EDO Ordem Superior

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1 
 
 
 
 
 
Ministério da Educação 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL 
DO PARANÁ 
Câmpus Londrina 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
 
 
 
 
Regina Sayuri Kainuma Yamada 
 
 2 
 
 
 
Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 
Ordem Superior 
 
 
 
Definição: Uma equação diferencial de n-ésima ordem da forma: 
 
 
 
1 2
1 2 1 01 2
( ) ( ) ... ( ) ( ) 0
n n
n nn n
d y d y d y dy
a x a x a x a x a x y
dx dx dx dx

 
     
. (1) 
 
onde 
0 1, ,..., na a a
 são chamados de coeficientes é denominada homogênea, enquanto, 
 
 
1 2
1 2 1 01 2
( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )
n n
n nn n
d y d y d y dy
a x a x a x a x a x y g x
dx dx dx dx

 
     
 (2) 
 
com 
( ) 0g x 
 é denominada não-homogênea. 
 
 
 
Os dois próximos conceitos são básicos para o estudo de equações diferenciais 
lineares. 
 
Definição: (Dependência Linear e Independência Linear) 
 Dizemos que um conjunto de funções 
1 2( ), ( ),..., ( )nf x f x f x
 é linearmente 
dependente (LD) em um intervalo I se existem constantes 
1 2, ,..., nc c c
 não todas nulas, tais 
que 
1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) 0n nc f x c f x c f x   
 
para todo 
x
 no intervalo. 
 
 Caso contrário, dizemos que um conjunto de funções 
1 2( ), ( ),..., ( )nf x f x f x
 é 
linearmente independente (LI). 
 
 
 3 
 
 
 
Solução Geral para Equações Homogêneas 
 
 
Teorema 01: Se 
1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x
 são soluções para a equação diferencial linear de 
n-ésima ordem homogênea (1) em um intervalo I. Então a combinação linear 
 
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n ny x c y x c y x c y x   
 
 
em que 
ic s
 são constantes arbitrárias, é também uma solução no intervalo. 
 
Demonstração: 
 
Teorema 02: A equação diferencial homogênea ordinária: 
 
 
1 2
1 2 1 01 2
( ) ( ) ... ( ) ( ) 0
n n
n nn n
d y d y d y dy
a x a x a x a x a x y
dx dx dx dx

 
     
 
 
sempre possui n soluções linearmente independentes (LI) e a sua solução geral é a 
combinação linear dessas n soluções, na forma: 
 
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n ny x c y x c y x c y x   
 
 
onde 
1 2, ,..., nc c c
 são constantes. 
 
 
 
Um modo de se verificar se as soluções 
1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x
 são linearmente 
independentes é calcular o seu Wronskiano. 
 
 
 
 4 
 
 
 
Definição: Sejam 
1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x
, n soluções para a equação diferencial linear 
homogênea (1). O determinante 
 
 
1 2
1 2
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1)
1 2
 y . . . y
 y . . . y
 y ( , ,..., )
. .
. .
 y . . . y
n
n
n
n
n n n
n
y
y
y yW y y y
y   
  
    
 
 
é denominado Wronskiano dessas soluções. 
 
 
 
Teorema 03: Sejam 
1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x
, n soluções para a equação diferencial linear 
homogênea de n-ésima ordem (1) em um intervalo I. Então, o conjunto de soluções é 
linearmente independente em I se e somente se 
1 2( , ,..., ) 0nW y y y 
 
para todo 
x
 no intervalo. 
Neste caso, podemos afirmar que a combinação linear das soluções é a solução geral. 
 
 
 
Exemplo 01: Verificar se 
9 0y y  
 possui as soluções 
3
1
xy e
e 
3
2
xy e
. Encontre a 
solução geral para a equação. 
 
 
Exemplo 02: Verifique que as funções 
1
xy e
e 
2
2
xy e
e 
3
3
xy e
satisfazem como 
solução para equação 
6 11 6 0y y y y     
 e encontre a solução geral. 
 
 
 
 5 
 
 
 
Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficientes 
Constantes 
 
 
Apesar da aparente simplicidade, não há um modo geral de resolução da 
equação diferencial 
 
1 2
1 2 1 01 2
( ) ( ) ... ( ) ( ) 0
n n
n nn n
d y d y d y dy
a x a x a x a x a x y
dx dx dx dx

 
     
. 
Existem apenas casos particulares, desenvolvidos para serem usados em 
situações específicas. Um desses casos ocorre quando os coeficientes 
ia
 da equação 
diferencial em tela são na verdade constantes numéricas e não funções de x. 
 
 
Definição: 
 
As equações diferenciais homogêneas com coeficiente constantes são as 
equações diferenciais escritas na forma: 
 
1 2
1 2 1 01 2
... 0
n n
n nn n
d y d y d y dy
a a a a a y
dx dx dx dx

 
     
 (3) 
 
onde 
0 1, ,..., na a a
 são constantes reais. 
 
O fato interessante, é que todas as soluções para (3) são funções exponenciais ou 
construídas a partir de funções exponenciais. 
Por exemplo, vimos que a equação linear de primeira ordem 
0
dy
ay
dx
 
, onde 
a
 é 
uma constante qualquer tem solução exponencial 
1
axy C e
 em 
 , 
. 
 
 
 
 
Vamos começar considerando o caso especial da equação de segunda ordem. 
 
 6 
 
 
 
Equação diferencial homogênea de segunda ordem com 
coeficientes constantes 
 
Seja 
0ay by cy   
 (4) 
 
onde 
, ,a b c
 são constantes arbitrários, uma equação homogênea de segunda ordem 
com coeficientes constantes. 
Se tentarmos uma solução da forma 
xy e
, então 
xy e 
 e 
2 xy e 
. 
Assim, substituindo na equação diferencial (3) fica: 
 
2
2
0
0
x x x
x
a e b e ce
e a b c
  

 
 
  
  
 
Como 
0xe 
, para todo 
x
 real 
2 0a b c    (5) 
 
que é um polinômio de grau 2, denominado equação característica ou equação 
auxiliar da equação diferencial (4). 
Assim, consideramos três casos: raízes reais e distintas, raízes reais e repetidas 
e raízes complexas. 
 
 
Caso 1: Raízes Reais e Distintas 
 
 Se a equação característica possui duas raízes reais distintas 
1
 e 
2
, 
encontramos duas soluções 
1
1
xy e
e 
2
2
xy e
 linearmente independentes (LI), ou 
seja, 
 
   
1 2
1 2
1 2
2 1
1 2
0
x x
x
x x
e e
W e
e e
 
 
    

   
 
 
para todo valor real de 
x
. Portanto, a solução geral para (4) é 
1 2
1 2( )
x xy x C e C e  
 
 7 
 
 
 
Exemplo 03: Resolva as seguintes equações diferenciais: 
 
1. 
5 6 0y y y   
 
R: 
2 3
1 2( )
x xy x C e C e  
 
 
2. 
7 12 0y y y   
 
R: 
3 4
1 2( )
x xy x C e C e 
 
 
 
 
 
 Agora, se 
1
 e 
2
 são reais e iguais (
1 2 
), então temos apenas uma única 
solução 
1
1
xy e
. Nesse caso, vamos construir uma segunda solução a partir de uma 
solução conhecida. 
 
 
 
Construindo uma segunda solução a partir de uma solução conhecida 
 
Vamos considerar a equação diferencial homogênea de segunda ordem 
     2 1 0 0a x y a x y a x y   
 (6) 
 
Suponha que 
 1y x
 seja uma solução não trivial para a equação (6) e seja 
 2 0a x 
. 
Dividindo a equação (6) por 
 2a x
, esta toma a forma padrão 
 
    0y P x y Q x y   
 (7) 
 
onde 
 
 
 
1
2
a x
P x
a x

 e 
 
 
 
0
2
a x
Q x
a x

 são funções contínuas em algum intervalo I. 
 
Se definirmos 
   1y u x y x
, segue-se que 
 81 1
1 1 1 1 1 11 12
y u y u y
y u y u y u y u y u y u y u y
   
                 
 
 
Substituindo na equação (7), obteremos 
 
 
   
 
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1
0
2
2
2
zero
y P y Q y
u y u y u y P u y u y Qu y
u y P y Q y u y Py u y
u y Py u y

   
          
         
    
 
 
Isso implica que devemos ter 
 1 1 12 0u y u y Py    
 
 
Fazendo 
u w 
, temos 
 1 1 12 0w y w y Py   
 
 
uma equação linear e separável em 
w
. Assim, 
 
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
ln 2ln
ln ln
ydw
w P
dx y
y
dw dx Pdx
w y
w y Pdx K
w y Pdx K
 
   
 

  
   
   


 
 9 
 
 
 
 
 
 
 
2
1
2
1 1 1
1 2
1
1 2
1
ln
, onde
, pois 
Pdx K
Pdx
Pdx
w y Pdx K
w y K e K e
e
w K
y
e
u K u w
y



  
  



  

 
 
Integrando novamente 
 
 
1 22
1
Pdx
e
u K dx K
y

 
 
 
Logo, 
    
 
 
   
 
 
 
1
1 2 1 1 1 2 12 2
1 1
P x dx P x dx
y u x y x
e e
K dx K y x K y x dx K y x
y x y x
 

  
    
        
 
 
 
ou seja, 
 
 
 
 
 1 1 2 12
1
P x dx
e
y K y x dx K y x
y x

 
  

 
 
Fazendo 
2 0K 
 e 
1 1K 
, temos a segunda solução para a equação (7) 
 
   
 
 
2 1 2
1
P x dx
e
y x y x dx
y x


  

 (8) 
 
 10 
 
 
 
As soluções 
 1y x
 e 
   
 
 
2 1 2
1
P x dx
e
y x y x dx
y x


  

 são linearmente independente, pois 
 
 
 
1 1 2
1
1 1 2
11
0
Pdx
Pdx
Pdx Pdx
e
y y dx
y
W e
e e
y y dx
yy


 

   
 
  


 
 
para todo 
x
 real. Portanto, a solução geral da equação (7) é 
 
     1 1 2 2y x C y x C y x 
 
 
onde, 
   
 
 
2 1 2
1
P x dx
e
y x y x dx
y x


  

. 
 
 
 
 
Voltando para o caso 2 da equação característica da equação (4). 
 
Caso 2: Raízes Reais e Iguais 
 
Quando 
1 2 
, obtemos somente uma única solução 
1
1
xy e
. Vamos encontrar 
a segunda solução da equação 
0ay by cy   
. Se 
0a 
, então 
    0y P x y Q x y   
 
onde 
 
b
P x
a

 e 
 
c
Q x
a

 e a segunda solução é dada por 
 
  1 1
1 1
2 2 2
b b
dx x
a a
x x
x x
e e
y x e dx e dx
e e
 
 
 
  
 (9) 
 
 11 
 
 
 
Da equação característica 
2 0a b c    , a soma das raízes é dada por 
1 2
b
a
   
 e 
como 
1 2 
, então 
1
2
b
a
  
, ou seja 
12
b
a
 
 
Logo, a segunda solução torna-se 
 
 
1
1 1 1
1
2
2 2
x
x x x
x
e
y x e dx e dx xe
e

  
   
 
Isto é, 
 
  12
xy x xe
 
 
Portanto, a solução geral para equação (4) é 
 
1 1
1 2( )
x xy x C e C xe  
 
 
 
 
Exemplo 04: Resolva as seguintes equações diferenciais: 
 
1. 
10 25 0y y y   
 
R: 
5 5
1 2( )
x xy x C e C xe  
 
 
2. 
4 4 0y y y   
 
R: 
2 2
1 2( )
x xy x C e C xe 
 
 
3. 
6 9 0y y y   
 
R: 
3 3
1 2( )
x xy x C e C xe  
 
 
 
 
 
 12 
 
 
 
 Caso 3: Raízes Complexas Conjugadas 
 
 Se 
1
 e 
2
 são complexas, então podemos escrever 
1 i   
 e 
2 i   
 , 
em que 

 e 
0 
 são reais. Como 
1 2 
, então pelo Caso 1, a solução geral é 
 
   
1 2( )
i x i x
y x C e C e
    
 
 
 
Utilizando as relações de Euller 
 
cos sen e cos seni x i xe x i x e x i x        
 
 e somando e depois subtraindo essas duas equações, obtemos 
 
2cos
2 sen
i x i x
i x i x
e e x
e e i x
 
 




 
 
 
 
Como 
   
1 2( )
i x i x
y x C e C e
    
 
 é uma solução para (4) para qualquer escolha das 
constantes 
1C
 e 
2C
, então fazendo 
1 2 1C C 
 e 
1 1C 
 , 
2 1C  
 temos duas soluções 
 
     
     
1
2
( ) 2 cos
( ) 2
i x i x x i x i x x
i x i x x i x i x x
y x e e e e e e x
y x e e e e e ie sen x
       
       


  
  
    
    
 
 
respectivamente. Pelo Teorema 01, as funções 
 
1
2
( ) cos
( )
x
x
y x e x
y x e sen x






 
 
continuam sendo soluções da equação (4) e 
 
 13 
 
 
 
     
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
cos
cos cos
cos cos cos
cos
0
x x
x x x x
x x x x
x
x
e x e sen x
W
e x e sen x e sen x e x
e x sen x e x e x sen x e sen x
e x sen x
e
 
   
   


 
       
         
  


 
   
 
 
 
Portanto, a solução geral é 
 
1 2
1 2
( ) cos
.[ .cos .sen ]
x x
x
y x C e x C e sen x
e C x C x
 

 
 
 

 
 
 
 
Exemplo 05: Resolva as seguintes equações diferenciais: 
 
1. 
0y y  
 
R: 
1 2( ) cos( ) ( )y x C x C sen x 
 
 
2. 
6 25 0y y y   
 
R: 
 3 1 2( ) cos(4 ) (4 )
xy x e C x C sen x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
 
 
 
Resumo 
Seja 
0ay by cy   
, onde 
, ,a b c
 são constantes arbitrários, uma equação 
homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Se a solução da equação 
é da forma 
xy e
, então temos a equação característica 
2 0a b c    . Temos três 
casos: 
Caso 1: 
1 2 
 
 Solução Geral: 
1 2
1 2( )
x xy x C e C e  
 
 
Caso 2: 
1 2 
 
 Solução Geral: 
1 1
1 2( )
x xy x C e C xe  
 
 
Caso 3: 
1 i   
 e 
2 i   
 
 Solução Geral: 
1 2( ) .[ .cos .sen ]
xy x e C x C x    
 
Exemplo 06: Resolva o problema de valor inicial. 
   4 13 0, 0 1, 0 2y y y y y       
 
 
R: 
2 4cos3 3
3
xy e x sen x
 
   
 
 
 
Exemplo 07: Resolva o problema de valor inicial. 
    21,01,054  yyyyy
 
 
 
Equações de ordem superior 
 
No caso geral, para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem 
 
1 2
1 2 1 01 2
... 0
n n
n nn n
d y d y d y dy
a a a a a y
dx dx dx dx

 
     
 
 
 15 
 
 
 
em que os 
0 1, ,..., na a a
 são constantes arbitrários, devemos resolver uma equação 
polinomial de grau n 
1 2
1 2 1 0... 0
n n
n na a a a a         
Se todas as raízes da equação característica são reais e distintas, então a equação 
geral é 
1 2
1 2( )
nxx x
ny x C e C e C e
    K
 
 
 
Como encontrar as raízes das equações características de grau maior 
que 2 
 
Primeiro método: “Adivinhe” a primeira raiz da equação característica. A melhor 
escolha é 
1 1, 2, 3    
. Após ter encontrado a raiz, sabemos pelo teorema de 
fatoração que 
1 é um fator do polinômio (equação característica). Dividindo o 
polinômio por 
1 
, ou utilizando o método do Briot-Ruffini, obtemos a fatoração 
 
   1 21 2 1 0 1...
n n
n na a a a a Q             
 
 
Exemplo 08: Resolva as seguintes equações diferenciais. 
 
1. 
3 4 0y y y   
 
R: 
2 2
1 2 3
x x xy C e C e C xe   
 
 
2. 4
0
d y
y
dx
 
 
R: 
1 2 3 4( ) cos( ) ( )
x xy x C x C sen x C e C e   
 
 
3. 4 2
4 2
2 0
d y d y
y
dx dx
  
 
R: 
1 2 3 4cos cosy C x C senx C x x C x senx   
 
 
 16 
 
 
 
4. 
3 4 12 0y y y y     
 
R: 
2 3 2
1 2 3( )
x x xy x C e C e C e   
 
 
Segundo método: Quando não é possível de encontrar as raízes, encontre as raízes 
racionais da seguinte forma: 
Se 
1
p
q
 
 é uma raiz racional, onde p e q são primos entre si, de uma equação 
característica 
1 2
1 2 1 0... 0
n n
n na a a a a         então p é um fator de 0a e q é um 
fator de 
na
. 
Logo, para determinar se uma equação característica possui raízes racionais, primeiro 
encontre os fatores (múltiplos) de 
0a
 e 
na
, e construímos uma lista de todas as 
possíveis raízes racionais que são as razões entre cada fator de 
0a
 e cada fator de 
na
. 
Testamos cada um desses números pelo método de Briott-Ruffini e se o número 
1
 
testado é uma raiz da equação, então 
1 
 é um fator do polinômio. 
 
 
Exemplo 09: Resolva 
3 5 10 4 0y y y y     
 
R: 
 31 2 3cos 3 3x xy C e e C x C sen x  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
 
 
 
Equações Diferenciais Não Homogêneas com 
Coeficientes Constantes 
 
Como já apresentado, as equações diferenciais lineares não homogênea com 
coeficientes constantes são aquelas da forma: 
 
 1 2
1 2 1 01 2
... ( )
n n
n nn n
d y d y d y dy
a a a a a y g x
dx dx dx dx

 
     
 (1) 
 
onde 
0 1, ,..., na a a
 são constantes reais. 
 
A solução geral deste tipo de equação é dada por: 
 
c py y y 
 (2) 
 
onde 
cy
é a solução complementar (solução da equação diferencial homogênea) e 
py
 
é a solução particular (solução da equação diferencial não homogênea). 
 
Derivando (2) até a ordem da equação diferencial (1), obtemos: 
 
pc
dydydy
dx dx dx
 
 
 
222
2 2 2
. . .
. . .
. . .
pc
nnn
pc
n n n
d yd yd y
dx dx dx
d yd yd y
dx dx dx
 
 
 
 
Substituindo esses valores em (1), tem-se: 
 
 18 
 
 
 
1 1
1 0 1 01 1
... ... ( )
n n n n
p p c c
n n p n n cn n n n
d y d y d y d y
a a a y a a a y g x
dx dx dx dx
 
  
   
          
    
 (3) 
 
 
Como 
py
 é a solução particular da equação dada, o primeiro termo de (3) 
satisfará a equação: 
 
1
1 01
... ( )
n n
p p
n n pn n
d y d y
a a a y g x
dx dx

 
   
 (4) 
 
E, consequentemente: 
 
1
1 01
... 0
n n
c c
n n cn n
d y d y
a a a y
dx dx

 
   
 (5) 
 
 
Esta é, de fato, uma equação diferencial linear homogênea, cuja solução 
corresponde à função complementar da equação não homogênea dada. 
 
 
 
Então, para resolver a equação diferencial com coeficientes constantes, equação 
(1), podemos resolver a parte homogênea, 
cy
, pelo método dos coeficientes 
constantes (já discutido), e somá-la com a solução particular 
py
. Mas como se 
determina a solução particular? Existem dois métodos, que serão discutidos 
posteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
 
 
 
MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR OU INDETERMINADO 
(ou MÉTODO DE DESCARTES) 
 
 
Agora estamos interessados em determinar as soluções particulares da equação 
diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: 
 
( )a y b y c y g x   
 
onde 
, ,a b c
 são constantes. 
 
Um dos métodos para determinar 
py
 é o dos coeficientes a determinar. 
Esse método funciona para poucos casos específicos: ele se limita a equações 
lineares não-homogêneas que tem coeficientes constantes e em que 
( )g x
 é uma 
constante k, uma função polinomial, uma função exponencial, uma função cosseno e 
seno, ou somas e produtos dessas funções. 
 
Pelo (4), temos que 
( )p p pa y b y c y g x   
 então parece razoável supor então 
que 
py
 tem a mesma forma que 
( )g x
. 
 
Exemplo 01: Resolva as seguintes equações diferenciais: 
 
1. 
25 6 2 1y y y x    
 
R: 2
2 3
1 2
5 5
( )
3 9 27
x x xy x C e C e x    
 
 
2. 
7 12 3 xy y y e   
 
R: 
3 4
1 2
3
( )
20
x x xy x C e C e e  
 
 
3. 
4 3 3 (2 )y y y sen x   
 
R: 
 31 2
3
( ) (2 ) 8cos(2 )
65
x xy x C e C e sen x x   
 
 
 20 
 
 
 
Tentativas para encontrar soluções particulares 
 
( )g x
 Forma de 
py
 
2 
1x 
 
23x x
 
3x
 
4 xe
 
31 xe
 
2xxe
 
 25 1 xx e
 
3 4sen x
 
cos 2x
 
2 4x sen x
 
2 cos3xe x
 
43 xxe senx
 
A
 
Ax B
 
2Ax Bx C 
 
3 2Ax Bx Cx D  
 
xAe
 
3xA Be
 
  2xAx B e
 
 2 xAx Bx C e 
 
4 cos 4Asen x B x
 
2 cos 2Asen x B x
 
   2 24 cos 4Ax Bx C sen x Dx Ex F x    
 
2 22 cos 2x xAe sen x Be x
 
   4 4 cosx xAx B e senx Cx D e x  
 
 
 
 
Exemplo 02: Resolva as seguintes equações diferenciais. 
 
1. 
22 3 4 5 6 xy y y x xe     
 
R: 
3 2
1 2
4 23 4
( ) 2
3 9 3
x x xy x C e C e x x e
 
      
 
 
 
 
 21 
 
 
 
2. 
44 3 xy y e  
 
R: 
4
1 2
3
( ) cos(2 ) (2 )
20
xy x C x C sen x e  
 
 
3. 
27 10 8 xy y y e   
 
R: 
2 5 2
1 2
8
( )
3
x x xy x C e C e xe  
 
 
4. 
2 xy y y e   
 
R: 
2
1 2
1
( )
2
x x xy x C e C xe x e  
 
 
5. 
4 ( )y y sen x  
 
R: 
1 2( ) cos( ) ( ) 2 cos( )y x C x C sen x x x  
 
 
 
Exemplo 03: Resolva o problema de valor inicial 
 
   4 10 , 0, 2y y x senx y y       
 
R: 
9 cos 7 4 5 cosy x senx x x x    
 
 
 
Equações de Ordem Superior 
 
Exemplo 04: Resolva as seguintes equações diferenciais. 
 
1. 
4 1 3y y x   
 
R: 
2 2 2
1 2 3
3
( )
8 4
x x xy x C C e C e x    
 
 
 22 
 
 
 
2. 
22 3 2 1y y x x    
 
R: 4 3
2 2
1 2 3
3
( )
8 12 8
x x xy x C C x C e x     
 
 
3. 
(4) 4 8 (4 )y y sen x 
 
R: 
2 2
1 2 3 4
1
( ) (4 )
40
x xy x C C x C e C e sen x    
 
 
4. 
4 12 (2 )y y sen x  
 
R: 
2 2
1 2 3
3
( ) cos(2 )
4
x xy x C C e C e x   
 
 
 
 
 
Exemplo 05: Determine a forma de uma solução particular. 
 
1. 
38 25 5 7x xy y y x e e     
 
R: 
 3 2 xpy Ax Bx Cx D e   
 
 
2. 
2 69 14 3 5 2 7 xy y y x sen x xe     
 
R: 
 2 6cos2 2 xpy Ax Bx C D x Esen x Fx G e      
 
 
3. 
 4
1 xy y e  
 
R: 
3 x
py Ax Bxe
 
 
 
 
 
 
 
 23 
 
 
 
MÉTODO DA VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS (MÉTODO DE LAGRANGE)Vimos que o método de coeficientes indeterminados é um procedimento simples 
para determinar uma solução particular quando a equação tem coeficientes 
constantes e o termo não homogêneo é do tipo especial. Agora será apresentado um 
método mais geral, denominado variação de parâmetros para encontrar uma solução 
particular. 
Para calcular uma solução particular 
py
 pelo método da variação dos 
parâmetros ou método de Lagrange, utilizaremos uma equação diferencial linear não 
homogênea de 2ª ordem 
     2 1 0 ( )a x y a x y a x y g x   
 
na forma padrão: 
 
 
    ( )y P x y Q x y f x   
 (6) 
 
e considera-se a solução homogêneas de uma solução particular expressa por: 
 
 
1 1 2 2( ) ( )cy c y x c y x 
 
 
com 
1c
 e 
2c
 constantes arbitrárias e 
1( )y x
 e 
2( )y x
 são linearmente independentes 
(LI). 
O método da variação dos parâmetros consiste em substituir as constantes 
1c
 e 
2c
 pelas funções 
1( )u x
 e 
2 ( )u x
, para formar uma solução particular na forma: 
 
 
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )py u x y x u x y x 
 (7)
 
que seja solução da equação diferencial não homogênea. Como 
1( )u x
 e 
2 ( )u x
 
constituem parâmetros que podem ser modificados, portanto, aos quais serão 
impostas restrições. 
Derivando (7), tem-se: 
 
 24 
 
 
 
1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )py u x y x u x y x u x y x u x y x       
 
 
Agora, supondo-se (condição imposta) de modo a simplificar a derivada: 
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0u x y x u x y x  
 (8) 
 
Com esta condição, a derivada fica: 
 
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )py u x y x u x y x   
 (9) 
 
e a derivada segunda fica: 
 
1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )py u x y x u x y x u x y x u x y x         
 (10) 
 
Substituindo as expressões (7), (9) e (10) em (6): 
 
     1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( )u y u y u y u y P x u y u y Q x u y u y f x              
 
 
 
Evidenciando 
1( )u x
 e 
2 ( )u x
: 
 
       1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ( )u y P x y Q x y u y P x y Q x y u y u y f x                    
 
 
onde os coeficientes de 
1( )u x
 e 
2 ( )u x
 são nulos, uma vez que 
1( )y x
 e 
2( )y x
 são 
soluções da equação característica (solução homogênea), ou seja, são soluções de (6) 
para 
( ) 0g x 
. Assim: 
 
1 1 2 2 ( )u y u y f x    
 (11) 
 
Dessa forma, as equações (8) e (11) formam o sistema de condicionamento: 
 
 25 
 
 
 
 
1 1 2 2
1 1 2 2
0
( )
u y u y
u y u y f x
  


     
 
 
 
Pela Regra de Cramer, o determinante desse sistema será o Wronskiano das 
funções 
1( )y x
 e 
2( )y x
, que por hipótese, é diferente de zero 
 0W 
, que pode ser 
expressa em termos de determinantes: 
 
1
1
W
u
W
 
 e 
2
2
W
u
W
 
 
 
em que: 
 
1 2
1 2
 
 
y y
W
y y

 
 
2
1
2
0 
( ) 
y
W
f x y


 
1
2
1
 0 
 ( )
y
W
y f x


 
 
 
 
Exemplo 06: Resolva as seguintes equações diferenciais: 
 
1. 
24 4 ( 1) xy y y x e    
 
R: 3 2
2 2 2
1 2( )
6 2
x x xx xy x C e C xe e
 
    
 
 
 
2. 
4 36 cossec(3 )y y x  
 
R: 
1 2
1 1
( ) cos(3 ) (3 ) cos(3 ) (3 ) ln( (3 ))
12 36
y x C x C sen x x x sen x sen x   
 
 
3. 
( )y y tg x  
 
R: 
1 2( ) cos( ) ( ) cos( ) ln(sec( ) ( ))y x C x C sen x x x tg x   
 
 
 
4. 
3 2 2xy y y xe x    
 
R: 2
2
1 2
3
( )
2 2
x x xxy x C e C e x e x
 
      
 
 
 26 
 
 
 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE CAUCHY-EULER 
 
 
 
Definição: 
 
A equação diferencial: 
 
1 2
1 2
1 2 1 01 2
... ( )
n n
n n
n nn n
d y d y d y dy
a x a x a x a x a y g x
dx dx dx dx


 
     
 (1) 
 
é denominada equação de Cauchy-Euler. 
 
A característica desse tipo de equação diferencial é que o grau de cada coeficiente 
monomial coincide com a ordem de derivação. Assim: 
 
k
k
k
d y
x
dx
 (2) 
 
Para efeitos de discussão, vamos resolver o caso da equação homogênea de 2ª 
ordem, que é: 
 
2
2
2
0
d y dy
ax bx cy
dx dx
  
 (3) 
 
A solução para equações de ordem superior é análoga. Ainda, podemos resolver 
a equação não homogênea: 
 
2
2
2
( )
d y dy
ax bx cy g x
dx dx
  
 (4) 
 
pelo método da variação dos parâmetros, uma vez determinada a solução homogênea 
( )cy x
. 
 
 
 
 
 27 
 
 
 
Propomos uma solução da forma 
my x
, em que m deve ser determinado e 
que 
 0,x 
. Para encontrar solução para 
 ,0x 
 fazemos a substituição 
t x 
 na 
equação diferencial. A 1ª e 2ª derivadas são, respectivamente: 
 
1mdy mx
dx

 
e 
2
2
2
( 1) m
d y
m m x
dx
 
 
 
Conseqüentemente, a equação diferencial, torna-se: 
 
 
2
2
2
2 2 1
0
( 1) 0
( 1) 0
( 1) 0
m m m
m m m
m
d y dy
ax bx cy
dx dx
ax m m x bxmx cx
am m x bmx cx
x am m bm c
 
  
   
   
   
 
 
ou simplesmente: 
2 ( ) 0mx am b a m c     
 
 
Logo, 
my x
 será uma solução para a equação diferencial quando m for uma 
solução para a equação característica: 
 
2 ( ) 0am b a m c   
 (5) 
 
Há três casos distintos a serem considerados, dependendo das raízes dessa 
equação quadrática, a saber: raízes reais e distintas, reais e iguais ou complexas. No 
último caso, as raízes são conjugadas. 
 28 
 
 
 
Caso 1: Raízes Reais e Distintas: 
1 2m m
 
 
 Se 
1m
 e 
2m
 são raízes reais e distintas de (5), então: 
1
1
my x
 e 
2
2
my x
 
 
 que são soluções linearmente independentes, pois 
 
 
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 1 1
2 1 2 1
1 1
1 2
0
m m
m m m m m m
m m
x x
W m x m x m m x
m x m x
     
 
     
 
 
e a solução geral é: 
 
1 2
1 2( )
m my x C x C x 
 
 
 
Exemplo 01:Resolva a equação diferencial: 
 
1. 
2 2 4 0x y xy y   
 
R: 
1 4
1 2( )y x C x C x
 
 
 
2. 
2 43 3 2 xx y xy y x e   
 
R: 
 31 2( ) 2 2
xy x C x C x xe x   
 
 
 
 
 
 Caso 2: Raízes Reais e Iguais: 
1 2m m
 
 
 Se 
1m
 e 
2m
 são raízes reais e iguais, temos uma única solução 
1
1
my x
. Vamos 
encontrar a segunda solução pela fórmula: 
 29 
 
 
 
   
 
 
2 1 2
1
P x dx
e
y x y x dx
y x


  

 
 
Transformando a equação (4) na forma padrão, temos 
 
     
2
2
d y dy
P x Q x y f x
dx dx
  
 
 
onde 
 
b
P x
ax

, 
  2
c
Q x
ax

 e 
  2
( )g x
f x
ax

. 
Assim, 
 
       
1 1 1 1
1 1 1 1
ln
ln
2 2 2 2 2
b a
b b
dx x
x b aax a
m m m m
m m m m
e e e x
y x x dx x dx x dx x dx
x x x x
  
       
 
Como 
1m
 e 
2m
 são raízes reais e iguais e  
1 2
b a
m m
a
 
 
 então 
1 12
2
b a a b
m m
a a
  
  
 
Logo, 
 
1 1 1 1 1
1
1
2 2 2 1
2
1
ln
b a b a b a b a
m m m m m
a b b a
a bm
a
a
m
x x x x
y x x dx x dx x dx x dx x dx
x xx xx
x x
   
 
    
 
 
 

    
 
 
Temos 
  11
my x x
 e 
  12 ln( )
my x x x
 
 
duas soluções linearmente independentes, pois 
 
 30 
 
 
 
1 1
1 1 1 1
1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1 1
1 1 1
1 1
ln
ln ln 0
ln
m m
m m m m
m m m
x x x
W m x x x m x x x
m x m x x x
   
  
     

 
 
 
e a solução geral é: 
 
1 1
1 2( ) ln( )
m my x C x C x x 
 
 
 
Para equações de ordem superior, se m for uma raiz de multiplicidade k, então 
pode ser mostrado que: 
 
   
2 1
, ln( ), ln( ) ,..., ln( )
km m m mx x x x x x x

 
 
são soluções linearmente independentes. A solução geral para a equação diferencial 
deve portanto conter uma combinação linear dessas k soluções. 
 
 
Exemplo 02: Resolva as seguintes equações diferenciais: 
 
1. 
24 8 0x y xy y   
 
R: 
1 1
2 2
1 2( ) ln( )y x C x C x x
 
 
 
 
2. 
2 ln( )x y xy y x   
 
R: 
1 2( ) ln( ) ln( ) 2y x C x C x x x   
 
 
 
 
 
 
 
 31 
 
 
 
 Caso 3: Raízes Complexas 
 
Se as raízes de (5) são complexas, podemos interpretar 
1m i  
, e como as 
raízes surgem em pares conjugados; assim, a outra raiz é 
2m i  
. Duas soluções 
LI são 
( )ix  
e 
( )ix  
, e a solução geral (complexa) é : 
 
( ) ( )
1 2
i iy C x C x     
 
 
ou simplesmente como: 
 
1 2
i iy x C x C x     
 
 
 Mas, como no caso de equações diferenciais com coeficientes constantes, 
quando as raízes da equação auxiliar são complexas, queremos escrever a solução em 
termos de funções reais somente. Utilizando as relações de Euler 
 
 lnln cos( ln ) sen( ln )
i x xi xx e e x i x
           , 
 
logo, podemos escrever a solução geral como: 
 
1 2[ cos( ln ) sen( ln )]y x C x C x
    
 
 
Exemplo 03: Resolva a equação diferencial: 
 
1. 
   2 3 3 0, 1 1, 1 5x y xy y y y       
 
R: 
1( ) cos( 2 ln( )) 2 2 ( 2 ln( ))y x x x sen x   
 
 
 
 
 
 32 
 
 
 
Equação de ordem superior 
 
Exemplo 04: Resolva as seguintes equações diferenciais: 
 
1. 
3 25 7 8 0x y x y xy y     
 
R: 
2
1 2 3( ) cos(2ln( )) (2ln( ))y x C x C x C sen x
  
 
 
 
2. 
3 0x y xy y   
 
R: 
 
 
3. 3 2
3 2
3 2
2 4 4 0
d y d y dy
x x x y
dx dx dx
   
 
R: 
 
 
4. 3 2
3 2 3
3 2
3 6 6 3 ln
d y d y dy
x x x y x
dx dx dx
    
 
R: