Aplicações de Integral Ponto 6

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DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 1
Integral de Riemann e aplicações
— Caderno 2 —
––––––––––––––––––––––––––––––––-
�ANÁLISEMATEMÁTICA I - 2013/14 - 1o Sem.
� LEI / ETI / LEI-PL / ETI-PL
––––––––––––––––––––––––––––––––-
�Elaborado porDianaMendes e Rosário Laureano
� DM — Dpto de Matemática
� ISTA — Escola de Tecnologias e Arquitectura
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 2
1 Integral de Riemann
• Integral de Riemann:∫ b
a
f(x) dx = lim
n→∞
n−1∑
i=0
[
f(xi) · b− a
n
]
︸ ︷︷ ︸
soma de Riemann
em que f é uma função real de variável real definida e contínua no
intervalo limitado e fechado [a, b], com a < b.
A função f é designada por função integranda do integral.
O intervalo [a, b] é designado por intervalo de integração do integral.
São válidas as igualdades ∫ a
a
f(x)dx = 0
e ∫ b
a
f(x)dx = −
∫ a
b
f(x)dx quando b < a.
• Identidade de Chasles:∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx
Garante a existência do integral mesmo que f tenha um número finito
de descontinuidade de 1a espécie (também designadas por descon-
tinuidades de salto) no intervalo [a, b].
• Propriedades do integral de Riemann:∫ b
a
k · f(x) dx = k ·
∫ b
a
f(x) dx em que k ∈ R
∫ b
a
f(x) + g(x) dx =
∫ b
a
f(x)dx+
∫ b
a
g(x)dx∫ b
a
f(x)dx ≤
∫ b
a
g(x)dx se f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b]
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 3
• Teorema do valor médio para integrais ou Teorema da média:
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx = f(x0) para algum x0 ∈ [a, b]
• Fórmulas de derivação do integral:
d
dx
∫ x
a
f(t) dt = f(x)
Tal significa que
∫ x
a f(t) dt é simplesmente uma primitiva de f(x).
• Teorema fundamental do cálculo integral ou Fórmula de Bar-
row: ∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a) = F (x)
∣∣∣ba = [F (x)]ba
em que F (x) é uma primitiva de f(x).
• Integração por partes:∫ b
a
u′(x) · v(x) dx = [u(x) · v(x)]
∣∣∣ba − ∫ b
a
u(x) · v′(x) dx
em que u é uma função continuamente derivável em [a, b] .
• Integração por substituição:∫ b
a
f(x)dx =
∫ t0
t1
f (g(t)) · g′(t) dt =
∫ g−1(a)
g−1(b)
f (g(t)) · g′(t) dt
para x = g(t), em que g(t) é uma função injectiva e continuamente
derivável no intervalo [t0, t1], com g(t0) = a e g(t1) = b.
1.1 Exercícios propostos
1. Calcule o valor de cada um dos integrais seguintes:
(a)
∫ 8
0
√
2x+ 3
√
x dx
(b)
∫ 3
2
x+ 1
x− 1 dx
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 4
(c)
∫ 2
1
x2 + 2x+ 1 +
1
x+ x3
dx
(d)
∫ e
1
1 + sin (lnx)
x
+ ln (x) + ln3 (x) dx
(e)
∫ pi/2
0
sin3 (x) + x cos (x) dx
(f)
∫ 2
0
(x+ expx)dx
(g)
∫ 1
0
1
x2 + 4x+ 5
+
x
(x2 + 1)2
dx
(h)
∫ 1
1/2
x√
1− x4 dx+
∫ 4
1
1
1 +
√
x
dx
(i)
∫ 9
4
exp (
√
x) +
√
x√
x− 1 +
x− 1√
x+ 1
dx
(j)
∫ pi
0
exp (x) sin (x) dx
(k)
∫ 2
−13
1√
(3− x)3
dx
(l)
∫ 1
0
√
1 + x+
√
(1− x2)3 dx
(m)
∫ e−1
0
ln (x+ 1) dx
(n)
∫ 8
3
x√
1 + x
dx
(o)
∫ 11
0
√
3 + 2x dx
(p)
∫ −1
−2
1
(11 + 5x)3
dx
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 5
(q)
∫ 1
0
x
expx
dx
(r)
∫ pi
0
sin5 (x) dx
(s)
∫ 2√2
√
8/3
1
x
√
(x2 − 2)5
dx
(t)
∫ ln 5
0
exp (x)
√
exp (x)− 1
exp (x) + 3
dx
(u)
∫ 1
0
x3
x8 + 1
+
x2√
x6 + 4
dx
(v)
∫ −2
−3
1
x2 − 1 dx
(w)
∫ 2
1
ln (x+
√
x) +
√
x2 − 1
x
dx
(x)
∫ 3
2
1
x3 − 2x2 + x dx+
∫ 4
3
1
x2 − 3x+ 2 dx
(y)
∫ 4/3
3/4
1√
x2 + 1
dx
(z)
∫ 4
0
1
1 +
√
x
dx
2. Efectue o cálculo dos integrais seguintes:
(a)
∫ √3/2
1/2
x arcsinx√
1− x2 dx
(b)
∫ 3
2
1
x2
√
x2 − 1 dx
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 6
2 Derivação do integral indefinido
• Generalizações da fórmula de derivação do integral:
d
dx
∫ ϕ2(x)
ϕ1(x)
f(t)dt = f(ϕ2(x))
dϕ2
dx
− f(ϕ1(x))
dϕ1
dx
e ainda
d
dx
∫ ϕ2(x)
ϕ1(x)
f(t, x)dt =
∫ ϕ2(x)
ϕ1(x)
df
dx
dt+f(ϕ2(x), x)
dϕ2
dx
−f(ϕ1(x), x)
dϕ1
dx
2.1 Exercícios propostos
1. Determine a expressão geral das derivadas dos seguintes integrais in-
definidos:
(a)
d
dx
∫ x
4
t2 dt
(b)
d
dx
∫ 5
1
t3 + 1
t7
dt
(c)
d
dx
∫ 5
x
t3 + 1
t7
dt
(d)
d
dx
∫ 3x
5
t2 + 5t+ 7 dt
(e)
d
dx
∫ x3
5
cos (t) dt
(f)
d
dx
∫ 1
x2
t+ 1
t2 + t+ 7
dt
(g)
d
dx
∫ x3
2x
t2 + 1
t
dt
(h)
d
dx
∫ 5x
1
exp
(
t2
)
dt
(i)
d
dx
∫ 4x−1
3
t3 + 1
t2 − 7 dt
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 7
(j)
d
dx
∫ x2
0
y3 dy
(k)
d
dy
∫ 2y3
5−y
t dt
(l)
d
dx
∫ x2
4x
sin
(
t2
)
dt
(m)
d
dx
∫ x2
2x
t3 dt
3 Integrais impróprios de 1a e de 2a espécie
• Integrais impróprios de 1a espécie:
Se f (a) =∞ então ∫ b
a
f (x)dx = lim
ε→a+
∫ b
ε
f (x) dx
Se f (b) =∞ então ∫ b
a
f (x) dx = lim
ε→b−
∫ ε
a
f (x) dx
Se f (c) =∞ para c ∈ ]a, b[ , então∫ b
a
f (x) dx =
∫ c
a
f (x) dx+
∫ b
c
f (x) dx
= lim
ε→c−
∫ ε
a
f (x) dx+ lim
ε→c+
∫ b
ε
f (x)dx
• Integrais impróprios de 2a espécie ou de limite infinito:∫ +∞
a
f (x)dx = lim
ε→+∞
∫ ε
a
f (x)dx
∫ b
−∞
f (x)dx = lim
ε→−∞
∫ b
ε
f (x) dx
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 8
∫ +∞
−∞
f (x)dx =
∫ a
−∞
f (x) dx+
∫ +∞
a
f (x) dx
= lim
ε→−∞
∫ a
ε
f (x) dx+ lim
ε→+∞
∫ ε
a
f (x) dx
para certo a ∈ R.
• Natureza de um integral impróprio: Um integral impróprio diz-se
convergente se tem valor finito. Caso contrário, diz-se divergente.
3.1 Exercícios propostos
1. Classifique quanto à natureza os seguintes integrais impróprios de 1a
espécie ou de limite infinito:
(a)
∫ 1
0
1√
x
dx
(b)
∫ 3
0
1
(x− 1)2 dx
(c)
∫ 1
0
1√
1− x2 dx
(d)
∫ 1
−1
x− 1
3
√
x2
dx
(e)
∫ 2
0
1
x2 − 4x+ 3 dx
(f)
∫ +∞
0
1
1 + x2
dx
(g)
∫ +∞
0
sin (x) dx
(h)
∫ +∞
1
1
x4
dx
(i)
∫ +∞
0
1
exp (
√
x)
dx
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 9
(j)
∫ +∞
a2
1
x
√
1 + x2
dx
(k)
∫ 1/2
0
1
x lnx
dx
(l)
∫ 1
−1
1√
1− x2 dx
(m)
∫ 2
1
x√
x− 1 dx
(n)
∫ 1
−1
1
x2
dx
(o)
∫ +∞
1
1
x
dx
(p)
∫ +∞
0
x
exp (x2)
dx
(q)
∫ +∞
0
x sin (x) dx
(r)
∫ +∞
1
1
x
√
x2 − 1 dx
4 Aplicações do integral de Riemann
• Cálculo de áreas planas:
— Consideremos que
f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] (com a < b).
A área do domínio plano limitado pelo gráfico de f , o eixo dos
xx e as rectas verticais x = a e x = b é dada pelo integral de
Riemann
A =
∫ b
a
f(x)︸︷︷︸
positiva em [a,b]
dx.
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 10
A
Figure 1:
NOTA: O integral de Riemann foi apresentado na Subsecção 1.1
como ∫ b
a
f(x)dx = lim
n→∞
n−1∑
i=0
[
f(xi) · b− a
n
]
︸ ︷︷ ︸
soma de Riemann
,
após considerar uma partição do intervalo [a, b] e uma escolha
de elementos xi nos subintervalos da partição. Se a função f
é positiva em todo o intervalo [a, b], podemos interpretar cada
parcela
f(xi) · b− a
n
de uma soma de Riemann como a área de um rectângulo de base
(b− a) /n e altura f(xi). A soma de Riemann corresponde então
à soma das áreas de todos os n rectângulos considerados e corre-
sponde, portanto, a uma estimativa da área da região do plano
limitada pelo gráfico da função f e pelo x-eixo, entre as rectas
x = a e x = b (Fig.1).
— Consideremos que
f(x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b] (com a < b).
A área do domínio plano limitado pelo gráfico de f , o eixo dos
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 11
xx e as rectas verticais x = a e x = b é dada por
A = −
∫ b
a
f(x)︸︷︷︸
negativa em [a,b]
dx.
— A área do domínio plano limitado pelas rectas verticais x = a
e x = b e pelos gráficosde duas funções f (x) e g (x), em que
g (x) ≤ f (x) em [a, b], é dada pelo integral
A =
∫ b
a
f (x)− g(x)︸ ︷︷ ︸
em que g(x)≤f(x)
dx
cuja função integranda é a diferença entre as expressões das duas
funções f (x) e g (x) na ordem
(função superior) − (função inferior).
• Cálculo de comprimentos de linha (no plano): O comprimento
de arco de uma curva plana de equação y = f (x) (em coordenadas
rectangulares) compreendido entre os pontos de abcissas x = a e x = b
é dado pelo integral de Riemann
L =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx.
— Se a curva está definida em coordenadas polares ρ e θ pela equação
ρ = f (θ) , então o comprimento de arco da curva plana é dado
pelo integral de Riemann
L =
∫ θ2
θ1
√
[f (θ)]2 + [f ′ (θ)]2dθ,
onde θ1 e θ2 são os valores do ângulo polar nos pontos extremos
do arco.
— Se a curva for definida através de um parâmetro t pelas equações
paramétricas {
x = ϕ (t)
y = ψ (t)
, para t ∈ I
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 12
(sendo I um intervalo contido em R), então o comprimento de
arco da curva plana é dado por pelo integral de Riemann
L =
∫ t2
t1
√
[ϕ′ (t)]2 +
[
ψ′ (t)
]2
dt,
onde t1 e t2 são os valores do parâmetro t nos pontos extremidade
do arco.
4.1 Exercícios propostos
1. Calcule a área de cada um dos seguintes domínios planos:
(a) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 2x ∧ x ≤ 4}
(b) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ √x− 1 ∧ x ≤ 5}
(c) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ x2 ∧ 2 ≤ x ≤ 4}
(d) D =
{
(x, y) ∈ R2 | x2 ≤ y ≤ 3x}
(e) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ lnx ∧ x ≤ e}
(f) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ exp(2x) ∧ 0 ≤ x ≤ 1}
(g) D =
{
(x, y) ∈ R2 | y ≤ 1
x
∧ 0 ≤ y ≤ x ∧ x ≤ 4
}
(h) D =
{
(x, y) ∈ R2 | cosx ≤ y ≤ sinx ∧ 0 ≤ x ≤ pi}
(i) D =
{
(x, y) ∈ R2 | x2 ≤ y ≤ 1
x
∧ x ≥ 0 ∧ y ≤ 2
}
(j) D =
{
(x, y) ∈ R2 | y ≤ 4− x2 ∧ y ≥ 3x3 ∧ y ≥ −3x}
(k) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1
x2
∧ x ≥ 1
}
(l) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ exp(−x) ∧ x ≥ 0}
(m) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1
1 + x2
∧ x ≥ 0
}
2. Calcule a área da região do plano delimitada pelas seguintes curvas:
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 13
(a) y = x3, y = 8 e x = 0
(b) y = x2 − 4 e y = 4− x2
(c) y2 = 4x e y2 = 5x− 4
(d) y2 = 4x e x = 2
(e) y = exp(5x), x = 0, x = 1 e y = 0
(f) y = lnx, y = ln (x+ 2) , y = ln (4− x) e y = 0
3. Determine o comprimento das curvas de equação:
(a) y = 23x
√
x para x ∈ [0, 1] ;
(b) y =
√
x para x ∈ [0, 1] ;
(c) y = ln (cosx) para x ∈
[
0,
pi
4
]
4. Determine o comprimento total da curva de equação x2/3+y2/3 = a2/3.
5. Determine o comprimento total da curva ρ = a sin3
(
1
3
θ
)
onde θ
varia de 0 a 3pi.
6. Determine o comprimento total do arco de cicloíde
x = a (t− sin t)
y = b (1− cos t)
0 ≤ t ≤ 2pi.
7. Mostre, por aplicação do cálculo integral, que o comprimento de
1
4
do
arco da circunferência x2 + y2 = r2 é
1
2
pir.
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 14
5 Soluções dos exercícios propostos
5.1 Integral de Riemann
1. (a)
100
3
(b) 1 + 2 ln 2
(c)
19
3
+
1
2
ln
8
5
(d) 4 + cos (1) + 3e
(e)
pi
2
− 1
3
(f)
3 + exp4
2
(g) arctan (3)− arctan (2) + 1
4
(h)
1
2
(
pi
2
− arcsin 1
4
)
+ 2+ ln
4
9
(i) 4 exp (3)− 2 exp (2) + 2 ln 2 + 74
3
(j)
exp (pi) + 1
2
(k)
3
2
(l)
2
3
(
2
√
2− 1)+ 3pi
16
(m) (e− 1) ln (e− 1) + 2− e
(n)
32
3
(o)
98
3
(p)
7
72
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 15
(q) 1− 2
e
(r)
8
15
(s)
2
9
√
6
+
pi
24
√
2
(t) 4− pi
(u)
pi
16
+
1
3
ln
1 +
√
5
2
(v) ln
√
3
2
(w) ln
8
4 +
√
2
+
√
2− 1 +√3− pi
3
(x)
1
2
(y) ln
3
2
(z) 2 (2− ln 3)
2. (a)
pi
6
(
1−
√
3
2
)
+
1−√3
2
(b)
4
√
2− 3√3
6
5.2 Derivação do integral indefinido
1. (a) x2
(b) 0
(c) −x
3 + 1
x7
(d) 27x2 + 45x+ 21
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 16
(e) 3x2 cos(x3)
(f) − x
2 + 1
x4 + x2 + 7
2x
(g)
3x6 − 4x2 + 2
x
(h) 5 exp
(
25x2
)
(i)
4 (4x− 1)3 + 1
(4x− 1)2 − 7
(j) 2x7
(k) 12y5 − y + 5
(l) 2x sin
(
x4
)− 4 sin (16x2)
(m) 0
5.3 Integral impróprio de 1a e de 2a espécie
1. (a) l = 2; convergente
(b) l =∞; divergente
(c) l =
pi
2
; convergente
(d) l = −6; convergente
(e) divergente
(f) l =
pi
2
; convergente
(g) Não existe limite; divergente
(h) l =
1
3
; convergente
(i) l = 2; convergente
(j) l = ln
a2√
a4 + 1− 1 ; convergente
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 17
(k) l =∞; divergente
(l) l = pi; convergente
(m) l =
8
3
; convergente
(n) l =∞; divergente
(o) l =∞; divergente
(p) l = 1/2; convergente
(q) O limite não existe; divergente
(r) l =
pi
4
; convergente
5.4 Aplicações do integral de Riemann
1. (a) A = 16
x
y
2 4
8
4
y = 2 x
(b) A =
16
3
51
2
y
x
y = (x-1)1/2
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 18
(c) A =
56
3
y
x
2 4
y=x2
(d) A =
1
2
y
x3
y=x2 y=3x
(e) A = 1
e x
y
1
1
y=log x
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 19
(f) A =
exp (2)− 1
2
x
y
1
e2
1
1y=e2x
(g) A =
1
2
+ ln4
y=x
y=1/x
4 x
y
(h) A = 1
0 pipi/2
sinxcosx
x
y
1
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 20
(i) A =
2
3
− ln 1
2
y=x2
y=1/x
y=2
1 x
y
(j) A =
29
6
x
y
4
-2 2
1-1
y=3x3y=-3x
y=4-x2
(k) A = 1
y
x1
y=1/x2
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 21
(l) A = 1
y
x
+∞
y=e-x
(m) A =
pi
2
x
y
y=1/(1+x2)
+∞
2. (a) A = 12
y=8
y=x3x=0
y
x2
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 22
(b) A =
64
3
x
y
- 4
4
- 2 2
y = 4-x2
y = x2-4
(c) A =
44
3
4 x
y
y2=4x
y2=5x-4
(d) A =
16
√
2
3
2 x
y
y2=4x
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO 23
(e) A =
1
5
[exp(5)− 1]
x
y
1
e5
1
1y=e5x
y
(f) A = 6 ln
3
2
− 2
x
y
1 2 3
y=logx
y=log(x+2)
y=log(4-x)
3. (a) L =
2
3
(
2
√
2− 1)
(b) L =
√
5
2
+
1
8
ln
(
9 + 4
√
5
)
(c) L = ln
(√
2 + 1
)
4. L = 6a
5. L =
3pi
a
6. L = 8a