 
33 ±=⇒= xx
3
2
82
,,
=⇒
+−
= tt
{ }3,3−=S
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





>−<∈= 1
3
7
xouxRxS 
 
02-) 721 ≤− x 
Pela propriedade ( 3 ), 7217 ≤−≤− x 
Devemos montar um sistema de inequações e elas agora serão ligadas pelo conectivo 
“e”, o que nos leva a fazer a intersecção entre as soluções das mesmas. 
Assim, ( )

→≥⇒≥⇒−≤−≤− 23621.62721 Sxxxx
 
 
 
 
{ }43 ≤≤∈= xRxS 
 
03-) xx 342 <− 
Devemos inicialmente impor a condição 0
3
003 ≥⇒≥⇒≥ xxx 
Resolvendo a inequação modular: 
xxx 343 2 <−<− 



<−
−<−
⇒
xx
xx
34
43
2
2
 
Resolvendo a primeira inequação determinando 1S : 
( ) 0431.043 22 >−+⇒−<+−− xxxx 





−=
=
=
4
3
1
C
B
A
( )
2
53251694143 2 ±−=⇒=+=−××−=∆⇒ x



−=
=
⇒
4
1
,,
,
x
x
 
o
o
1
3
7
−
o o
3
7
−
1
1S
2S
21 SS ∪
21 SS ∩
1S
2S
••
•
•
3
3
4
4
1482217 Sxxex →≤⇒≤−≤−



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Resolvendo a segunda inequação determinando 2S 
0432 <−− xx 





−=
−=
=
4
3
1
C
B
A
( ) ( )
2
53251694143 2 ±=⇒=+=−××−−=∆⇒ x



−=
=
⇒
1
4
,,
,
x
x
 
 
 Para terminar devemos fazer a intersecção entre 2S , 2S e a condição do início ( 0≥x ) 
 
Assim, 
 
 
 
Portanto, a solução da inequação será dada por: 
 
FUNÇÃO MODULAR 
Definição: é a função definida por ( )



<−
≥
===
0
0
xsex
xsex
xxfy 
Domínio : não existem restrições para a variável “x”. Portanto o domínio da função é o 
conjunto dos números reais. 
Gráfico: 
A função modular é definida por duas sentenças e devemos portanto, fazer duas tabelas 
de correspondência, sendo uma para valores maiores ou iguais a zero e outra para 
valores menores que zero. 
Assim, teremos: 
oo
4− 1
+
−
+
1S
oo
1−
−+ +
4
2S
4− 1
1− 4
o
0
o
o
oo
o
•
1 4
1S
2S
inicialcond
inicialcond 1S 2S∩∩
{ }41 <<∈= xRxS
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00
11
22
33
−
−
−
yx
 valores menores que zero 
33
22
11
00
yx
 valores maiores que zero 
Observe que atribuímos o valor zero para a variável “x” na primeira tabela mesmo 
sabendo que a restrição exija que 0>x 
 
 
 
 
 
 
 
Veja agora alguns exercícios sobre gráficos de funções modulares: 
Dê a representação gráfica das funções definidas pelas equações seguintes: 
01-) 42 += xy 
Devemos inicialmente fazer um estudo do módulo. 
( )

<++−
≥++
=+
04242
04242
42
xsex
xsex
x ⇒



−<−−
−≥+
=+
242
242
42
xsex
xsex
x
 
44
23
02
−
−
−
yx
 valores menores que - 2 
40
21
02
−
−
yx
 valores maiores que - 2 
 
 
 
 
x
y
x
y
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02-) 3−−= xy 
Devemos inicialmente fazer um estudo do módulo desprezando o sinal negativo.( )

<−−−
≥−−
=−
033
033
3
xsex
xsex
x ⇒



<+−
≥−
=−
33
33
3
xsex
xsex
x
 
A seguir, trocamos os sinais da primeira coluna por causa do sinal negativo. 
Assim, 



<−
≥+−
=−−
33
33
3
xsex
xsex
x
 
21
12
03
−
−
yx
 valores menores que 3 
25
14
03
−
−
yx
 valores maiores que 3 
 
 
 
 
 
 
03-) 342 +−= xxy
 
( )



<+−+−−
≥+−+−
=+−
03434
0343434 22
22
2
xxsexx
xxsexx
xx
 
Resolvendo as duas inequações de segundo grau acima, temos: 





=
−=
=
3
4
1
C
B
A
( ) ( )




=
=
⇒
±
=⇒
×
±−−
=⇒=××−−=∆⇒
1
3
2
24
12
44
43144
,,
,
2
x
x
xx
 
Daí: 




<−+−
≥≤+−
=+−
3134
313434 2
2
2
xsexx
xouxsexx
xx
 
x
y
••
00 ++ −
31
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Montando as tabelas de correspondência e traçando o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04-) 12 ++−= xxy
 
Para construir gráficos de funções que envolvem operações com módulos devemos fazer 
um estudo de cada módulo em separado e através de uma tabela montar uma função de 
várias sentenças que seja equivalente à função dada. 
Veja: 
( )

<−−−
≥−−
=−
022
022
2
xsex
xsex
x ⇒



<+−
≥−
=−
22
22
2
xsex
xsex
x
 
( )

<++−
≥++
=+
011
011
1
xsex
xsex
x ⇒



−<−−
−≥+
=+
11
11
1
xsex
xsex
x
 
 
 
 
 
 
Assim,





≥−
<<−
−≤+−
=++−=
212
213
112
12
xsex
xse
xsex
xxy 
Montando as tabelas e construindo o gráfico: 
03
12
01
yx
85
34
03
.
.
81
30
01
−
yx
x
y
2
2
1−
1−
2−x0
0 1+x 1+x1−− x
12 +− x 3
2−x
1+x
12 ++− xx
2+− x 2+− x
12 −x
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73
52
31
−
−
−
yx
 
32
31
30
31−
yx
 
74
53
32
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04-) 12 +−−= xxy
 
( )

<−−−
≥−−
=−
022
022
2
xsex
xsex
x ⇒



<+−
≥−
=−
22
22
2
xsex
xsex
x
 
( )

<++−
≥++
=+
011
011
1
xsex
xsex
x ⇒



−<−−
−≥+
=+
11
11
1
xsex
xsex
x
 
 
 
 
 
 
Assim,





≥−
<<−+−
−≤
=+−−=
23
2112
13
12
xse
xsex
xse
xxy 
x
y
2
2
1−
1−
2+− x2+− x
0
0 2−x
1−− x 1−− x1+x
3 12 +− x 3−
2−x
1+− x
12 +−− xx



−<+
−≥−−
=+−⇒
11
11
1
xsex
xsex
x
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Montando as tabelas e construindo o gráfico: 
 
33
32
31
−
−
−
yx
 
32
11
10
31
−
−
−
yx
 
34
33
32
−
−
−
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
01-) Represente graficamente cada uma das funções dadas pelas equações seguintes: 
a) ( ) xxf 23 −= 
b) ( ) 52 +−= xxf 
c) ( ) 342 +−= xxxf
 
 
d) ( ) 1032 −+−= xxxf
 
 
e) ( ) xxxf 2352 −++= 
f) ( ) xxxf 2352 −−+= 
g) ( ) 32 −+= xxxf 
h) ( ) 32. −= xxxf 
 
 
x
y
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02-) Resolva as equações modulares seguintes: 
a. 






−==+
3
5
,
3
7613 Sx
 
 
b. { }1,1,5,76162 −−−==−+ Sxx 
c. 






=+=− 9,
3
1452 Sxx 
d. 






−=+=+ 8,
4
917315 Sxx
 
e. { }6.1,1,6672 −−=−=− Sxx 
f. { }8,462 −==− Sx 
g. { }12321 ≤≤−ℜ∈==++− xxSxx 
03-) Resolva as inequações modulares seguintes: 
a. 






<<−ℜ∈=<− 2
3
4531 xxSx 
b. 






>−<ℜ∈=>− 5
2
53
5
41 xouxxSx 
c. { }41342 <<ℜ∈=<− xxSxx 
d. 






>−<ℜ∈=<
−
+ 6
3
21
22
4
xouxxS
x
x
 
e. 






≠≤≤−ℜ∈=≥
−
+
2
1
;3
3
11
12
2
xxxS
x
x
 
04-) Determine o domínio da função dada pela equação: 
( ) { }4231 ≥−≤ℜ∈=−−= xouxxDxxf