NIVELAMENTO_MAT_UNIDADE_XI

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UNIVERSIDADE DE ITAÚNA 
Nivelamento em Matemática 
 
Prof. Tarcísio Valério Diniz 1
UNIDADE XI – NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
MEDIDAS DE ÂNGULOS 
Existem três unidades para medir ângulos, que são arcos de uma circunferência. 
A) Grau : arco equivalente a 
360
1
 da circunferência. 
B) Grado: arco equivalente a 
400
1 da circunferência. 
Quando queremos medir um ângulo, procedemos da forma abaixo: 
 
 
 
 fig. 1 fig. 2 
Dividimos a circunferência em 360 partes ( graus ) ou 400 partes ( grados ) e a medida do 
ângulo é a quantidade de arcos determinada na parte interna do ângulo. 
Suponhamos que na fig. 2 acima, quando dividimos a circunferência em 360 partes, 
encontramos 30 pequenos arcos na região interna ao ângulo. A medida do ângulo será 
então de 30 graus. Representamos: 
( ) 030=AÔBm 
Do mesmo modo, se tivéssemos dividido em 400 partes e encontrado 42 pequenos arcos 
na região interna ao ângulo, a medida do mesmo seria 42 grados. Representamos: 
( ) graAÔBm 42= 
Não utilizaremos a medida grado em nosso curso. 
C) Radiano 
Consideremos um arco de uma circunferência que retificado equivale ao seu raio ( ver 
figura ): 
 Admitamos que a medida do arco AB quando 
 retificado seja equivalente ao raio OA . 
 Diremos que a medida de AB é igual a 1 radiano 
O O
A
A
B B
•
•
•
•
•
•
• A
B
O
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Representamos: 
( ) radAÔBm 1= 
Observações: 
1-) A medida mais utilizada nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral é o radiano pois 
os teoremas são demonstrado utilizando esta unidade de medida. 
2-) Para medir ângulos com radianos, teremos de usar frações pois o arco que equivale a 
um radiano é muito grande, comparado com as outras unidades de medida. ( Um radiano 
equivale aproximadamente 03,57 ) 
COMO TRABALHAR COM RADIANOS: 
A letra pi representa uma constante matemática obtida pelo resultado da divisão do 
comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro. Assim, 
R
C
.2
=pi . Quando 
efetuamos essa operação, em qualquer circunferência, encontramos o valor : ...1415,3=pi 
Daí, RC ..2 pi= . 
Exemplo: Qual é o comprimento da circunferência de raio 5 cm, quando retificada? 
Solução: cmRC 415,3151415,32..2 =××== pi . 
Se queremos medir a circunferência sem retificá-la, devemos substituir o raio por uma 
medida equivalente, que acompanhe a circunferência. Como vimos anteriormente, essa 
medida é o radiano. 
Assim, ..21..2 radCradC pipi =⇒= 
Quando pegamos a metade de uma circunferência, podemos afirmar que sua medida 
será dada por: 
 
rad
gra
pi1
200
180 0
 
Para mudarmos uma unidade de medida, utilizamos uma regra de três. 
Exemplo: Determine em radianos a medida de um ângulo de 030 
Teremos: 
radxradxradx
rad
6180
3030
180
0
0
pipi
pi
=⇒
×
=⇒→
→
 
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Observação: 
Durante o curso omitiremos escrever o símbolo rad para simplificar. Assim, quando 
escrevemos que a medida de um ângulo é igual a 
6
pi
 entendemos rad
6
pi
 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM ÂNGULO AGUDO 
Um ângulo é chamado ângulo agudo quando sua medida está compreendida entre 0 e 90 
graus, como na figura abaixo: 
 
 
 
Consideremos então um ângulo agudo: 
 
 
 
 
Tomemos vários pontos em um de seus lados e façamos suas projeções ortogonais sobre 
o outro lado como indicado abaixo: 
 
 
 
 
Os triângulos 11BOA , 22 BOA , 33BOA , 44 BOA , etc, são semelhantes, pois têm dois ângulos 
com a mesma medida ( um ângulo de 090 e o ângulo α ) e portanto, as medidas de seus 
lados são proporcionais. 
Daí, podemos criar várias proporções. Veja a seguir: 
1
4
44
3
33
2
22
1
11
............ K
AO
BA
AO
BA
AO
BA
AO
BA
=====
 
Observe que as frações acima têm o mesmo valor pois entre elas está o sinal de 
igualdade. O valor acima foi então chamado de seno do ângulo de medida α . 
••••
1A
4A
3A
2A
4B3B2B1B
O α
α
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Representamos: 1Ksen =α 
Outras proporções podem ser criadas. Veja: 
2
4
4
3
3
2
2
1
1
............ K
AO
OB
AO
OB
AO
OB
AO
OB
=====
 
3
4
44
3
33
2
22
1
11
........ K
BO
BA
BO
BA
BO
BA
BO
BA
=====
 
4
44
4
33
3
22
2
11
1
......... K
BA
OB
BA
OB
BA
OB
BA
OB
=====
 
5
4
4
3
3
2
2
1
1
.............. K
BO
OA
BO
OA
BO
OA
BO
OA
=====
 
6
44
4
33
3
22
2
11
1
......... K
BA
OA
BA
OA
BA
OA
BA
OA
=====
 
As constantes , , , e recebem o nome, respectivamente de: 
cosseno, tangente, cotangente secante e cossecante do ângulo de medida . 
Representamos: 
6
5
4
3
2
seccos
sec
cot
cos
k
k
kg
ktg
k
=
=
=
=
=
α
α
α
α
α
 
Como a razão de proporcionalidade é a mesma em qualquer um dos triângulos obtidos, 
podemos trabalhar apenas com um deles para facilitar o raciocínio. 
Assim, = hipotenusa 
 = cateto oposto ao ângulo 
 = cateto adjacente ao ângulo 
 
A partir das considerações acima, temos as seguintes definições, que deverão ser 
memorizadas. 
2K 3K 4K 5K 6K
α
α
O
1A
1B
•
1OA
11BA
1OB
α
α
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Veja o exemplo: 
Consideremos o triângulo retângulo abaixo representado: 
 
 
 
 
 
Observação: As relações que aparecem com mais frequência são o seno, cosseno e 
tangente. As outras são simplesmente inversões das primeiras. 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE 30 0, 45 0 E 60 0 
Consideremos um triângulo retângulo e isósceles: 
 Os catetos têm a mesma medida ( isósceles ). Seja “a” essa medida 
 e “x” a medida da hipotenusa. Usando o teorema de Pitágoras: 
 222 222222 axaxaxaax =⇒=⇒=⇒+= 
1A
1B
α
O
hipotenusa
opostocateto
A
BA
sen ==
1
11
0
α
opostocateto
hipotenusa
BA
A
==
11
10
seccos α
hipotenusa
adjacentecateto
A
OB
==
1
1
0
cos α
adjacentecateto
opostocateto
B
BA
tg ==
1
11
0
α
opostocateto
adjacentecateto
BA
OB
g ==
11
1
cot α
adjacentecateohipotenusa
B
OA
==
1
1
0
sec α
α
3
4
5
5
4
cos =α
5
3
=αsen
3
4
cot =αg
4
3
=αtg
4
5
sec =α
3
5
seccos =α
a
a
045
2ax =
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Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente, teremos: 
2
2
2
1
2
45 0 ===
a
a
sen . Portanto, 
2
2
45 0 =sen 
2
2
2
1
2
45cos 0 ===
a
a
. Portanto, 
2
2
45cos 0 = 
1
1
145 0 ===
a
a
tg . Portanto, 145 0 =tg 
Consideremos agora um triângulo eqüilátero de lado “a” 
 A altura de um triângulo eqüilátero em função de seu lado é dada 
 fórmula: 
2
3a
h = ( geometria elementar ) 
 Extraindo da figura acima apenas o triângulo que nos interessa: 
 Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente: 
 
 
 
 
 
 
 
Poderemos então, montar a tabela seguinte, que deverá ser memorizada: 
 
 
 
 
 
•
2
a
a
h
060
030
030
060
2
aa
2
3a
h = 2
31
2
32
3
60
2
11
2
230 00 =×===×==
a
a
a
a
sene
a
a
a
a
sen
==×== 00 60cos
2
31
2
32
3
30cos e
a
a
a
a
2
11
2
2
=×=
a
a
a
a
32
2
3
2
2
3
60
3
3
3
1
3
2
2
2
3
230 00 =×====×==
a
a
a
a
tge
a
a
a
a
tg
sen
cos
tg
045 060030
2
1
2
2
2
3
3
3 1 3
2
3
2
2
2
1
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Com o que foi visto até agora, podemos trabalhar apenas com ângulos agudos. Para 
ampliar o estudo é necessário um estudo de arcos e ângulos. 
ARCOS E ÂNGULOS 
ÂNGULO CENTRAL 
Consideremos um círculo de centro “O” e raio “R”. O ângulo formado por dois raios deste 
círculo é chamado ângulo central e tem a mesma medida do arco determinado por eles no 
círculo. Veja figura: 
 
 
 
 
 
Portanto, a partir de agora, não faremos mais distinção entre arco e ângulo pois 
estaremos sempre trabalhando com suas medidas. 
Assim, 
CICLO TRIGONOMÉTRICO 
Consideremos um círculo de raio unitário ( medida igual a 1 ) com centro na origem do 
plano cartesiano. Veja figura: 
 O ponto “A” é chamado origem, e quando um ponto se move 
sobre o círculo no sentido anti-horário, a partir de “A”, 
descreve um arco de medida positiva. Se o movimento for no 
sentido horário, sua medida será negativa. 
 Assim, ( ) 0>AMm e ( ) 0<ANm 
Os eixos dividem o círculo em quatro regiões distintas 
chamadas quadrantes, assim distribuídos: 
1º quadrante: entre 00 e 90 0 ( I ) 
2º quadrante: entre 900 e 180 0 ( II ) 
3º quadrante: entre 1800 e 270 0 ( III ) 
4º quadrante: entre 2700 e 360 0 ( IV ) 
O
R
M
A
R
α
( ) ( )αmAMm =
( ) αsenAMsen =
A
O
M
N
y
x
IVIII
II I
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ARCOS CÔNGRUOS 
Se um ponto se move no círculo e para em um ponto “M” no sentido anti-horário, a 
medida do arco AM é um número positivo ""α . Se outro ponto dá uma volta completa e 
pára no mesmo ponto “M” sua medida será a medida de AM acrescida de radpi2 . 
Assim, podemos imaginar vários arcos determinados por pontos que dão voltas completas 
e sempre param no ponto “M” e temos então uma expressão chamada expressão geral 
dos arcos côngruos de AM . 
Escrevemos: ZkkAM ∈×+= ,2piα ou ainda, ZkkAM ∈+= ,2 piα 
O valor de α é chamado menor determinação do arco AM . 
Os arcos descritos acima são chamados arcos côngruos. 
Exemplo: 
São arcos côngruos: 30 0, 390 0, 750 0, - 330 0, - 690 0, etc, que equivalem, em radianos, às 
medidas: 
6
23
,
6
11
,
6
25
,
6
13
,
6
pipipipipi
−− , etc. 
Para determinarmos a menor determinação positiva de um arco procedemos da seguinte 
forma: 
A ) O arco está medido em graus. 
Determine a menor determinação do arco de medida 1380 0 
3003
3601380
0
00
 Daí, 00 30036031380 +×= ( significa que o ponto deu três voltas 
completas e parou em 300 0 na quarta volta.) 
Portanto, a menor determinação do arco de 1380 0 é 300 0 
B ) O arco está medido em radianos. 
Exemplo 1: determine a menor determinação do arco de medida rad
3
26 pi
 
Pensamos no primeiro número abaixo de 26 que é múltiplo de 3. Este número é o 24 e a 
divisão de 24 por 3 é igual a 8, que é um número par. 
Daí, 
3
224
3
28
3
2
3
24
3
26 pi
pi
pi
pi
pipipi
+×=+=+=
 ( significa que o ponto deu quatro 
voltas completas e parou em 
3
2 pi
 na quinta volta.) 
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Portanto, a menor determinação do arco de rad
3
26 pi
 é rad
3
2 pi
 
Exemplo 2: determine a menor determinação do arco de medida rad
3
34 pi
 
Pensemos no primeiro número abaixo de 34 que é múltiplo de 3. Este número é o 33 e a 
divisão de 33 por 3 é igual a 11, que é um número ímpar. O primeiro abaixo de 33 que é 
múltiplo de 3 é o 30 e a divisão de 30 por 3 é 10 que é um número par 
Daí, 
3
425
3
410
3
4
3
30
3
34 pi
pi
pi
pi
pipipi
+×=+=+=
 ( significa que o ponto deu cinco 
voltas completas e parou em 
3
4 pi
 na quinta volta.) 
Portanto, a menor determinação do arco de rad
3
34 pi
 é rad
3
4 pi
 
EXERCÍCIOS 
01-) Num triângulo retângulo, os dois catetos medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm. 
Determine: 
A) A medida da hipotenusa Resp: 13 cm 
B) Os valores do seno, cosseno e tangente do ângulo de medida α oposto ao menor 
cateto. 
 Resp: 
 
 
02-) Transforme em radianos as medidas dadas em graus: 
A) 0300 Resp: 
3
5 pi
 
B) 0240 Resp: 
3
4 pi
 
C) 0150 Resp: 
6
5 pi
 
D) 0225 Resp: 
4
5 pi
 








=
=
=
12
5
13
12
cos
13
5
α
α
α
tg
sen
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02-) Transforme em graus as medidas dadas em radianos: 
A) 
4
7 pi
 Resp: 0315 
B) 
6
pi
 Resp: 030 
C) 
4
3 piResp: 0135 
D) 
3
2 pi
 Resp: 0120 
03-) Escreva e expressão geral dos arcos seguintes, dando a sua menor determinação: 
A) 0830 Resp: 


 ∈×+
0
00
110
;360110 Zkk
 
B) 04730 Resp: 


 ∈×+
0
00
50
;36050 Zkk
 
C) 
3
55 pi
 Resp: 





∈+
3
;2
3
pi
pi
pi Zkk
 
D) 
6
89 pi
 Resp: 





∈+
6
5
;2
6
5
pi
pi
pi Zkk
 
 
04-) Calcule o valor de cada uma das expressões seguintes: 
A) 0
00
2190seccos
18452550 tgsen +
 Resp: 
4
3
 
B) 
3
43
seccos
6
61
3
25
cot
6
109
cos
pipi
pipi
−
+
tg
g
 Resp: 
2
5
−