09 CURSO DE NIVELAMENTO EM MATEMATICA UNIDADE IX

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UNIVERSIDADE DE ITAÚNA 
Nivelamento em Matemática 
 
Prof. Tarcísio Valério Diniz 1
UNIDADE IX – FUNÇÃO EXPONENCIAL 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS. 
São equações em que a variável aparece no expoente de uma potência. 
Sua resolução consiste em igualar as bases e comparar os expoentes. 
Propriedade: Se yxaa yx =⇒= 
Vejamos alguns exemplos: 
01-) 84 23 =−x 
( )
6
7
76
346
22
22
346
3232
=⇒
=⇒
=−⇒
=⇒
=
−
−
x
x
x
x
x
 
 
02-) 15 2832 =−− xx 
( )
2
113
2
1213
0283
55
2
02832
±
=⇒
±−−
=⇒
=−−⇒
=
−−
x
x
xx
xx
 
 
 
 
 
 
 
 






=
6
7S
{ }7,4−=S



−=
=
⇒
4
7
,,
,
x
x
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03-) 
243
197 25 =− x 
( )
4
45
35104
41035
5
7
410
33
33
3
19
57
410
57
25
2
5
7
25
=⇒
+=⇒
−=−⇒
−=
−
⇒
=⇒
=⇒
=⇒
−
−
−
−
−
x
x
x
x
x
x
x
 
04-) 
81
625
5
3 5
2
=





+ xx
 



−=
−=
⇒
±−
=⇒
±−
=⇒
=++⇒
−=+⇒






=





⇒






=





⇒
−+
+
4
1
2
35
2
95
045
45
5
3
5
3
3
5
5
3
,,
,
2
2
452
452
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
 
{ }1,4 −−=S 
 
OBSERVAÇÕES: 
01-) Se você estiver tendo dificuldades, retorne à primeira unidade e faça uma revisão do 
estudo de potenciação. 
02-) Existem equações que dependem de alguns artifícios de cálculo para sua solução. 
Veja os exemplos seguintes: 
 
 






=
4
45S
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01-) 7
23
52
=
−
+
x
x
 
Façamos tx =2 
2
168
7215
7
3
5
=⇒
=⇒
−=+⇒
=
−
+
⇒
t
t
tt
t
t
 como 1222 =⇒=⇒= xt xx 
 
02-) 042.52 2 =+− xx 
( )[ ] 042.52 2 =+−⇒ xx 
Façamos tx =2 
( )



=
=
⇒
±
=⇒
±−−
=⇒
=+−⇒
1
4
2
35
2
95
045
,,
,
2
t
t
tt
tt
 
Como 



=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
⇒=
02212
222422 0
2
x
x
t
xx
xx
x
 
03-) 9033 11 =+ +− xx 
903.3
3
3 1
1 =+⇒
x
x
 
Façamos tx =3 
27270102709903
3
=⇒=⇒=+⇒=+ ttttt
t
 
Como 3332733 3 =⇒=⇒=⇒= xt xxx 
 
 
{ }1=S
{ }2,0=S
{ }3=S
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04-) 14
5
6416 +
=
+ x
x
 
( )
( ) xx
x
x
4.4
5
644
4.4
5
644
2
1
2
=
+
⇒
=
+
⇒
 
Façamos tx =4 
( )



=
=
⇒
±
=⇒
±−−
=⇒=+−⇒
=+⇒
=
+
⇒
4
16
2
1220
2
14420
06420
2064
4
5
64
,,
,
2
2
2
t
t
tttt
tt
t
t
 
Como 



=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
⇒=
14444
2441644 1
2
x
x
t
xx
xx
x
 
 
Existem equações exponenciais que não podem ser resolvidas pelo método estudado. 
Veja o exemplo: 
113 =x . Por uma simples observação vemos que 2 é pouco e 3 é muito 
( )27393 32 == e 
Portanto, o valor de “x” é um número compreendido entre 2 e 3. 
Para resolver equações como estas, dependemos do uso de logaritmos, que será 
estudado adiante. 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
É a função definida por ( ) 10 ≠>= aeacomaxf x 
Exemplos: 
01-) ( ) xxf 2= 
{ }2,1=S
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02-) ( )
x
xf 





=
2
1
 
O domínio da função exponencial é o conjunto dos números reais pois não existem 
restrições para os valores de “x” 
Gráfico: 
Vamos fazer a representação gráfica dos exemplos dados: 
01-) ( ) xxfy 2== 
42
21
10
2
11
4
12
−
−
yx
 
 
02-) ( )
x
xfy 





==
2
1
 
 
4
12
2
11
10
21
42
−
−
yx
 
 
Note que no exemplo 01 a função é crescente e isto acontece em toda função 
exponencial em que a base é maior que 1. 
No exemplo 02 a função é decrescente e isto acontece em toda função exponencial em 
que a base é um número compreendido entre 0 e 1. 
 
x
y
2− 1− 0 1 2
4
2
4
1 2
1
1
x
y
2− 1− 0 1 2
4
2
4
1
2
1
1
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Uma função exponencial de grande importância no curso de cálculo diferencial e integral 
é a função cuja base é o número “e”. Este número, chamado número de Euler, aparece no 
desenvolvimento de uma sequência e vale 2,718281.... 
Muitos autores representam essa função por ( ) xex =exp . 
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Propriedades 1-) 
 
 2-) 
 
O princípio que rege a solução de inequações exponenciais é o mesmo da solução de 
equações exponenciais, diferindo apenas na hora de comparar os expoentes. 
Veja os exemplos seguintes: 
01-) ( ) ( )237 33 ≤− x 
Como 13 > a comparação dos expoentes deverá ser feita com o mesmo sinal da 
desigualdade. 
Assim, 
 





 ≥∈=
3
5
xRxS 
02-) ( ) ( ) 1072 3,03,0 −− <xx 
Como 13,00 << a comparação dos expoentes deverá ser feita com o sinal contrário da 
desigualdade. 
Assim, 
 
 
 
 
{ }52 ><∈= xouxRxS 
 
( )



<<<
>>
⇒> )(10
1
edecrescentfunçãoaseyx
crescentefunçãoaseyx
aa yx
( )



<<>
><
⇒< )(10
1
edecrescentfunçãoaseyx
crescentefunçãoaseyx
aa yx
( )
3
553
1.53
237
≥⇒≥⇒
−−≤−⇒
≤−
xx
x
x





=
−=
=
10
7
1
C
B
A
( ) ( )



=
=
⇒
±
=⇒
×
±−−
=⇒=−=××−−=∆⇒
2
5
2
37
12
97
9404910147
,,
,
2
x
x
xx
o o
2 5
+ − +
( )graudeinequaçãoxx
xx
º20107
107
2
2
>+−⇒
−>−
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EXERCÍCIOS 
01-) Se mx ====2 e ny ====2 , calcule (((( )))) xy, ++++50 Resp: 
n.m
1
 
02-) Determine x de modo que 
9
13 3
2
====
−−−− xx
 Resp: 1 e 2 
03-) Dê o conjunto solução da equação 024 142 2 ====−−−− ++++−−−−−−−− xxx Resp´:S = {{{{ }}}}51 , 
04-) Dê o conjunto solução da equação 
27
133 2 ====xx
 
Resp´: S = {{{{ }}}}3−−−− 
05-) Resolva a equação 
9
34
2
1
x
x
====
−−−−
 
Resp´: S = { }1 
06-) Determine ovalor de x que satisfaz a equação 0
3
13
27
89
27
1
====−−−−−−−−
xx
 Resp´: x = 2 
07-) Determine o valor de x na igualdade 2
2
1
1
2
12
2
72
−−−−
−−−−
−−−−
++++
====++++−−−−
x
x
x
x
 
Resp´: x = 
2
3
 
08-) Determine o valor de x que satisfaz a equação 160234 32 22 ====−−−− ++++++++ xx . Resp´: x = 2±±±± 
09-) Determine o valor de x que satisfaz a equação xxx . 9264 ====++++ Resp´: x = 0 
10-) Seja m = x . y . Determine m, sabendo que 




====
====
3279
25
112525
2 yx
yx
.
.
 Resp: 
2
5
−−−−====m 
11-) Resolva a inequação 28
2
1
42
++++≤≤≤≤





−−−−
x
x
 Resp: {{{{ }}}}12 −−−−≥≥≥≥−−−−≤≤≤≤ℜℜℜℜ∈∈∈∈ xouxx 
12-) Resolva a inequação (((( )))) (((( )))) (((( ))))13
24
8080
++++−−−−
>>>>
xxx
,, Resp: {{{{ }}}}5150 ,x,x <<<<<<<<−−−−ℜℜℜℜ∈∈∈∈ 
13-) Resolva a inequação xx . −−−−≤≤≤≤−−−− 2822
 
Resp: {{{{ }}}}2≤≤≤≤ℜℜℜℜ∈∈∈∈ xx 
14-) Resolva a inequação 42
232
4
≥≥≥≥
++++++++ xx
 Resp: {{{{ }}}}0123 ≤≤≤≤<<<<−−−−−−−−<<<<≤≤≤≤−−−−ℜℜℜℜ∈∈∈∈ xouxx 
15-) Determine o domínio da função dada por (((( )))) 1222 1 −−−−++++==== ++++xxxf 
Resp: {{{{ }}}}2≥≥≥≥ℜℜℜℜ∈∈∈∈==== xxD