Problema PO Gráfico AV1

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Solucionando um problema por P.O.
Uma padaria deseja estabelecer uma programação diária de produção para seus produtos mais vendáveis, o pão francês e o pão italiano. Para efeito de simplificação, considere que a padaria tem limitações em somente dois recursos: farinha de trigo e uso do forno, cujas disponibilidades diárias são mostradas no quadro abaixo:
O processo de produção é tal que, para fazer um pão francês, a padaria gasta 100 gramas de farinha de trigo e 1h de forno. Para fazer um pão italiano, a fábrica gasta 200 gramas de farinha de trigo e 2h de forno. 
O pão francês retorna um lucro de R$ 3,00 por quilo, e o pão italiano, de R$ 5,00. 
O problema da padaria é encontrar o programa de produção que maximize a margem de lucro. 
Recurso
Disponibilidade
Farinha de Trigo
100 kg
Forno
16hs
*Variáveis Controladas
*Variáveis não controladas
*Restrições
*Função objetivo
*Variáveis Controladas
Pão Francês: X1
Pão Italiano: X2
*Variáveis não controladas
Nenhuma
*Restrições
Uso da Farinha de Trigo <= Disponibilidade diária
Uso do Forno <= Disponibilidade diária
*Função objetivo
Margem de Lucro Total: Z = 3X1 + 5X2
Queremos maximizar o lucro. A equação de lucro refere-se a R$ 3,00 do pão francês e R$ 5,00 do pão italiano.
Modelo Matemático
*Variáveis Controladas *Variáveis não controladas
Pão Francês: X1 Nenhuma
Pão Italiano: X2
*Restrições
Uso da Farinha de Trigo <= Disponibilidade diária
0,1X1 + 0,2X2 <= 100
Uso do Forno <= Disponibilidade diária
1X1 + 2X2 <= 16
*Função objetivo
Minimizar o Custo Total: Z = 3X1 + 5X2
Queremos maximizar o lucro. A equação de lucro refere-se a R$ 3,00 do pão francês e R$ 5,00 do pão italiano.
Restrições no gráfico:
0,1X1 + 0,2X2 <= 100
0,2X2 = 100 - 0,1X1
X2 = (100 - 0,1X1)/0,2
MAXIMIZAR Z = 3X1 + 5X2
Considerando:
0,1X1 + 0,2X2 <= 100
1X1 + 2X2 <= 16
X1, X2 >= 01
x1
x2
0
500
100
450
500
250
1000
0
Eixos X1 e X2
Eixos X1 e X2
X2 = (100 - 0,1X1)/0,2
x1
x2
0
500
100
450
500
250
1000
0
Eixos X1 e X2
X2 = (100 - 0,1X1)/0,2
x1
x2
0
500
100
450
500
250
1000
0
1X1 + 2X2 = 16
X1 = 16 - 2X2 
x2
x1
0
16
2
12
4
8
8
0
Eixos X1 e X2
X2 = (100 - 0,1X1)/0,2
x1
x2
0
500
100
450
500
250
1000
0
1X1 + 2X2 = 16
X1 = 16 - 2X2 
x2
x1
0
16
2
12
4
8
8
0
Embora tenhamos um problema de escala, já é perceptível que as retas das restrições irão se cruzar na área negativa do gráfico!
X2 = (100 - 0,1X1)/0,2
x1
x2
0
500
100
450
500
250
1000
0
X1 = 16 - 2X2 
x2
x1
0
16
8
0
-42
100
500
-984
Ampliando a escala, fica claro que as retas de restrições são paralelas, porque a razão entre os coeficientes de X1 e 2X2 é a mesma.
Z = 3X1 + 5X2
 
(3,5)
Novamente, temos problema de escala com a gradiente. Mas a gradiente passa pelos pontos (300,500) e (-300,-500).
Novamente, temos problema de escala com a gradiente. Mas a gradiente passa pelos pontos (300,500) e (-300,-500).
A gradiente cruza X2 num ponto cuja produção não atende as restrições (X1 próximo a 200 e X2 próximo a 400).
Mas cruza X1 num ponto que merece ser estudado, pois seus valores são baixos.
X1 = 4 e X2 = 6 é o ponto de valores inteiros próximo à gradiente mais interessante para a solução do problema. Precisamos testar as restrições:
0,1X1 + 0,2X2 <= 100 0,4 + 1,2 <= 100 TRUE
1X1 + 2X2 <= 16 4 + 12 <= 16 TRUE
Desta forma, apenas GRAFICAMENTE, foi possível encontrar o ponto que maximiza o lucro e atende as restrições, qual seja, 4 pães franceses e 6 pães italianos.