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CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 29 – Polinômios e equações polinomiais Introdução à Geometria Prof.: Eric Novais CONEXÕES COM A MATEMÁTICA A importância dos matemáticos helenísticos • Pitágoras (560 – 500 a.C) • Euclides (c. 325 – c. 265 a.C) • Arquimedes (287 – 212 a.C.) CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Pitágoras • Escola Pitagórica • Teorema (hecatombe) • Incomensurabilidade CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Euclides • Biblioteca de Alexandria • Os Elementos CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Arquimedes • Discípulo de Euclides • Inventor • Princípio de Arquimedes • “Não toque nos meus círculos” • Valor para 𝜋 • Área de uma parábola • Espiral de Arquimedes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Outros célebres matemáticos • Diofanto e a Aritmética • Al-Khowarizmi e Al-Jabar • Pierre de Fermat e Ad locos planos et solidos isagoge • Descartes – Geometria analítica • Leonhard Euler – Estudos da tridimensionalidade • Bernhard Riemann – Quadridimensionalidade • Albert Einstein – Espaço/tempo CONEXÕES COM A MATEMÁTICA - Que faz Deus, pergunta o discípulo ao mestre Platão. - Deus eternamente geometriza – responde sabiamente Platão CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Noções preliminares Definições I. Ponto é o que não tem partes, ou o que não tem grandeza alguma. II. Linha é o que tem comprimento sem largura. III. As extremidades da linha são pontos. IV. Linha reta é aquela, que está posta igualmente entre as suas extremidades. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA V. Superfície é o que tem comprimento e largura. VI. As extremidades da superfície são linhas. VII.Superfície plana é aquela, sobre a qual assenta toda uma linha reta entre dois pontos quaisquer, que estiverem na mesma superfície. VIII.Ângulo plano é a inclinação recíproca de duas linhas, que se tocam em uma superfície plana, sem estarem em direitura uma com outra. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA IX. Ângulo plano retilíneo é a inclinação recíproca de duas linhas retas, que se encontram, e não estão em direitura uma com outra. Se alguns ângulos existirem no mesmo ponto B (Fig. 1), cada um deles vem indicado com três letras do alfabeto; e a que estiver no vértice do ângulo, isto é, no ponto, no qual se encontram as retas que formam o ângulo, põe-se no meio das outras; e destas uma está posta perto de uma das ditas retas, em alguma parte, e a outra perto da outra linha. Assim o ângulo feito pelas retas AB, CB representar-se-á com as letras ABC, ou CBA; o ângulo formado pelas retas AB, DB, com as letras ABD, ou DBA; e o ângulo que fazem as retas DB, CB, com as letras DBC, ou CBD. Mas se um ângulo estiver separado de outro qualquer, poder-se-á marcar com a mesma letra, que estiver no vértice, como o ângulo no ponto E (Fig. 2) . CONEXÕES COM A MATEMÁTICA X. Quando uma linha reta, caindo sobre outra linha reta, fizer com esta dois ângulos iguais, um de uma, e outro de outra parte, cada um destes ângulos iguais se chama ângulo reto; e a linha incidente se diz perpendicular a outra linha; sobre a qual cai (Fig. 3). XI. Ângulo obtuso é o que é maior, que o ângulo reto (Fig. 4). CONEXÕES COM A MATEMÁTICA XII.Ângulo agudo é o que é menor, que o ângulo reto (Fig. 5). XIII.Termo se diz aquilo, que é extremidade de alguma coisa. XIV.Figura é um espaço fechado por um ou mais termos. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA XV.Círculo é uma figura plana fechada por uma só linha, a qual se chama circunferência: de maneira que todas as linhas retas, que de um certo ponto existente no meio da, figura, se conduzem para a circunferência, são iguais entre si (Fig. 6). XVI.O dito ponto se chama centro do círculo. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA XVII.Diâmetro do círculo é uma linha reta, que passa pelo centro, e que termina por ambas as partes na circunferência. XVIII.Semicírculo é uma figura compreendida entre o diâmetro e aquela parte da circunferência do círculo, que é cortada pelo diâmetro. XIX.Segmento de círculo é uma figura compreendida entre uma linha reta, e uma porção da circunferência. XX.Figuras retilíneas são as que são formadas com linhas retas. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA XXI.As triláteras são aquelas, que são formadas com três linhas retas. XXII.As quadriláteras são aquelas, que são feitas por quatro linhas retas. XXIII.As multiláteras são as que são feitas por mais de quatro linhas retas. XXIV.Entre as figuras triláteras o triângulo equilátero é o que tem os três lados iguais. XXV.Triângulo isósceles é o que tem dois lados iguais CONEXÕES COM A MATEMÁTICA XXVI.Triângulo escaleno é o que tem os três lados desiguais. XXVII.Triângulo retângulo é o que tem um ângulo reto. XXVIII.Triângulo obtusângulo é o que tem um ângulo obtuso. XXIX.O triângulo acutângulo é o que tem todos os ângulos agudos. XXX.Entre as figuras quadriláteras, o quadrado é o que é juntamente equilátero e retângulo CONEXÕES COM A MATEMÁTICA XXXI.E a figura, que de uma parte, for mais comprida, pode ser retângula, mas não equilátera. XXXII.Mas o rombo é uma figura equilátera, e não retângula. XXXIII.Rombóide é uma figura, que tendo os lados opostos iguais, nem é equilátera, nem equiângula. XXXIV.Todas as mais figuras quadriláteras, que não são as referidas, se chamam trapézios. XXXV.Linhas paralelas, ou equidistantes são linhas retas, que existindo no mesmo plano, e sendo produzidas de ambas as partes, nunca se chegam a tocar. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Postulados I. Pede-se, como coisa possível, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha reta. II. E que uma linha reta determinada se continue em direitura de si mesma, até onde seja necessário. III. E que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreva um círculo. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Axiomas I. As coisas, que são iguais a uma terceira, são iguais entre si. II. Se a coisas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais. III. E se de cousas iguais se tirarem outras iguais, os restos serão iguais. IV. E se a coisas desiguais se juntarem outras iguais, os todos serão desiguais. V. E se de, coisas desiguais se tirarem cousas iguais, os restos serão desiguais. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA VI. As quantidades, das quais cada uma por si faz o dobro de outra quantidade, são iguais. VII.E aquelas, que são metades de uma mesma quantidade, são também iguais. VIII.Duas quantidades, que se ajustam perfeitamente uma com outra; são iguais. IX. O todo é maior do que qualquer das suas partes. X. Duas linhas retas não compreendem espaço. XI. Todos os ângulos retossão iguais entre si. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Representação dos entes geométricos fundamentais A ponto r reta α plano CONEXÕES COM A MATEMÁTICA • A proposição usada por Hilbert (1862 – 1943), e normalmente adotada por nós, é a seguinte: • Os pontos são indicados por letras maiúsculas (A, B, C etc.). • As retas são indicadas por letras minúsculas (r, s, t etc.). • Os planos são indicados por letras gregas (α,β,γ etc.). CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Posições primitivas, postulados ou axiomas. Postulados da existência P1 – Existem infinitos pontos P2 – Em uma reta e fora dela existem infinitos pontos A C E D B F P3 – Em um plano e fora dele existem infinitos pontos α A B C E F D r CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Postulados da determinação P4 – Dois pontos distintos determinam uma única reta r A B P5 – Três pontos não-colineares determinam um único plano α A B C CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Postulado da inclusão P6 – Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, a reta está contida (está inclusa) nesse plano α r A B A α B α A r A r r α ∩ CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Postulados da separação P7 – Postulado da separação da reta : todo ponto de uma reta, separa-a em duas partes às quais ela pertence. A B O r OA e OB são semi-retas opostas de origem O. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA P8 – Postulado da separação : toda reta de um plano separa-o em duas partes na quais ela está contida; qualquer segmento de reta com um extremo em cada parte e nenhuma nesta reta de separação intercepta-a em um único ponto. α1 α2 r O A B α α1 e α 2 são semi - planos opostos de α. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA P9 – Postulado da separação :Todo plano separa o espaço em duas partes nas quais ele está contido; qualquer segmento de reta com um extremo em cada parte e nenhum nesse plano de separação intercepta-o em um único ponto. α E1 E2 A B O E1 e E2 são semi- espaços opostos de origem α AB CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Exercício 1. Prove que em um plano existem infinitas retas. 2. Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das seguintes sentenças, justificando cada resposta. a. Três pontos distintos determinam um único plano. b. Os vértices de um triangulo são coplanares. c. Se três pontos são coplanares, então eles são colineares. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Posições relativas entre duas retas Consideremos duas retas, r e s, do espaço. Elas podem ser: se todos os pontos de uma são pontos da outra. • Coincidentes: r s Indicamos: r = s CONEXÕES COM A MATEMÁTICA • Paralelas: se estão contidas no mesmo plano (coplanares) e não têm ponto comum. α r s Indicamos: r//s r//s ↔ r α s α r ∩ s = ø ∩ ∩ CONEXÕES COM A MATEMÁTICA • Concorrentes: Se tem um único ponto em comum. r s Indicamos: r x s r x s ↔ r s = {P} ∩ CONEXÕES COM A MATEMÁTICA • Reversas (ou não coplanares): Se não existe plano que as contenha simultaneamente. α A B r OBS: No espaço, o fato de duas retas não serem paralelas não significa necessariamente que elas sejam concorrentes, como acontece no plano. Duas retas reversas não são paralelas nem concorrentes. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Observação: 1. Se duas retas são concorrentes e formam um ângulo de 90º, dizemos que elas são perpendiculares. Indicamos: r s r s 2. Se duas retas são reversas e formam um ângulo de 90º, dizemos que elas são ortogonais. α A B r s Indicamos: r s CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Determinação de planos Existem quatro maneiras pelas quais um plano fica determinado: • Por três pontos não-colineares (postulado 5): α A B C CONEXÕES COM A MATEMÁTICA • Por um ponto P e uma reta r, de modo que P r: α P B C De fato, se considerarmos os pontos distintos B e C de r, teremos três pontos B, C e P não-colineares e, pelo P5 eles determinam um plano. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA • Por duas retas concorrentes: α s r De fato, se considerarmos os pontos distintos A e B de modo que A P, A r, B P, B s, temos que, pelo P5, os pontos A, B e P determinam um plano A B P CONEXÕES COM A MATEMÁTICA • Por duas retas paralelas: α r s A B C De fato, se considerarmos os pontos distintos A, B e C de modo que A r, B r e C s, temos que, pelo P5, esses três pontos determinam um plano. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Posições relativas entre uma reta e um plano Consideremos uma reta e um plano α. Podem ocorrer três casos: Todos os pontos de r são pontos de α . • 1º Caso: r contida em α α r r α r ∩ α = r ∩ CONEXÕES COM A MATEMÁTICA • 2º Caso: r paralela a α r e α não têm ponto em comum α r // α ↔ r ∩ α = r É válido o seguinte teorema: Uma reta r e um plano α são paralelos se, e somente se, existe uma reta s contida em α, de modo que r e s sejam paralelas. α r s CONEXÕES COM A MATEMÁTICA • 3º Caso: r concorrente com α r e α têm um único ponto em comum . Indicamos: r x α α P r x α ↔ r ∩ α = {P} Se r for perpendicular a todas as retas de α que passam por P, então dizemos que r é perpendicular a α Indicamos: r s α r P CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Para o 3º caso é válido o seguinte teorema: Uma reta r concorrente com um plano α em P é perpendicular a α se, e somente se, existem duas retas, s e t, contidas em α, e passando por P, de modo que r seja perpendicular a ambas. α r P s t
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