Mod2 F2 Funcoes Elementares

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Presidência da República 
Ministério da Educação 
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior 
Diretoria de Educação a Distância
Curso de Especialização em Ensino de 
Matemática para o Ensino Médio
Matem@tica
na Pr@tica
Curso de Especialização em Ensino de 
Matemática para o Ensino Médio
Módulo II
Funções elementares
Paulo Antonio Silvani Caetano
Roberto Ribeiro Paterlini
Matem@tica
na Pr@tica
Produção Editorial - Central de Texto
Editora: Maria Teresa Carrión Carracedo
Produção gráfica: Ricardo Miguel Carrión Carracedo
Projeto gráfico: Helton Bastos
Paginação: Maike Vanni
Revisão para publicação: Henriette Marcey Zanini
Índices para catálogo sistemático:
1. Funções elementares : Análise : Matemática 515.5
Caetano, Paulo Antonio Silvani
Funções elementares : módulo II / Paulo Antonio 
Silvani Caetano, Roberto Ribeiro Paterlini. -- Cuiabá, MT : 
Central de Texto, 2013. -- (Matem@tica na pr@tica. Curso de 
especialização em ensino de matemática para o ensino médio)
Bibliografia.
ISBN 978-85-8060-019-3
1. Ensino médio 2. Funções elementares 3. Matemática 
- Estudo e ensino 4. Matemática - Formação de professores 
I. Paterlini, Roberto Ribeiro. II. Título. III. Série.
13-07241 CDD-515.5
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio
Equipe de especialistas em formação de professores de Matemática
Coordenação: Paulo Antonio Silvani Caetano (DM-UFSCar)
Especialistas: Cláudio Carlos Dias (UFRN), Daniel Cordeiro de Morais Filho (DME-UFCG), 
Francisco Roberto Pinto Mattos (UERJ e Colégio Pedro II) João Carlos Vieira Sampaio (DM-UFSCar), 
Marlusa Benedetti da Rosa (CAp-UFRGS), Pedro Luiz Aparecido Malagutti (DM-UFSCar), 
Roberto Ribeiro Paterlini (DM-UFSCar), Tomás Edson Barros (DM-UFSCar), Victor Augusto Giraldo (IM-UFRJ)
Desenvolvimento Instrucional
Coordenação: Cristine Costa Barreto
Designers instrucionais: José Paz Pereira Júnior, Juliana Silva Bezerra, Leonardo Nahoum, Letícia Terreri, 
Magno Luiz Ferreira, Maria Matos, Andréia Ramos e Cíntia Nascimento
Responsáveis por este fascículo
Autores: Paulo Antonio Silvani Caetano e Roberto Ribeiro Paterlini
Leitores: Daniel Cordeiro de Morais Filho, Marlusa Benedetti da Rosa e Victor Augusto Giraldo
Designers instrucionais: Cristine Costa Barreto, José Paz Pereira Júnior, Magno Luiz Ferreira e Maria Matos
Revisão: Lúcia Beatriz Alves
Apresentação
O Matem@tica na Pr@tica é um Curso de Especialização em Ensino de Matemática na 
modalidade de Educação a Distância que está inserido no Plano de Ações Articuladas do 
Ministério da Educação. Esse plano tem como objetivo promover uma importante ativi-
dade de formação continuada dirigida a você, professor do ensino básico, incentivando 
a renovação da sua prática pedagógica e propondo caminhos para que você possa criar, 
organizar e compartilhar novos conhecimentos com seus alunos e colegas de trabalho.
Esse texto apresenta a disciplina de Funções Elementares, uma das quatro disciplinas 
do segundo módulo do Matem@tica na Pr@tica. Vamos refletir sobre a importância das 
funções no ensino médio, explorando suas diversas definições e representações, e relem-
brar conceitos e técnicas relacionados às funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas 
e trigonométricas, utilizando recursos computacionais na exploração dessas funções.
Cada uma das disciplinas do curso foi idealizada para ser desenvolvida em oito sema-
nas. Para facilitar esse desenvolvimento elas foram divididas em etapas, de duas semanas 
cada. Recomendamos que você estabeleça uma rotina de estudos, com pelo menos 5 horas 
semanais de dedicação, para poder estudar com calma todo o material impresso e realizar 
as atividades propostas em ambiente virtual.
Esperamos que as horas dedicadas a essa disciplina sejam muito proveitosas para você.
Equipe do Matem@tica na Pr@tica
Março, 2013
Sumário
Etapa I – O conceito de função na Matemática 11
1. Introdução 13
2. Concepções espontâneas de relações 14
3. O conceito matemático de função 18
4. Técnicas algébricas para representação de funções 21
5. Variável: um importante pré-requisito 27
6. Técnicas gráficas para representação de funções 32
7. Reconstruindo a definição de função 40
8. Conclusão 41
9. Resumo 41
10. Orientações sobre a avaliação na Etapa 1 42
Etapa II – Funções polinomiais 43
1. Introdução 45
2. Por que estudamos funções polinomiais? 46
3. Esboço de uma sequência didática para 
o ensino das funções quadráticas 48
4. Problemas de máximos e mínimos em funções 
quadráticas 57
5. Máximos e mínimos de funções racionais 67
6. Tópicos sobre funções polinomiais 70
7. Conclusão 78
8. Resumo 78
9. Orientações sobre a avaliação na Etapa 2 79
Etapa III – Tópicos sobre funções exponenciais e 
logarítmicas 81
1. Professor, quanto dá essa conta? 83
2. Só sei que nada sei 83
3. A caderneta de poupança do Banco M@P 88
4. Demonstrar é preciso, entender também... 92
5. Uma função que mede a despoluição de um lago em tempo 
real 97
6. Exponenciais: do natural para o real 102
7. Logaritmos e escala de grandezas 106
8. Para que serve o logaritmo? 109
9. Conclusão 111
10. Resumo 111
11. Orientações sobre a avaliação na Etapa 3 112
Etapa IV – Tópicos sobre funções trigonométricas 113
1. Quero usar novas tecnologias na minha aula. 
Mas como? 115
2. GeoGebra, um programa de matemática dinâmica 116
3. A dança dos gráficos 119
4. Desenrolando o seno 125
5. Um ajuste trigonométrico 142
6. Conclusão 150
7. Resumo 150
8. Orientações sobre a avaliação na Etapa 4 150
Encerramento 151
Bibliografia 152
Seja bem vindo, professor!
Nesta etapa do nosso curso aprofundamos nosso conhecimento 
sobre as funções mais utilizadas na Matemática Elementar. 
Vamos entender a importância do estudo dessas funções e rever 
alguns conceitos básicos que podem nos ajudar a refletir sobre o 
seu ensino na escola.
Para começar, vamos pensar sobre algumas questões:
 ▹ Como surge o conceito matemático de função?
 ▹ Qual a importância do estudo das funções?
 ▹ Quais são as características básicas das funções?
 ▹ Quais são as principais formas de representação das funções?
 ▹ Como diagnosticar conhecimentos prévios para o ensino de 
funções?
Etapa I 
O conceito de função na Matemática
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1. Introdução
Árvore genealógica
Uma árvore genealógica é uma representação dos ancestrais de uma 
pessoa. Essa representação gráfica mostra as relações entre familiares, tra-
zendo seus nomes e, algumas vezes, fotos, datas de nascimento, casamento 
e falecimento.
Muitas pessoas têm von-
tade de construir sua árvore 
genealógica e descobrir mais 
sobre quem foram seus pri-
mos, tios, avós e tatatatara-
vós! Queremos saber quem 
faz parte de nossa família e qual relação 
temos com essas pessoas. De primeiro grau? 
De terceiro grau? Por parte de pai ou de 
mãe? Ao construir sua árvore genealógica, 
você pode descobrir, por exemplo, que o 
matemático brasileiro Malba Tahan é um de 
seus antepassados! Vai ver que você herdou 
dele o gosto pela matemática!
Brincadeiras à parte, em uma árvore ge-
nealógica identificamos claramente a relação 
entre aspessoas. Essas relações podem ser 
facilmente compreendidas por qualquer um. 
É justamente a partir deste conceito de relação que iniciaremos nossas reflexões sobre as 
funções elementares.
Identificar relações é um dos trabalhos mais importantes de quem estuda Matemática. 
Afinal, a ciência matemática investiga as relações entre os objetos abstratos e através delas 
cria modelos capazes de descrever fenômenos naturais e sociais. Algumas dessas relações 
chamamos de funções, assunto desta etapa de nosso curso.
Uma das nossas maiores preocupações será a de mostrarmos para os nossos alunos a 
importância do estudo das funções.
Quais propriedades das funções são mais relevantes para o ensino 
desse conteúdo?
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1. Introdução 13
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Para discutir as funções elementares, passaremos por diversas etapas, buscando refletir 
sobre o significado dos seguintes conceitos matemáticos:
 ▹ Relações 
 ▹ Funções
 ▹ Variáveis
 ▹ Representação algébrica de funções
 ▹ Representação gráfica de funções
 ▹ Aplicação de funções
Então, vamos começar?
2. Concepções espontâneas de relações
Iniciamos nosso estudo observando que as pessoas, em geral, têm percepções espon-
tâneas das ideias de relação, variação e dependência entre as grandezas. Partindo desse 
conhecimento inicial, o professor pode construir o conceito matemático de função utili-
zando sequências didáticas adequadas. Assim, é muito importante pensarmos de onde 
vem esse conhecimento inicial e como ele se desenvolve. Entender a concepção prévia dos 
alunos é imprescindível para que possamos ajudá-los a construir conceitos matemáticos 
plenos de significado.
Na natureza e no cotidiano os fenômenos apresentam diversas relações de depen-
dência entre seus componentes. O ser humano, desde a infância, usando sua capacidade 
cognitiva e vivenciando experiências fenomenológicas e sociais, apreende naturalmente 
sobre os aspectos mais triviais dessas relações. Assim, a criança associa, por exemplo, 
certos brinquedos com outros (xícaras com pires, roupinhas com bonecos e bonecas) e 
toma conhecimento também de que cada pessoa tem um nome, ao qual é associado um 
vocábulo. Esse aprendizado de relações depende do desenvolvimento da lógica interna 
de cada criança e do entorno social. É dessa maneira que a ideia de relação 
surge e se desenvolve.
Um exemplo de relação espontânea é o processo de contagem de objetos 
de um conjunto, desenvolvido pela humanidade há muitos milênios, e repro-
duzido aceleradamente pelas crianças durante seu aprendizado inicial. A pri-
meira etapa desse processo consiste em comparar o conjunto de objetos que 
se quer contar a um conjunto conhecido, como os dedos das mãos. A relação 
“comparar um conjunto que se quer contar a um conjunto conhecido” pode 
ser representada assim:
conjunto que se quer contar � conjunto conhecido
em que o sinal � indica uma associação entre os elementos de um dos conjuntos com 
os elementos do outro através de uma propriedade muito especial: para cada elemento 
do primeiro conjunto associamos um e somente um elemento do segundo, e vice-versa.
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14 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
Com a experiência acumulada e o aperfeiçoamento da abstração, o “conjunto conheci-
do” (como os dedos das mãos) foi substituído por um conjunto fixo, abstrato, desvinculado 
de qualquer coleção concreta de objetos, construído paulatinamente pela humanidade 
através de processos lógicos universais bem definidos. Este é o conjunto denominado 
“conjunto dos números naturais”. Assim, a relação acima foi substituída por:
conjunto que se quer contar → {1,2,3,4,...}
Nessa relação, para cada elemento do primeiro conjunto associamos um e somente 
um elemento do segundo.
Vejamos outro exemplo bem simples de uma relação espontânea que as crianças con-
seguem construir facilmente:
Maria, Ana, Juliana, Frida e Carla são mulheres adultas e estão na mesma sala que as 
crianças Luíza, Paulo, João, Pedro, Nanci e Vítor. Maria é mãe de Luíza e Paulo; Ana é 
mãe de João; Juliana é mãe de Pedro; Frida, de Nanci e Vítor. Carla não é mãe.
Consideremos agora a relação “é mãe de” aplicada a esses dois conjuntos: as mulheres 
adultas e as crianças que estão na sala. Uma forma de indicar quem está nessa relação 
com quem é usar setas, como no esquema a seguir:
Maria Luíza
Paulo
Ana João
Juliana Pedro
Frida Nanci
Vítor
Carla
Podemos observar algumas características dessa relação. Existe um conjunto de “parti-
da” (as mulheres adultas), e outro de “chegada” (as crianças). Essa relação não faria sentido 
se trocássemos os conjuntos de lugar, concorda?
Outras características importantes dessa relação:
 ▹ existem elementos do conjunto das mulheres que estão na relação com mais de um 
elemento do conjunto das crianças;
 ▹ existem elementos do conjunto das mulheres que estão na relação com exatamente 
um elemento do conjunto das crianças;
 ▹ existe um elemento do conjunto das mulheres que não está na relação;
 ▹ todo elemento do conjunto das crianças está na relação.
Repare que essas características dizem respeito a como os elementos do conjunto de 
partida (mães) se relacionam aos elementos do conjunto de chegada (filhos).
2. Concepções espontâneas de relações 15
As relações apresentadas acima são bem simples. Existem diversas relações utilizadas 
pela Matemática que exigem mais raciocínio para se identificar suas propriedades e carac-
terísticas. A atividade a seguir mostra um exemplo:
 Atividade 1 Invertendo a relação
Considere os mesmos conjuntos do exemplo anterior das 
mulheres e seus filhos e a relação inversa “é filho de”. Faça 
uma representação dessa relação usando setas e descreva 
suas características.
Resposta comentada
Observe que, desta vez, o conjunto de partida é o das 
crianças e o conjunto de chegada é o das mulheres adultas. 
Com essa alteração, é possível relacionar os filhos com suas 
mães.
Luíza Maria
Paulo
João Ana
Pedro Juliana
Nanci Frida
Vítor
Carla
Definida a relação, podemos descrever suas característi-
cas, considerando os elementos dos conjuntos de partida e 
chegada:
a▹	Cada elemento do conjunto de partida (as crianças) 
está relacionado com apenas um elemento do con-
junto de chegada (as mulheres adultas).
b▹	Existe um elemento do conjunto de chegada que não 
se relaciona com nenhum elemento do conjunto de 
partida.
c▹	Existem dois elementos no conjunto de chegada que 
se relacionam com mais de um elemento do 
conjunto de partida.
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16 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
Ao realizar essas atividades, você reparou nos detalhes importantes que precisam ser 
identificados para caracterizar as relações? Vamos pensar sobre eles...
1. Identificar com precisão os conjuntos de partida e chegada;
2. Aplicar corretamente a regra que define a relação;
3. Verificar se há algum elemento no conjunto de partida que se 
relaciona com apenas um, mais de um elemento do conjunto de 
chegada ou nenhum deles;
4. Verificar se “restam” elementos no conjunto de chegada, ou 
seja, se algum elemento desse conjunto não entra na relação.
Essas são as características que devemos observar em uma relação 
matemática.
 Atividade 2 Pensando sobre pares e ímpares
Descreva as características da seguinte rela-
ção definida entre os números inteiros: um nú-
mero relaciona-se com outro se tiverem a mesma 
paridade (dizer que dois números inteiros têm a 
mesma paridade significa que ambos são pares 
ou ímpares).
Resposta comentada
O conjuntode partida é igual ao conjunto de chegada, e 
ambos constituem o conjunto dos números inteiros. Lembra-
mos que todo número inteiro é par ou é impar. Assim, pode-
mos concluir que um elemento par do conjunto de partida 
se relacionará com todos os números pares do conjunto de 
chegada, e um elemento ímpar do conjunto de partida com 
todos os elementos ímpares do conjunto de chegada. Duas 
características dessa relação:
a▹	Todo elemento do conjunto de partida relaciona-se 
com infinitos elementos do conjunto de chegada.
b▹	Todo elemento do conjunto de chegada relaciona-se 
com infinitos elementos do conjunto de partida.
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2. Concepções espontâneas de relações 17
Temos a seguir uma pequena atividade desafio que você pode propor a seus alunos. 
Esta atividade é um exemplo de relação entre conjuntos contínuos, para nos lembrar de 
que não existem relações apenas entre conjuntos discretos.
Como se trata de uma atividade desafio, a resposta não está neste texto.
 Atividade 3 Números reais
Descreva as características da seguinte relação definida 
entre números reais: um número relaciona-se com outro se 
forem diferentes e se seus valores absolutos forem iguais.
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Agora que já vimos o sentido de relação e como ela pode ser caracterizada matemati-
camente, é possível caminharmos para a discussão sobre o conceito de função.
3. O conceito matemático de função
Um tipo especial de relação, denominada tecnicamente relação unívoca, é estudada e 
desenvolvida pela Matemática. Essas relações são também denominadas funções.
Vejamos uma primeira definição desse conceito, assim como algumas características 
que são importantes em seu ensino.
Uma função é constituída de um conjunto de partida A , de um conjunto de chegada B 
e de uma relação entre esses conjuntos que satisfaça as seguintes condições particulares:
 ▹ ( i ) todo elemento de A faz parte da relação;
 ▹ (ii) cada elemento de A está relacionado com um único elemento de B .
Observe que a expressão relação unívoca dada às funções se deve à condição (ii).
Para que se possa entender melhor o sentido dessas condições e o conceito de função, 
vamos considerar como exemplo uma relação em que o conjunto de partida e o conjunto 
18 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
de chegada são, ambos, o conjunto dos números inteiros, e a relação é definida por: um 
número do conjunto de partida relaciona-se com um número do conjunto de chegada quando 
este for o quadrado do primeiro. Esta relação pode ser resumida por:
2x x→ para todo número inteiro x
Essa relação é uma função porque:
 ▹ ( i ) todo elemento do conjunto de partida está na relação, pois todo número inteiro 
tem quadrado;
 ▹ (ii) cada elemento do conjunto de partida está relacionado com um único elemento 
do conjunto de chegada, pois todo número inteiro tem um único quadrado.
Uma característica importante dessa função é que nem todo elemento do conjunto de 
chegada está na relação, mas apenas os que são quadrados, como 0, 1, 4, 9 etc.
 Atividade 4 É ou não é?
Verifique se os itens abaixo representam, ou não, 
funções. No caso de uma resposta positiva, mostre as ca-
racterísticas que garantem sua conclusão. No caso de uma 
resposta negativa, aponte as características que descumprem 
as condições de função.
A Verifique se a relação inversa “é filho de” exposta na 
Atividade 1 é uma função. Você supõe que essa função pode 
ser percebida espontaneamente por uma criança? A criança 
observa naturalmente suas propriedades?
B Verifique se a relação da Atividade 2, sobre paridade, é 
ou não uma função.
C Verifique se é função a seguinte relação. Considere o 
conjunto dos números reais como o conjunto de 
partida e o conjunto de chegada. A regra é: um 
número do conjunto de partida relaciona-se com um 
número do conjunto de chegada quando este é a raiz 
quadrada do primeiro.
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3. O conceito matemático de função 19
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Observe que o fato de apenas um elemento do conjunto de partida 
não entrar na relação ou estar relacionado com mais de um elemento 
do conjunto de chegada já é suficiente para que a relação não seja 
considerada função. Isso nos leva à seguinte pergunta: por que a 
Matemática define função dessa forma?
Para respondermos esse questionamento, devemos observar que, na verdade, a Ma-
temática se interessa por muitos tipos de relações. Por exemplo, a relação definida na 
Atividade 2, sobre paridade (que não é uma função), é muito importante na Matemática. 
Ela é um caso particular de relações modulares, estudadas na Teoria dos Números. Assim, 
se uma relação não satisfaz à condição de ser unívoca, não significa que ela não seja 
importante. 
Entretanto, as relações unívocas têm presença sólida na Matemática e suas aplicações, 
por isso as estudamos em primeiro lugar e damos a elas um nome especial, ou seja, 
função. Isto ocorre porque as funções apresentam as características necessárias para des-
crever muitos fenômenos através de modelos determinísticos. Por exemplo, esperamos 
que a relação que associa a cada região poligonal sua área seja unívoca, pois seria muito 
esquisito se, mantendo a unidade de medida, uma região tivesse mais de um valor para a 
área. Na Mecânica Clássica, a relação que associa a cada instante a posição de um corpo 
deve ser uma função, pois, nesse contexto, supomos que nenhum objeto esteja em dois 
lugares no mesmo instante (violando a condição (ii), que diz que cada elemento de parti-
da deve se relacionar a um único elemento de chegada). Daí a relevância de nomearmos 
Resposta comentada
Para verificar se uma relação é ou não uma função, preci-
samos observar se as seguintes condições são cumpridas: (i) 
todo elemento do conjunto de partida está na relação; e (ii) 
cada elemento do conjunto de partida está relacionado com 
um único elemento do conjunto de chegada.
A No exemplo da relação “é filho de” da Atividade 1, verifi-
camos que cada criança do conjunto de partida tem sua úni-
ca mãe no conjunto de chegada, o que garante as condições 
(i) e (ii). Podemos concluir que essa relação é uma função. 
As crianças percebem essa relação espontaneamente, pois 
sabem que cada pessoa possui uma única mãe e que todo 
mundo tem mãe! Logo, esse pode ser um bom exemplo para 
ensinar funções aos nossos alunos.
B Na relação “mesma paridade”, observe que cada elemen-
to do conjunto de partida está na relação com uma infinidade 
de elementos do conjunto de chegada. Isso refuta a condição 
(ii). Portanto, essa relação não é uma função.
C A relação descrita também não é uma função. Basta 
notar que 1− é número real e não tem raiz quadrada real. 
Logo, a condição (i), que define uma função, não está sendo 
cumprida, pois todo elemento do conjunto de partida deve 
estar incluído na relação.
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SX
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20 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
essas relações unívocas de forma especial e de gastarmos tanto tempo de nossas aulas 
com o seu ensino.
Tendo desenvolvido o conceito de função a partir do de relações, precisamos pensar 
em como representar matematicamente essas funções. Será que elas precisam ser sempre 
descritas com palavras?
4. Técnicas algébricas para representação de funções
Você deve ter notado que até agora fizemos um texto despojado de formalismo algé-
brico. Em poucos momentos usamos linguagem algébrica, e um desses momentosocorreu 
quando descrevemos uma função no conjunto dos números inteiros da seguinte forma:
2x x→ para todo número inteiro x
Essa é uma notação algébrica que sintetiza a seguinte frase: “consideremos uma rela-
ção em que o conjunto de partida e o conjunto de chegada são o conjunto dos números 
inteiros e a relação é definida por: um número do conjunto de partida relaciona-se com um 
número do conjunto de chegada quando este for o quadrado do primeiro.
Com esse exemplo fica claro por que a Matemática cria representações algébricas para 
os objetos que estuda. Elas permitem sintetizar a linguagem. Mas não é apenas para fazer 
economia de espaço em uma folha escrita. A síntese da linguagem nos dá oportunidade 
de sermos mais precisos, nos ajudando a pensar com exatidão. Sem a linguagem algébrica 
seria muito difícil a Matemática progredir...
Mas a notação 
2x x→ ainda pode ser melhorada. O conjunto de partida e o de 
chegada estão explicados com palavras, mas podemos também expressá-los por meio de 
alguma notação algébrica. Uma ideia é escrever:
2 x x→ →Z Z
Precisamos dar um nome para a função a fim de termos uma maneira de nos referir-
mos a ela quando precisarmos, sem precisar repetir toda a especificação do conjunto de 
partida, do conjunto de chegada e da relação. O nome é arbitrário, mas se for um nome 
que ajuda na identificação, é melhor. Como essa função associa cada número inteiro com 
o seu quadrado, podemos chamá-la de q . Uma forma de anotar isso é:
2: :q q x x→ →Z Z
Os dois pontinhos servem para separar o nome da função do nome do conjunto ou da 
variável. A seta → em :q →Z Z serve para indicar qual é o conjunto de partida e qual 
é o de chegada, e a seta → em 2:q x x→ serve para definir a relação.
Notemos que uma função tem três componentes que a caracterizam e que precisam 
estar bem determinados: 
Jo
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 N
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4. Técnicas algébricas para representação de funções 21
1. um conjunto de partida;
2. um conjunto de chegada;
3. uma relação que associa cada elemento do conjunto de partida a um único elemento 
do conjunto de chegada.
Assim, a função f é definida por:
2: :f f x x→ →R R
em que R é o conjunto dos números reais, é diferente da função q . Duas funções podem 
ser diferentes mesmo que a regra que define a relação seja a mesma.
Além disso, a regra que define a relação pode ser expressa de várias formas. As mais 
usuais são: tabelas, gráficos, regras escritas expressas em palavras, ou fórmulas algébricas. 
As funções q e f acima foram definidas através de fórmulas algébricas.
Refletindo sobre as várias formas de expressar uma função, realize a atividade a seguir:
 Atividade 5 Explorando a linguagem
Dê exemplos de funções em que a relação esteja na forma de: A tabela; B linguagem escrita; C fórmula algébrica.
Resposta comentada
Ao longo dessa etapa mostramos exemplos dessas representações de funções, você percebeu? Como exemplo de uma 
tabela representando uma função há a relação de filhos e mães que mostramos na Atividade 1. Representamos também 
algumas funções através da linguagem escrita, como no caso “consideremos uma relação em que o conjunto de partida e 
o conjunto de chegada são o conjunto dos números inteiros e a relação é definida por: um número do conjunto de partida 
está na relação com um número do conjunto de chegada quando este for o quadrado do primeiro”. Algebricamente podemos 
representar essa função por 
2: , q :q x x→ →Z Z . Claro que você pode ter pensado em outras respostas.
A
da
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 C
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SX
C 
Os matemáticos gostam de 
usar a letra f para denomi-
nar as funções, simplesmente 
porque a palavra “função” 
começa com essa letra. A se-
gunda letra mais cotada é g , 
e depois h . Por que será?
22 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
Precisamos ainda de uma notação sintética para expressar qual o elemento do conjun-
to de chegada que se relaciona com um determinado elemento do conjunto de partida. 
Dada uma função :f A B→ , se x é um elemento de A , o elemento de B que lhe 
corresponde é anotado por ( )f x .
Esclarecemos que a notação ( )f x , usando esses dois parênteses, é bastante ade-
quada. Já foram feitas outras tentativas, tipo xf em vez de ( )f x , ou 2xfx em vez de 
2( )f x x= . Com o tempo se constatou que a notação ( )f x é a melhor. Mas ela não é 
isenta de defeitos, e às vezes pode causar pequenas dificuldades aos alunos.
 Atividade 6 Cuidado! Seu aluno presta 
atenção no que você fala
A Um professor definiu uma função f e pediu para um 
aluno calcular (5)f . Ele escreveu (5) 5f f= . Faça uma 
hipótese sobre a origem desse erro.
B Um professor estava ensinando trigonometria e um aluno 
escreveu 
x
sen x
sen= . Faça uma hipótese sobre a origem
 
desse erro e imagine um procedimento pedagógico para que 
o professor o ajude a superar essa pequena dificuldade.
Resposta comentada
A O estudante não se lembrou de que (5)f é a imagem 
de 5 pela função f e aplicou o que havia aprendido na 
manipulação de expressões algébricas com parênteses, 
como em ( )a b ab= . Inclusive o seu professor deve ter lhe 
ensinado que, no caso de haver, nas expressões algébricas, 
números misturados com letras, fica melhor colocar aqueles 
antes destas. Deve ser por isso que o aluno escreveu 5 f
em vez de 5f .
B O aluno deve ter esquecido ou ainda não aprendeu 
que sen é o nome de uma função. Ele deve ter pensado: 
“aqui temos uma fração com o produto de quatro letras no 
numerador e uma delas também está no denominador, as-
sim posso simplificar”. Para ajudar a evitar essa confusão, o 
professor pode utilizar parênteses e escrever ( )sen x em vez 
de sen x , pelo menos até que os estudantes se habituem à 
omissão dos parênteses em funções trigonométricas, como 
é habitual. Outra providência interessante é emendar as 
letras dos nomes de funções com mais de uma letra, como 
escrever ou .
A
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4. Técnicas algébricas para representação de funções 23
 Atenção 
No estudo de funções, é comum se pensar em domínios e contradomínios mais amplos possíveis, como podemos 
ver em vários livros didáticos. Isso acontece devido a uma ideia de análise geral dos objetos em questão. Mesmo 
assim, do ponto de vista estrutural, não existem problemas com domínios e contradomínios pouco gerais. Em outras 
palavras, podemos determinar uma função com domínio e contradomínio formados por apenas um elemento de 
cada, desde que estes elementos estejam relacionados um com o outro. Não há nenhuma regra que impeça esse 
tipo de domínio.
Além da notação, ao ensinarmos função, precisamos estar atentos a algumas dificul-
dades que aparecem com o uso de termos específicos. Esses termos são normalmente 
utilizados pela matemática para definir precisamente os elementos que constituem a fun-
ção. Lembramos que, dada uma função :f A B→ , o conjunto de partida A chama-se 
domínio de f , e o conjunto de chegada B chama-se contradomínio. Se x é um elemento 
genérico de A , o elemento de B ( )f x que lhe corresponde é chamado imagem de x 
por f . O conjunto dos elementos ( )f x de B para todo x em A chama-se conjunto 
imagem de f , ou, simplesmente, imagem de f .
Para refletir sobre domínios e contradomínios, realize a atividade a seguir. Ela nos aju-
dará a melhor entender a importância de definirmos corretamente esses termos e como 
trabalhar com seu significado.
 Atividade 7 Cuidados com a linguagem
A Um professor do ensino médio pediu que seus estudantes determinassem o domínio e a imagem da função 2( ) 1s t t= −  , 
e nada maisdisse. O que os estudantes poderão responder?
24 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
B Um professor do ensino médio pediu a seus alunos o domínio da função 
1
( )
1
g x
x
=
+
. Como estavam trabalhando no 
contexto do conjunto dos números reais, ele esperava a resposta: “o domínio é o conjunto dos números reais exceto 1− ”, 
ou então { 1}− −R- . Mas um aluno respondeu: “o domínio é N ”. O que o professor deve fazer?
C O mesmo professor da Atividade “b” acima, no ano escolar seguinte, foi mais precavido. Ele pediu: “encontrem o maior 
domínio possível da função 
1
( )
1
g x
x
=
+ 
”. O que você acha?
Resposta comentada
A É provável que esse professor esteja esperando a resposta: o domínio é [ 1,1]− e a imagem é [0,1] . Mas o aluno poderá 
responder de outras formas, por exemplo, o domínio é {1} e a imagem é {0} , que também está correto. Faltou ao professor 
usar uma linguagem mais precisa, como “determine todos os números reais que podem fazer parte do domínio da função 
definida por 2( ) 1s t t= − ”.
B A resposta do aluno está correta. Se o professor queria { 1}− −R- como resposta, poderia dizer: “determine todos os 
números reais que podem fazer parte do domínio da função g definida por 1( )
1
g x
x
=
+ 
”.
C A linguagem utilizada pelo professor não é a mais adequada, pois dessa forma o domínio pode incluir números complexos 
ou outros conjuntos em que faça sentido a expressão 1
1x +
.
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4. Técnicas algébricas para representação de funções 25
 Curiosidade 
Os matemáticos sabem que a precisão da linguagem é importante, mas às vezes eles cometem pequenos desvios. 
Por exemplo, o autor de um livro escreveu: “Considere a função :f →R R definida por 2( )f x x= . Determine 
a imagem de ( )f x ” em vez de escrever “Determine a imagem de f ”. Essa forma é mais correta, pois a função 
se chama f e não ( )f x . Talvez o autor tenha usado ( )f x em vez de f para deixar claro que a variável está 
sendo chamada de x . Esses pequenos desvios podem ser tolerados desde que não prejudiquem o entendimento 
e a precisão.
Após essa atividade sobre domínios, apresentamos mais uma atividade desafio para você 
realizar. Esta trata da definição de função.
 Atividade 8 Definindo funções
Um estudante, solicitado a definir função, escreveu: “Função é uma terna formada por um domínio, uma imagem e uma 
lei de correspondência”. Analise essa “definição”.
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SX
C 
A precisão da linguagem é fundamental para pensarmos no ensino das funções. Mas, 
além da linguagem, há muitas outras questões que precisam ser consideradas para o 
ensino-aprendizagem desse conteúdo...
26 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
 Janela Pedagógica 
O coordenador pedagógico de uma escola solicitou dos professores de Ma-
temática da primeira série do ensino médio que fizessem um diagnóstico 
com seus estudantes para verificar se eles haviam apreendido o conceito de 
função. O professor A inseriu na prova final uma questão pedindo a defini-
ção de função. O professor B fez um questionário com atividades diversas 
sobre funções. Qual desses procedimentos você considera melhor?
Bem, uma possibilidade seria unir esses dois procedimentos. Depois das 
atividades, o professor solicita a definição de função. Entretanto, pensamos 
que só pedir a definição de função não é suficiente para um bom diagnós-
tico. É necessário verificar se o estudante entendeu como reconhecer as 
situações em que aparecem as funções e se compreendeu a linguagem e as 
técnicas adjacentes a esse conceito.
La
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Como dissemos, os equívocos cometidos pelos alunos muitas vezes se relacionam ao 
não entendimento do significado daquilo que está sendo representado algebricamente. Isso, 
por sua vez, pode se relacionar à incompreensão de conceitos que estão ali subentendidos. 
Nesse ponto é muito importante que o professor saiba identificar problemas no conhecimento 
prévio de seus alunos. Por exemplo, talvez alguns não tenham construído ou tenham expe-
riência insuficiente com conceitos anteriores fundamentais para a compreensão da noção de 
função, como o conceito de variável.
5. Variável: um importante pré-requisito
É imprescindível que o estudante tenha previamente construído o conceito de variável 
antes de estudar funções. Construir o conceito de variável significa, em particular, apreen-
der como fazer afirmações gerais sobre os elementos de um conjunto e como representar 
algebricamente um elemento arbitrário desse conjunto. Se o aluno não for capaz de per-
ceber isso, dificilmente entenderá o significado de uma função.
Por isso, cabe ao professor, antes de ensinar funções, verificar se o aluno tem segurança 
sobre o conceito de variável. Essa verificação se torna ainda mais necessária se o início do 
estudo de funções for adiantado para as séries finais do ensino fundamental.
Ficaria muito difícil implementar o estudo de funções sem o conceito de variável, pois 
teríamos que nos limitar a trabalhar com funções definidas em conjuntos finitos, nomean-
do a relação elemento a elemento. Sem a representação algébrica de variável, ficaríamos 
restritos a fazer descrições de funções em linguagem comum, como em:
É importante refletirmos sobre o que os 
nossos alunos precisam para aprender
5. Variável: um importante pré-requisito 27
 Atividade 9 Do português para 
o “matematiquês”
Um professor, desejando ressaltar para seus alunos a 
importância da representação algébrica, passava-lhes proble-
mas e pedia que os resolvessem de duas maneiras: usando 
linguagem comum e depois usando linguagem algébrica.
A Invente alguns problemas bons para explorar esse tipo 
de transição.
B Qual a sua opinião sobre essa atividade? Você a considera 
importante para o ensino de matemática?
Resposta comentada
A As possibilidades são inúmeras, e um exemplo pode ser 
o seguinte:
“O quadrado de qualquer número ímpar é também ímpar”.
Justificativa com o uso de representação algébrica de 
variáveis:
Um número é ímpar quando se escreve na forma 
2 1m+ para algum inteiro m . Seu quadrado é 
2 2 2(2 1) 4 4 1 2(2 2 ) 1 2 1m m m m m t+ = + + = + + = + , em 
que 22 2t m m= + é inteiro. Portanto, 2(2 1)m+ é ímpar, o 
que prova a afirmação.
Justificativa sem o uso de representação algébrica de 
variáveis:
Primeiro devemos recordar que um número é par quan-
do for o dobro de um número inteiro. Assim, se um número é 
par, seu quadrado é igual a quatro vezes o quadrado daquele 
inteiro, e é o dobro do dobro desse quadrado. Portanto, o 
quadrado de qualquer par é par. Por outro lado, um número 
é ímpar quando for a soma de um par com a unidade. En-
tão o quadrado desse ímpar é igual ao quadrado desse par 
mais o seu dobro e mais a unidade. Como os dois primeiros 
termos são pares e como a soma de dois pares é par, vemos 
que o quadrado de um ímpar é igual a um par mais a unida-
de. Portanto, o quadrado de qualquer ímpar é ímpar, e isso 
prova a afirmação.
B Esse tipo de atividade é muito importante, pois a partir 
da linguagem comum o aluno pode construir um significado 
para a linguagem algébrica. É interessante principalmente 
no início da aprendizagem sobre variáveis e representação 
algébrica.
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“seja :f →R R que a cada número real associa o seu dobro mais 1”
em vez de “seja :f →R R definida por ( ) 2 1f x x= + ”.
Descrições em linguagem comum são, em geral, mais longas e menos precisas.
28 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
 Atividade 10 Como se virar sem álgebra?
Um professor, quando desejavaenfatizar para seus estu-
dantes a importância do uso da álgebra, passava o seguinte 
problema, e lhes pedia para resolvê-lo de duas formas: com 
álgebra e sem álgebra. Analise esta tarefa.
 “Os amigos Pedro e João vão a um parque. Na hora de 
pagar para passear na roda gigante verificam que Pedro tem 
R$ 12,00 a mais do que João, e que a soma do que eles têm 
é R$ 23,00. Quanto cada um tem em dinheiro?”
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As técnicas algébricas também constituem um pré-requisito para o ensino de funções. 
Como apresentar sua importância aos nossos estudantes?
A literatura sobre ensino da Matemática tem muitas propostas de atividades que po-
dem avaliar ao mesmo tempo a compreensão dos estudantes a respeito da construção do 
conceito de variável e do conceito de funções. Na bibliografia desse texto temos sugestões 
de leitura complementar. Para o momento, apresentamos a atividade a seguir, adaptada 
da dissertação de mestrado de Guimarães, de 2010. O professor pode adaptá-la para seu 
próprio uso.
5. Variável: um importante pré-requisito 29
 Atividade 11 Criando funções
A Na sequência de figuras abaixo, cada figura é construída 
a partir da anterior com o acréscimo de um novo quadrado 
à direita. Complete desenhando a terceira figura e indique 
as quantidades de palitos que faltam.
B Apresente uma fórmula geral para determinar a quantida-
de de palitos necessários para formar qualquer quantidade 
de quadrados. Complete a tabela abaixo − ela pode ajudar 
( q é a quantidade de quadrados e p a de palitos).
q 1 2 3 4 5 6 10 q
p
Fórmula:
C Você escreveu ( )q p ou ( )p q ? Qual delas é uma função 
+ →Z Z ?
Resposta comentada
A A segunda figura da sequência tem 7 palitos. Para cons-
truir a terceira, acrescemos um quadrado à direta. Mas como 
aproveitamos um dos palitos que já havia, precisamos de 
mais três palitos. Assim, na terceira figura temos 7 3 10+ = 
palitos.
B A cada nova figura, acrescentamos três palitos. Assim, a 
quantidade de palitos tem a seguinte sequência:
4, 4 3, 4 3 3, 4 3 3 3, ...+ + + + + +
ou
4, 4 3, 4 2 3, 4 3 3, ...+ + × + ×
Escrevendo 4 1 3= + temos a fórmula geral 1 3q+ . 
C A fórmula geral apresentada no item b) é a regra da defi-
nição de uma função :p
+
→  . Portanto ( ) 1 3p q q= + .
( ) palitos
( ) palitos
( ) palitos
4
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A seguir, outra atividade adaptada de Guimarães, 2010. Esta atividade desafio se pro-
põe verificar se o aluno transpôs a barreira do discreto para o contínuo.
Aqui vai mais uma atividade desafio...
30 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
 Atividade 12 Funções na parede
Na sequência de figuras abaixo, a primeira representa uma parede branca na forma retangular com 3 m de altura e 5 m 
de largura. As figuras seguintes representam a pintura que o Sr. Luiz está fazendo. Ele usa uma tinta verde e, para pintar, faz 
faixas horizontais de baixo para cima.
Complete a tabela com a área já pintada em determinados momentos.
Altura da parte pintada (m) 0,1 0,35 0,7 1 1,6 2 2,6 h
 Área da parte pintada (m2)
Supondo que a altura da faixa aumente continuamente, dê uma função que descreva a área pintada em relação à altura 
da faixa. Distinga o domínio e a imagem dessa função.
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C 
5 m
3 m
Vimos como é importante, para o ensino do conceito de função, que o professor te-
nha em mãos atividades que possam diagnosticar possíveis lacunas na formação de seus 
alunos. Sabemos que as falhas mais importantes dizem respeito ao conceito de variável e 
a algumas técnicas algébricas.
A forma como as variáveis se relacionam pode ser representada não só algebricamen-
te, mas também graficamente. A representação visual de relações, e particularmente de 
funções, através de gráficos, é um importante recurso para a comunicação da informação.
5. Variável: um importante pré-requisito 31
Ja
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6. Técnicas gráficas para representação de funções
Hoje em dia gráficos são muito utilizados nos meios de comunicação e dessa forma tor-
nou-se imprescindível que o cidadão comum saiba ler criticamente essas representações. 
Para o estudante do ensino médio uma habilidade se acrescenta: a de saber produzir esses 
gráficos. Vejamos um exemplo de um trabalho que pode ser desenvolvido pelos alunos.
A tabela abaixo mostra a distribuição da população brasileira nas 
cinco regiões geográficas do país em 2006:
Região geográfica Quantidade de habitantes
Norte 13.534.348
Nordeste 48.728.817
Sudeste 73.265.186
Sul 25.090.183
Centro-Oeste 12.115.283
Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).
Essa tabela representa uma função em que o domínio é o conjunto 
das regiões brasileiras (coluna esquerda da tabela) e o contradomínio 
são os valores da coluna da direita. A função associa a cada região um (único) valor, 
disposto na mesma linha da região.
Uma tarefa que se pode solicitar aos alunos é a de representar graficamente essa 
função. Para transformar essa tabela em um gráfico, precisamos primeiramente decidir o 
tipo de gráfico a ser utilizado.
Centro-Oeste
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
32 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
Em seguida, devemos decidir para qual informação queremos dar ênfase. Suponhamos 
que seja a comparação relativa da quantidade de habitantes por região. Isso nos faz perder 
a informação exata da quantidade de habitantes por região, mas facilita a visão geral da 
distribuição da população nas regiões. Para isso, o uso de porcentagens é bem adequado, 
e a primeira providência é produzir uma segunda tabela, como a que segue.
Região geográfica Quantidade de habitantes % % aproximado
Norte 13.534.348 7,835 8
Nordeste 48.728.817 28,21 28
Sudeste 73.265.186 42,41 42
Sul 25.090.183 14,52 15
Centro-Oeste 12.115.283 7,01 7
Repare que, ao considerar as porcentagens aproximadas, tivemos o cuidado de manter 
a soma do total igual a 100%.
Dois tipos de gráficos que traduzem bem essas informações são o de barras e o circular, 
como os que seguem. São opções interessantes para verificar também se os alunos cons-
truíram adequadamente as habilidades de medição de comprimentos e ângulos.
0 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
40 
45 
Norte Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste 
%
 d
e 
ha
bi
ta
nt
es
 
Norte 
 8% 
Nordeste 
28% 
Sudeste 
42% 
Sul 
15% 
Centro-Oeste 
7% 
0 
5 
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25 
30 
35 
40 
45 
Norte Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste 
%
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Norte 
 8% 
Nordeste 
28% 
Sudeste 
42% 
Sul 
15% 
Centro-Oeste 
7% 
Distribuição da 
população brasileira 
por regiões
6. Técnicas gráficas para representação de funções 33
 Atividade 13 Livros e gráficos
Uma atividade interessante que pode ser realizada na es-
cola é solicitar aos estudantes que transformem as informa-
ções da tabela a seguir em um gráfico. É importante formular 
perguntas para avaliar a compreensão de seus alunos. Você 
pode, por exemplo, pedir que eles verifiquem se é verdade 
que 3 em cada 4 brasileiros não vão a bibliotecas e se a tabela 
define uma função.
Quantidade de brasileiros que usam bibliotecas
Nunca usam 126 milhões
Usam ocasionalmente 28,9 milhões
Usam frequentemente 17,8 milhões
Fonte: Instituto Pró-livro, Retratos da leitura no Brasil.
Resposta comentada
Pensamos ser importante que os estudantes conheçam 
vários tiposde gráficos. Ao perguntar se é verdade que 3 em 
cada 4 brasileiros não usam a biblioteca, é importante come-
çar discutindo o que essa pergunta significa. É interessante 
que os alunos percebam que se trata de uma proporção. 
Além disso, você pode propor que os eles elaborem uma pes-
quisa semelhante a essa, utilizando, entretanto, a comunida-
de escolar como objeto de estudo. Questione-os sobre uma 
forma de fazermos uma representação parecida com a da 
questão, só que desta vez usando dados da própria escola.
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O professor pode explorar com seus alunos inúmeras variações de representações 
gráficas similares às do exemplo da quantidade de habitantes em cada região do país. 
Entretanto, esses gráficos servem para representar informações referentes a relações 
entre conjuntos finitos. Precisamos também dominar técnicas que permitam representar 
funções definidas em conjuntos infinitos, particularmente o conjunto dos números reais 
R . Bem sabemos que o melhor método é aquele que utiliza o sistema de coordenadas 
34 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
cartesianas, pois permite conectar representações geométricas com a descrição algébrica 
de curvas. Alguns modelos de gráficos podem ser explorados para fazer a passagem entre 
representações de funções discretas e funções reais. Vejamos uma possibilidade:
Um professor apresentou aos seus alunos a tabela abaixo, que fornece dados da po-
pulação no Brasil de 2000 a 2006. Solicitou deles que fizessem um gráfico sobre a “curva 
de crescimento” da população.
Ano População
2000 169.872.855
2001 169.369.557
2002 171.667.536
2003 173.966.052
2004 182.060.108
2005 184.388.620
2006 187.227.792
* Fonte: Censo 2000 (IBGE) ** Fonte: PNAD 2001/2006 (IBGE)
Um grupo de estudantes construiu o seguinte gráfico:
Observemos que os pontos correspondentes à representação discreta foram ligados 
com segmentos de reta, embora a tabela não forneça informações sobre os meses ou dias 
entre dois valores anuais consecutivos. Entretanto, parece que os alunos entenderam que 
poderiam existir esses valores, e conceberam a hipótese simplificadora de que entre dois 
valores anuais consecutivos o gráfico mais adequado seria o linear. Será que podemos in-
terpretar que esses alunos captaram uma relação entre o tempo contínuo e a quantidade 
de indivíduos?
Como podemos fazer para que nossos alunos reflitam sobre a relação entre contínuo e 
discreto e percebam sua importância? A atividade abaixo pode ajudar a refletirmos sobre 
essa questão:
População brasileira de 2000 a 2006
2000
190.000.000
180.000.000
175.000.000
170.000.000
165.000.000
160.000.000
185.000.000
2001 2002 2003 2004 2005 2006
6. Técnicas gráficas para representação de funções 35
 Atividade 14 Até o som é função
Um cientista observou que a velocidade do som no ar, 
em um determinado local, aumentava com o aumento da 
temperatura ambiente. Fez cuidadosas medições para alguns 
valores de temperatura e obteve a seguinte tabela:
Temperatura ambiente 
(em graus centígrados)
Velocidade do som (em m/s)
 0 331,0
 5 334,6
10 337,0
15 340,5
Construa uma atividade para seus alunos com a tabela 
acima, a fim de ajudá-los a transpor o obstáculo de represen-
tar funções discretas e contínuas.
Resposta comentada
A atividade que temos em vista é solicitar aos estudantes 
que plotem os pontos da tabela em um gráfico cartesiano, 
onde o eixo horizontal represente a temperatura (em graus 
centígrados) e o eixo vertical, a velocidade do som (em m/s). 
Temos, então, um gráfico como este abaixo (A):
A
da
m
 C
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el
sk
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SX
C 
Á
dá
m
 B
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in
t 
/ 
SX
C 
Valores experimentais da velocidade 
do som no ar de 0°C a 15°C
0
340
m/s
°C
335
330
5 10 15
Proposta do gráfico da função por ajuste da curva
0
340
m/s
°C
335
330
5 10 15
A
B
36 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
Após a construção do gráfico, o professor pode solicitar 
de seus alunos que estes tentem determinar como seriam os 
valores da velocidade do som em temperaturas, com valores 
intermediários aos da tabela. É importante o aluno perceber 
que o cientista fez medições com a temperatura variando 
de 5 em 5 graus por alguma questão prática, mas a veloci-
dade do som varia com qualquer mudança de temperatura. 
O experimento captou determinadas situações, pois seria 
impossível para o cientista fazer uma tabela para todos os 
valores da temperatura entre 0 e 15. 
Os alunos podem então produzir um segundo gráfico re-
presentando valores da velocidade para temperaturas no in-
tervalo [0,15]. Uma solução mais simples para esse segundo 
gráfico seria ligar com segmentos de reta os pontos plotados 
no primeiro gráfico, conforme um grupo de estudantes fez 
no exemplo do crescimento populacional brasileiro descrito 
anteriormente. Uma solução mais elaborada seria desenvol-
ver a hipótese de que a função é linear e então traçar, para 
seu gráfico, um segmento de reta que se ajustasse bem aos 
pontos. Isso é o que fizemos no segundo gráfico da questão 
anterior, à direita. 
Esse segmento de reta pode ser obtido por tentativas, 
usando-se uma régua, ou através de um aplicativo computa-
cional algébrico. A atividade pode ser complementada atra-
vés de pesquisas em livros ou na internet. Na Wikipédia, por 
exemplo, ao procurar por “velocidade do som”, encontramos 
algumas informações. Todavia, a versão desse site em inglês 
(Wikipédia) é mais completa, e nele podemos pesquisar por 
meio das palavras-chave “speed of sound”. No site encontra-
mos uma função linear que aproxima a velocidade do som 
no ar em relação à temperatura: ( ) 331,3 0,606v T T= +   , 
em que a variável T é o valor absoluto da temperatura 
em graus Celsius e ( )v T está em m/s. Uma função mais 
precisa é:
( ) 331,3 1
273,15
T
v T = +
Ao fazer nosso gráfico, utilizamos um aplicativo compu-
tacional para obter a função linear que melhor se ajusta aos 
dados da tabela, e obtivemos: 
( ) 331,14 0,618v T T= +
Há muitos outros casos cuja representação gráfica da função nos ajuda a en-
tender o que está acontecendo. A seguir apresentamos um exemplo relacionado 
à conservação ambiental, tão discutida atualmente. 
Em um determinado país, há 14 anos, foi criada uma reserva florestal para 
proteger a vida selvagem e a vegetação nativa. As diversas equipes de biólogos 
que cuidaram da reserva durante esse tempo contaram frequentemente a popu-
lação de uma determinada espécie animal. O gráfico na página seguinte descre-
ve a evolução dessa população, destacando alguns valores para facilitar a leitura.
U
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6. Técnicas gráficas para representação de funções 37
Examinando esse gráfico podemos perceber acontecimentos significativos na vida 
dessa espécie na reserva. 
 ▹ a) Na primeira contagem, feita no ano zero da existência da reserva, o gráfico indi-
ca que havia aproximadamente 360 indivíduos. Nos primeiros 3 anos, a população 
diminuiu, atingindo 260 indivíduos, aproximadamente. Vários fatores podem expli-
car essa queda no número de indivíduos da população. Podemos conjecturar, por 
exemplo, que, no início da criação da reserva, a vegetação estava muito depredada 
e as fontes de água bastante degeneradas, e não forneciam um ambiente adequado 
para a espécie. Pode também ter ocorrido que a caça criminosa continuou por algum 
tempo até que as autoridades conseguissem controlar a entrada de malfeitores na 
reserva.
 ▹ b)Do ano 3 até a data final dos registros, a população sempre cresceu. Certamen-
te isso foi favorecido pela regeneração da reserva, que passou a ser um ambiente 
adequado à espécie.
 ▹ c) O gráfico indica que a população vai se estabilizar em um patamar de aproxima-
damente 780 indivíduos. A população daquela espécie está próxima de atingir seu 
equilíbrio com o ambiente.
 ▹ d) As maiores taxas de crescimento ocorreram entre os anos 5 e 8. Supondo que os 
valores (5,340) , (6, 420) , (7,520) e (8,600) estão no gráfico, podemos calcular 
as taxas de crescimento nesses períodos:
de 5 a 6 anos a taxa é 420 340 80
6 5
−
=
−
 indivíduos / ano
de 6 a 7 anos a taxa é 520 420 100
7 6
−
=
−
 indivíduos / ano
de 7 a 8 anos a taxa é 
600 520
80
8 7
−
=
−
 indivíduos / ano
 ▹ e) Desenhando as retas tangentes ao gráfico, vemos que a maior taxa de crescimento 
se deu por volta do ano 6 da criação da reserva.
Sa
le
em
 T
aq
vi
 /
 S
XC
 
1
0
100
200
300
400
500
600
700
800
2 3 4 5 6 7
População de uma espécie na reserva
8 9 10 11 12 13 14
38 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
 Atividade 15 Funções saudáveis
Um laboratório está testando um novo medicamento e precisa saber qual é a concentração 
média da substância que permanece no organismo ao longo de algumas horas após sua admi-
nistração. Seus cientistas fizeram medições em muitos pacientes e obtiveram o gráfico abaixo, 
que descreve a concentração ( )c t a partir do instante 0t = em que era ministrada uma dose 
do medicamento. Construa uma atividade para seus alunos com esse gráfico.
Resposta comentada
E então? Já pensou em alguma atividade? Bom, não sabemos o que você irá se questionar, mas algumas questões podem 
ser levantadas, tais como: em que instante a concentração é máxima, qual o intervalo de crescimento e o de decrescimento da 
concentração, e como o aluno supõe que o gráfico estará até 12 ou 14 horas depois, por exemplo. Uma questão de nível inter-
mediário seria pedir para o aluno calcular as taxas de variação em alguns intervalos e observar a forma como a concentração 
do medicamento aumenta rapidamente nas duas primeiras horas, atingindo um máximo, e depois diminui lentamente. Uma 
questão mais complexa seria perguntar como fica a concentração do medicamento se o paciente ingerir uma dose de 6 em 
6 horas. Existem muitas possibilidades de perguntas que podem ajudar o aluno a interpretar o gráfico e entender a função!
A
da
m
 C
ie
si
el
sk
i 
/ 
SX
C 
Ro
na
ld
o 
Ta
ve
ira
 /
 S
XC
 
Evolução da concentração do medicamento no plasma sanguíneo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (horas)
c(t) (µg/l)
1
2
3
4
5
A atividade a seguir nos mostra outro exemplo de uma função representada grafica-
mente. Este gráfico nos permite perceber o desenvolvimento de um fenômeno ao longo 
do tempo − nesse caso, a absorção de um medicamento pelo organismo humano. É outra 
forma de contextualizar funções e dar significado a este conceito para os seus alunos.
6. Técnicas gráficas para representação de funções 39
Vimos que as funções muitas vezes descrevem algum fenômeno natural ou social e 
notamos que os conjuntos domínio e contradomínio são impostos pelas características do 
próprio fenômeno.
Ao examinarmos esses fenômenos, é comum pensarmos nos pares que temos certeza 
de que estarão na relação (elemento do conjunto de partida e elemento do conjunto de 
chegada). Dessa forma, podemos definir uma função como um conjunto de pares ordena-
dos, como você poderá ver na seção seguinte.
7. Reconstruindo a definição de função
Não podemos terminar essa etapa sem fazer importantes observações sobre a defi-
nição de função. Talvez você tenha estudado outras formas de definir função, portanto, 
precisamos situar melhor a forma que utilizamos aqui.
No início da Seção 2 definimos função da seguinte forma:
“Uma função é constituída de um conjunto de partida A, de um conjunto de chegada B 
e de uma relação entre esses conjuntos que satisfaz às seguintes condições particulares:
i) todo elemento de A faz parte da relação;
ii) cada elemento de A está relacionado com um único elemento de B .”
Nessa definição usamos o conceito de conjunto como postulado. Contamos com o 
aprendizado prévio desse conceito através de experiências com a linguagem comum, 
reunida ao conhecimento de alguma linguagem matemática, tal como o hábito de indicar 
um conjunto por {a, b, c...}. Ocorre a mesma situação ao conceituarmos relação. Evitamos 
descrever relação através da linguagem comum devido à dificuldade de fazer isso. Relação 
é uma associação? Uma regra? Uma equação? Na verdade é tudo isso, mas pode ser tam-
bém outras coisas que nem saberíamos descrever. Assim, consideramos “relação” como 
um conceito espontâneo e que pode ser potencializado, do ponto de vista da Matemática, 
através de atividades como as que apresentamos na Seção 1.
Pensamos que, para trabalharmos na escola, esse formato é o mais adequado. Mas 
trabalhos matemáticos mais avançados exigem maior precisão. Para isso, podemos nos 
apoiar mais fortemente no conceito de conjunto.
Começamos com algumas definições. Dados conjuntos não vazios A e B e dados 
elementos a de A e b de B , chamaremos de par ordenado ao símbolo ( , )a b subme-
tido à seguinte condição de identidade: se a e c são elementos de A , e b e d são 
elementos de B, então:
( , ) ( , ) e a b c d a c b d= ⇔ = =
Indicaremos por A B× o conjunto de todos os pares ordenados ( , )a b com a em 
A e b em B .
Uma relação é um subconjunto não vazio qualquer de A B× .
40 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
Simples, não? Agora definimos função da seguinte forma:
Dados conjuntos não vazios A e B , uma função com domínio A e contradomínio 
B é uma relação f A B⊂ × que satisfaz à seguinte condição: para todo a A∈ existe 
um único b B∈ tal que ( , )a b f∈ .
Fechamos essa primeira etapa com uma definição mais avançada 
e mais precisa de função. 
8. Conclusão
O estudo de função é um dos conteúdos matemáticos mais importantes no Ensino Mé-
dio. Tem aplicações em diferentes ciências, ajudando a construir modelos para fenômenos 
naturais e sociais. Além disso, as funções fundamentam diversos conteúdos matemáticos, 
como a Geometria Analítica e a Teoria das Probabilidades. Por isso, é tão importante re-
fletirmos sobre a forma como este conceito vem sendo trabalhado na escola.
As orientações curriculares de Matemática para o Ensino Médio sugerem que o estudo 
das funções matemáticas seja iniciado a partir do estabelecimento da relação entre duas 
grandezas e a construção de representações gráficas. Isso foi o que propusemos ao longo 
dessa etapa. Dessa forma, o aluno pode perceber o sentido daquilo que está estudando 
e ter uma aprendizagem mais sólida.
Esperamos que você tenha também refletido a respeito de algumas dificuldades dos 
alunos nesse conteúdo de função, como determinar o domínio mais adequado a cada 
situação, a dificuldade de relacionar gráficos, tabelas, expressões escritas e expressões 
algébricas. Com essas reflexões esperamos ter contribuído com o ensino de função na 
sua escola.
Nas próximas etapas aprofundaremos nossos estudos a respeito de tipos específicos 
de funções elementares. Até lá!
9. Resumo
 ▹ As pessoas, em geral, têm percepções espontâneas das ideias de relação, de variação 
e de dependência entre grandezas.
 ▹ Partir da concepção prévia dos alunos é, em geral, um bom caminho para que eles 
possam construir conceitos matemáticos com significado.
 ▹ Dada uma relação, é importante saber observar suas características matemáticas, 
como a regra que a define e os conjuntos de partida e de chegada.▹ Uma função constitui um tipo especial de relação denominada tecnicamente de 
relação unívoca.
 ▹ Uma função é uma relação constituída de um conjunto de partida A , de um conjunto de 
chegada B e de uma relação entre esses conjuntos que satisfaz às seguintes condições:
 ( i ) todo elemento de A faz parte da relação;
 (ii) cada elemento de A está relacionado com um único elemento de B .
Zs
uz
sa
nn
a 
K
ili
an
 /
 S
XC
 
9. Resumo 41
 ▹ Representações algébricas permitem maior precisão e síntese da linguagem.
 ▹ Dada uma função, é importante que o aluno tenha clareza sobre suas características 
e saiba usar adequadamente a linguagem matemática.
 ▹ É importante que o aluno tenha previamente construído o conceito de variável antes 
de estudar função. Construir o conceito de variável significa, em particular, apreender 
como fazer afirmações gerais sobre os elementos de um conjunto e como represen-
tar algebricamente um elemento arbitrário desse conjunto.
 ▹ As funções podem ser representadas também através de vários tipos de gráficos.
 ▹ É importante que os alunos saibam tanto ler e interpretar gráficos de funções quanto 
construí-los.
 ▹ No ensino de função devemos transitar livremente de um tipo de representação para 
outro. Em particular, no ensino é pouco explorado o caminho “gráfico → função”, 
isto é, perceber as características de uma função a partir de seu gráfico. Também 
é importante saber construir o gráfico aproximado de uma função a partir de suas 
propriedades, mesmo quando não temos sua expressão algébrica.
10. Orientações sobre a avaliação na Etapa 1
Agora que terminamos essa primeira Etapa, é hora de avaliar o seu aprendizado. Você 
deve participar da avaliação da Etapa 1 acompanhando as lições disponíveis na internet. 
Com o propósito de orientar e fazer uma síntese, listamos os itens de conteúdo e ha-
bilidades que fazem parte dessa avaliação:
 ▹ Compreender que existe uma concepção espontânea de relações, construída natu-
ralmente por todas as pessoas.
 ▹ Entender que a Matemática construiu um conceito de função, a fim de descrever 
cientificamente fenômenos naturais e relações entre objetos matemáticos.
 ▹ Saber como diagnosticar se os estudantes construíram ou não conceitos prévios ao 
de função, em particular a noção de variável.
 ▹ Entender por que é importante estudar os vários métodos de representação das 
funções e compreender sua relatividade.
 ▹ Saber obter informações de um gráfico de uma função.
 ▹ Saber transitar livremente de um tipo de representação de função para outro.
42 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
Olá, Professor!
Seja bem-vindo à segunda etapa do nosso curso sobre Funções 
Elementares. Continuamos nossos estudos abordando agora o 
ensino das funções polinomiais.
Propomos uma reflexão sobre as seguintes questões:
 ▹ Qual é a importância das funções polinomiais?
 ▹ Por que estudamos essas funções no Ensino Médio?
 ▹ Como podemos construir uma sequência didática para o 
ensino de funções quadráticas?
 ▹ Como aproveitar técnicas sobre funções quadráticas para 
resolver problemas de máximos e mínimos?
 ▹ O que é importante ensinar sobre funções polinomiais?
Etapa II 
Funções polinomiais
Sv
ile
n 
M
ile
v 
 / 
 S
XC
1. Introdução
No início do século XVII, o cientista italiano Galileu Galilei 
(1564-1642) estudava o movimento de queda livre de corpos 
mediante uma combinação do método experimental e de 
técnicas matemáticas. Não era tarefa fácil, pois os recursos 
instrumentais da época eram precários. Não havia cronômetros 
de precisão nem filmadoras de alta velocidade para registrar a 
posição de um corpo em queda livre. Os recursos da Matemáti-
ca também eram pouco desenvolvidos, não existia uma boa no-
tação simbólica nem facilidade com manipulações algébricas.
Com muita paciência e imaginação, Galileu descobriu que 
a distância percorrida por um corpo em queda livre em intervalos de tempo iguais e con-
secutivos eram proporcionais aos números ímpares 1, 3, 5, ... Portanto, a distância percor-
rida no final do primeiro intervalo de tempo era proporcional a 1, no final do segundo 
intervalo de tempo era proporcional a 1 3+ , no final do terceiro, a 1 3 5+ + , e assim por 
diante. Notando que 
21 1= , 21 3 4 2+ = = , 21 3 5 9 3+ + = = , etc., Galileu inferiu que 
a distância percorrida no intervalo de tempo t era proporcional a 2t .
Em nossa notação atual, a distância percorrida pelo corpo em queda livre seria indica-
da por 
2( )d t kt= para alguma constante k . Hoje sabemos que esta constante é 
1
2
k g=
 
, sendo g o valor da aceleração gravitacional, e usamos a seguinte formulação:
2
0 0
1
( )
2
d t gt v t d= + + ,
em que 0v e 0d são, respectivamente, a velocidade e a posição no instante 0t = . Essa 
função, cujo domínio é o intervalo de números reais em que o tempo é medido, fornece 
a altura do corpo num instante t medida em um eixo vertical dirigido para baixo. Como 
dissemos, o modelo matemático da queda de corpos, estudado por Galileu, é uma função 
quadrática, um tipo de função polinomial.
Será que existem muitos outros modelos matemáticos 
explicados por funções quadráticas? Por que esse tipo de função 
é tão estudado na escola?
As funções polinomiais, particularmente as lineares e as quadráticas, são estudadas 
desde tempos remotos. Vemos, na História da Matemática, como os antigos matemáticos, 
antes da Era Cristã, resolviam o que hoje denominamos equações quadráticas, usando 
regras descritivas ou propriedades geométricas, e as aplicavam aos mais variados proble-
mas. Hoje, as funções polinomiais têm presença proeminente na Matemática e em suas 
aplicações e constituem um dos assuntos mais importantes dessa disciplina no Ensino 
Médio. Por isso, foram escolhidas para serem trabalhadas nessa etapa do curso.
A
da
m
 C
ie
si
el
sk
i 
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SX
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ht
tp
://
pt
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ik
ip
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ik
i/G
al
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ga
lil
ei
ht
tp
://
pt
.w
ik
ip
ed
ia
.o
rg
/w
ik
i/G
al
ile
u_
ga
lil
ei
1. Introdução 45
Mas, afinal, qual a importância do estudo das funções polinomiais? 
Existe uma maneira interessante de ensinar funções polinomiais?
Talvez você já tenha se feito essas perguntas ao longo de sua prática em sala de aula 
e deve ter pensado em algumas respostas para elas. Propomos agora avançarmos juntos 
nessa reflexão. 
2. Por que estudamos funções polinomiais?
A função 2 0 0
1
( )
2
d t gt v t d= + + , com domínio em algum intervalo de números reais, 
descreve a distância percorrida por um corpo em queda livre e é um exemplo de função 
polinomial. Vamos rever quais as características de uma função desse tipo.
Um polinômio é uma expressão algébrica constituída por um ou vários 
monômios. Assim, chama-se polinomial qualquer função :f →� � da forma 
1
1 1 0( ) ...
n n
n nf x a x a x a x a
−
−= + + + + em que 0a , 1a ,..., na são números reais, denomina-
dos coeficientes de f . Se 0na ≠ , dizemos que f tem grau n . Essas funções continuam 
sendo chamadas de polinomiais mesmo se seu domínio for mais restrito, como um inter-
valo de números reais. Elas têm presença marcante no ensino devido às suas aplicações 
na Matemática e em outras ciências. Além disso, seu estudo nos dá a oportunidade de 
abordar técnicas importantes de análise de funções.
Damos especial atenção às funções pol inomiais :f →� � da forma 
2( )f x ax bx c= + + , com a , b e c números reais tais que 0a ≠ . Essas funções são 
chamadas quadráticas e costumam ser muito trabalhadas na escola. 
Lembramos que são também muito importantes as funções lineares :f →� � , de-
finidas por ( )f x ax b= + , com a eb números reais tais que 0a ≠ . Mas preferimos 
abordar aqui as funções quadráticas, pois elas têm características que nos possibilitam 
refletir sobre o ensino das funções polinomiais em geral.
Existem muitas situações que podem ser descritas por funções 
quadráticas. É importante trabalhar com exemplos de situações 
concretas para contextualizar o ensino desse tipo de função, 
tornando-o mais significativo. Seguem alguns desses exemplos.
Um automóvel em movimento, ao ser freado pelo motorista, 
percorre certa distância até parar. Essa é a chamada distância de 
freagem. Os motoristas experientes sabem que a distância de 
freagem aumenta muito com o aumento da velocidade. Usando 
certas leis da Física, é possível determinar aproximadamente essa 
distância.
A
da
m
 C
ie
si
el
sk
i 
/ 
SX
C 
Mesmo depois de ter 
sido freado, o automóvel 
percorre certa distância até 
parar completamente
Je
rm
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oc
k
46 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa II
Um instrutor de uma autoescola, ao preparar futuros motoristas, utiliza a seguinte 
regra para estimar a distância de freagem: elevar a velocidade ao quadrado e dividir o 
resultado por 100. Portanto, a função ( )d v , que estima a distância de freagem com uma 
velocidade inicial v , pode ser descrita pela fórmula:
2
( )
100
v
d v =
e ( )d v é uma função quadrática da forma 2( )d v av bv c= + + com 
1
100
a = , 0b = 
e 0c = . Os valores de v que interessam nesse contexto são 0v ≥ , portanto o domínio 
dessa função é [0, )∞ .
Funções quadráticas também aparecem no “jogo dos dis-
cos”. Nesse jogo o participante lança aleatoriamente um disco 
de diâmetro d em um quadriculado com quadrados de lado 
L . O lançamento é considerado favorável ao jogador quando 
o disco para inteiramente dentro de um quadrado, sem tocar ou 
ficar sobreposto às linhas do quadriculado.
Se d L≥ , a probabilidade ( )p d do jogador ganhar é zero. 
Se 0 d L< < , a condição favorável ao jogador ocorre quando 
o centro do disco para dentro de um quadrado de lado L d− 
posicionado dentro do quadrado do quadriculado. Utilizando o 
conceito de probabilidade geométrica, obtemos:
2 - ( )
( )=
2 
área do quadrado de lado L d L d
p d
área do quadrado de lado L L
−
=
Desenvolvendo essa expressão, temos:
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) 2 2 1 2 1
( ) 1
L d L Ld d L L
p d d d d d
L L L L L L L
− − +
= = = − + = − +
Portanto, ( )p d é uma função quadrática da forma 2( )p d ad bd c= + + , com 
2
1
a
L
= , 
2
b
L
= − e 1c = , e com domínio (0, )L .
Esses são exemplos bem simples, dentre tantos outros possíveis! Nosso objetivo ao 
estudar funções polinomiais é investigar quais são os elementos fundamentais desses 
objetos e que técnicas matemáticas podem ser utilizadas quando eles aparecem como 
modelos de fenômenos. Além de investigar os elementos e as técnicas, é importante 
estarmos atentos à construção de sequências didáticas adequadas para o ensino dessas 
funções. Iniciaremos justamente mostrando uma dessas sequências.
Vamos lá?
Nesse exemplo de lançamentos 
em um jogo dos discos, vemos 
três lançamentos favoráveis 
ao jogador, em que os discos 
estão inteiramente dentro dos 
quadrados do piso de lado L, 
e um não favorável, no qual o 
disco toca alguma das bordas dos 
quadrados do piso.
2. Por que estudamos funções polinomiais? 47
3. Esboço de uma sequência didática para 
o ensino das funções quadráticas
Certamente há várias formas de estudar funções quadráticas 
no Ensino Médio. Você mesmo já deve ter experimentado dife-
rentes métodos ao ensinar esse tipo de função. Uma forma pouco 
comum, e que exploramos nesse texto, é o método investigativo. 
Nesse tipo de método, o aluno é convidado a agir com mais au-
tonomia, realizando ele mesmo suas investigações em direção ao 
conhecimento. Essa técnica pode conduzir a uma aprendizagem 
mais significativa. Apresentamos aqui o esboço de uma sequência 
didática, construída a partir do método investigativo, que poderá 
ser desenvolvida por você e seus alunos. Nossa sugestão é similar 
à proposta de Gravina, de 1990.
Você pode explorar essa sequência com seus estudantes de 
diferentes formas, por exemplo, intercalando a apresentação com 
perguntas ou com atividades de construção e análise de gráficos. Aqui apresentamos um 
esboço. Fique à vontade para completá-la de acordo com suas próprias ideias.
Uma estratégia básica para dar início ao estudo de objetos matemáticos é começar 
pelo tipo mais simples. Certamente a função quadrática mais simples é :f →� � , 
2( )f x x= . Para essa investigação, iniciaremos a partir do estudo do gráfico dessa função, 
que está desenhado na Figura 1. É importante destacar que essa sequência didática admite 
como conhecimento prévio de seus alunos a habilidade de desenhar gráficos de funções 
reais em sistemas de coordenadas cartesianas. Para desenhar o gráfico de 2( )f x x= , é 
necessário saber que sua imagem é [0, )∞ . De fato, (0) 0f = e, dado qualquer número 
real positivo y , os valores y e y− têm y como imagem pela função f .
Figura 1: Gráfico da função :f →� � , 2( )f x x= .
Na sequência didática que 
apresentamos, a ideia 
é que o aluno suba um 
degrau de cada vez, indo 
da situação mais simples 
para a mais complexa. 
Ch
ris
ta
 R
ic
he
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 /
 S
XC
 
48 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa II
y
4
1
1-1 2-2
x2
x
Observamos as propriedades mais imediatas de f sugeridas por esse gráfico:
 ▹ a) Temos (0) 0f = e ( ) 0f x > se 0x ≠ . Dizemos que 0x = é ponto de mínimo 
e (0) 0f = é um valor mínimo. Chamamos ( , ) (0,0)v vx y = de vértice do gráfico.
 ▹ b) Temos ( ) ( )f x f x= − para todo x real. Dizemos que o eixo Oy é uma reta de 
simetria do gráfico de 2( )f x x= .
Lembramos que o gráfico de uma função qualquer :f →� � é simétrico em rela-
ção a uma reta r , se todo ponto do gráfico ou está na reta r ou existe outro ponto do 
gráfico que está na mesma perpendicular à reta r e à mesma distância de r que o ponto 
em questão. No caso do gráfico de 2( )f x x= , descrito na Figura 1, o simétrico do ponto 
( , ( ))x f x para 0x ≠ em relação ao eixo Oy é ( , ( ))x f x− − , pois x e x− estão igual-
mente distantes da origem e ( ) ( )f x f x= − implica que esses pontos estão na mesma 
reta perpendicular ao eixo Oy . Podemos observar este fato no gráfico da Figura 2.
Figura 2: Oy é reta de simetria do gráfico da função :f →� � , 2( )f x x= .
O próximo passo dessa sequência didática é o estudo das propriedades da função 
2( )f x x= − através de seu gráfico. Novamente você pode solicitar que seus alunos 
construam esse gráfico, percebendo, nesse caso, que o gráfico está “virado” para baixo. 
Dizemos que a concavidade é para baixo. No caso de 
2( )f x x= , dizemos que seu gráfico 
tem concavidade para cima. 
Estudamos agora as funções quadráticas da forma 2( )f x ax= com 0a > . O efeito 
do parâmetro a é aumentar ou diminuir o valor da função conforme se tenha 1a > 
ou 0 1a< < , respectivamente. Podemos ver esse efeito desenhando no mesmo sis-
tema cartesiano os gráficos das funções 21( )
2
f x x= , 2( )f x x= e 2( ) 2f x x= , como 
na Figura 3.
3. Esboço de uma sequência didática para o ensino das funções quadráticas 49
y
x2
x
d (x, f(x))(-x, f(-x)) d
-x
Figura 3: Comparação entre vários gráficos da forma :f →� � , 2( )f x ax= .
O próximo passo da sequência didática é estudar a função 2( )f x ax= com 0a < . É 
interessante analisar, também nesse caso, o efeito do parâmetro a no gráfico.
Vejamos um resumo do que é importante observar sobre a função 2( )f x ax= , com 
0a ≠ :
 ▹ a)