VETORES FORÇAS MECANICA

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Mecânica Geral 
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Unidade: Vetores e Forças 
 
 
 
Vetores e Forças 
 MATERIAL TEÓRICO 
 
 
 
 
Responsável pelo Conteúdo: 
Prof. Dr. Victo dos Santos Filho 
 
Revisão Textual: 
Profa. Ms. Alessandra Cavalcante 
Mecaˆnica Geral
Unidade II: Vetores e Forc¸as
1 Introduc¸a˜o
Como visto na Unidade I, a Mecaˆnica estuda o estado de repouso e movi-
mento de um corpo.
No estudo do estado de equil´ıbrio ou movimento de um ou mais corpos,
necessitamos definir suas posic¸o˜es. Para tal, devemos adotar o que se chama
na Matema´tica ou na F´ısica um referencial ou sistema de coordenadas
de refereˆncia, em relac¸a˜o ao qual cada ponto correspondente a` posic¸a˜o do
corpo sera´ determinado, formando enta˜o sua trajeto´ria.
Um exemplo cla´ssico desse conceito e´ o chamado sistema cartesiano de
coordenadas, que passamos a descrever por ser o mais simples e o mais usado
em Engenharia.
Um referencial e´ um corpo em relac¸a˜o ao qual se considera a localizac¸a˜o
ou o estado de movimento dos objetos em estudo. Pode-se adotar qualquer
corpo como referencial, como part´ıculas ou corpos extensos (placas, postes,
etc.); entretanto, para que na˜o haja ambiguidades e sim uma maior precisa˜o
no processo de medida ou localizac¸a˜o dos corpos em estudo, adota-se o que
se chama de sistema de refereˆncia.
Um sistema de coordenadas de refereˆncia e´ um sistema ou conjunto
formado por um ponto como referencial (chamado origem) e retas ou eixos
de coordenadas que nos permitem localizar os corpos em estudo.
Em uma dimensa˜o (1D), temos como coordenada apenas a abscissa x,
como indicado na figura 1. Nesta figura, u representa a unidade de medida
de comprimento em que se mede a posic¸a˜o ou localizac¸a˜o do corpo.
Em duas dimenso˜es (2D), temos a abscissa x e a ordenada y como coor-
denadas. Assim, um mo´vel se localiza no ponto P(x,y), como vemos na figura
2 a seguir.
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x
O +−
u
u : unidade de medida
Figura 1: Esquema de um sistema de refereˆncia 1D
P (x, y)
x
O +−
u
y
+
−
Figura 2: Esquema de um sistema de refereˆncia 2D.
Ja´ em treˆs dimenso˜es (3D), para localizar o mo´vel, devemos atribuir-lhe
treˆs coordenadas, de modo que o ponto fica determinado com o terno orde-
nado (x,y,z). Assim, por exemplo, um corpo que saiu da origem e atingiu 3m
em Ox, 2m em Oy e -1m em Oz, tera´ como localizac¸a˜o P(3,2,-1).
Definimos trajeto´ria o conjunto dos pontos ocupados por um corpo ou
o caminho por ele percorrido. Para estabelecermos em que posic¸a˜o ele se
encontra na trajeto´ria e se ele esta´ em repouso ou em movimento, devemos
associar um sistema de coordenadas de refereˆncia ou um referencial ao espac¸o,
de modo a poder definir quantitativamente em que ponto ele se encontra em
relac¸a˜o a` origem adotada.
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2 Grandezas Escalares e Vetoriais
Ha´, na F´ısica, dois tipos de grandezas f´ısicas: grandezas que se carac-
terizam apenas por sua magnitude e outras que se caracterizam por sua
magnitude, sua direc¸a˜o e seu sentido.
Chamamos grandezas escalares ou simplesmente escalares aquelas
que sa˜o determinadas apenas por suas intensidades. Por exemplo, se disser-
mos que um corpo possui massa de 80 kg, enta˜o essa propriedade f´ısica esta´
completamente determinada, possuindo uma medida em uma dada unidade
f´ısica.
Como exemplo de grandezas escalares, podemos citar:
1. A massa de um corpo;
2. A temperatura de um corpo;
3. O tempo;
4. O trabalho para mover um corpo;
5. A energia cine´tica de um corpo em movimento;
6. A energia potencial de um corpo a uma dada altura do solo.
Obviamente, quando dizemos grandezas escalares, estamos nos referindo
a grandezas f´ısicas do tipo escalar, de modo que devemos sempre representa´-
las por um nu´mero e uma unidade, com excec¸a˜o de grandezas que caracteri-
zam ou medem quantidades enumera´veis ou adimensionais, que na˜o possuem
unidades f´ısicas, como o nu´mero de esferas em uma caixa, o nu´mero de mols
de uma substaˆncia ou a raza˜o de duas grandezas de mesma natureza.
Chamamos grandezas vetoriais ou vetores as grandezas que sa˜o de-
terminadas somente se forem dadas treˆs caracter´ısticas fundamentais:
• Magnitude, intensidade ou mo´dulo;
• Direc¸a˜o (aˆngulo da reta suporte do vetor em relac¸a˜o ao sistema de
refereˆncia adotado);
• Sentido.
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Por exemplo, se voceˆ viaja com velocidade de 30 km/h entre o Rio de
Janeiro e Sa˜o Paulo, sua grandeza f´ısica velocidade na˜o esta´ completamente
determinada, a na˜o ser que voceˆ especifique a direc¸a˜o (a estrada em que
trafega, como a Via Dutra ou a Carvalho Pinto) e o sentido (indo ou vindo
para Sa˜o Paulo).
A notac¸a˜o para um vetor e´ dada pela medida da grandeza em negrito ou
com uma seta, podendo tambe´m se colocar uma seta sobre o segmento da
reta suporte que fornece a direc¸a˜o do vetor, como mostrado na figura 3 e
expresso matematicamente como:
a = ~a =
−→
AB . (1)
A notac¸a˜o para o mo´dulo de um vetor e´ dada por:
a = |~a|. (2)
Definimos um versor como um vetor com magnitude unita´ria, que deno-
tamos por uˆ. Dado um vetor, podemos obter seu vetor unita´rio ou versor
correspondente, dividindo-o por seu mo´dulo, ou seja:
uˆ =
~u
|~u| . (3)
Figura 3: Representac¸a˜o gra´fica de grandezas vetoriais ou vetores.
Podemos citar, como exemplos de grandezas vetoriais:
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1. A acelerac¸a˜o da gravidade, cujo mo´dulo e´ aproximadamente igual a
g=9,81 m/s2, direc¸a˜o radial e sentido para o centro da Terra;
2. Um carro viajando ao longo de uma estrada, no sentido da quilome-
tragem crescente;
3. A forc¸a do motor de um automo´vel, fazendo um aˆngulo de 0o com a
horizontal e no sentido contra´rio ao do movimento do corpo, visando
reduzir sua velocidade;
4. Um mı´ssil disparado da superf´ıcie da Terra, apresentando uma veloci-
dade com duas componentes: uma ao longo de Ox (horizontal a` su-
perf´ıcie da Terra) e outra ao longo de Oy (vertical a` superf´ıcie da Terra),
com sentido de crescimento para a direita e para cima, respectivamente;
5. A forc¸a de resisteˆncia exercida sobre no´s pelo solo, que e´ perpendicular
ao solo e tem sentido para cima, contra´rio ao da forc¸a peso.
3 Forc¸as
3.1 Introduc¸a˜o
Forc¸as sa˜o grandezas f´ısicas que caracterizam a interac¸a˜o entre dois corpos
e que podem provocar dois tipos de efeitos f´ısicos:
• Deformac¸a˜o: Representa o efeito esta´tico da forc¸a. O corpo sofre
uma modificac¸a˜o em sua forma, sob a ac¸a˜o da mesma.
• Acelerac¸a˜o: Representa o efeito dinaˆmico da forc¸a. Neste caso, o
corpo altera a sua velocidade vetorial, isto e´, varia pelo menos umas
das caracter´ısticas da velocidade (direc¸a˜o, sentido e mo´dulo), quando
sujeito a` ac¸a˜o da forc¸a.
No estudo da mecaˆnica, um dos questionamentos mais antigos do Homem
era como se relacionam forc¸as e movimento.
No se´culo IV a.C., o famoso filo´sofo da Gre´cia Antiga Aristo´teles forneceu
uma resposta que perdurou por muitos se´culos.Basicamente, ele afirmava
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que e´ imposs´ıvel para um corpo se deslocar na auseˆncia de forc¸as.
A` primeira vista, essa ideia parece resumir de forma simples um fato bem
trivial e o´bvio. Como exemplo, podemos puxar uma mesa: enquanto voceˆ a
puxa, ela anda; ao voceˆ parar de puxa´-la, ela para.
Entretanto, se nos deixarmos levar por ana´lises simples desse tipo sem
considerar o problema de forma completa, chegaremos erroneamente a` con-
clusa˜o de que Aristo´teles estaria certo em sua afirmac¸a˜o, o que na˜o e´ ver-
dadeiro, pois ela e´ apenas parcialmente correta. Mesmo assim, sabemos que
esse racioc´ınio foi aceito por aproximadamente 2000 anos.
De fato, apenas no fim do se´culo XVI, com Galileu Galilei, e no se´culo
XVII, com Isaac Newton, e´ que foram constestados e derrubados os postula-
dos aristote´licos do movimento.
Entretanto, o conceito intuitivo de forc¸a e´ praticamente o mesmo que
permanece ate´ os dias de hoje. Com o conceito de forc¸a, pode-se analisar se
um dado corpo extenso se encontra ou na˜o em repouso.
3.2 Unidades de Forc¸a
Como o conceito de forc¸a e´ o de uma grandeza f´ısica, devemos associar a
esta um nu´mero e uma unidade f´ısica.
No conhecido Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de forc¸a
e´ o Newton, definida como:
”Um Newton e´ a intensidade da forc¸a que, aplicada a um corpo de massa
1 kg, transmite ao mesmo uma acelerac¸a˜o de 1 m/s2.”
Em outras palavras:
1 N = 1
kg.m
s2
. (4)
Outro sistema importante e´ o sistema CGS.
Neste, a unidade de forc¸a e´ a dyna (dyn or d). A relac¸a˜o de conversa˜o
entre essas unidades e´:
1 N = 105 d . (5)
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No sistema americano, a unidade de forc¸a e´ a libra ou libra-forc¸a, definida
por:
1 lb = 1
slug.pe´
s2
. (6)
3.3 Exemplos de Forc¸as Mecaˆnicas da Natureza
Na Natureza, ha´ alguns tipos de interac¸a˜o que regem o movimento dos
corpos, principalmente de natureza mecaˆnica. Dentre elas, destacam-se a
forc¸a da gravidade ou peso, a forc¸a de trac¸a˜o, o atrito e forc¸as normais de
reac¸a˜o. Na Engenharia, esta u´ltima e´ muito importante, originando inclusive
um tipo espec´ıfico da Engenharia, que e´ o de forc¸as de articulac¸a˜o em estru-
turas ou ma´quinas (vide figura 4). Vejamos uma definic¸a˜o resumida destas
principais forc¸as mecaˆnicas que sa˜o importantes na Engenharia.
1. Peso de um corpo: Denominamos forc¸a peso ou forc¸a gravitacional
a` forc¸a com que a Terra atrai corpos em suas vizinhanc¸as devido a`
interac¸a˜o entre suas massas. Qualquer corpo pro´ximo a` superf´ıcie da
Terra e´ atra´ıdo por ela por meio de uma forc¸a, chamada forc¸a gravi-
tacional ou peso e, portanto, adquire uma acelerac¸a˜o, denominada
acelerac¸a˜o da gravidade g. O valor de g independe da massa do corpo
considerado e tem mo´dulo de aproximadamente g = 10 m/s2. A forc¸a
com que o corpo e´ atra´ıdo pela Terra tem como mo´dulo:
P = m.g . (7)
2. Forc¸a de reac¸a˜o normal: E´ a forc¸a de contato entre um corpo e a
superf´ıcie na qual o corpo se apoia. A forc¸a normal tem direc¸a˜o sempre
normal ou perpendicular a` superf´ıcie de apoio e sentido oposto ao da
forc¸a de ac¸a˜o.
Assim, por exemplo, se estamos parados sobre um terreno, a forc¸a de
ac¸a˜o sobre o solo e´ a forc¸a peso de nosso corpo, enquanto que a normal
e´ uma forc¸a de mesmo mo´dulo e direc¸a˜o que a forc¸a peso, mas com
sentido oposto ao da mesma.
3. Reac¸a˜o em articulac¸o˜es mecaˆnicas: Articulac¸o˜es como pinos em
estruturas, ma´quinas e trelic¸as apresentam forc¸as de reac¸a˜o que na˜o
possuem uma direc¸a˜o bem definida, dependendo das forc¸as ou cargas
de ac¸a˜o qua atuam no sistema em considerac¸a˜o.
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Por exemplo, uma barra presa por um pino e com uma inclinac¸a˜o em
relac¸a˜o ao solo apresenta uma forc¸a de reac¸a˜o inclinada que na˜o possui
necessariamente a direc¸a˜o do comprimento da barra. Ja´ no caso de
uma barra horizontal, apoiada em dois suportes em suas extremidades,
verifica-se que surgem forc¸as de reac¸a˜o verticais, apontando para cima,
como reac¸a˜o ao peso da barra e de outras forc¸as ou cargas colocadas
sobre ela.
4. Forc¸a de trac¸a˜o ou tensa˜o: E´ a forc¸a de contato que surge em corpos
conectados por fios (cordas, fios ou cabos). No caso de fios ideais, ou
seja, fios que possuem massa desprez´ıvel e sa˜o inextens´ıveis, a forc¸a de
trac¸a˜o tem sempre a mesma direc¸a˜o do fio e atua no sentido em que se
traciona o fio. Para o fio ideal, essa forc¸a de trac¸a˜o tera´ o mesmo valor
em todos os pontos do fio.
5. Forc¸a de atrito: Dado um corpo inicialmente em repouso sobre um
plano, se aplicamos sobre ele uma forc¸a F, verificamos que, para um
infinito conjunto de valores dessa forc¸a, esse corpo na˜o se movera´.
Conclui-se que sobre o dado corpo estara´ agindo outra forc¸a, de mesmo
mo´dulo e em sentido oposto a F, que denominamos forc¸a de atrito (Fat).
Apo´s aumentarmos seu valor ale´m de um dado limite, sabe-se que o
corpo passa a se deslocar no sentido da forc¸a F. Assim, conclui-se que
a intensidade da forc¸a de atrito pode aumentar a` medida que aumen-
tamos a intensidade da forc¸a de ac¸a˜o F e esse fenoˆmeno perdura ate´
que a forc¸a de atrito atinja um determinado valor ma´ximo, a partir do
qual ha´ a tendeˆncia do corpo sair do repouso.
Empiricamente, verifica-se que ha´ significativa diferenc¸a na magnitude
da forc¸a de atrito quando se tenta mover um corpo parado ou um
em movimento. Assim, temos dois poss´ıveis coeficientes de atrito: o
esta´tico e o dinaˆmico, que definem a magnitude da forc¸a de atrito.
Matematicamente, o atrito esta´tico e´ definido como:
Fat = µeN, (8)
em que a constante de proporcionalidade µe e´ chamada de coeficiente de
atrito esta´tico. No caso do atrito de corpos em movimento, a u´nica mu-
danc¸a e´ a constante de proporcionalidade, que passa a ser denominada
coeficiente de atrito cine´tico, com valor menor que o do coeficiente de
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atrito do caso esta´tico.
Figura 4: Exemplos de forc¸as mecaˆnicas da Natureza, que sa˜o comuns na En-
genharia. A` esquerda, no desenho superior, uma forc¸a de reac¸a˜o em articulac¸a˜o;
abaixo, a forc¸a normal N e a forc¸a de atrito Fat que surgem em um corpo devido
a` forc¸a de ac¸a˜o F; a` direita, a forc¸a de trac¸a˜o T no fio que prende o corpo, que
possui forc¸a peso P.
Exemplo resolvido 1:
Calcule o peso de um corpo que possui massa 70 kg em libras.
Do exposto ate´ aqui, sabemos que a forc¸a peso e´ definida como:
P = m.g . (9)
Logo, no sistema SI, temos:
P = 70× 9, 81 , (10)
logo, temos: P = 686,7 N
No sistema americano, a massa em slugs vale:
m = 70kg × 1 slug
14, 594kg
, (11)
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de modo que m = 4,796 slug.
A acelerac¸a˜o g no novo sistema vale:
g = 9, 81.
(
1
0, 3048
)
pe´/s2 = 32, 19 pe´/s2. (12)
Assim, a forc¸a e´ dada por:
P = m.g = 4, 796× 32, 19 , (13)
ou seja, obtemos:
P = 154,4 lb.
4 Representac¸a˜o anal´ıtica de vetores
Para caracterizar um vetor, necessitamos quantificar seu mo´dulo em uma
dada unidade, bemcomo determinar sua direc¸a˜o e sentido. Em um determi-
nado sistema de refereˆncia, a direc¸a˜o e o sentido sa˜o dados pelo aˆngulo que
o vetor forma com o eixo Ox. Por convenc¸a˜o, tal aˆngulo deve ser dado em
relac¸a˜o ao primeiro quadrante, adotando-se o sentido anti-hora´rio.
Para representar analiticamente um vetor, devemos indicar a magnitude
de suas projec¸o˜es ao longo dos eixos do sistema de refereˆncia adotado.
No caso 2D, temos as componentes ax e ay, que podem ser determinadas
com o aux´ılio da trigonometria. Observando a figura 5, conclui-se que as
projec¸o˜es ax e ay tem mo´dulos dados por:
ax = a cos θ (14)
e
ay = a sin θ. (15)
Assim, decompondo os vetores em suas projec¸o˜es sobre os eixos do sis-
tema de refereˆncia, podemos escreveˆ-lo em sua forma anal´ıtica, por meio dos
versores do sistema de refereˆncia adotado.
No sistema cartesiano de coordenadas, temos como convenc¸a˜o os seguintes
versores, correspondentes a cada um dos eixos de coordenadas Ox, Oy e Oz,
respectivamente:
iˆ = (1, 0, 0); (16)
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Figura 5: Esquema das projec¸o˜es de um vetor em um sistema cartesiano
retangular de coordenadas.
jˆ = (0, 1, 0); (17)
kˆ = (0, 0, 1), (18)
em que adotamos notac¸a˜o de terno ordenado das componentes dos versores.
Assim, qualquer vetor dado nesse sistema pode ser expresso analitica-
mente por:
~a = axiˆ+ ay jˆ + azkˆ. (19)
Em duas dimenso˜es, muito usadas na Engenharia, temos a representac¸a˜o:
~a = axiˆ+ ay jˆ. (20)
Uma outra forma de se representar os vetores e´ por meio de N-uplas
ordenadas. Na forma de pares ou ternos ordenados, podemos escrever, res-
pectivamente:
~a = (ax, ay) (21)
e
~a = (ax, ay, az). (22)
No caso 2D, o mo´dulo |~a| e´ obtido aplicando-se ao triaˆngulo retaˆngulo
formado pelo vetor e suas projec¸o˜es na figura 5 o Teorema de Pita´goras:
a2 = a2x + a
2
y. (23)
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Ja´ a direc¸a˜o e´ dada pelo aˆngulo θ formado com Ox, em relac¸a˜o ao primeiro
quadrante; logo, usando a trigonometria:
tan θ =
ay
ax
, (24)
de modo que:
θ = arctan
ay
ax
. (25)
Assim, adotando-se como θ o aˆngulo do vetor no primeiro quadrante, o
correspondente aˆngulo congruente a este no segundo quadrante e´ dado por:
α = 180o − θ; (26)
no terceiro quadrante, por:
α = 180o + θ (27)
e no quarto quadrante por:
α = 360o − θ. (28)
Desse modo, por exemplo, se um vetor aponta na direc¸a˜o do terceiro qua-
drante, tera´ a componente em Ox negativa e a componente em Oy tambe´m
negativa e sua direc¸a˜o sera´ dada, enta˜o, por uma aˆngulo entre 180o e 270o.
Exemplo resolvido 2:
Escreva um vetor na forma anal´ıtica, sabendo-se que seu mo´dulo vale 3
√
2
cm e ele aponta na direc¸a˜o noroeste.
Resoluc¸a˜o:
Neste caso, temos |~a| = 3√2 cm. Ale´m disso, a noroeste, a direc¸a˜o do
vetor vale exatamente θ = 135o, de modo que as projec¸o˜es sa˜o:
ax = a cos θ = 3
√
2 cos 135o = −3cm (29)
e
ay = a sin θ = 3
√
2 sin 135o = 3cm. (30)
Logo, a representac¸a˜o anal´ıtica do vetor e´ dada por:
~a = −3ˆi+ 3jˆ (31)
ou
~a = (−3, 3). (32)
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Exemplo resolvido 3:
Determine o mo´dulo e a direc¸a˜o do vetor ~F = (
√
3ˆi− 1jˆ) N.
Resoluc¸a˜o:
Usando Pita´goras, temos:
F 2 = (
√
3)2 + (−1)2 ⇒ F = √3 + 1 (33)
ou F = 2 N. Ja´ a direc¸a˜o do vetor coˆngruo do primeiro quadrante e´ dada
por:
θ = arctan
Fy
Fx
= arctan
1√
3
= arctan
√
3
3
, (34)
de modo que: θ = 30o.
Como Fx > 0 e Fy < 0, a direc¸a˜o do vetor dado e´ dada por:
α = 360o − θ = 360o − 30o, (35)
ou seja, o vetor se encontra no quarto quadrante, com direc¸a˜o espec´ıfica de
valor α = 330o.
5 Operac¸o˜es com vetores
Podemos realizar as operac¸o˜es de adic¸a˜o, subtrac¸a˜o e multiplicac¸a˜o, quando
se realizam ca´lculos com vetores. Vejamos os casos mais ba´sicos a seguir.
5.1 Adic¸a˜o
5.1.1 Introduc¸a˜o
Para somar vetores, podemos usar o me´todo geome´trico ou o me´todo
da decomposic¸a˜o dos vetores. Este u´ltimo e´ o mais pra´tico, sendo o vetor
soma dado pela soma de suas componentes correspondentes. Assim, analiti-
camente, dados os vetores
~a = (ax, ay, az) (36)
e
~b = (bx, by, bz), (37)
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sua soma sera´ dada por:
~S = ~a+~b⇒ (38)
~S = (ax, ay, az) + (bx, by, bz)⇒ (39)
~S = (ax + bx, ay + by, az + bz) (40)
ou
~S = (ax + bx)ˆi+ (ay + by)jˆ + (az + bz)kˆ. (41)
Geometricamente, a soma vetorial e´ dada pela regra do paralelogramo:
colocam-se os dois vetores como sendo consecutivos e a soma e´ dada pela
diagonal do paralelogramo formado pelos dois vetores dados, como mostrado
na figura 6.
5.1.2 Resultantes
Dado um conjunto de forc¸as, chama-se resultante a soma vetorial de
todas as forc¸as que atuam em um corpo, ou seja:
~R = ~F1 + ~F2 + ~F3 + ...+ ~Fn−1 + ~Fn. (42)
Para somar forc¸as, procede-se como descrito na sec¸a˜o anterior: adota-se o
me´todo geome´trico da regra do paralelogramo ou o me´todo da decomposic¸a˜o
dos vetores em suas componentes cartesianas.
Figura 6: Esquema da Regra do Paralelogramo. O vetor de mo´dulo a pode
ser transportado paralelamente ate´ o extremo do segundo vetor, formando um
triaˆngulo com a diagonal de mo´dulo S, que corresponde a` soma.
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Exemplo resolvido 4:
1. Determine a resultante das forc¸as ~F1 = (2,2,3) e ~F2 = (-1,2,5).
Resoluc¸a˜o:
Como definido, temos:
~R = ~F1 + ~F2. (43)
Logo:
~R = (2− 1, 2 + 2, 3 + 5), (44)
ou seja:
~R = iˆ+ 4jˆ + 8kˆ. (45)
5.2 Multiplicac¸a˜o por um escalar
No caso da multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar k constante, define-
se:
k~a = k(ax, ay, az) = (kax, kay, kaz) (46)
ou
k~a = kaxiˆ+ kay jˆ + kazkˆ. (47)
Exemplos:
a. Se ~a = (1,2,3) e k=-3, enta˜o k~a e´ dado por: k~a = (-3,-6,-9).
b. Se ~b = (0,2,-3) e k=2, enta˜o k~b e´ dado por: k~a = (0,4,-6).
c. Se ~c = (1,2,0) e k=5, enta˜o k~c e´ dado por: k~a = (5,10,0).
5.3 Subtrac¸a˜o
Dados dois vetores ~a e ~b, chama-se diferenc¸a entre ~a e ~b o vetor ~D, dado
por:
~D = ~a−~b = ~a+ (−~b) = (ax − bx)ˆi+ (ay − by)jˆ + (az − bz)kˆ. (48)
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ou seja, a subtrac¸a˜o e´ a soma vetorial do primeiro vetor com o produto do
segundo por -1 (o oposto do segundo).
Exemplo:
Dados ~a = (1,2,3) e ~b = (1,3,2), a diferenc¸a e´ dada por:
~D = (1-1,2-3,3-2),
logo:
~D = (0,-1,1).
6 Leis do Movimento de Newton
Para entender como se relacionam forc¸as e movimentos, sem cometer erros
como os dos postulados aristote´licos, necessitamos das Leis do Movimento
de Newton. Isaac Newton propoˆs que os corpos permanecem em repouso
ou se movimentam de acordo com treˆs leis, conhecidas hoje como Leis de
Movimento de Newton. Essas leis recebem o nome de Lei da Ine´rcia, Lei
Fundamental da Dinaˆmica e Lei da Ac¸a˜o-Reac¸a˜o, que passaremos a ana-
lisar a seguir. Essas leis demonstraram-se corretas ate´ hoje no domı´nio da
F´ısica Cla´ssica,que corresponde a casos de movimentos em que na˜o se atinge
uma velocidade pro´xima da velocidade da luz; movimentos em que na˜o se
tenha campos gravitacionais muito intensos, casos em que sa˜o necessa´rias
as leis da Relatividade Geral e Restrita; e que na˜o ocorram no domı´nio
submicrosco´pico, em que sa˜o necessa´rias as leis da Mecaˆnica Quaˆntica.
6.1 Primeira Lei de Newton
A 1a Lei de Newton (Princ´ıpio da Ine´rcia) possui o seguinte enunciado:
”Se a resultante das forc¸as que atuam em um corpo for nula, enta˜o esse
corpo permanecera´ em repouso ou em movimento retil´ıneo uniforme.”
Para compreendermos o que e´ ine´rcia e equil´ıbrio, devemos nos aprofundar
no estudo da Esta´tica. Mas, brevemente, podemos dizer que ine´rcia e´ uma
medida da quantidade de mate´ria de um corpo e equil´ıbrio e´ o estado em
que a resultante das forc¸as que atuam sobre o corpo e´ nula. A primeira lei
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diz que se a resultante e´ nula, o corpo se encontra em um dos dois poss´ıveis
estados f´ısicos (figura 7):
• 1. Repouso;
• 2. Movimento retil´ıneo uniforme (MRU).
v = 0 (repouso)
R = 0
m
v = v0 (MRU)
R = 0
m
Figura 7: Esquema representativo da primeira lei de Newton.
Na segunda possibilidade do enunciado, Newton contradiz Aristo´teles,
pois passa a admitir a possibilidade de movimento na auseˆncia de forc¸as
(R=0), o que era negado pelo postulado de Aristo´teles.
De fato, pode-se checar que a Lei da Ine´rcia e´ a verdadeiramente cor-
reta quando se elimina o atrito, casos que ocorrem no espac¸o sideral ou em
movimentos no va´cuo em laborato´rios, por exemplo. Um outro exemplo in-
teressante e´ o de corpos empurrados em uma pista longa de gelo: para uma
dada forc¸a, o corpo pararia em um solo comum; mas, no gelo, em que ha´
uma forc¸a de atrito desprez´ıvel, o corpo desliza em MRU quase sem parar ou
ate´ que encontre um obsta´culo.
6.2 Segunda Lei de Newton
A 2a Lei de Newton (Princ´ıpio Fundamental da Dinaˆmica) tem o seguinte
enunciado:
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”A resultante das forc¸as ~R que atuam em um corpo de massa constante
m fornece a esse corpo uma acelerac¸a˜o resultante ~a, na mesma direc¸a˜o e
sentido de ~R.”
Como vimos anteriormente, uma forc¸a, ao atuar em um corpo, altera sua
velocidade, seja em direc¸a˜o e sentido, seja em sua magnitude. Como a forc¸a
modifica a velocidade do corpo, enta˜o a forc¸a esta´ transmitindo a este uma
determinada acelerac¸a˜o (vide figura 8).
~a
~R
m
Figura 8: Esquema representativo da segunda lei de Newton.
Com sua primeira lei, Newton conseguiu estabelecer qualitativamente a
relac¸a˜o entre causa e efeito na Mecaˆnica, ou seja, entre forc¸as e movimentos
de um corpo. Entretanto, para descrever o movimento do corpo, falta de-
terminar quantitativamente como se poderia relacionar matematicamente as
grandezas envolvidas, o que e´ feito na 2a Lei de Newton.
Nessa segunda lei, denominada Princ´ıpio ou Lei Fundamental da Dinaˆmica,
pode-se formalizar que as forc¸as resultantes sa˜o diretamente proporcionais
a`s ine´rcias e a`s acelerac¸o˜es adquiridas pelos corpos em movimento, ou seja,
matematicamente, temos:
~R = m~a. (49)
Exemplo resolvido 5:
Resoluc¸a˜o:
Determine a massa de um corpo que se move ao longo de Ox, sabendo-se
que sobre ele atua uma forc¸a de 100 N, provocando uma acelerac¸a˜o de 2 m/s2.
Pela segunda Lei de Newton, temos: Fx = max.
Logo, temos:
100 = m . 2
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ou
m =
100
2
,
de modo que m = 50 kg.
Exemplo resolvido 6:
Resoluc¸a˜o:
Sobre um corpo de massa 20 kg, atua uma forc¸a horizontal de intensi-
dade 30 N e outra vertical de intensidade 40 N. Determine a acelerac¸a˜o que
adquire o corpo, seu mo´dulo e sua direc¸a˜o.
Neste caso, temos um ca´lculo em duas dimenso˜es, em que a forc¸a resul-
tante e´ dada por:
~R = 30ˆi+ 40jˆ. (50)
Enta˜o:
R2 = 302 + 402, (51)
ou seja: R = 50 N.
Logo, conclu´ımos que
R = m.a⇒ 50 = 20.a (52)
ou seja, a = 2,5 m/s2.
Assim, a acelerac¸a˜o e´ dada por:
~a =
30ˆi+ 40jˆ
20
⇒ (53)
~a = 1, 5 iˆ+ 2jˆ. (54)
O mo´dulo de a vale 2,5 m/s2 e sua direc¸a˜o:
tan θ =
ay
ax
=
40
30
, (55)
de modo que θ ∼= 53,13o.
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6.3 Terceira Lei de Newton
A Terceira Lei de Newton (Princ´ıpio da Ac¸a˜o-Reac¸a˜o) pode ser enunciada
como segue:
”Dados dois corpos A e B que interagem, se A aplica sobre B uma forc¸a,
enta˜o o corpo B aplicara´ sobre A uma forc¸a de reac¸a˜o de mesma intensidade,
mesma direc¸a˜o e sentido contra´rio.”
Matematicamente, temos:
~FAB = −~FBA. (56)
Uma observac¸a˜o importante e´ a de que forc¸as de ac¸a˜o e de reac¸a˜o nunca
se anulam, pois atuam sempre em corpos diferentes. Vejamos exemplos de
alguns casos analisados a partir dessa 3a Lei de Newton.
Exemplo 1: Um indiv´ıduo da´ um soco numa parede e a deforma, mas a
parede exerce uma forc¸a de reac¸a˜o na ma˜o do indiv´ıduo, provocando dor.
Exemplo 2: Se voceˆ empurra algue´m, este tambe´m te empurra como
reac¸a˜o. Isso na˜o e´ percept´ıvel porque o atrito tambe´m atua. Mas, se voceˆ
fizer isso numa pista de gelo, ao empurrar uma pessoa para a direita, voceˆ fa-
talmente sera´ empurrado para a esquerda, pois o atrito no gelo e´ desprez´ıvel.
Exemplo 3: Uma pessoa A de patins empurra um colega B. Enta˜o, B se
movimenta devido ao empurra˜o, mas A tambe´m se movimenta no sentido
contra´rio, devido a` forc¸a de reac¸a˜o de B em A. Devido aos patins, o atrito e´
bem reduzido, permitindo-nos ver o efeito de ac¸a˜o-reac¸a˜o.
Exemplo 4: Um astronauta que se encontra fora da nave no espac¸o sideral
e deseja se mover em uma dada direc¸a˜o e sentido, adota como procedimento
liberar gases de escape de seu traje na mesma direc¸a˜o, mas com sentido
oposto.
Exemplo 5: Um foguete expele gases provenientes da combusta˜o no mo-
tor, aplicando-lhes uma forc¸a para baixo. Pela Lei da Ac¸a˜o-Reac¸a˜o, os gases
aplicam no foguete uma forc¸a contra´ria, na mesma direc¸a˜o e sentido oposto,
ou seja, uma forc¸a aplicada para cima que impulsiona o motor em direc¸a˜o ao
espac¸o sideral.
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Exerc´ıcios propostos:
1. Dada as forc¸as na figura abaixo, com mo´dulos F1 = 40 N, com direc¸a˜o
α1 = 45
o, e F2 = 30 N, com direc¸a˜o α2 = 330
o, calcule sua resultante.
2. Determine o mo´dulo e a direc¸a˜o da resultante das forc¸as dadas na
figura abaixo, de mo´dulos F1 = 10 N e F2 = 8 N, sendo seus aˆngulos em
relac¸a˜o a Ox iguais a 45o e 120o, respectivamente.
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 Anotações 
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Referências 
 
HIBBELER, R. C., Estática - Mecânica Para Engenharia, Cap. 2, 10ª Edição, 
Pearson Prentice Hall, 2005. 
SHAMES, IRVING H., Estática - Mecânica Para Engenharia - Volume I, Cap. 
2, 4ª Edição, Pearson Prentice Hall, 1996. 
BEER, F. P., JOHNSTON E. R., EISENBERG, E. R., Mecânica Vetorial para 
Engenheiros – Estática, Cap. 2, 7ª Edição, Mc Graw-Hill, 2005. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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