12 CURSO DE NIVELAMENTO EM MATEMATICA UNIDADE XII

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UNIVERSIDADE DE ITAÚNA 
Nivelamento em Matemática 
 
Prof. Tarcísio Valério Diniz 1
UNIDADE XII – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO SENO 
Consideremos o ciclo trigonométrico e neste ciclo, um ponto “M” que se desloca no 
sentido positivo ( anti-horário ), até parar em um determinado lugar. ( Veja figura ). Este 
ponto ( )yxM , determinará um arco AM e consequentemente, um ângulo central de 
medida α . 
 
 
 
 
 
 
Definimos função seno de como sendo a função que associa cada ao valor de 
y , ordenada do ponto “M”. Assim, ysen =α . Como o maior valor de y é 1 e o menor 
valor – 1, 11 ≤≤− αsen 
VARIAÇÃO DE SINAIS 
Veja nos ciclos trigonométricos das figuras, os sinais das ordenadas de um ponto “M” 
localizado em cada um dos quadrantes: 
 
 
 
Observe que os pontos localizados no primeiro e segundo quadrantes, têm ordenadas 
positivas enquanto que pontos localizados no terceiro e quarto quadrantes, têm 
ordenadas negativas. 
Assim, os senos dos arcos localizados no primeiro ou segundo quadrantes, são positivos 
enquanto os senos dos arcos localizados no terceiro ou quarto quadrantes, são negativos. 
Resumindo os sinais dos senos, temos: 
 
 
 
α
( )yxM ,
A
•
y
x
y
x
α R∈α
••
••
α
−
+ +
−
α α α
x x xx
y y y y
M
M
M
M
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VARIAÇÃO DE VALORES 
Para estudarmos a variação de valores da função seno, atribuiremos a α os valores 
correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a 
tabela de correspondência e o gráfico do seno ( senóide ) 
02
1
2
3
0
1
2
00
pi
pi
pi
pi
αα
−
sen
 
 
FUNÇÃO COSSENO 
Consideremos o ciclo trigonométrico e neste ciclo, um ponto “M” que se desloca no 
sentido positivo ( anti-horário ), até parar em um determinado lugar. ( Ver figura ). Este 
ponto ( )yxM , determinará um arco AM e consequentemente, um ângulo central de 
medida α . 
 
 
 
 
 
 
Definimos função cosseno de como sendo a função que associa cada ao valor 
de x , abscissa do ponto “M”. Assim, x=αcos Como o maior valor de x é 1 e o menor 
valor – 1, 1cos1 ≤≤− α 
VARIAÇÃO DE SINAIS 
Veja nos ciclos trigonométricos das figuras os sinais das abscissas de um ponto “M” 
localizado em cada um dos quadrantes: 
 
 
2
pi
1−
1
pi 2
3pi
pi2
0
2
pi
−
pi−2
3pi
−pi2−
α
αsen
α
( )yxM ,
A
•y
x
y
x
α R∈α
••
•
•
α α
α α
x x xx
y y y y
MM
MM
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Observe que os pontos localizados no primeiro e quarto quadrantes, têm abscissas 
positivas enquanto que pontos localizados no segundo e terceiro quadrantes, têm 
abscissas negativas. 
Assim, os cossenos dos arcos localizados no primeiro ou quarto quadrantes, são positivos 
enquanto os cossenos dos arcos localizados no segundo ou terceiro quadrantes, são 
negativos. 
Resumindo os sinais dos senos, temos: 
 
VARIAÇÃO DE VALORES 
Para estudarmos a variação de valores da função cosseno, atribuiremos a α os valores 
correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a 
tabela de correspondência e o gráfico do cosseno ( cossenóide ) 
12
0
2
3
1
0
2
10
cos
pi
pi
pi
pi
αα
−
 
 
FUNÇÃO TANGENTE 
Para o estudo da função tangente iremos acrescentar um eixo paralelo ao eixo das 
ordenadas, onde iremos medir os valores das tangentes de um arco. Veja a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
− +
+−
2
pi
1−
1
pi 2
3pi
pi2
0
2
pi
−
pi−2
3pi
−
pi2−
α
αcos
α A
T
M
y
x
ATtg =α
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VARIAÇÃO DE SINAIS 
Veja nos ciclos trigonométricos das figuras, os sinais das tangentes de um arco localizado 
em cada um dos quadrantes: 
 
 
 
 
Observe que os arcos localizados no primeiro e terceiro quadrantes, têm tangentes 
positivas, enquanto que arcos localizados no segundo e quarto quadrantes, têm tangentes 
negativas. 
Resumindo os sinais das tangentes, temos: 
 
VARIAÇÃO DE VALORES 
Para estudarmos a variação de valores da função tangente, atribuiremos a α os valores 
correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a 
tabela de correspondência e o gráfico da tangente. 
02
2
3
0
2
00
pi
pi
pi
pi
αα
∞+
∞+
tg
 
 
 
Observe que arcos próximos de e têm tangentes muito grandes ( )∞+ ou 
senão, muito pequenas ( )∞− e nesses pontos, teremos assíntotas no gráfico. 
 
 
 
••
•
•
α α α α
x x x
x
y y y y
−
+
+
−
2
pi
pi
2
3pi
pi2−
0
2
pi
−pi−2
3pi
−
α
αtg
2
pi
2
3pi
∞−
∞−
pi2
M
M
M
M
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FUNÇÃO COTANGENTE 
Para o estudo da função cotangente iremos acrescentar um eixo paralelo ao eixo das 
abscissas, onde iremos medir os valores das cotangentes de um arco. Veja a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
VARIAÇÃO DE SINAIS 
Veja nos ciclos trigonométricos das figuras, os sinais das cotangentes de um arco 
localizado em cada um dos quadrante 
 
 
 
Observe que os arcos localizados no primeiro e terceiro quadrantes, têm cotangentes 
positivas enquanto que arcos localizados no segundo e quarto quadrantes, têm 
cotangentes negativas. 
Resumindo os sinais das cotangentes, temos: 
 
VARIAÇÃO DE VALORES 
Para estudarmos a variação de valores da função cotangente, atribuiremos a α os valores 
correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a 
tabela de correspondência e o gráfico da cotangente. 
 
 
 
 
α
A
T
M
y
x
BTg =αcot
−
+
+
−
B
•
α
x
y
•
α
x
y
•
α
x
y
•
α
x
y
M
M
M
M
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∞−
∞−
∞+
pi
pi
pi
pi
αα
2
0
2
3
0
2
0
tgco
 
 
 
Observe que arcos próximos de e têm cotangentes muito grandes ( )∞+ ou 
senão, muito pequenas ( )∞− e nesses pontos, teremos assíntotas no gráfico. ( O eixo 
das ordenadas já é uma assíntota. 
FUNÇÃO SECANTE 
Consideremos o ciclo trigonométrico e neste ciclo, um ponto “M” que se desloca no 
sentido positivo ( anti-horário ), até parar em um determinado lugar. ( Ver figura ). Este 
ponto ( )yxM , determinará um arco AM e consequentemente, um ângulo central de 
medida . 
 
 
 
 
 
 
 
VARIAÇÃO DE SINAIS 
Veja nos ciclos trigonométricos das figuras, os sinais das secantes de um arco localizado 
em cada um dos quadrantes:2
pi
pi
2
3pi
pi2−
0
2
pi
−
pi−2
3pi
−
α
αgcot
0 pi
∞+
pi2
••
•
•
α α α α
x x x
x
y y y y
α
A
T
M
y
x
OT=αsec
O
α
M
M
M
M
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Observe que os arcos localizados no primeiro e quarto quadrantes, têm secantes 
positivas enquanto que arcos localizados no segundo e terceiro quadrantes, têm secantes 
negativas. 
Resumindo os sinais das secantes, temos: 
 
VARIAÇÃO DE VALORES 
Para estudarmos a variação de valores da função secante, atribuiremos a α os valores 
correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a 
tabela de correspondência e o gráfico da secante. 
12
2
3
1
2
10
sec
pi
pi
pi
pi
αα
∞−
−
∞+
 
 
 
Observe que arcos próximos de e têm secantes muito grandes ( )∞+ ou 
senão, muito pequenas ( )∞− e nesses pontos, teremos assíntotas no gráfico. 
FUNÇÃO COSSECANTE 
Consideremos o ciclo trigonométrico e neste ciclo, um ponto “M” que se desloca no 
sentido positivo ( anti-horário ), até parar em um determinado lugar. ( Ver figura ). Este 
ponto ( )yxM , determinará um arco AM e consequentemente, um ângulo central de 
medida . 
 
 
 
 
 
 
−
+
+
−
2
pi
pi 2
3pi
pi2− 0
2
pi
−pi−2
3pi
−
α
αsec
2
pi
2
3pi
∞−
∞+ pi2
α
A
T
M
y
x
OT=αseccos
O
α
1
1−
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VARIAÇÃO DE SINAIS 
Veja nos ciclos trigonométricos das figuras, os sinais das cossecantes de um arco 
localizado em cada um dos quadrantes: 
 
 
 
Observe que os arcos localizados no primeiro e segundo quadrantes, têm cossecantes 
positivas enquanto que arcos localizados no terceiro e quarto quadrantes, têm 
cossecantes negativas. 
Resumindo os sinais das cossecantes, temos: 
 
VARIAÇÃO DE VALORES 
Para estudarmos a variação de valores da função cossecante, atribuiremos a α os valores 
correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a 
tabela de correspondência e o gráfico da secante. 
∞−
−
∞+
∞+
pi
pi
pi
pi
αα
2
1
2
3
1
2
0
seccos
 
 
 
Observe que arcos próximos de e têm cossecantes muito grandes ( )∞+ ou 
senão, muito pequenas ( )∞− e nesses pontos, teremos assíntotas no gráfico.O eixo 
das ordenadas já é uma assíntota. 
 
 
••
•
•
α α α α
x x x
x
y y y y
−
+ +
−
2
pi
pi 2
3pi
pi2−
0
2
pi
−pi−
2
3pi
−
α
αseccos
0
2
pi
∞− pi2
1−
1
MM
M
M
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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
 
a
c
a
b
sen
=
=
α
α
cos
Elevando ao quadrado e somando as igualdades: 
 2
22
22
2
2
2
2
2
2
cos
cos
a
cb
sen
a
c
a
b
sen
+
=+⇒






=
=
αα
α
α
 
 Pelo teorema de Pitágoras 222 cba += . Substituindo na 
igualdade acima, 1coscos 222
2
22
=+⇒=+ αααα sen
a
a
sen 
c
b
tg =α . Dividindo o numerador e o denominador desta fração por “a” : 
a
c
a
b
tg =α Como 
a
c
a
b
sen
=
=
α
α
cos
α
α
α
cos
sen
tg =⇒
 
b
cg =αcot . Dividindo o numerador e o denominador desta fração por “a” : 
 
 Como 
 
c
a
=αsec . Dividindo o numerador e o denominador desta fração por “a” : 
a
c
a
a
=αsec Como 
α
α
cos
1
sec =⇒
 
b
a
=αseccos . Dividindo o numerador e o denominador desta fração por “a” : 
α
c
b
a
a
b
a
c
g =αcot
a
c
a
b
sen
=
=
α
α
cos
αα
α
α
tgsen
g 1coscot ==⇒
a
c
=αcos
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a
b
a
a
=αseccos Como 
Tomemos agora a primeira identidade demonstrada : 1cos 22 =+ ααsen 
Dividindo esta igualdade por α2cos , teremos: 
αα
α
α
α
22
2
2
2
cos
1
cos
cos
cos
=+
sen
. Daí, 
 αα 22 sec1 =+tg 
Dividindo a mesma igualdade por α2sen , teremos: 
αα
α
α
α
22
2
2
2 1cos
sensensen
sen
=+ . Daí, 
 αα 22 seccos1cot =+g 
Vamos agora montar uma tabela com as identidades fundamentais: 
 
 
α
α
α
α
αα
α
α
αα
α
α
α
αααα
sen
tgsen
g
g
sen
tg
tgsen
1
seccos
cos
1
sec
1cos
cot
seccos1cot
cos
sec11cos
22
2222
=
=
==
=+=
=+=+
 
 
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE 
Quando temos um arco localizado no segundo, terceiro ou quarto quadrantes, é possível 
determinar um arco localizado no primeiro quadrante de tal forma que suas funções 
trigonométricas sejam iguais ( em valor absoluto ) às dos arcos localizados em outros 
quadrantes. Para isto, usamos as fórmulas de redução ao primeiro quadrante que 
passaremos a determinar 
 
 
a
b
sen =α
α
α
sen
1
seccos =⇒
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A) O ARCO ESTÁ LOCALIZADO NO SEGUNDO QUADRANTE 
 Observando a figura, vemos que 
 Daí, que é a fórmula que nos permite 
 determinar o arco do primeiro quadrante que é 
 equivalente ao do segundo 
Veja o exemplo: 
Calcule o valor de 0150cos 
Como vemos, 0150 é um arco compreendido entre 090 e 0180 sendo portanto, um arco 
do segundo quadrante. 
Teremos: 0000 30150180180 =−=⇒−= αβα 
Como o cosseno de um arco do segundo quadrante é negativo, 
2
3
30cos150cos 00 −=−= . Então, 
2
3
150cos 0 −= 
Quando o arco é medido em radianos, a fórmula de redução é 
Exemplo: 
Calcule 
3
2pi
tg 
3
2pi
 é um arco cuja medida está compreendida entre 
2
pi
 e pi e é portanto, um arco do 
segundo quadrante. 
Teremos: : 
33
2 pipi
piαβpiα =−=⇒−=
 
Como a tangente de um arco do segundo quadrante é negativa, 3
33
2
−=−=
pipi
tgtg 
. Então, 3
3
2
−=
pi
tg
 
 
 
 
M
A
O
N
α
β
0180=+ βα
βα −= 0180
βpiα −=
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B) O ARCO ESTÁ LOCALIZADO NO TERCEIRO QUADRANTE 
 
 Observando a figura, vemos que 
 Daí, que é a fórmulaque nos permite 
 determinar o arco do primeiro quadrante que é 
 equivalente ao do terceiro 
 
Veja o exemplo: 
Calcule o valor de 0225sen 
Como vemos, 0225 é um arco compreendido entre 0180 e 0270 sendo portanto, um 
arco do terceiro quadrante. 
Teremos: 0000 45180225180 =−=⇒−= αβα 
Como o seno de um arco do terceiro quadrante é negativo, 
2
2
45225 00 −=−= sensen . 
Então, 
 
Quando o arco é medido em radianos, a fórmula de redução é piβα −= 
Exemplo: 
Calcule 
3
4
cos
pi
 
3
4pi
 é um arco cuja medida está compreendida entre pi e 
2
3 pi
 e é portanto, um arco do 
terceiro quadrante. 
Teremos: : 
33
4 pi
pi
pi
αpiβα =−=⇒−= 
Como o cosseno de um arco do terceiro quadrante é negativo, 
2
1
3
cos
3
4
cos −=−=
pipi
 . 
Então, 
2
1
3
4
cos −=
pi
 
M
A
O
N
α
β
0180=− αβ
0180−= βα
2
20225 −=sen
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C) O ARCO ESTÁ LOCALIZADO NO QUARTO QUADRANTE 
 
 Observando a figura, vemos que 
 Daí, que é a fórmula que nos permite 
 determinar o arco do primeiro quadrante que é 
 equivalente ao do quarto. 
 
Veja o exemplo: 
Calcule o valor de 0330cos 
Como vemos, 0330 é um arco compreendido entre 0270 e 0360 sendo portanto, um 
arco do quarto quadrante. 
Teremos: 0000 30330360360 =−=⇒−= αβα 
Como o cosseno de um arco do quarto quadrante é positivo, 
2
3
30cos330cos 00 == . 
Então, 
2
3
330cos 0 = 
Quando o arco é medido em radianos, a fórmula de redução é βpiα −= 2 
Calcule 
3
5pi
tg
 
3
5pi
 é um arco cuja medida está compreendida entre 
2
3 pi
 e pi2 e é portanto, um arco 
do quarto quadrante. 
Teremos: : 
33
522 pipipiαβpiα =−=⇒−= 
Como a tangente de um arco do quarto quadrante é negativa, 3
33
5
−=−=
pipi
tgtg . 
Então, 3
3
5
−=
pi
tg
 
M
A
N
α
β βα −= 0360
0360=+ βα
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EXERCÍCIOS 
01-) Calcule os valores das expressões: 
3
32
:Re
3
29
seccos) −spA pi 
1:Re
4
35
cot) −spgB pi
 
2:Re
3
41
sec) spC pi
 
2
1
:Re
6
55) −spsenD pi
 
02-) Sendo 
3
2
=xsen e x um arco do segundo quadrante, calcule xgcot 
 
2
5
:Re −sp 
03-) Sendo 3=xtg e x um arco do terceiro quadrante, calcule xsen 
 
10
103
:Re −sp 
04-) Determine Rm ∈ tal que 
2
1−
=
m
xtg e 8cot =xg 
4
5
:Re =msp 
05-) Dado 
5
4
cos =x
 e 
2
0 pi<< x , calcule o valor de 





−
−
=
xg
xx
y
cot1
seccossec
.12
 
 15:Re =ysp 
06-) Sabendo que 
4
5
seccos =x
 e x um arco do primeiro quadrante, calcule o valor da 
expressão xtgxsen 22 925 − 0:Re sp 
07-) Determine o valor da expressão 
xxxg
xsen
x
tgx
y
8secseccos.cot
2
2
24cos
+
−





+
= para 
2
pi
=x
 
 3:Re =ysp