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Circuitos Lógicos

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1 
Engenharia Elétrica 
 
4º / 5° Semestre 
 
 
 
 
Conceitos Básicos 
Sistemas de Numeração 
Aritmética Digital 
Álgebra Booleana 
Simplificação de Expressões Booleanas 
Minimização de Funções Booleanas 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS LÓGICOS – APOSTILA 
Prof Daniel Hasse 
 
 
 
 
 
Flip-Flops e Multivibradores 
Registradores de Deslocamento (Shift Register) 
Contadores 
Circuito Digital-Analógico com Amplificador Operacional 
Multiplex 
Demultiplex 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO JOSÉ DOS CAMPOS, SP 
ÍNDICE 
 
 
1 CONCEITOS BÁSICOS 01 
 
1.1 Representações Núméricas 01 
1.2 Sistemas Digitais e Analógicos 02 
1.3 Sistemas Numéricos Digitais 05 
1.4 Representação das Quantidades Binárias 08 
1.5 Circuitos Digitais 09 
 
2 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 10 
 
2.1 Introdução 10 
2.2 Conversão Binário - Decimal 11 
2.3 Conversão Decimal - Binário 12 
2.4 O Sistema Octal 12 
2.5 Sistema Numérico Hexadecimal 15 
 
3 ARITMÉTICA DIGITAL 19 
 
3.1 Intrtodução 19 
3.2 Adição Binária 19 
3.3 Subtração Binária 21 
3.4 Representação de Números com Sinal 22 
3.5 Multiplicação de Números Binários 23 
 
4 ALGEBRA BOOLEANA 25 
 
4.1 Introdução 25 
4.2 Função E ou AND 26 
4.3 Função OU ou OR 28 
4.4 Função NÃO ou NOT 30 
4.5 Função NÃO E, NE ou NAND 31 
4.6 Função NÃO OU, NOU ou NOR 32 
4.7 Resumo 34 
4.8 Bloco OU EXCLUSIVO ou XOR 34 
4.9 Bloco Coincidência 35 
 
5 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS 36 
 
5.1 Funções Booleanas 36 
5.2 Formas Canonicas 37 
5.3 Teoremas e Propriedades da Álgebra Booleana 39 
5.4 Propriedades Booleanas 40 
 
6 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS 46 
 
6.1 Mapa de Karnaugh 46 
 
7 FLIP – FLOPS E MULTIVIBRADORES 57 
 
7.1 Introdução 57 
7.2 Flip - Flop RS 58 
7.3 Flip - Flop RS Comandado por Pulso de Clock 60 
7.4 Flip - Flop JK 60 
7.5 Flip - Flop JK com Entradas PRESET e CLEAR 61 
7.6 Flip - Flop Mestre Escravo 62 
7.7 Flip - Flop Mestre Escravo com Entradas PRESET e CLEAR 63 
7.8 Flip - Flop Tipo T (TRIGGER) 63 
7.9 Flip - Flop Tipo D (DELAY) 64 
 
8 REGISTRADORES DE DESLOCAMENTO (SHIFT REGISTER) 65 
 
8.1 Conversores Série - Paralelo 65 
8.2 Conversor Paralelo - Série 67 
8.3 Registrador de Entrada Série e Saída Série Siso 68 
8.4 Registrador de Entrada Paralela e Saída Paralela Pipo 68 
8.5 Entrada Série e Saída Paralela 68 
8.6 Conversor Paralelo Série 69 
8.7 Entrada Paralela e Saída Série 69 
8.8 Entrada Paralela e Saída Série 69 
8.9 Registrador Entrada Série E Saída Série 70 
8.10 Entrada Serial e Saída Serial 70 
8.11 Registrador de Entrada Paralela e Saída Paralela 70 
8.12 Registrador de Deslocamento Utilizado Como Multiplicador Ou Divisor Por 2 70 
 
9 CONTADORES 71 
 
9.1 Condutores Assíncronos 72 
9.2 Contador de Década Assíncrono 73 
9.3 Contador Sequencial de 0 A N 74 
9.4 Contadores Assíncronos Decrescentes 74 
9.5 Contadores Assíncrono Crescente E Decrescente 74 
9.6 Contadores Síncronos 75 
 
10 CIRCUITO DIGITAL - ANALÓGICO COM AMPLIFICADOR OPERACIONAL 76 
 
10.1 Conversor Digital - Analógico Com Chave Seletora 79 
10.2 Conversor Digital - Analógico Com Rede R-2r 79 
10.3 Conversor Digital - Analógico Com Rede R-2r Com A. O. 81 
10.4 Conversão de Um Número de Mais e Um Algarismo 81 
10.5 Conversores Analógico-Digital 82 
10.6 Aplicações de Conversores A/D 85 
 
11 MULTIPLEX 86 
 
12 DEMULTIPLEX 88 
 
 
REMAN - Apostilas Técnicas 
Eletrônica Digital 
 
 
 
ELETRÔNICA DIGITAL 
 
 
 
1 CONCEITOS BÁSICOS 
 
 
1.1 REPRESENTAÇÕES NUMÉRICAS 
 
 
Lidamos constantemente com quantidades, não só nas áreas de ciência e 
tecnologia, como nas de negócios, comércio, etc. Quantidades são medidas, 
monitoradas, gravadas, manipuladas aritmeticamente, observadas e, de certa forma, 
utilizadas na maioria dos sistemas físicos. Quando lidamos com quantidades, é de 
suma importância saber representar seus valores de maneira eficiente e precisa. 
Basicamente, existem duas formas de representação dos valores numéricos das 
quantidades, a analógica e a digital. 
 
Representação Analógica Analogicamente, uma quantidade é representada 
por outra que é proporcional à primeira. No velocímetro de um automóvel, por 
exemplo, a deflexão do ponteiro é proporcional à velocidade do veículo. A posição 
angular do ponteiro representa o valor da velocidade do veículo, e qualquer 
variação é imediatamente refletida por uma nova posição do ponteiro. 
 
Outro exemplo é o termômetro, onde a altura da faixa de mercúrio é 
proporcional à temperatura do ambiente. Quando ocorrem mudanças na 
temperatura, a altura da coluna de mercúrio também muda proporcionalmente. 
 
Outro exemplo bastante familiar é o do microfone. Neste dispositivo, a tensão 
de saída é proporcional à amplitude das ondas sonoras que o atingem. As variações 
da tensão de saída seguem as mesmas variações do som na entrada. 
 
Quantidades analógicas como as que acabamos de exemplificar têm uma 
característica importante: elas variam continuamente dentro de uma faixa de 
valores. A velocidade do automóvel pode assumir qualquer valor entre zero e, 
digamos, 100 Km por hora. Similarmente, a saída do microfone pode assumir 
qualquer valor dentro de uma faixa de zero a 10 mV. 
 
Representação Digital Na representação digital, as quantidades são 
representadas por símbolos chamados dígitos, e não por valores proporcionais. 
 
Como exemplo, tomamos o relógio digital que apresenta as horas, minutos 
e às vezes os segundos, na forma de dígitos decimais. Como sabemos, o tempo 
varia continuamente, mas o relógio digital não mostra as variações de forma 
contínua; pelo contrário, o valor é apresentado em saltos de um em um segundo ou 
minuto. Em outras palavras, a representação digital do tempo varia em passos 
1 
 
REMAN - Apostilas Técnicas 
Eletrônica Digital 
 
discretos, quando comparada com a representação analógica do tempo em um 
relógio analógico, onde a leitura fornecida pelos ponteiros muda continuamente. 
 
A principal diferença entre uma quantidade analógica e uma digital pode 
então ser descrita como segue: 
 
analógica ≡ contínua 
digital ≡ discreta (passo a passo) 
 
Em virtude da natureza discreta da representação digital, as leituras neste 
sistema não apresentam problemas de ambigüidade, em contraposição ao sistema 
analógico, onde as leituras deixam margem à interpretação do observador. 
 
Exercícios 
 
1) Quais das seguintes posições são quantidades digitais, e quais são analógicas ? 
 
a) Chave de 10 posições 
b) Medidor de corrente elétrica 
c) Temperatura 
d) Grãos de areia na praia 
e) Controle de volume do rádio 
 
2) Resumidamente, descreva a maior diferença existente entre uma quantidade 
digital e uma analógica 
 
 
1.2 SISTEMAS DIGITAIS E ANALÓGICOS 
 
 
Um sistema digital resulta da combinação de dispositivos desenvolvidos 
para manipular quantidades físicas ou informações que são representadas na forma 
digital; isto é, tal sistema só pode manipular valores discretos. Na sua grande 
maioria, estes dispositivos são eletrônicos, mas também podem ser mecânicos, 
magnéticos ou pneumáticos. As calculadoras e os computadores digitais, os 
relógios digitais, os controladores de sinais de tráfego e as máquinas de controle de 
processos de um modo geral, são exemplos familiares de sistemas digitais. 
 
Um sistema analógico é formado por dispositivos que manipulam 
quantidades físicas representadas sob forma analógica. Nestes sistemas, as 
quantidades variam continuamente dentro de uma faixa de valores. Por exemplo, a 
amplitude de sinal de saída no auto-falante de um rádio pode assumir qualquer valor 
entre zero e o seu limite máximo. Os odômetros dos automóveis, os equipamentos 
de reprodução e gravação de fitas magnéticas e a maioriados sistemas telefônicos 
são outros exemplos comuns de sistemas analógicos. 
 
Vantagens das Técnicas Digitais A utilização das técnicas digitais 
proporcionou novas aplicações da eletrônica bem como de outras tecnologias, 
substituindo grande parte dos métodos analógicos existentes. As principais razões 
que viabilizam a mudança para a tecnologia digital são: 
2 
 
REMAN - Apostilas Técnicas 
Eletrônica Digital 
 
 
1. Os sistemas digitais são mais fáceis de projetar. Isto é devido ao fato de os 
circuitos empregados nos sistemas digitais serem circuitos de chaveamento, onde 
os valores exatos da tensão ou corrente dos sinais manipulados não são tão 
importantes, bastando resguardar a faixa de operação (ALTO ou BAIXO) destes 
sinais. 
 
2. O armazenamento da informação é fácil. Circuitos especiais de 
chaveamento podem reter a informação pelo tempo que for necessário. 
 
3. Precisão e exatidão são maiores. Os sistemas digitais podem trabalhar com 
tantos dígitos de precisão quantos forem necessários, com a simples adição de mais 
circuitos de chaveamento. Nos sistemas analógicos, a precisão geralmente é 
limitada a três ou quatro dígitos, porque os valores de tensão e corrente dependem 
diretamente dos componentes empregados. 
 
4. As operações podem ser programadas. É relativamente fácil e conveniente 
desenvolver sistemas digitais cuja operação possa ser controlada por um conjunto 
de instruções previamente armazenadas, chamado programa. Os sistemas 
analógicos também podem ser programados, mas a variedade e a complexidade 
das operações envolvidas são bastante limitadas. 
 
5. Circuitos digitais são menos afetados por ruído. Ruídos provocados por 
flutuações na tensão de alimentação ou de entrada, ou mesmo induzidos 
externamente, não são tão críticos em sistemas digitais porque o valor exato da 
tensão não é tão importante, desde que o nível de ruído não atrapalhe a distinção 
entre os níveis ALTO e BAIXO. 
 
6. Os circuitos digitais são mais adequados à integração. É verdade que o 
desenvolvimento da tecnologia de integração (CIs) também beneficiou os circuitos 
analógicos, mas a sua relativa complexidade e o uso de dispositivos que não podem 
ser economicamente integrados (capacitores de grande capacitância, resistores de 
precisão, indutores, transformadores) não permitiram que os circuitos analógicos 
atingissem o mesmo grau de integração dos circuitos digitais. 
 
Limitações das Técnicas Digitais Só existe uma grande desvantagem para 
o uso das técnicas digitais: 
 
 
O MUNDO REAL É PREDOMINANTEMENTE ANALÓGICO 
 
 
A grande maioria das variáveis (quantidades) físicas são, em sua natureza, 
analógicas, e geralmente elas são as entradas e saídas que devem ser monitoradas, 
operadas e controladas por um sistema. Como exemplos temos a temperatura, a 
pressão, a posição, a velocidade, o nível de um líquido, a vazão e outros mais. Via 
de regra, expressamos estas variáveis digitalmente como dizemos que a 
temperatura é de 64º (63,8º para ser mais preciso); na realidade, porém, estamos 
fazendo uma aproximação digital de uma quantidade eminentemente analógica. 
 
3 
 
REMAN - Apostilas Técnicas 
Eletrônica Digital 
 
Para se tirar proveito das técnicas digitais quando lidamos com entradas e 
saídas analógicas, três etapas devem ser executadas: 
 
 1. Converter o "mundo real" das entradas analógicas para a forma digital. 
 
2. Processar (ou operar) a informação digital. 
 
3. Converter as saídas digitais de volta para o mundo real, em sua forma 
analógica. 
 
 Veremos abaixo o diagrama de blocos para um sistema de controle de 
temperatura, onde a temperatura, que é uma quantidade analógica, é medida, e seu 
valor é então transformado em uma quantidade digital por um conversor 
analógico-digital ( A/D ). 
 
 
O valor digitalizado é processado por circuitos digitais que poderão ou não 
incluir um computador digital. A saída digital é novamente convertida à sua forma 
analógica original por um conversor digital-analógico ( D/A ).O valor resultante 
alimenta um controlador que atua no sentido de ajustar a temperatura. 
 
A necessidade das conversões AD/DA da informação pode ser considerada 
uma desvantagem, porque introduz complexidade e maior custo aos sistemas. Outro 
fator muito importante é o tempo extra gasto na conversão. Em muitas aplicações, 
este tempo é compensado pelas inúmeras vantagens advindas da técnica digital, 
sendo então muito comum o emprego de conversões AD/DA na tecnologia atual. 
Em determinadas situações , porém, o uso das técnicas analógicas é mais 
simples e econômico. Por exemplo, o processo de amplificação de sinais é muito 
mais fácil quando realizado por circuitos analógicos. 
 
 Hoje em dia, é muito comum a utilização de ambas as técnicas em um 
mesmo sistema, visando as vantagens de cada um. No projeto destes sistemas 
híbridos, o mais importante é determinar quais partes serão digitais e quais serão 
analógicas. 
 
Finalmente, vale observar que, devido aos benefícios econômicos 
proporcionados pela integração dos circuitos, as técnicas digitais serão utilizadas 
com intensidade cada vez maior. 
 
 
4 
 
REMAN - Apostilas Técnicas 
Eletrônica Digital 
 
Exercícios 
 
1) Quais são as vantagens das técnicas digitais sobre as analógicas ? 
 
2) Qual a principal limitação do uso das técnicas digitais ? 
 
 
1.3 SISTEMAS NUMÉRICOS DIGITAIS 
 
 
Os sistemas numéricos mais usados pela tecnologia digital são o decimal, o 
binário e o hexadecimal. O sistema decimal nos é familiar por ser uma ferramenta 
que usamos diariamente. Examinar algumas de suas características nos ajudará a 
enterder melhor os outros sistemas. 
 
Sistema Decimal O sistema decimal compõe-se de 10 algarismos ou 
símbolos. Estes símbolos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; usando estes símbolos 
como dígitos de um número, podemos expressar qualquer quantidade. O sistema 
decimal, também chamado de base 10, devido aos seus 10 dígitos, é o sistema 
naturalmente usado pelo homem pelo fato dele possuir 10 dedos. De fato, a palavra 
"dígito" vem do latim, e significa "dedo". 
 
O sistema decimal é do tipo posicional, porque o valor do dígito depende de 
sua posição dentro do número. Considere o número decimal 453, sabemos que o 
dígito 4, o mais significativo (MSD - Most Significant Digit), representa 4 centenas, o 
dígito 5 representa 5 dezenas e o dígito 3, o menos significativo (LSD - Least 
Significant Digit), representa três unidades. 
 
 Considere outro exemplo, 27,35. Este número é igual a duas dezenas mais 
sete unidades, mais três décimos, mais cinco centésimos, ou 2 x 10 + 7 x 1 + 3 x 0,1 
+ 5 x 0,01. A vírgula é usada para separar a parte inteira do número de sua parte 
fracionária. 
 
De maneira mais precisa, podemos afirmar que as posições relativas à vírgula 
carregam pesos que podem ser expressos como potências de 10. O número 
2745,214 ilustra o exemplo dado abaixo. 
 
2 7 4 5 , 2 1 4
103 102 101 100103
Valores Posicionais
(pesos)
Vírgula
Decimal 
 
A vírgula decimal separa as potências de 10 positivas das negativas. Assim 
sendo, o número representado é igual a ( 2 x 10+3 ) + (7 x 10+2) + (4 x 10+1) + (5 x 
100) + (2 x 10-1) + (2 x 10-2) + ( 1 x 10-3). Qualquer número é igual à soma dos 
produtos de cada dígito com seu respectivo valor posicional. 
5 
 
REMAN - Apostilas Técnicas 
Eletrônica Digital 
 
 Sistema Binário infelizmente, o sistema decimal não é adequado aos 
sistemas digitais, porque é muito difícil implementar circuitos eletrônicos que 
trabalhem com 10 níveis diferentes de tensão (cada nível representando um dígito 
decimal, de 0 a 9). Por outro lado, é muito fácil implementar circuitos eletrônicos que 
operem com dois níveis de tensão. Por isso, quase todos os sistemas digitaisusam 
o sistema de numeração binário (base 2) como sistema básico para suas 
operações, embora outros sistemas também possam ser utilizados. 
 
No sistema binário existem somente dois símbolos ou dígitos, o 0 e o 1. 
Apesar disso, o sistema de base 2 pode ser usado para caracterizar qualquer 
quantidade que possa ser representada em decimal ou em qualquer outro sistema 
de numeração. É claro que, por possuir apenas dois dígitos, os números binários 
são extensos. 
 
Todas as afirmações já feitas em relação ao sistema decimal aplicam-se 
igualmente ao sistema binário. Tal sistema também é um sistema posicional, onde 
cada dígito tem um peso expresso em potência de 2. Observe na figura abaixo que à 
esquerda da vírgula situam-se as potências positivas, e à direita estão as potências 
negativas. 
 
1 0 1 1 , 1 0 1
Valores Posicionais
(pesos)
Vírgula
Binária
23 22 21 20 2-1 2-3
 
 
O número 1011,101 apresentado na figura pode ser transformado em decimal 
utilizando simplesmente a soma dos produtos de cada valor do dígito (0 ou 1) pelo 
seu correspondente valor posicional: 
 
 
1101,1012= (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) + (1 x 2-1) + (0 X 2-2) + (1 x 2-3) 
 = 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0 0.125 
 = 11,62510 
 
 Observe que os subscritos 2 e 10 indicam a base em que se encontra o 
número. Esta convenção evita confusão, quando são empregados mais de um 
sistema numérico ao mesmo tempo. 
 
No sistema binário, o termo dígito binário é abreviado para bit. Daqui para 
frente, ele será usado com freqüência. No número 1101,1012 existem quatro bits à 
esquerda da vírgula binária que representam a parte inteira e três à direita que 
representam a parte fracionária. O bit mais significativo (MSB) é o primeiro da 
esquerda para a direita, e o menos significativo (LSB) é o primeiro da direita para a 
esquerda. 
 
6 
 
REMAN - Apostilas Técnicas 
Eletrônica Digital 
 
 Contagem Binária Quando lidamos com números binários, usualmente 
ficamos restritos a representá-los por meio de um certo número de bits. Esta 
restrição está relacionada ao circuito utilizado na representação de valores binários. 
Vamos ilustrar nosso exemplo de contagem binária, usando números de quatro bits. 
 
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
2 =102 =212 =422 =83
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Equivalente
em decimal
 
 
A seqüência começa com todos os bits em zero; é chamada de contagem 
zero. Para cada contagem sucessiva, a posição das unidades (20) comuta, ou seja, 
ela muda de um valor binário para outro. Cada vez que o bit das unidades muda de 
1 para 0, a posição de ordem 2, (21) também comuta. Cada variação de 1 para 0 na 
posição de ordem 2 ocasiona uma mudança na posição de ordem 4 (22). O mesmo 
ocorre na posição de ordem 8 (24) em relação à posição de ordem 4. Para números 
maiores do que quatro bits, o processo de contagem é uma continuação do que 
acabamos de ver. 
 
Como pudemos observar observar, a seqüência de contagem binária tem 
uma característica importante. O bit das unidades (LSB) muda de valor a cada passo 
de contagem. O segundo bit (ordem 2) permanece em 0 por dois passos, em 1 por 
dois passos, e assim por diante. O bit 3 (ordem 4) só muda de valor a cada quatro 
passos de contagem, e o bit 4 (ordem 8) a cada oito passos. Os grupos de 
alternância sempre acontecem em 2N-1. Por exemplo, usando a quinta posição 
binária,a alternância sempre ocorrerá em grupos de 25-1 = 16 passos. 
 
De forma análoga ao sistema decimal, com N bits podemos contar 2N valores. 
Por exemplo, com dois bits teremos 22=4 combinações possíveis (002 até 112); com 
quatro bits chegaremos a 24=16 combinações (00002 até 11112); e assim por diante. 
O último valor é sempre constituído exclusivamente de 1s e equivale a 2N-1 em 
7 
 
REMAN - Apostilas Técnicas 
Eletrônica Digital 
 
decimal. Assim, com quatro bits, o maior valor obtido na contagem é igual a 
11112=24-1=1510. 
 
Exercícios 
 
1) Qual é o maior número que se pode representar com oito bits ? 
 
2) Qual é o equivalente decimal de 11010112 ? 
 
3) Qual o número binário que vem logo após 101112 ? 
 
4) Qual o maior valor decimal que se pode representar com 12 bits? 
 
 
1.4 REPRESENTAÇÃO DAS QUANTIDADES BINÁRIAS 
 
 
 A informação a ser processada por um sistema digital geralmente se 
apresenta na forma binária. Os valores binários podem ser representados por 
qualquer dispositivo que só tenha dois estados ou condições de operações 
possíveis. Por exemplo, uma chave tem apenas dois estados: aberta ou fechada. 
Abitrariamente podemos definir a condição aberta como 0 e representar a condição 
fechada como o binário 1. Com esta definição, podemos representar qualquer 
número binário conforme mostrado abaixo, onde o estado das chaves representa o 
binário 100102. 
 
11 000 
 
Existem vários outros dispositivos que só apresentam dois estados ou que 
operam em duas condições extremas. Alguns deles são: lâmpada elétrica (acesa ou 
apagada), diodo (conduzindo ou não conduzindo), relé (energizado ou 
desenergizado), transistor (saturado ou em corte), fotocélula (iluminada ou não), 
termostato (aberto ou fechado), embreagem mecânica (engatada ou desengatada) e 
fita magnética (magnetizada ou desmagnetizada). 
 
Nos sistemas digitais eletrônicos, a informação binária é representada por 
tensões (ou correntes) que estão presentes nas entradas e saídas dos circuitos. 
Geralmente, os valores binários são representados por dois níveis nominais de 
tensão que podem ser 0V (zero volt) para o binário 0, e +5V para o binário 1. Na 
realidade, considerando as variações nos circuitos, as tensões são tomadas dentro 
de uma faixa. 
 
8 
 
REMAN - Apostilas Técnicas 
Eletrônica Digital 
 
Binário 1
Binário 0
Não
Usado
5V
2V
5V
0,8V
0V 
 
 Podemos observar que qualquer tensão entre 0 e 0,8V representa o binário 
zero e qualquer tensão entre 2 e 5V representa o binário 1. Todos os sinais de 
entrada e saída estarão dentro de uma destas duas faixas, quando estáveis, e só 
estarão fora, ou entre elas, durante a transição de um nível para outro. 
 
 
Podemos observar outra diferença entre um sistema digital e um analógico. 
Nos sistemas digitais, o valor exato das tensões não é tão importante; por exemplo, 
uma tensão de 3,6V e outra de 4,3V representam o mesmo valor binário para o 
circuito, mais precisamente o valor 1. Nos sistemas analógicos, o valor exato da 
tensão é de extrema importância. Exemplificando: se a tensão analógica for 
proporcional à temperatura medida por um transdutor, o valor 3,6V representaria 
uma temperatura bem diferente daquela representada por 4,3V. Em outras palavras, 
nos sistemas analógicos, o valor preciso da tensão carrega uma informação 
significativa. Esta característica implica em projetos de circuitos analógicos de 
precisão, o que os torna muito mais difíceis de implementar, em função da maneira 
como os valores de tensão vão sofrer variações devido aos parâmetros internos dos 
componentes, da temperatura e, principalmente em virtude da ação do ruído. 
 
 
1.5 CIRCUITOS DIGITAIS 
 
 
 Como já foi explicado na Seção 1.4., os circuitos digitais são projetados para 
produzirem tensões de saída que se situam dentro dos níveis de tensão previstos 
para 0 e 1. Por outro lado, as entradas serão excitadas do mesmo modo, ou seja, o 
circuito responderá a faixas de tensão definidas como 0 e 1, e não a valores exatos. 
Isto significa que um circuito digital responderá da mesma forma para todas as 
tensões de entradas situadas na faixa permitida para o "0" binário;similarmente, ele 
não vai distinguir entre tensões de entrada que se situam dentro da faixa do "1" 
binário. 
 
9 
 
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Eletrônica Digital 
 
Para exemplificar, a figura abaixo representa um circuito digital com entrada vi 
e saída v0. A saída nos mostra a resposta a dois sinais de entrada diferentes. 
Observe que v0 é igual nos dois casos, apesar das diferenças nos valores de tensão 
dos sinais de entrada. 
Circuito
digital
vi v0 v0
vi
4V
0V
0V
5V
v0
vi
0V
4V
3,7V
0,5V
caso 1
caso 2
 
Circuitos Lógicos A maneira pela qual um circuito digital responde aos 
sinais de entrada é chamada de lógica do circuito. Cada tipo de circuito digital 
obedece a um certo conjunto de regras lógicas. Por isso, os circuitos digitais 
também são chamados de circuitos lógicos. Usaremos ambos os termos ao longo 
do curso. 
 
Exercícios 
 
1) Um circuito digital pode produzir a mesma tensão de saída para diferentes 
tensões de entrada ? 
 
2) Um circuito digital também é conhecido como ................................... 
 
 
2 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 
 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
 
 
 O sistema numérico de maior importância utilizado pelos sistemas digitais é o 
binário, embora existam alguns outros também importantes. Um deles, o decimal, 
tem relativa importância em função de ser universalmente usado para representar 
quantidades utilizadas fora dos sistemas digitais. Isto significa que, em determinadas 
situações, os valores decimais têm de ser convertidos em valores binários antes de 
serem utilizados em sistemas digitais. Por exemplo, quando teclamos um número 
decimal em nossa calculadora, ou em nosso computador, um circuito interno destas 
máquinas converte o valor decimal digitado para seu correspondente em binário. 
 
10 
 
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Eletrônica Digital 
 
Da mesma forma, existem situações onde os valores binários presentes na 
saída de um circuito digital devem ser convertidos para valores decimais, que serão 
apresentados no display de sua calculadora ou no dispositivo de saída de seu 
computador. Por exemplo, sua calculadora (ou computador) usa números binários 
para calcular o resultado de determinada operação solicitada, e então converte tal 
resultado em decimal, colocando-o no display neste formato. 
 
Além dos sistemas decimal e binário, dois outros são utilizados em sistemas 
digitais, o sistema octal (base 8) e o hexadecimal (base 16). Ambos os sistemas são 
utilizados para a mesma finalidade: representar números binários muito grandes de 
uma forma eficiente e simples, pois, como veremos adiante, as conversões octal-
binário, hexadecimal-binário e vice-versa, são realizadas de maneira extremamente 
simples. 
 
Em sistemas digitais, três ou quatro destes sistemas numéricos podem ser 
utilizados simultaneamente, de forma que há necessidade de se conhecer os 
métodos de conversão entre tais sistemas numéricos. Nos tópicos a seguir, 
mostraremos como realizar tais conversões. Embora nem todos os códigos 
estudados sejam de uso imediato, precisaremos conhecê-los para podermos usá-los 
em estudos posteriores. 
 
 
2.2 CONVERSÃO BINÁRIO - DECIMAL 
 
 
Conforme discutido anteriormente, o sistema de numeração binário é posicional, 
onde a cada dígito binário (bit) são atribuídos dois valores: o valor absoluto e o valor 
posicional. O valor absoluto é 0 ou 1, e o posicional é uma potência inteira de 2, 
começando de 20 (bit menos significativo), que depende da posição do bit em 
relação ao bit menos significativo. Qualquer número binário pode ser convertido em 
decimal simplesmente somando os valores posicionais de todos os bits com valor 
absoluto igual a 1. Como exemplo, observe o valor binário abaixo: 
 
1 0 1211
24 = 16 + 8 + 2 + 1 = 27102
0212223
(decimal)
(binário)
 
 
Vejamos outro exemplo: 
 
1 0 1211
24 2027 22250 0 0
0 11
= 18110 
 
Observe que o procedimento resume-se em descobrir os pesos, ou seja, as 
potências de 2, para cada posição preenchida com um bit de valor absoluto igual a 
1, e então somar os valores obtidos. O bit mais significativo neste exemplo possui 
peso 27, apesar de ser o oitavo bit, pois o bit menos significativo, que é o primeiro 
bit, tem peso 20. 
11 
 
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Exercícios 
 
1) Converta o valor binário 100011011011 para decimal. 
 
2) Qual o peso do bit mais significativo de um número binário de 16 bits? 
 
 
2.3 COVERSÃO DECIMAL - BINÁRIO 
 
 
 O método mais confiável para conversão decimal-binário utiliza as divisões 
sucessivas por 2. No exemplo a seguir, o número decimal 25 é dividido várias vezes 
por 2, sendo os restos destas divisões colocados à parte, até que o quociente seja 
igual a zero. Observe que o valor binário equivalente é obtido, escrevendo-se o 
primeiro resto como o bit menos significativo e o último como o mais significativo. 
Veja o exemplo a seguir: 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Converta o número decimal 83 em binário. 
 
2) Converta o número decimal 729 em binário e verifique sua resposta, covertendo 
de volta o valor binário obtido em decimal. 
 
 
2.4 O SISTEMA OCTAL 
 
 
 O sistema numérico octal é muito importante no estudo dos computadores 
digitais. Este sistema utiliza a base oito, o que significa que ele tem oito dígitos: 0, 1, 
2, 3, 4, 5, 6 e 7. Os pesos de cada dígito no sistema octal são mostrados na tabela 
abaixo: 
 
8-484 83 82 81 80 8-1 8-2 8-3 8-5
,
Vírgula octal 
12 
 
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Coversão Octal-Decimal Um valor octal pode ser facilmente convertido em 
decimal multiplicando-se cada dígito octal por seu valor posicional (peso). Por 
exemplo: 
 
 3728 = 3 x 82 + 7 x 81 + 2 x 80 
 = 3 x 64 + 7 x 8 + 2 x 1 
 = 25010 
 
Conversão decimal-Octal Um valor decimal inteiro pode ser convertido em 
seu equivalente octal pelo vas, conforme já visto para o caso da conversão decimal-
binário, só que utilizando divisões por oito em vez de por 2. Observe o exemplo a 
seguir: 
 
 
 
Atente para o fato de que o resto da primeira divisão passa a ser o dígito 
menos significativo do número octal, e o resto da última divisão é o bit mais 
significativo. 
 
Conversão Octal-Binário A principal vantagem do sistema octal é a 
facilidade para se converter um número binário em octal e vice-versa. Para passar 
de octal para binário, cada dígito octal deve ser convertido em seu equivalente 
binário. 
 
 
Dígito Octal
Equivalente Binário
7
111
6
110
5
101
4
100
3
011
2
010
1
001
0
000 
 
 
Por exemplo, podemos converter o valor octal 472 em binário da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
13 
 
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Portanto, o octal 472 é igual ao binário 100111010. Como outro exemplo, considere 
a conversão de 54318 para binário. 
 
 
 
Conversão Binário-Octal A conversão binário-octal é obtida através de 
processo inverso do descrito anteriormente. Os bits do número binário devem ser 
agrupados de 3 em 3, a partir do menos significativo, e convertidos no seu 
equivalente octal. Para ilustrar, considere a conversão de 1001110102 em octal. 
 
 
 
Nem sempre o número binário tem grupos completos de três bits. Nestes 
casos, podemos acrescentar um ou dois zeros à esquerda do bits mais significativo 
do número binário. Observe o seguinte exemplo, onde p valor 110101102 deve ser 
convertido em seu equivalente octal. 
 
 
 
Observe que um zero é colocado à esquerda do bit mais significativo de 
maneira a produzir grupos completos de três bits cada um. 
 
Contando em Octal O maior dígito octal é 7, de modo que para contar em 
octal basta começar do zero e incrementar uma unidade até chegar a 7. Aoalcançar 
7, devemos recomeçar a contagem do zero, acrescentando uma unidade ao dígito 
imediatamente superior. Isto é ilustrado nas seguintes seqüências de contagem 
octal: 
 
(a) 65, 66,67,70,71,..... 
 (b) 275, 276, 277, 300,301,..... 
 
Com N dígitos octais, pode-se contar de zero até 8N-1, num total de 8N 
valores diferentes. Por exemplo, com três dígitos octais pode-se contar de 0008 até 
7778, perfazendo um total de 83 = 51210 números octais diferentes. 
 
Exercícios 
 
1) Converter 6148 em decimal. 
14 
 
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2) Converter 14610 em binário, passando por octal. 
 
3) Converter 100111012 em octal. 
4) Complete a seqüência em octal: 624, 625, 626,____,____,____. 
 
5) Converter 97510 em binário, passando por octal. 
 
6) Converter o valor binário 1010111011 em decimal, passando por octal. 
 
 
2.5 SISTEMA NUMÉRICO HEXADECIMAL 
 
 
O sistema hexadecimal, também conhecido como sistema hexa, utiliza a base 
16. Portanto, este sistema tem 16 dígitos, representados pelos dígitos decimais de 0 
a 9 e pelas letras maiúsculas de A a F. 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Decimal Binário
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Hexadecimal
 
 
 
Observe que cada dígito hexadecimal é representado por um grupo de quatro 
bits. É importante lembrar que os dígitos hexa de A a F são equivalentes aos valores 
decimais de 10 a 15, respectivamente. 
 
Conversão Hexadecimal-Decimal Um número em hexa pode ser 
convertido em seu equivalente decimal através do valor posicional (peso) que cada 
dígito ocupa no número. O dígito menos significativo tem peso igual a 160 = 1, o 
15 
 
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seguinte 161 = 16, o seguinte 162 = 256, e assim por diante. O processo de 
conversão é mostrado nos exemplos seguintes: 
 
35616 = 3 x 162 + 5 x 161 + 6 x 160 
 = 768 + 80 + 6 
 = 85410 
 
2AF16 = 2 x 162 + 10 x 161 + 15 x 160 
 = 512 + 160 + 15 
 = 68710 
 
Observe que, no segundo exemplo, o valor 10 substituiu o dígito hexadecimal 
A, e o valor 15 entrou no lugar do dígito hexa F, na conversão em decimal. 
 
Conversão Decimal-Hexadecimal Para converter decimal em binário 
usamos a divisão por 2 repetidas vezes, e na conversão decimal-octal empregamos 
a divisão por 8. desta mesma forma, para convertermos um número decimal em 
hexa, devemos dividí-lo sucessivamente por 16. Os exemplos seguintes ilustrarão o 
processo. 
 
Converter 42310 em hexa: 
 
 
 
 
 
Converter 21410 em hexa: 
 
 
 
 
 
Observe novamente como os restos formam os dígitos do número hexa. Além 
disso, os restos maiores que 9 são representados pelas letras de A a F. 
 
16 
 
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Conversão Hexa-Binário Assim como o sistema octal, a principal utilidade 
do sistema hexadecimal é "abreviar" a representação de seqüências binárias muito 
grandes. Cada dígito hexa é convertido em seu equivalente binário de quatro bits. 
 
 
 
 
 
Conversão Binário-Hexa Converter de binário para hexa é justamente fazer 
ao contrário o processo que acabamos de ver. O número binário é separado em 
grupos de quatro bits, e cada grupo é convertido no seu equivalente hexa. 
Acrescenta-se zeros à esquerda, se for necessário completar o grupo: 
 
 
 
 
 
Para realizar conversões entre números binários e hexa, é imprescindível 
saber a equivalência entre os dígitos hexa e os números binários de quatro bits 
(0000 até 1111). Uma vez memorizadas, as coversões não precisam de calculadora. 
Essa é uma das razões da utilidade destes sistemas (hexa e octal) na representação 
de grandes números binários. 
 
Contando em Hexadecimal Quando contamos em hexa, cada dígito de 0 a 
F deve ser incrementado de 1. Ao chegar a F, esta posição volta a zero, e a próxima 
posição é então incrementada. As seqüências abaixo ilustram contagens em hexa: 
 
(a) 38, 39, 3A, 3B, 3C, 3D, 3E, 3F, 40, 41, 42 
(b) 6F8, 6F9, 6FA, 6FB, 6FC, 6FD, 6FE, 6FF, 700 
 
Exercícios 
 
1) Converta 24CE16 para decimal. 
 
2) Converta 311710 para hexa e depois para binário. 
 
3) Converta 10010111101101012 para hexa. 
 
4) Encontre os quatro números seguintes da seqüência hexa: E9A, E9B, E9C, 
E9D,_____,_____,_____. 
 
5) Converta 35278 para hexa. 
17 
 
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Mais exercícios 
 
1) Converta os seguintes números binários em decimal: 
 
a) 10110 d) 1111010111 
b) 10001101 e) 10111111 
c) 100100001001 
 
2) Converta os seguintes valores decimais em binário: 
 
a) 37 d) 205 
b) 14 e) 2313 
c)189 f) 511 
 
3) Qual o maior número decimal que pode ser representado por um número binário 
de oito bits ? E de 16 bits ? 
 
4) Converta cada número octal em seu equivalente decimal: 
 
a) 743 d) 257 
b) 36 e) 1204 
c) 3777 
 
5) Converta cada número decimal em binário: 
 
a) 59 c) 65535 
b) 372 d) 255 
 
6) Converta cada número octal do item 4 em binário: 
 
7) Converta cada número binário do item 1 em octal: 
 
8) Liste todos os números octais entre 1658 e 2008. 
 
9) Converta os seguintes números hexa em decimal: 
 
a) 92 d) 2C0 
b) 1A6 e) 7FF 
c) 37FD 
 
10) Converta os seguintes números decimais em hexa: 
 
a) 75 d) 25619 
b) 314 e) 4095 
c) 2048 
 
11) Converta os números binários do item 1 em hexa. 
 
12) Converta os números hexa do item 10 em binário. 
 
18 
 
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13) Na maioria dos microcomputadores o endereço das células de memória é 
hexadecimal. tais endereços são números seqüenciais que identificam cada posição 
de memória. 
 
a) Um determinado microcomputador pode armazenar números de oito bits 
em cada célula de memória. Sabendo-se que a faixa de endereçamento vai de 
000016 até FFFF16, quantas células existem nesta memória ? 
 
b) Outro microcomputador tem 4096 células. Qual a faixa de endereçamento 
em hexadecimal desta memória ? 
 
14) Liste seqüencialmente, em hexadecimal, os números de 28016 até 2A016. 
 
15) execute as conversões abaixo: 
 
a) 141710 =___________ 2 g) 2358 = __________ 10 
b) 25510 = ___________ 2 h) 43168 = __________ 10 
c) 110100012=_________ 10 i) 7A916 = __________ 10 
d) 111010100012 = _______ 10 j) 3E1C16 = ___________ 10 
e) 249710 = ___________ 8 k) 160010 = ___________ 16 
f) 51110 = ___________ 8 l) 3818710 = ___________ 16 
 
 
3 ARITMÉTICA DIGITAL 
 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
 
 
Os computadores digitais e as calculadoras executam diversas operações 
aritméticas com números representados na forma binária. A aritmética digital pode 
vir a ser um assunto extremamente complexo, se desejarmos enterder a fundo sua 
metodologia de operação e toda a teoria existente por trás de tal metodologia. 
Felizmente, este nível de conhecimento não é necessário à maioria dos profissionais 
envolvidos com circuitos digitais, pelo menos até que eles adquiram bastante 
experiência no assunto. Nossa atenção será concentrada nos princípios básicos 
necessários ao entendimento de como os sistemas digitais realizam as operações 
aritméticas. 
 
Em primeiro lugar, vamos examinar como as diversas operações aritméticas 
são feitas com números binários, utilizando a técnica do "lápis e papel", e então 
passaremos a estudar os circuitos lógicos que executam efetivamente tais 
operações em um sistema digital. 
 
 
3.2 ADIÇÃO BINÁRIA 
 
 
A adição de números binário é feita da mesma forma que a adição de 
números decimais. Na verdade, a adição binária é bem mais simples,pois só trata 
19 
 
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Eletrônica Digital 
 
com dois algarismos, comparando-se com os 10 empregados no sistema decimal. 
Teremos, a seguir, uma pequena revisão da adição decimal. 
 
 
 
 
 
O dígito menos significativo é operado em primeiro lugar, produzindo uma 
soma cujo valor é 7. A operação com os dígitos da segunda posição tem como 
resultado 13, mantendo-se o dígito 3 na segunda posição do resultado, e gerando 
um dígito de carry de valor 1 para a terceira posição. A adição dos dois dígitos da 
terceira posição, cuja soma deve ser adicionada ao carry, produz um valor 8 como 
resultado. 
 
Os mesmos casos deverão ser seguidos na adição binária. As possibilidades 
existentes na adição de dígitos binários (bits) estão descritas a seguir: 
 
 
 
 
 
Este último caso ocorre quando há dois bits em determinada posição, e o 
carry gerado pela posição anterior é 1. Seguem dois exemplos de adição de dois 
números binários: 
 
 
 
Não é necessário considerar a adição de mais de dois números binários 
simultaneamente, pois em todos os sistemas digitais os circuitos que efetivamente 
realizam a adição manipulam dois números binários por vez. Quando há 
necessidade de se adicionar mais de dois números, os dois primeiros devem ser 
adicionados, sendo então sua soma adicionada ao terceiro número, e assim por 
diante. Este fato não representa nenhuma limitação séria, uma vez que os circuitos 
modernos podem realizar uma operação de adição em poucos nanosegundos. A 
adição é a operação aritmética mais importante realizada pelos sistemas digitais. 
Como veremos adiante, as operações de subtração e multiplicação, realizadas pela 
grande maioria dos computadores modernos, usam a adição como sua operação 
básica. 
20 
 
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Exercícios 
 
1) Adicione aritmeticamente os seguintes pares de números binários: 
 
a) 10110 + 00111 b) 11101 + 10010 c) 10001111 + 00000001. 
 
 
3.3 SUBTRAÇÃO BINÁRIA 
 
 
Quando o minuendo é maior que o subtraendo, o método de resolução é 
análogo a uma subtração no sistema decimal. Temos, então: 
 
 
 
 
 
Observe que para o caso 0 - 1, o resultado será igual a 1, porém haverá um 
transporte (carry) para a coluna seguinte que deve ser acumulado no subtraendo e, 
obviamente, subtraído do minuendo. 
 
Para exemplificar, veja a subtração abaixo: 
 
 
 
 
 
Agora, para melhor esclarecer o caso 0-1, vamos resolver a operação 10002 - 
1112. Assim sendo, temos: 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Efetue as subtrações aritméticas: 
 
 a) 10102-10002 d) 100102 - 100012 
 b) 110002 - 1112 e) 101010112 - 10001002 
 c) 1001012 - 100112 
21 
 
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3.4 REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS COM SINAL 
 
 
Nos sistemas digitais, os números binários são representados por um conjunto 
de dispositivos de armazenamento. Cada dispositivo representa um bit. Por 
exemplo, um registrador formado por 6 dispositivos pode armazenar números 
binários na faixa entre 000000 e 111111 (em decimal, de 0 a 63). Isto representa a 
magnitude do número. Uma vez que tanto computadores quanto calculadoras 
precisam tratar números positivos e negativos, deve haver formas de se representar 
o sinal do número ( + ou - ). Isto é feito usualmente através de um bit de sinal, 
agregado aos bits de magnitude do número. Em geral, convencionou-se que 0 no 
bit de sinal representa um número positivo e 1 um número negativo 
 
 
 
 
 
O registrador A contém os bits 0110100. O bit mais à esquerda, A6, é o bit de 
sinal e, por conter 0, faz com que o número representado pelos demais bits, cuja 
magnitude é 1101002, 52 em decimal, seja considerado positivo. Ou seja, o número 
armazenado no registrador A é + 5210. Da mesma forma, o número armazenado no 
registrador B é - 5210, uma vez que seu bit de sinal é 1, representando -. 
 
Em resumo, o bit de sinal é utilizado para distinguir os números positivos dos 
negativos. Este sistema de representação de números binários com sinal é 
denominado de sinal-magnitude. 
 
Exercícios 
1 Represente cada um dos valores como um número binário de 5 bits: (a) + 13, (b) -
7, (c) –16. 
 
2) Qual a faixa de números decimais com sinal que pode ser representada 
utilizando-se 12 bits, aí incluído o bit de sinal ? 
 
22 
 
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3) Quantos bits são necessários para representar valores decimais situados na faixa 
de - 50 até + 50 ? 
 
4) Qual é o maior valor decimal negativo que pode ser representado utilizando-se 
um total de 16 bits ? 
 
 
SUBTRAÇÃO COM REGRA DE COMPLEMENTOS 
 
 
Infelizmente, o método tradicional não é suficiente quando se precisa efetuar 
uma subtração onde o minuendo é menor que o subtraendo. Para estes casos, 
utiliza-se a regra dos complementos. 
 
1.Complemento falso: Substitui-se todos os zeros do resultado por uns e vice-
versa. 
 
2.Complemento verdadeiro: Adiciona-se uma unidade ao complemento falso. 
 
 Para exemplificar, vamos subtrair 610 de 810. 
 
 
 
Observe que o resultado parcial (11102) é 1410, ou seja, está incorreto, 
verifique também que o resto da quarta coluna (carry de 0-1) se transforma no bit de 
sinal, e que nele não se aplica a regra dos complementos. 
Exercícios 
 
1) Efetue as subtrações binárias: 
 
 a) 10011-11011 d) 11-1001 
 b) 11111-111110 
 c) 1001-11101 
 
 
3.5 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS BINÁRIOS 
 
 
A multiplicação de números binários é levada a efeito da mesma forma que a 
multiplicação de números decimais. Na verdade, no caso dos binários, o processo é 
bem mais simples, pois os dígitos do multiplicador são sempre o ou 1, e, por conta 
disso, estaremos efetuando apenas multiplicações por 0 e 1, o que torna a operação 
23 
 
REMAN - Apostilas Técnicas 
Eletrônica Digital 
 
extremamente simples de executar. O exemplo seguinte utiliza números sem sinal 
para ilustrar o processo de multiplicação. 
 
 
 
Neste exemplo, tanto o multiplicando quanto o multiplicador estão em sua 
forma binária pura, não sendo considerados os bits de sinal. Os passos seguidos no 
processo de multiplicação binária são os mesmos usados no caso da multiplicação 
de números decimais. Em primeiro lugar, examinamos o bit menos significativo do 
multiplicador, que vale 1 em nosso exemplo. Tal valor é então multiplicado pelo 
multiplicando, gerando 1001 como resultado, que deve ser escrito imediatamente 
abaixo do multiplicador, sendo considerado o primeiro produto parcial. A seguir, 
devemos examinar o segundo bit do multiplicador. Como seu valor também é 1, 
1001 é tomado como segundo produto parcial. Observe que este segundo produto 
deve ser escrito abaixo do primeiro, deslocado de uma posição à esquerda, em 
relação a este último valor. O terceiro bit do multiplicador é zero, portanto 0000 é o 
terceiro produto parcial. Novamente, este valor é escrito abaixo do produto anterior, 
deslocado uma posição à esquerda do mesmo. O quarto bit do multiplicador é 1, o 
que faz com que o último produto parcial seja outra vez 1001, escrito abaixo do 
produto anterior, deslocado uma posição à esquerda. Os quatro produtos parciais 
são, então, somados para se obter o produto final da multiplicação. 
 
Exercícios 
 
1) Adicione os seguintes grupos de números binários, utilizando as regras da adição 
binária. 
 
a) 1010 + 1011 
 b) 1111 + 0011 
 c) 10111101 + 111 
 d) 1011 + 1111 
 e) 10011011 + 10011101 
 
2) Represente cada um dos números decimais com sinais listados abaixo. Use um 
total de 8 bits, incluindo um bit de sinal. 
 
a) +32 e) -1 
 b) -14 f) -128 
 c) +63 g) +169 
 d) -104 h) 0 
24 
 
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Eletrônica Digital 
 
3) Cada um dos números a seguirrepresenta um valor decimal com sinal. 
Determine, em cada caso, o valor decimal correspondente. 
 
 a) 01101 e) 01111111 
 b) 11101 f) 100000 
 c) 01111011 g) 11111111 
 d) 10011001 h) 10000001 
 
4) Determine: 
 
a) Qual a faixa de valores decimais com sinal que podem ser representados 
usando 12 bits, incluindo o bit de sinal ? 
 
b) Quantos bits são necessários para representar os números decimais 
situados na faixa de - 32768 a + 32767, incluindo ambos ? 
 
5) Liste, em ordem crescente, os números binários com sinal que podem ser 
representados em cinco bits. 
 
6) Qual a faixa de números decimais sem sinal que podem ser representados em 10 
bits ? E qual a faixa dos decimais com sinal que podem ser representados usando 
os mesmos 10 bits ? 
 
7) Efetue as subtrações abaixo. 
 
a)1100-1010 c)1011001-11011 
 b)10101-1110 d)100000-11100 e)11110 -1111 
8) Resolva as subtrações. 
 
 a)1010-1100 d)11011-1011001 
 b)10101-1110 e)11100-100000 
 c)1111-11110 
 
9) Multiplique os seguintes pares de números. 
 
 a)111 x 101 d)1100 x 100 
 b)1011 x 1011 e) 111111 x 1001 
 c)1101 x 1011 f) 10111 x 111 
 
 
4 ÁLGEBRA BOOLEANA 
 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
 
 
Em meados do século XIX G. Boole desenvolveu um sistema matemático de 
análise lógica. 
 
Esse sistema é conhecido como "álgebra de Boole". 
25 
 
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No início da era eletrônica, todos os problemas eram resolvidos por sistemas 
analógicos, também conhecidos por sistemas lineares. 
 
Com o avanço da tecnologia, esses mesmos problemas começaram a ser 
solucionados através da eletrônica digital. Esse ramo da eletrônica é empregado nas 
máquinas, tais como: computadores, processadores de dados, sistemas de controle 
e de comunicação digital, codificadores, decodificadores, etc. 
 
A álgebra de Boole é baseada em apenas dois valores. Esses dois valores 
poderiam, por exemplo, ser representados por tensão alta e tensão baixa ou 
tensão positiva e tensão negativa. 
 
Na álgebra comum os valores têm um significado numérico, enquanto que na 
Álgebra de Boole têm um valor lógico. Observe que muitas coisas apresentam duas 
situações estáveis. 
 
Exemplo: verdade ou mentira; alto ou baixo; sim ou não; ligado ou desligado; 
aceso ou apagado; positivo ou negativo; etc. Essas coisas são ditas binárias e 
podem ser representadas por 0 ou 1. 
 
Exemplo: Ligado e Desligado 0 1
 
 
Uma variável booleana tem o mesmo significado da variável da álgebra 
comum. Entretanto, a variável booleana pode assumir apenas 2 valores, cada qual 
em instantes diferentes. 
 
Exemplo de variáveis booleanas: A, B, C, a, b, c, x, y, z, P, Q,...A seguir, 
estudaremos as diversas funções e suas portas lógicas. 
 
 
4.2 FUNÇÃO E OU AND 
 
 
 A função E é aquela que executa a multiplicação de duas ou mais variáveis 
binárias. 
 
S = A . B onde se lê: A e B
 
 
Para melhor compreensão, representaremos a função E através do circuito: 
 
 
E
CH.A CH.B Convenções:
chave aberta = 0
chave fechada = 1 
lâmpada apagada = 0
Lâmpada acesa = 1 
26 
 
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Eletrônica Digital 
 
1) Se tivermos a chave A aberta (0) e a chave B aberta (0), neste circuito não 
circulará corrente, logo a lâmpada permanecerá apagada (0). ( A=0, B=0, A.B=0) 
 
2) Se tivermos a chave A aberta (0) e a chave B fechada (1), a lâmpada 
permanecerá apagada.( A=0, B=1, A.B = 0) 
 
3) Se tivermos a chave A fechada (1) e a chave B aberta (0),a lâmpada 
permanecerá apagada. (A=1, B=0, A.B =0) 
 
4)Se tivermos agora, a chave A fechada (l) e a chave B fechada (1) a lâmpada irá 
acender, pois circulará corrente. ( A=1, B=1, A.B =1) 
 
Analisando as situações, concluímos que só teremos a lâmpada acesa 
quando as chaves A e B estiverem fechadas. 
 
 
TABELA DA VERDADE DA FUNÇÃO E OU “AND” 
 
A B S = A.B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
 
 
 
Porta E ou “AND” 
 
 
A porta E é um circuito que executa a função E, portanto segue a tabela vista 
anteriormente.. 
 
 
Símbolos 
 
 
A
B
SA A
B B
S SE
 
 
 
Até agora, descrevemos a função E para duas variáveis de entrada. 
Podemos estender este conceito para qualquer número de entradas. Teremos neste 
27 
 
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Eletrônica Digital 
 
caso uma porta E de N entradas e somente uma saída. A saída permanecerá no 
“estado um” se, e somente se as N entradas forem iguais a um e permanecerá no “ 
estado zero” nos demais casos. 
 
A
B
C
N .
...
S S =A.B.C....N
 
 
Para exemplificar, vamos mostrar uma porta E de três entradas e sua tabela 
da verdade. 
 
S
A
B
C
S = A . B . C
A B C S
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
 
 
Notamos que a tabela da verdade anterior mostra as oito possíveis 
combinações das variáveis de entrada e seus respectivos resultados de saída. 
 
O número de situações possíveis é igual a 2N , onde N é o número de 
variáveis. No exemplo anterior: N=3, portanto, 23 = 8, que são as oito combinações 
possíveis para 3 variáveis de entrada. 
 
 
4.3 FUNÇÃO OU ou OR 
 
 
A função OU é aquela que assume o valor um na saída quando uma ou mais 
variáveis de entrada forem iguais a um e assume o valor zero se, e somente se, 
todas as variáveis de entrada forem iguais a zero.É representada da seguinte 
forma: 
S = A + B onde se lê S = A ou B
CH. A
CH. BE
As convenções são
as mesmas do cir-
cuito representativo
da porta E.
 
28 
 
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Eletrônica Digital 
 
Situações possíveis. 
 
1) Se tivermos as chaves A e B abertas ( 0 e 0 ), no circuito não circulará corrente, 
logo, a lâmpada permanecerá apagada (0). 
 
2) Se tivermos a chave A aberta (0) e a chave B fechada (1), circulará uma corrente 
pela chave B e a lâmpada acenderá (1).(A=0, B=1, A+B =1) 
 
3) Se tivermos a chave A fechada (1) e a chave B aberta (0), o circuito agora ficará 
fechado através da chave A e em consequência a lâmpada permanecerá acesa (1). 
( A=1, B=0, A+B = 1). 
 
4) Se tivermos as duas chaves fechadas (A=1 e B=1), a corrente circulará através 
dessas chaves e a lâmpada permanecerá acesa (1). (A=1,B =1, A+B=1) 
 
O sinal "+" é um símbolo de soma booleana, 
portanto não se deve estranhar quando 1 + 1 = 1.
 
 
 
TABELA DA VERDADE DA FUNÇÃO OU 
 
 Nesta tabela da verdade teremos todas as situações possíveis com os 
respectivos valores que a função OU assume. 
 
A
0
0
1
1
S
0
1
1
1
B
0
1
0
1
S = A + B
 
 
 
Porta OU ou "OR" 
 
 É a porta lógica que executa a função OU. 
 
 Símbolos 
 
OU
B
A S
B
A
S
 
 
A porta OU executa a tabela da verdade da função OU, ou seja, teremos a 
saída 1 (um) quando uma ou mais variáveis de entrada forem iguais a 1 (um), e 
29 
 
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teremos a saída no estado (0) se, e somente se todas as entradas forem iguais a 
zero. 
 
 
Podemos estender o conceito das portas OU para mais de duas variáveis: 
 
A
B
C S
N
S = A + B + C +...+ N
 
 
 
Exemplo de porta OU de 3 variáveis de entrada: 
 
B
C
A
S
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
A
0
0
0
0
1
1
1
1
S
0
1
1
1
1
1
1
1
 
 
 As três variáveis de entrada possibilitam 23 = 8 combinações possíveis. 
 
 
4.4 FUNÇÃO NÃO ou NOT 
 
 
 A função não ou função complemento é aquela que inverte o estado da 
variável, ou seja, se a entrada estiver em 0 (zero) a saída será 1 (um), e se a 
entrada estiver em 1 (um) a saída será 0 (zero). A função complemento é 
representada da seguinte forma: 
 
S = onde se lê: "A barrado" ou "complementode A"A
 
 
Esta barra sobre a letra que representa a variável significa que esta sofrerá 
uma inversão. Podemos também dizer que Ā significa a negação de A. 
 
 Para entendermos melhor a função "não", vamos representá-la pelo circuito a 
seguir. 
 
30 
 
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CH AE
R
L
 
 
Situações possíveis: 
 
1) Quando a chave A estiver aberta (0), passará corrente pela lâmpada e esta 
acenderá (1): A=0 e Ā =1. 
 
2) Quando a chave A estiver fechada (1), curto-circuitaremos a lâmpada e esta se 
apagará (0): A=1 e Ā =0. 
 
TABELA DA VERDADE 
 
 
S = A
A
0
1
A
1
0
 
 
 
 Porta inversora ou "Inversor" 
 
 
 O inversor é o bloco lógico que executa a função NÃO, e sua representação é 
 
após um outro bloco lógico
antes de um outro bloco lógico
AAA A ou
 
 
 
A porta inversora a tabela da função NÃO e só poderemos ter uma entrada e 
uma saída. 
 
 
4.5 FUNÇÃO NÃO E , NE ou NAND 
 
 
Como o próprio nome NÃO E diz: essa função é uma combinação da função 
E com a função NÃO, ou seja, teremos a função E INVERTIDA. Esta função é 
representada da seguinte forma: 
31 
 
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S = onde se lê: A e B barradosA.B
 
 
TABELA DA VERDADE 
 
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
S
1
1
1
0
S = AB
 
 
 Pela tabela da verdade, podemos notar que esta função, realmente é o 
inverso da função E, e tem como característica o nível 1 na saída, toda vez que uma 
das entradas tiver o nível lógico 0. 
 
 Porta NE ou NAND 
 
 A porta NE ou NAND é o bloco lógico que executa a função NAND e sua 
representação será: 
 
A A A
B B B
S S SE
 
 
 
Podemos notar pela tabela da verdade, que formamos uma porta NE ou 
NAND a partir de uma porta E e um bloco inversor ligado à sua saída. 
 
B
A S
 
 
 
 A porta NAND, como os outros blocos lógicos, pode ter duas ou mais 
entradas. 
 
 
4.6 FUNÇÃO NÃO OU, NOU OU NOR 
 
 
Analogamente à função NAND, a função NOR é a composição da função OU 
com a função NÃO, ou seja, a função NOR será o inverso da função OU. Esta 
função é representada da seguinte forma: 
 
32 
 
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S = onde se lê: A ou B barradosA+B
 
 
TABELA DA VERDADE 
 
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
S
1
0
0
0
S = A + B
 
 
 Note que a função NOR realmente é a função OU invertida, e tem como 
característica o nível 0 (zero) em S, toda vez que uma das variáveis de entrada 
apresentar nível 1 (um). 
 
Porta NOU ou NOR 
 
 A porta NOU é o bloco lógico que executa a função NOR. Sua simbologia é 
mostrada abaixo: 
 
 
A
B
S OU
A
B
S
 
 
 
 Este bloco executa a tabela da verdade da função NOU e como os outros 
blocos lógicos, pode ter duas ou mais entradas. 
 
Podemos notar pela tabela da verdade, que formamos uma porta NOR a 
partir de uma porta OU e um bloco inversor ligado à sua saída. 
 
 
A
B
S
 
 
 
 O termo mais utilizado como referência a esta porta é NOR. 
 
 
As portas NAND e NOR são chamadas de 
porque todos os circuitos podem ser 
construídos somente com estas portas.
portas 
universais, 
 
33 
 
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4.7 RESUMO 
 
 
AA
Blocos Lógicos Básicos
B
A
S
Função : Assume 
valor 1 quando todas 
as var iáveis de 
entrada forem iguais 
a 1, e zero nos 
demais casos.
E
E
AND
PORTA TABELA DA
 VERDADE FUNÇÃO LÓGICA
SÍMBOLO USUAL
Blocos Lógicos Universais
B
A
S
Função : Inverso 
da função .Haverá 
1 na saída se uma 
d a s e n t r a d a s 
assumir nível lógico 
0.
NE
ENE
NAND
PORTA TABELA DA VERDADE FUNÇÃO LÓGICASÍMBOLO USUAL
B
A
S
Função : Assume 
valor zero quando 
todas as variáveis 
forem iguais a zero, 
e assume valor um 
nos demais casos.
OU
OU
OR
S
B
A
Função : Inver-
so da função Ha-
verá nível 0 na saída 
se uma das entra-
das assumir valor 1.
NOU
OU.NOU
NOR
 
Função :inverte
a variável aplicada à 
sua entrada 
NÃO
NÃO
NOT
INVERSOR
 
 
 
 
4.8 BLOCO OU EXCLUSIVO OU “XOR” 
 
 
A função que este bloco executa, como o próprio nome diz, consiste em 
fornecer 1 à saída quando as variáveis de entrada forem diferentes entre si. Com 
esta pequena apresentação podemos montar sua tabela da verdade e, obter pelo 
mesmo processo visto até aqui, sua expressão característica e, posteriormente, 
esquematizar o circuito: 
 
34 
 
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A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
S
0
1
1
0
 
 
 Da expressão esquematizamos o circuito representativo da função OU 
EXCLUSIVO 
 
A
B
S
 
 
 A notação algébrica que representa a função OU EXCLUSIVO é S=A⊕B, 
onde se lê A OU EXCLUSIVO B, sendo S=A⊕B = Ā.B + A. B . O circuito OU 
EXCLUSIVO pode ser representado pelo símbolo abaixo. 
 
B
A S
 
 
 Uma importante observação é que, ao contrário dos outros blocos lógicos, o 
circuito OU EXCLUSIVO só pode ter 2 variáveis de entrada, fato este devido à sua 
definição básica. O circuito OU EXCLUSIVO também é conhecido como 
EXCLUSIVE OR (EXOR). 
 
 
4.9 BLOCO COINCIDÊNCIA 
 
 
A função que o bloco COINCIDÊNCIA executa é a de fornecer 1 à saída quando 
houver uma coincidência nos valores das variáveis de entrada. 
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
S
1
0
0
1
 
 
 A partir da expressão, podemos esquematizar o circuito 
 
35 
 
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Eletrônica Digital 
 
A
B
S
 
 
. A notação algébrica que representa a função COINCIDÊNCIA é S=A B, 
onde se lê A COINCIDÊNCIA B, sendo S=A B = B.A + A.B.O símbolo do circuito 
COINCIDÊNCIA é visto abaixo. 
 
B
A
S
 
 
 Se compararmos as tabelas da verdade dos blocos OU EXCLUSIVO e 
COINCIDÊNCIA, iremos concluir que estes são complementares, ou seja, teremos a 
saída de um invertida em relação à saída do outro. Assim sendo, podemos escrever: 
 
A B = ⊕ A B~
 
 
 
5 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS 
 
 
5.1 FUNÇÕES BOOLEANAS 
 
 
 Uma função booleana de N variáveis mostra as relações entre essas variáveis 
através dos operadores (.) e (+). 
 
 Exemplo: 
F = A.B.C + .B.A C
 
 
A função booleana é obtida, geralmente, de um problema qualquer, ou 
podemos escrever a expressão booleana que é executada por qualquer circuito 
lógico. 
 
 Exemplo de um problema: 
 
 Convenção: 
Chave do torno: S.............ligada: S=0 
desligada: S=1 
 
Medida do eixo................correta: A=0 
36 
 
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errada: A=1 
 
Término do eixo.............fazendo: B=0 
fim do eixo: B=1 
 
Operário.............................bom: C=0 
machucado: C=1 
 
função S (A,B,C) = ?
 
 
Constrói-se a tabela da verdade com três variáveis e verifica-se, de acordo 
com a convencão adotada, os níveis que a chave do torno (S) deverá ter. 
 
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
S
0
1
1
1
1
1
1
1
Função S = A + B + C
B
A
C
S
 
 
Verificando a tabela da verdade, notamos que é a tabela da função OU com 
três variáveis. Uma vez identificada a função, é só contruir o circuito lógico. 
 
Quando a tabela obtida não coincide com nenhuma 
das funções vistas anteriormente, a função poderá ser 
escrita após o conhecimento da forma canônica
 
 
 
5.2 FORMAS CANÔNICAS 
 
 
 Toda função booleana de N variáveis pode ser escrita na forma canônica 
disjuntiva ou conjuntiva. 
 
5.2.1 Disjuntiva 
 
Chama-se forma canônica disjuntiva àquela obtida da tabela da verdade 
escrevendo-se: 
 
a) Um termo para cada linha onde a funçãoé igual a 1. 
 
b) Os termos serão ligados pela operação "OU" (+). 
 
37 
 
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 c) Em cada termo as variáveis serão ligadas pela operação "E"(.). 
 
 d) A variável será barrada ou não, conforme seu valor seja 0 ou 1 naquela 
linha. 
 
 
Exemplo: 
 
 Seja a tabela: 
 
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
0
0
1
1
0
0
1
A B C 
A B C
A B C
A B C
1ª Linha: 
4ª Linha: B C
5ª Linha: A 
8ª Linha: A B C
A B C
A
B C
 
 
• F = ABCC BAC BA C B A +++ 
 
5.2.2 Conjuntiva 
 
 Chama-se forma canônica conjuntiva àquela obtida da tabela da verdade 
escrevendo-se: 
 
 a) Um termo para cada linha onde a função tem valor 0. 
 
 b) Os termos serão ligados pela operação "E " (.). 
 
 c) Em cada termo as variáveis serão ligadas pela operação "OU" (+). 
 
d) A variável será barrada se naquela linha seu valor é 1 e não barrada se seu 
valor é 0. 
 
 Exemplo: 
 
 A função é igual a zero na 2ª, 3ª, 6ª e 7ª linhas. 
 2ª Linha: A + B + C 
 3ª Linha: A + B + C 
 6ª Linha: A + B + C 
 7ª Linha: A + B + C 
 
 F = ( )( )( ) ( )C B AC B A.C B A .C B A +++++++++ 
 5.4. Princípio da Dualidade 
 
Troca - se 
38 
 
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+ por .
. por +
0 por 1
1 por 0
 
 
 Seja F uma função booleana. Define-se a função dual de F como sendo 
aquela obtida quando mudamos os operadores + por . e . por + e os valores 0 por 1 
e 1 por 0. Observando os postulados do item seguinte, nota-se que os da direita (b) 
são perfeitos duais dos da esquerda (a). 
 
 Postulados da Dualidade 
 
 1a) X = 0 se X ≠ 1 1b) X = 1 se X ≠ 0 
 2a) X = 1 se X = 0 2b) X = 0 de X = 1 
 3a) 0 . 0 = 0 3b) 1 + 1 = 1 
 4a) 1 . 1 = 1 4b) 0 + 0 = 0 
 5a) 1 . 0 = 0 . 1 = 0 5b) 0 + 1 = 1 + 0 = 1 
 
 
5.3 TEOREMAS E PROPRIEDADES DA ÁLGEBRA BOOLEANA 
 
 
5.3.1 Teorema da Dualidade 
 
Já demonstrado e comprovado através de seus princípios itens ateriores 
 
5.3.2 Teoremas de De Morgan 
 
5.3.2.1 1º Teorema de De Morgan 
 
"O complemento do produto é igual a soma 
dos complementos"
 = + A . B A B
 
 
Podemos comprovar este teorema através da tabela da verdade. 
 
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A.B
0
0
0
1
A.B
1
1
1
0
A B+
1
1
1
0
Tabela da verdade
de uma porta NAND
 
39 
 
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5.3.2.2 2º Teorema de De Morgan 
 
"O complemento da soma é igual o produto 
dos complementos"
 = . A + B A B
 
 
 Este teorema pode ser comprovado pela tabela da verdade: 
 
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A+B
0
1
1
1
A+B
1
0
0
0
A B.
1
0
0
0
Tabela da verdade
de uma porta NOR
 
 
PORTAS LÓGICAS EQUIVALENTES 
 
 Pelo teorema de De Morgan, temos: 
 
a) Portas NAND 
 
B
A
S
A
B
S
 
 
 b) Portas NOR 
 
B
A SA
B
S
 
 
 
5.4 Propriedades Booleanas 
 
 
5.4.1 Propriedade da Intersecção 
 
 
Esta propriedade está relacionada com as portas "E". Os dois casos que se 
encaixam aqui são: 
 
 1 A . 1 = A 
40 
 
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 2 A . 0 = 0 
 
Esta propriedade é válida também para portas E com mais de duas 
entradas 
 
 1 A . B . 1 = A . B 
 
2 A . B . 0 = 0 
 
 
5.4.2 Propriedade da União 
 
 
 Esta propriedade está relacionada com as portas ou e está dividida em dois 
casos: 
 1 B + (1) = 1 
 
 2 B + (0) = B 
 
Da mesma forma, esta propriedade também é válida para portas OU com 
mais de duas entradas: 
 
 1 A + B + (1) = 1 
 
 2 A + B + (0) = A + B 
 
 
5.4.3 Propriedade da Tautologia 
 
 
Esta propriedade pode ser aplicada tanto para portas "E" como para portas 
"OU", e trata dos seguintes casos: 
 
 1 A . A = A 
 
 2 A + A = A 
 
 Por exemplo 
 
 F = XYZ + XYZ + AC 
 
 F = XYZ + AC 
 
 
5.4.4 Propriedade dos Complementos 
 
 
Se aplicarmos um sinal lógico e seu complemento a uma porta lógica, 
simultaneamente a saída será "0" ou "1", dependendo do tipo de porta, ou seja: 
41 
 
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 A . A = 0 A + A = 1 
 
 
5.4.5 Propriedade da Dupla Negação 
 
 
 Esta propriedade afirma que o complemento do complemento de A é igual a 
A. Em forma de expressão matemática, temos: 
 
 
 
Em outras palavras, podemos concluir que complementando um sinal duas 
vezes ou qualquer número par de vezes, teremos como resultado sempre o sinal 
original. E complementar um certo sinal por um número ímpar de vezes é o mesmo 
que complementá-lo uma só vez. 
 
Na prática, porém, pode ocorrer da saída não ser igual a entrada, quando um 
sinal é complementado um número par de vezes, pois se este sinal não for estático, 
ou seja, se ele variar constantemente, a saída levará um certo tempo para assumir o 
valor correto. Isto é devido a um fator existente em circuitos lógicos práticos, 
chamado de tempo de propagação. Em um circuito com várias portas, o atraso 
total é igual à soma do atraso em cada uma das portas. 
 
 
5.4.6 Propriedade Comutativa 
 
 
Esta propriedade é semelhante à da álgebra convencional. Divide-se, 
também, em dois casos: 
 
 1 A . B = B. A 
 
 2 A + B = B + A 
 
 Por exemplo: 
 
 W + X + Y = X + W + Y 
 
 JML = LMJ = MLJ ... 
 
 
5.4.7 Propriedade Associativa 
 
 
 Esta é outra propriedade semelhante à álgebra comum: 
 
 
42 
 
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 (A . B) . C = A . (B . C) = A . B . C 
 
 A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C 
 
 
5.4.8 Propriedade Distributiva 
 
 
 Também é parecida com a da álgebra convencional. 
 
 AB + AC = A ( B+ C) 
 
 Existem outras versões da propriedade distributiva, são elas: 
 
 1 AB + A B = A (B + B ) 
 AB + A B = A (1) 
 AB + A B = A 
 
 2 A + AB = A (1 + B) 
 A + AB = A (1) 
 A + AB = A 
 
 3 (A + B) . (A + C) = A + (BC) 
 Multiplicando -se o termo (A + B) por (A + C), obtemos: 
 AA + AC + AB + BC = A + AC + AB + BC 
 A (1 + C + B) + BC = A(1) + BC 
 (A + B) . (A + C) = A + (BC) 
 
 4 (A + B) . (A + B ) = A 
 Multiplicando-se (A + B) por (A + B ), obtemos: 
 AA + A B + AB + B B = A + A B + AB + 0 
 A + A B + AB = A (1 + B + B) 
 (A + B) . (A + B ) = A 
 
 
5.4.9 Propriedade da Absorção 
 
 
 Há várias versões desta propriedade, são elas: 
 
 1 A . (A + B) = A 
 Porque: AA + AB = A + AB = A . (1 + B) = A 
 
 
 2 A . ( A + B) = A . B 
 Porque: A A + AB = 0 + AB = A . B 
 
 3 AB + B = A + B 
43 
 
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 Porque: A B + B . (A + 1) = AB + A B + B = A . (B + B ) + B 
 A . (1) + B 
 
 4 A B + B = A + B 
 Da mesma forma que na anterior: AB + B . (A + 1) = 
 AB + AB + B = A . (B + B) + B = A . (1) + B 
 
 5 AC + AC B = AC + AB 
 Seja: AC(B + 1) + AC B = ACB + AC + AC B = 
 AC + AB (C + C ) = AC + AB 
 
 6 AB + BC + A C = AB + A C 
 
O termo BC deve ser absorvido, desta forma, basta analizarmos a 
simplificação que será adequada para a função: 
 
 AB( C + 1) + BC ( A +A) + A C = 
 AB C + AB + A BC + ABC + A C = 
 AB( C + 1 + C) + A (BC + C) = 
 AB(1) + A C = AB + A C 
 
 
Exercícios 
 
 
1) Usando a tabela da verdade, verifique a igualdade: 
 
 A + A B = A + B 
 
2) Prove as seguintes identidades através das propriedades e teoremas da álgebra 
Booleana 
 
 a) A B + B C + A C = A B + B C + A C 
 
 b) (A + B) ( A + C) = AC + A B 
 
3) Ache o complemento da seguinte função: 
 
 F = (A + B) ( A C + D) 
 
4) Usando a tabela da verdade, verifique as igualdades: 
 
 a) A + BC = (A+B) (A+C) 
 b)B +A = A . B 
 c) B .A = A + B 
 d) A . (A+B) = A 
44 
 
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5) Provar as seguintes identidades através das propriedades booleanas e teoremas. 
 
 a) A + A = A 
 b) A + A B = A + B 
 c) C) (B C) ++(A = A C + B D 
 d) B + A = A B + B 
 e) A ( A + B) = A . B 
 f) AB + A C + BCD = AB + A C 
 g) AB + BC + A C = AB + A C 
 
6) Ache os complementos das seguintes funções: 
 
 a) F = A + BC 
 b) F = AB + B C + A CD 
 
7) Prove que as suas respostas estão corretas mostrando que: 
 
 F . F = 0 
 F + F = 1 
 
8) Simplificar as seguintes expressões: 
 
 a) Y = A B + A + A C 
 b) Y = ABC + A + BC 
 c) Y = A C C + A B C + A B C + A C 
 d) Y = A B C + A B C + A B C + A B C 
 e) Y = (A + B + C ) ( A + B + C ) 
 f) Y = ( A + B + C) (A + B + C ) ( A + B + C) 
 
 
9) Utilizando os Teoremas de De Morgan, simplifique as expressões: 
 
a) F = C) (B C) (A )B +++(A 
 
b) F = C A C ++AB 
 
c) F = )Z (X )Z Y (X +++ 
 
d) F = Z Y X + Z Y X 
 
 
 
 
 
 
45 
 
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6 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS 
 
 
O número de funções booleanas pode ser dado por 22N , sendo N o número 
de variáveis de entrada. 
 
Vimos que a representação de uma função booleana em termos das 
operações definidas não é única, e que um modo de identificar a função é colocá-la 
na sua forma canônica. Visando a utilização do menor número de blocos 
fundamentais e, assim, o menor número de componentes no circuito final, procura-
se minimizar as funções booleanas. Devido às diferentes tecnologias de 
implementação de circuitos utilizados, não existe um critério único de minimização 
que resulte num circuito final mínimo. Um método que pode ser usado para 
minimizar funções é a utilização das propriedades algébricas. 
 
Existem outros métodos mais simples que permitem a simplificação de 
funções booleanas. 
 
Entre os principais métodos existentes, podemos citar os de Veitch-Karnaugh, 
Quine Mc Cluskey, método do cubo n e o método da transformada numérica. 
 
O número de funções booleanas cresce muito rapidamente com o número de 
variáveis, como se pode ver nas ilustração seguinte. No caso de n variáveis, temos 
tabelas da verdade com 2N linhas, e podemos dispor de dois elementos de repetição 
dessas linhas de 22N maneiras diferentes. 
 
n
1
2
3
4
5
2
4
16
256
65.636
4.294.967.296
2
N
 
 
Vamos estudar nas seções seguintes apenas o método de Veitch-Karnaugh, 
que satisfaz para a simplificação de funções de até 5 variáveis. 
 
 
6.1 MAPA DE KARNAUGH 
 
 
 O mapa de Karnaugh é uma forma ordenada para simplificar uma expressão, 
que geralmente nos leva a um circuito com configuração mínima. Não utiliza a tabela 
da verdade, e pode ser facilmente aplicado em funções envolvendo de duas a cinco 
variáveis. Para seis ou mais variáveis, o método começa a se tornar incômodo e 
podemos usar outras técnicas mais elaboradas. Também pode ser usado para 
determinar de portas duais ou complementares tornarão o circuito mais simples. 
46 
 
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6.1.1 Minitermos e Mapas de 2 a 5 Variáveis 
 
 
Qualquer função booleana pode ser escrita na forma canônica disjuntiva ou 
conjuntiva. A forma canônica disjuntiva é também conhecida como soma de 
produtos, e é escrita como soma de termos que apresentam sempre todas as 
variáveis envolvidas. 
 
Como exemplo, vamos escrever na forma canônica disjuntiva a função: 
 
 F= A (C + B ) 
 F= A (C + B ) = AC + A B 
 F= AC + A B = AC(B + B ) + AB(C + C ) 
 F= A B C + A B C + A B C +A B C 
 F= A B C + A B C +A B C 
 
Cada termo é conhecido como produto padrão, produto canônico ou 
minitermo. 
 
O mapa de Karnaugh é uma forma de representar uma dada função de 
maneira que cada minitermo mantenha-se vizinho de todos aqueles dos quais difere 
apenas por uma variável (de 1 muda para 0 ou vice-versa). Assim, os mapas de 
Karnaugh de 2 a 5 variáveis são indicados adiante. 
 
Inicialmente, o mapa de Karnaugh é representado por um retângulo, que 
chamamos de universo (1), e de acordo com o número de variáveis, este retângulo é 
dividido em várias, cujas partes representam os minitermos. Para uma variável 
simples, o retângulo é dividido em duas partes pela linha a, como mostra a figura 
abaixo. Todas as posições A são incluídas em um dos lados da linha a, e todas as 
posições A incluídas no outro lado da linha a. 
 
A A
a
 
 
Duas Variáveis Para duas variáveis, a classe é dividida em quatro partes ou 
grupos pelas linhas a e b, como mostra a figura abaixo. 
 
A
0
2 3
1
B
A A B
A B A B
A B
B
a
b
 
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A área do lado A da linha a é dividida nos grupos AB e A B , portanto AB + 
A B = A. A área do lado oposto de A é onde se encontram os grupos A B e A B, 
portanto A B + A B = A . 
 
A área do lado B da linha b é dividida nos grupos A B e AB, portanto 
A B+AB=B. O lado oposto de B é onde ficam os grupos A B e A B , portanto A B + 
A B = B . Estas relações mostram que os termos em quadrados adjacentes de um 
mapa de Karnaugh podem ser simplificados. Se dois termos quaisquer estão 
localizados em quadrados adjacentes, uma variável será comum aos dois termos, e 
as outras duas variáveis serão complementares e podem ser eliminados. Dois 
termos de duas variáveis cada, podem ser combinados em um único termo de uma 
só variável. 
 
Três Variáveis Para três variáveis, a classe é dividida em oito grupos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada uma das linhas divide a classe ao meio, e cada quadrado de um lado da 
linha é adjacente ao quadrado do outro lado da linha. A linha a foi extendida a fim de 
incluir as barras terminais verticais exteriores do mapa, e os dois quadrados do lado 
esquerdo são considerados adjacentes aos dois quadrados do lado direito do mapa. 
Portanto, cada quadrado de um lado da linha b é adjacente a um quadrado do outro 
lado da linha b. 
 
As duas linhas c ão unidas a cada quadrado de um lado da linha b e 
adjacente a outro quadra
termos em quadrados adj
estão localizados em quad
 
 Se dois termos qu
variáveis serão comuns 
complementos que podem
podem ser combinados em
A B C são termos adjacen
simplificados da seguinte 
 
s
do da linha b.Assim como o mapa de duas variáveis, os 
acentes podem ser simplificados. Se dois termos quaisquer 
rados adjacentes, podem ser simplificados. 
aiquer estão localizados em quadrados adjacentes, duas 
aos dois termos, e as duas variáveis restantes serão 
 ser eliminados. Dois termos de três variáveis adjacentes 
 um termo único de duas variáveis. Por exemplo, A B C e 
tes em lados opostos com relação à linha c, e podem ser 
maneira: 
48 
 
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AB C) C( BA C BA C BA =+=+ 
 
As duas variáveis que são complementos uma da outra, são eliminadas. Os 
termos C B A e C B A estão em lados opostos da linha b e adjacentes um ao outro; 
portanto, eles podem ser simplificados da seguinte maneira: 
 
 
 C A )B (B C A C B A C B A =+++ 
 
 Quatro Variáveis Para quatro variáveis a classe é dividida em 16 grupos, e 
como nos casos anteriores, os quadrados de um lado da linha são adjacentes aos 
do lado oposto. Para simplificação dos termos, isto é, eliminar algumas letras, é só 
juntar os termos complementares. 
 
A
C
0 1 3 2
4
8
5
9
7
11
6
10
12 13 15 14
B
D
A
DD
C
A DB C
A B C D
A B C D
A B DCA B C D
A B C D
A C D B
A B C D
A C B D
A B D C
A B C D
A B C D
A B C D
A C DB A CB D
A D B C
B
B
a
c
d d
b
b

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