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Introdução à geometria - Aula 1

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CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA 
CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA 
ANOTAÇÕES EM AULA 
Capítulo 29 – Polinômios e equações polinomiais 
Introdução à Geometria 
Prof.: Eric Novais 
CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA 
A importância dos 
matemáticos helenísticos 
• Pitágoras (560 – 500 a.C) 
• Euclides (c. 325 – c. 265 a.C) 
• Arquimedes (287 – 212 a.C.) 
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Pitágoras 
• Escola Pitagórica 
• Teorema (hecatombe) 
• Incomensurabilidade 
 
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Euclides 
• Biblioteca de Alexandria 
• Os Elementos 
 
 
 
 
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Arquimedes 
• Discípulo de Euclides 
• Inventor 
• Princípio de Arquimedes 
• “Não toque nos meus círculos” 
• Valor para 𝜋 
• Área de uma parábola 
• Espiral de Arquimedes 
 
 
 
 
 
 
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Outros célebres matemáticos 
• Diofanto e a Aritmética 
• Al-Khowarizmi e Al-Jabar 
• Pierre de Fermat e Ad locos planos et 
solidos isagoge 
• Descartes – Geometria analítica 
• Leonhard Euler – Estudos da 
tridimensionalidade 
• Bernhard Riemann – 
Quadridimensionalidade 
• Albert Einstein – Espaço/tempo 
 
 
 
 
 
 
 
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- Que faz Deus, pergunta o discípulo ao 
mestre Platão. 
- Deus eternamente geometriza – 
responde sabiamente Platão 
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Noções preliminares 
Definições 
I. Ponto é o que não tem partes, ou o que 
não tem grandeza alguma. 
II. Linha é o que tem comprimento sem 
largura. 
III. As extremidades da linha são pontos. 
IV. Linha reta é aquela, que está posta 
igualmente entre as suas extremidades. 
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V. Superfície é o que tem comprimento e 
largura. 
VI. As extremidades da superfície são linhas. 
VII.Superfície plana é aquela, sobre a qual 
assenta toda uma linha reta entre dois 
pontos quaisquer, que estiverem na 
mesma superfície. 
VIII.Ângulo plano é a inclinação 
recíproca de duas linhas, que se 
tocam em uma superfície plana, sem 
estarem em direitura uma com outra. 
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IX. Ângulo plano retilíneo é a inclinação recíproca de 
duas linhas retas, que se encontram, e não estão em 
direitura uma com outra. Se alguns ângulos existirem no 
mesmo ponto B (Fig. 1), cada um deles vem indicado 
com três letras do alfabeto; e a que estiver no vértice do 
ângulo, isto é, no ponto, no qual se encontram as retas que 
formam o ângulo, põe-se no meio das outras; e destas uma 
está posta perto de uma das ditas retas, em alguma parte, e 
a outra perto da outra linha. Assim o ângulo feito pelas retas 
AB, CB representar-se-á com as letras ABC, ou 
CBA; o ângulo formado pelas retas AB, DB, com as letras 
ABD, ou DBA; e o ângulo que fazem as retas DB, CB, com 
as letras DBC, ou CBD. Mas se um ângulo estiver 
separado de outro qualquer, poder-se-á marcar com a 
mesma letra, que estiver no vértice, como o ângulo no ponto 
E (Fig. 2) . 
 
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X. Quando uma linha reta, caindo sobre outra linha 
reta, fizer com esta dois ângulos iguais, um 
de uma, e outro de outra parte, cada 
um destes ângulos iguais se chama 
ângulo reto; e a linha incidente se diz 
perpendicular a outra linha; sobre a qual cai 
(Fig. 3). 
XI. Ângulo obtuso é o que é maior, que o ângulo 
reto (Fig. 4). 
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XII.Ângulo agudo é o que é menor, que o 
ângulo reto (Fig. 5). 
XIII.Termo se diz aquilo, que é 
extremidade de alguma coisa. 
XIV.Figura é um espaço fechado por um 
ou mais termos. 
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XV.Círculo é uma figura plana fechada por 
uma só linha, a qual se chama 
circunferência: de maneira que todas as 
linhas retas, que de um certo ponto 
existente no meio da, figura, se 
conduzem para a circunferência, são 
iguais entre si (Fig. 6). 
XVI.O dito ponto se chama centro do círculo. 
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XVII.Diâmetro do círculo é uma linha reta, 
que passa pelo centro, e que termina 
por ambas as partes na circunferência. 
XVIII.Semicírculo é uma figura compreendida 
entre o diâmetro e aquela parte da 
circunferência do círculo, que é cortada pelo 
diâmetro. 
XIX.Segmento de círculo é uma figura 
compreendida entre uma linha reta, e uma 
porção da circunferência. 
XX.Figuras retilíneas são as que são formadas 
com linhas retas. 
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XXI.As triláteras são aquelas, que são 
formadas com três linhas retas. 
XXII.As quadriláteras são aquelas, que são 
feitas por quatro linhas retas. 
XXIII.As multiláteras são as que são feitas 
por mais de quatro linhas retas. 
XXIV.Entre as figuras triláteras o triângulo 
equilátero é o que tem os três lados 
iguais. 
XXV.Triângulo isósceles é o que tem dois 
lados iguais 
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XXVI.Triângulo escaleno é o que tem os 
três lados desiguais. 
XXVII.Triângulo retângulo é o que tem um 
ângulo reto. 
XXVIII.Triângulo obtusângulo é o que tem 
um ângulo obtuso. 
XXIX.O triângulo acutângulo é o que tem 
todos os ângulos agudos. 
XXX.Entre as figuras quadriláteras, o 
quadrado é o que é juntamente 
equilátero e retângulo 
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XXXI.E a figura, que de uma parte, for mais comprida, 
pode ser retângula, mas não equilátera. 
XXXII.Mas o rombo é uma figura equilátera, e não 
retângula. 
XXXIII.Rombóide é uma figura, que tendo os lados 
opostos iguais, nem é equilátera, nem equiângula. 
XXXIV.Todas as mais figuras quadriláteras, que não 
são as referidas, se chamam trapézios. 
XXXV.Linhas paralelas, ou equidistantes são linhas 
retas, que existindo no mesmo plano, e sendo 
produzidas de ambas as partes, nunca se chegam 
a tocar. 
 
 
 
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Postulados 
I. Pede-se, como coisa possível, que se 
tire de um ponto qualquer para outro 
qualquer ponto uma linha reta. 
II. E que uma linha reta determinada se 
continue em direitura de si mesma, até 
onde seja necessário. 
III. E que com qualquer centro e qualquer 
intervalo se descreva um círculo. 
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Axiomas 
I. As coisas, que são iguais a uma terceira, 
são iguais entre si. 
II. Se a coisas iguais se juntarem outras 
iguais, os todos serão iguais. 
III. E se de cousas iguais se tirarem outras 
iguais, os restos serão iguais. 
IV. E se a coisas desiguais se juntarem outras 
iguais, os todos serão desiguais. 
V. E se de, coisas desiguais se tirarem 
cousas iguais, os restos serão desiguais. 
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VI. As quantidades, das quais cada uma por si faz 
o dobro de outra quantidade, são iguais. 
VII.E aquelas, que são metades de uma mesma 
quantidade, são também iguais. 
VIII.Duas quantidades, que se ajustam 
perfeitamente uma com outra; são iguais. 
IX. O todo é maior do que qualquer das suas 
partes. 
X. Duas linhas retas não compreendem espaço. 
XI. Todos os ângulos retossão iguais entre si. 
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Representação dos entes 
geométricos fundamentais 
A 
ponto r 
reta 
α 
plano 
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• A proposição usada por Hilbert (1862 – 
1943), e normalmente adotada por nós, é a 
seguinte: 
• Os pontos são indicados por letras 
maiúsculas (A, B, C etc.). 
 
• As retas são indicadas por letras minúsculas 
(r, s, t etc.). 
 
• Os planos são indicados por letras gregas 
(α,β,γ etc.). 
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Posições primitivas, postulados ou axiomas. 
 
 Postulados da existência 
P1 – Existem infinitos pontos 
P2 – Em uma reta e fora dela existem infinitos pontos 
A C E 
D B 
F 
P3 – Em um plano e fora dele existem infinitos pontos 
α 
A 
B 
C 
E 
F 
D 
r 
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Postulados da determinação 
P4 – Dois pontos distintos determinam uma única 
reta r 
A 
B 
P5 – Três pontos não-colineares determinam um 
único plano 
α 
A B 
C 
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Postulado da inclusão 
P6 – Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a 
um plano, a reta está contida (está inclusa) nesse plano 
α 
r 
A 
B 
A  α 
B  α 
A  r 
A  r 
 
r α ∩
 
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Postulados da separação 
P7 – Postulado da separação da reta : todo ponto 
de uma reta, separa-a em duas partes às quais 
ela pertence. 
A B O r 
OA e OB são semi-retas 
opostas de origem O. 
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P8 – Postulado da separação : toda reta de um 
plano separa-o em duas partes na quais ela está 
contida; qualquer segmento de reta com um 
extremo em cada parte e nenhuma nesta reta de 
separação intercepta-a em um único ponto. 
α1 α2 
r 
O A B 
α 
α1 e α 2
 são semi - 
planos opostos 
de α. 
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P9 – Postulado da separação :Todo plano separa 
o espaço em duas partes nas quais ele está 
contido; qualquer segmento de reta com um 
extremo em cada parte e nenhum nesse plano de 
separação intercepta-o em um único ponto. 
α 
E1 
E2 
 
A 
B 
O 
E1 e E2 são semi-
espaços opostos de 
origem α 
AB 
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Exercício 
1. Prove que em um plano existem infinitas retas. 
 
2. Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das 
seguintes sentenças, justificando cada resposta. 
 
a. Três pontos distintos determinam um único plano. 
b. Os vértices de um triangulo são coplanares. 
c. Se três pontos são coplanares, então eles são colineares. 
 
 
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Posições relativas entre duas retas 
Consideremos duas retas, r e s, do espaço. Elas podem ser: 
se todos os pontos de uma são pontos da outra. 
• Coincidentes: 
r 
s 
Indicamos: r = s 
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• Paralelas: 
se estão contidas no mesmo plano (coplanares) e 
não têm ponto comum. 
α 
r 
s 
Indicamos: r//s 
r//s ↔ 
r α 
s α 
r ∩ s = ø 
∩
 
∩
 
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• Concorrentes: 
Se tem um único ponto em comum. 
r 
s 
Indicamos: r x s 
r x s ↔ r s = {P} ∩ 
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• Reversas (ou não coplanares): 
Se não existe plano que as contenha simultaneamente. 
α 
A 
B 
r 
OBS: No espaço, o fato de duas 
retas não serem paralelas não 
significa necessariamente que 
elas sejam concorrentes, como 
acontece no plano. Duas retas 
reversas não são paralelas nem 
concorrentes. 
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Observação: 
 
1. Se duas retas são concorrentes e formam um 
ângulo de 90º, dizemos que elas são 
perpendiculares. 
Indicamos: r 
s 
r s 
2. Se duas retas são reversas e formam um ângulo de 
90º, dizemos que elas são ortogonais. 
α 
A 
B 
r 
s 
Indicamos: r s 
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Determinação de planos 
Existem quatro maneiras pelas quais um plano fica determinado: 
• Por três pontos não-colineares (postulado 5): 
α 
A B 
C 
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• Por um ponto P e uma reta r, de modo que P  r: 
α 
P B 
C De fato, se considerarmos 
os pontos distintos B e C 
de r, teremos três pontos B, 
C e P não-colineares e, 
pelo P5 eles determinam 
um plano. 
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• Por duas retas concorrentes: 
α 
s 
r 
De fato, se considerarmos 
os pontos distintos A e B 
de modo que A  P, A  r, B 
 P, B  s, temos que, pelo 
P5, os pontos A, B e P 
determinam um plano 
A 
B P 
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• Por duas retas paralelas: 
α 
r 
s 
A 
B 
C 
De fato, se considerarmos 
os pontos distintos A, B e C 
de modo que A  r, B  r e 
C  s, temos que, pelo P5, 
esses três pontos 
determinam um plano. 
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Posições relativas entre uma reta 
 e um plano 
Consideremos uma reta e um plano α. Podem ocorrer três casos: 
 
Todos os pontos de r são pontos de α . 
 
• 1º Caso: r contida em α 
α 
r 
r α  r ∩ α = r ∩
 
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• 2º Caso: r paralela a α 
r e α não têm ponto em comum 
 
α r // α ↔ r ∩ α = 
r 
É válido o seguinte teorema: 
 
Uma reta r e um plano α são paralelos se, e somente se, 
existe uma reta s contida em α, de modo que r e s sejam 
paralelas. 
α 
r 
s 
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• 3º Caso: r concorrente com α 
r e α têm um único ponto em comum . 
Indicamos: r x α 
 
α 
P 
r x α ↔ r ∩ α = 
{P} 
Se r for perpendicular a todas as retas de α que passam por P, 
então dizemos que r é perpendicular a α 
Indicamos: r s 
α 
r 
P 
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Para o 3º caso é válido o seguinte teorema: 
 
Uma reta r concorrente com um plano α em P é 
perpendicular a α se, e somente se, existem duas 
retas, s e t, contidas em α, e passando por P, de 
modo que r seja perpendicular a ambas. 
α 
r 
P 
s 
t

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