Teorema de Castigliano TCC Vitor Dias do Vale pdf

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA 
VITOR DIAS DO VALE / 05021002401 
PROPOSTA DE APLICAÇÃO DO 
TEOREMA DE CASTIGLIANO 
BELÉM 
2013
VITOR DIAS DO VALE / 0502102401 
PROPOSTA DE APLICAÇÃO DO 
TEOREMA DE CASTIGLIANO 
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado ao Colegiado da Faculdade de
Engenharia Mecânica do Instituto de
Tecnologia da Universidade Federal do Pará
para obtenção do grau de Engenheiro
Mecânico. 
Orientador: Prof. Me. Eng. Mauro José
Guerreiro Veloso.
BELÉM 
2013
VITOR DIAS DO VALE / 0502102401 
PROPOSTA DE APLICAÇÃO DO 
TEOREMA DE CASTIGLIANO 
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado para obter o grau de Engenheiro
Mecânico pela Universidade Federal do
Pará. Submetido à banca examinadora
constituída por: 
 
Prof. Me. Eng. Mauro José Guerreiro Veloso 
UFPA – Orientador, Presidente 
 
Prof. Dr. Eng. Jerson Rogério Pinheiro Vaz 
UFPA - Membro 
 
Profª.Engª. Arielly Assunção Pereira 
UFPA - Membro 
Julgado em ____ de _________ de _______. 
Conceito: 
BELÉM 
2013
Se o relógio indica a existência do relojoeiro, se
o palácio anuncia o arquiteto, como poderia o
universo não demonstrar a inteligência
suprema? Que planta, que animal, que
elemento, que astro, não traz a marca daquele a
quem Platão chamava o Eterno Geômetra?...
Provas contra a existência de uma Inteligência
Suprema nunca ninguém as deu.
Voltaire
Dedico esta obra, primeiramente, aos meus
pais Vitor e Vilma, por todo empenho e apoio
incondicional para que eu pudesse chegar onde
estou. A toda minha família e amigos, que
estiveram comigo em todos os momentos.
AGRADECIMENTOS 
Agradeço a Deus, por todas as condições favoráveis encontradas para que chegasse a conclusão
desse trabalho. A minha família, que me deu toda a ajuda necessária durante o longo caminho
até a finalização desta obra. Aos meus tios e tias, em especial minha tia Selma, por todo
incentivo e motivação que me fazem sempre seguir em frente. 
Muito Obrigado!
RESUMO
O presente trabalho visa a elaboração de uma metodologia simplificada de aplicação do
Teorema de Castigliano, o qual corresponde a um método energético aplicado ao cálculo de
deflexão de vigas. Para alcançar esse objetivo foi desenvolvido um quadro de equações
contendo o resultado da análise de aplicação do Teorema, onde foram selecionadas as equações
para os casos de solicitação por tração, cisalhamento, torção e flexão. Para uma abordagem
correta e ampla do Teorema de Castigliano, foram demonstrados, ao longo deste trabalho, os
conceitos básicos necessários ao seu entendimento, tais como: deformação de um corpo e
energia de deformação. Ao final, duas aplicações teóricas e dois estudos de casos foram
apresentados com a finalidade de demonstrar a aplicabilidade do quadro.
Palavras-chave: Cisalhamento. Deformação. Energia de deformação. Flexão. Teorema de
Castigliano. Torque. Tração.
ABSTRACT
The present paper aims at the development of a simplified methodology for the
application of Castigliano's theorem, which corresponds to a power method applied to the
calculation of deflection of beams. To achieve this goal was developed a table of equations
containing the result of the analysis of the application of the theorem, where the equations were
selected for the cases of request for traction, shear, torsion and bending. For a correct approach
and wide of Castigliano's theorem, were demonstrated, throughout this work, the basic
concepts necessary for their understanding, such as: a body deformation and deformation
energy. In the end, two theoretical and two case studies were presented to demonstrate the
applicability of the table.
Keywords: Bending. Deformation. Shear. Strain energy. Theorem of Castigliano. Traction.
Twist.
LISTA DE SÍMBOLOS
∂: derivada parcial.
A: área da seção transversal.
W: trabalho virtual.
dx: variação espacial no eixo x.
dy: variação espacial no eixo y.
dz: variação espacial no eixo z.
E: módulo de elasticidade.
G: módulo de elasticidade transversal.
I: momento de inércia.
J: momento polar de inércia.
kc : coeficiente de correção para energia de deformação por cisalhamento.
ko : constante de rigidez torcional.
l: comprimento longitudinal de um corpo.
M: momento fletor.
N: força normal (axial).
P: força qualquer.
Q: carga generalizada.
T: torque ou momento torcional.
U: energia de deformação.
V: força cortante ou cisalhante.
γ: deformação angular longitudinal para corpos cilíndricos.
δ: deslocamento.
ε: alongamento relativo.
θ: deformação angular por cisalhamento.
σ: tensão axial.
φ: deformação angular na torção.
τ: tensão de cisalhamento.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO....................................................................................................................10
1.1 Considerações iniciais.......................................................................................................10
1.2 Objetivos............................................................................................................................10
1.3 Justificativa........................................................................................................................11
1.4 Metodologia........................................................................................................................11
1.5 Estrutura do trabalho ......................................................................................................12
2 HISTÓRICO SOBRE O TEOREMA E SEU AUTOR.....................................................14
3 O TEOREMA DE CASTIGLIANO...................................................................................18
3.1 Teorema de Castigliano pelo Princípio da Energia Potencial Estacionária.................23
3.2 Problemas estaticamente indeterminados.......................................................................25
4 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO........................................................................................29
4.1 Energia de deformação na tração....................................................................................30
4.2 Energia de deformação no cisalhamento........................................................................33
4.3 Energia de deformação na torção....................................................................................35
4.4 Energia de deformação elástica na flexão.......................................................................38
5 O TEOREMA NA PRÁTICA.............................................................................................41
5.1 Para carregamento axial...................................................................................................41
5.2 Para carregamento cisalhante transversal......................................................................41
5.3 Para carregamento torcional............................................................................................42
5.4 Para Carregamento por momento fletor........................................................................43
5.5 Proposição de quadro.......................................................................................................43
5.6 Utilizações do quadro........................................................................................................44
6 APLICAÇÕES.....................................................................................................................466.1 Aplicação 01.......................................................................................................................46
6.2 Aplicação 02.......................................................................................................................49
6.3 Estudo de caso 01..............................................................................................................54
6.4 Estudo de caso 02..............................................................................................................59
7 CONCLUSÕES....................................................................................................................67
REFERÊNCIAS......................................................................................................................69
10
1 INTRODUÇÃO
1.1 Considerações iniciais
O presente Trabalho de Conclusão de Curso tratará de uma proposta de aplicação do
Teorema de Castigliano, o qual consiste em um método matemático que possibilita o cálculo
da variação na posição de um ponto sobre um corpo, no qual está sendo aplicada uma
determinada força, sendo a variação calculada na mesma linha de atuação da força. Tal
método baseia-se principalmente na análise da energia de deformação.
A energia de deformação, de acordo com Hibbeler (2004), corresponde à energia
armazenada em um corpo deformado devido à ação de uma carga que atua sobre ele. Caso
não haja perdas, o trabalho externo realizado por essa carga será totalmente transformado em
trabalho interno, que se apresenta sempre de forma positiva, e é provocado pelo surgimento
de tensões no corpo. Sendo essa energia responsável por fazer o corpo voltar ao seu estado
não deformado. 
Ainda de acordo com Hibbeler, a necessidade de se estabelecer limites para o valor da
deflexão (ou deformação), que uma viga ou eixo, pode suportar quando submetido a cargas,
se apresenta de forma corriqueira. Norton (2010) diz que um projetista necessita conhecer,
não apenas as tensões geradas em uma viga de material dúctil, mas também as suas deflexões,
sendo que qualquer carga que venha a ser aplicada em uma determinada viga, inevitavelmente
esta causará uma certa deflexão, e se tal deflexão não causar deformação além do ponto de
escoamento, a viga retornará ao seu estado inicial (não deformado) ao se remover tal carga.
Porém, se a deflexão levar o material de composição da viga a exceder seu ponto de
escoamento, tal material escoará, pois terá entrado em sua zona plástica o que resultará em
deformações permanentes ou até mesmo a ruptura do material.
1.2 Objetivos
Tem-se por objetivos, a realização de uma revisão bibliográfica, demonstração teórica,
aplicações e elaboração de um quadro composto das variações do Teorema de Castigliano,
que corresponde a um método energético para o cálculo da deflexão de vigas com base na
energia de deformação, força/carga aplicada e deformação resultante observada em uma
determinada viga, que se apresente dentro da zona elástica do gráfico tensão/deformação
11
(σ×δ). Apresenta-se como objetivo maior deste trabalho, a elaboração de uma maneira versátil
de aplicação do Teorema de Castigliano através da implementação do quadro que conterá as
diversas combinações que podem resultar da junção entre a equação de tal teorema com as
equações existentes para o cálculo da energia de deformação nos casos de tração/compressão,
cisalhamento, torção e flexão. Esses objetivos estão apresentados na listagem abaixo. 
Objetivo específico: 
• Elaborar um quadro de equações baseado no Teorema de Castigliano.
Objetivos gerais: 
• Desenvolver uma metodologia simplificada para o uso do Teorema de
Castigliano em situações práticas;
• Aplicar a metodologia proposta a dois estudos de caso.
1.3 Justificativa
O cálculo de deflexão de viga apresenta-se como forma de garantir a segurança
pessoal/patrimonial nas corriqueiras aplicações de cargas adicionais em uma determinada
estrutura. Pois, através desse cálculo pode-se prever que a estrutura terá ou não capacidade de
suportar carga adicional sem que haja deformação permanente que causaria comprometimento
da estabilidade de tal estrutura. Apresenta-se, portanto, o Teorema de Castigliano, um método
prático e eficaz para que se possa efetuar tal cálculo. Porém, tal Teorema é apresentado apenas
de forma genérica em todas as literaturas pesquisadas, enxergando-se assim, a necessidade de
implementação de equações derivadas do Teorema em questão, na forma de um quadro de
equações que venha a contribuir para uma forma simplificada de sua aplicação. 
1.4 Metodologia
Para a parte inicial do Trabalho foi feita uma pesquisa bibliográfica com a finalidade
de expor a formulação teórica a respeito do Teorema e identificar os princípios no qual ele se
baseia. Partiu-se então para o entendimento do Teorema, onde foi identificada a necessidade
da abordagem sobre Energia de Deformação. Como o Teorema leva o nome de seu autor,
também foi realizada uma pesquisa sobre a biografia desse ilustre engenheiro.
Após a seleção dos assuntos e autores, partiu-se então para a montagem do quadro de
12
equações proposto. Como a simples montagem do quadro, por si só, não explicaria muita
coisa, definiu-se que também seria necessária a busca de exemplos que servissem de base para
uma explicação de como o quadro deverá ser usado. Sendo então possível comprovar a
aplicabilidade do quadro. 
1.5 Estrutura do trabalho 
A presente seção configura-se como uma síntese de todo o trabalho, sendo de vital
importância para o entendimento do conteúdo que vem a seguir, bem como a sua finalidade,
pois cada um dos próximos capítulos representa o desdobramento do que foi proposto neste. 
Na seção seguinte, foi reservado um espaço para falar sobre a história de vida de Carlo
Alberto Castigliano e seu teorema, o qual é a base deste trabalho, apontando não apenas fatos
relevantes à elaboração do seu teorema, como trechos interessantes sobre sua vida pessoal,
que mostraram que ele não foi apenas um grande estudioso e engenheiro, mas um grande
exemplo de vida a ser seguido. 
Posteriormente, na seção 3, é feita a abordagem do Teorema de Castigliano,
utilizando-se dos argumentos de três autores distintos para a demonstração dos princípios que
norteiam a sua base teórica, bem como as condições de aplicabilidade desse Teorema. 
Na seção 4, constam explicações sobre Energia de Deformação, assunto no qual o
Teorema de Castigliano se baseia. Nessa seção ficarão mais evidentes as situações onde o
Teorema em questão se faz útil, esclarecendo para os casos de tensão, cisalhamento, torção e
flexão como se chegar ao cálculo da energia de deformação constante nessas três situações
para posterior utilização, com o Teorema de Castigliano, para se achar a deflexão de um corpo
devido a aplicação de uma força, ou a força que resultou em tal deflexão. 
À seção 5 ficou reservada a tarefa de se expor como o Teorema de Castigliano se une
às equações de Energia de Deformação para então gerar as novas equações que possibilitarão
o calculo das deflexões ou forças geradoras de tais deflexões. Sendo também neste capítulo
feita a elaboração do quadro proposto neste trabalho bem como sua aplicabilidade. 
Na seção 6 é feita a demonstração da utilização do quadro proposto no capítulo
anterior, utilizando-se de duas aplicações e dois estudos de caso. Sendo na primeira aplicação
utilizado a forma tradicional de aplicação do teorema e na aplicação seguinte e nos dois
estudos de caso utilizado o quadro de equações proposto.
13
Por fim, na seção 7 constam as conclusões e considerações resultantes da elaboraçãodeste trabalho bem como sugestões de trabalhos futuros. Sendo então, este Trabalho de
Conclusão de Curso composto por sete seções.
14
2 HISTÓRICO SOBRE O TEOREMA E SEU AUTOR
O teorema em questão foi proposto em 1879 pelo engenheiro ferroviário, Carlo
Alberto Castigliano (figura 1), que publicou, em um livro intitulado “Théorie de l’équilibre
des systèmes élastiques, et ses applications” (em português: Teoria de Equilíbrio de Sistemas
Elásticos e Suas Aplicações), o método para determinar o deslocamento e a inclinação de um
ponto em um determinado corpo (Boley, 2008). 
Figura 1 – Carlo Alberto Castigliano
Fonte: ROBERTSON, 1997 
De acordo com Norton (2006), o Teorema de Castigliano apresenta-se como um dos
métodos mais utilizados na engenharia para a resolução de problemas envolvendo deflexão de
vigas. Norton ressalta ainda que, essa larga utilização decorre principalmente do fato de ser
possível a solução de problemas de vigas estaticamente indeterminadas, além de vários
motivos. 
Boley (2008) relata que o teorema foi decorrência do surgimento de um grande grupo
de engenheiros estruturais na Itália, durante a segunda metade do século XIX, que, em sua
grande parte, foi responsável pela criação e popularização dos vários métodos de análise
estrutural com base nos conceitos de trabalho-energia. Este grupo incluía homens de diversas
vocações, e a lista proposta por Boley (2008), contendo os nomes, considerados como
principais pelo autor, é notável, tanto pela versatilidade dos indivíduos relacionados, quanto
15
pelas provas que apresentam o vigor intelectual e científico daqueles tempos: Alessandro
Dorna (1825 - 1866, engenheiro e astrônomo), Luigi Menabrea (1809-1896, general e
estadista), Francesco Emilio Sabbia (1838-1914, em geral), Angelo Genocchi (1817-1889,
matemático), Enrico Betti (1823-1892, matemático e engenheiro), Vincenzo Cerruti (1850-
1909, engenheiro e matemático), Francesco Crotti (1839-1896, engenheiro), Luigi Donati
(1846-1932, físico), e, claro, Castigliano. 
Na publicação de Robertson (1997), encontra-se a afirmação que Castigliano nasceu
em 8 de novembro de 1847 na cidade de Asti na região de Piemont no noroeste da Itália, em
uma família de origem humilde, filho de Giovanni e Orsola Cerrato. Seu pai faleceu quando
ele tinha 16 anos, porém sua mãe casou-se novamente, e ele recebeu apoio de seu padrasto
para seguir com seus estudos. Por quatro anos estudou no Instituto Técnico de Terni, na
Úmbria. Boley (2008) afirma que durante a estadia de Castigliano na Úmbria, ele também
teria lecionado Projeto de Máquinas e Mecanismos em tal Instituto, e voltou em 1870 para a
região de Piemont para estudar no Instituto Politécnico de Turim (figura 2). Boley conta ainda
que, como estudante lá, foi que ele começou seu trabalho sobre a teoria das estruturas,
levando-o à sua primeira publicação, que foi a sua celebre dissertação em 1873. A
Giovannardi (2009) relata que durante a graduação de Engenheiro Mecânico pelo Instituto
Politécnico de Turim, ele precisou conciliar seus estudos com empregos para poder
complementar sua renda. Após aprovação no Real Museu Industrial de Turim, ele se tornou
professor de Matemática aplicada nessa mesma instituição. 
Giovannardi conta ainda que, em 1873, Castigliano foi contratado pela Strade Ferrate
Alta Italia, companhia ferroviária italiana que o lotou, inicialmente na cidade de Alba, mas
decorrido um ano, ele foi transferido pra o escritório de projetos da companhia, em Turim. Em
fevereiro de 1875, a sede do Instituto de Artes, em Milão, o chamou para a concepção e
acompanhamento de todas as grandes obras da rede ferroviária no norte da Itália, que exigiam
alto nível técnico de conhecimento. Sua alta eficiência, fez com que, decorrido apenas três
anos na função, ele fosse promovido a chefe da seção. Boley (2012) acrescenta que ele
manteve essa ultima posição até sua morte, porém durante todo o tempo continuou a estudar e
a escrever. A morte de Carlo Alberto Castigliano ocorreu em Milão, na noite de 25 de outubro
de 1884, aos 36 anos, vítima de pneumonia. Conforme o descrito em Giovannardi (2009). 
Boley (2008) expõe que as principais contribuições de Castigliano são os dois
teoremas conhecidos pelo seu nome. O primeiro destes, contido na sua tese, Intorno ai sistemi
elastici, afirma que a derivada parcial da energia de deformação considerada como uma
16
função das forças aplicadas (ou momentos) que atuam sobre uma estrutura linear elástica,
com relação a apenas uma dessas forças (ou momentos), é igual ao deslocamento (ou rotação)
na direção da força (ou momento) do seu ponto de aplicação. Boley afirma ainda que,
Castigliano incluiu o caso de reações externas, não prescritas, observando que quando o apoio
correspondente a essas reações não for flexível, a derivada parcial é zero e que o seu teorema,
em seguida, reduz-se ao "princípio do menor esforço" de autoria de Luigi Federico Menabrea.
Em 1875 Castigliano publicou seu segundo teorema, em que a energia de deformação é
considerada uma função dos deslocamentos indetermináveis de pontos de limite discretos; sua
derivada em relação a um destes deslocamentos resulta na força correspondente atuante no
corpo. 
Boley (2008) expõe ainda que outros marcos históricos de princípios energéticos deste
tipo forão a comprovação, por Clapeyron, em 1827, do princípio da conservação do trabalho,
igualando o trabalho realizado pelas forças externas aplicadas com o trabalho interno
realizado pelas tensões; desenvolvimento por Menabrea de seu princípio do menor esforço, e
comprovação independente de Cotterill (desconhecido para Castigliano) dos Teoremas de
Castigliano. 
Robertson (1997) afirma que a seguinte proposição foi a feita por Castigliano em sua
primeira dissertação, e que posteriormente passou a ser chamada de Teorema de Castigliano,
em sua homenagem: 
“... a derivada parcial da energia de deformação, considerada como uma função das
forças aplicadas que atuam sobre uma estrutura linear elástica, com relação a uma dessas
forças, é igual ao deslocamento na direção do ponto de aplicação da força.” (subcitação: B A
Boley, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990)) 
Robertson (1997) afirma ainda que, os resultados de Castigliano adotavam o princípio
do menor esforço como sendo um caso especial, e isso o levou a uma disputa com Luigi
Frederico Menabrea, disputa na qual Castigliano não se saiu tão bem quanto ele esperava. 
Para Boley (2012) está claro que o princípio de Menabrea pode ser considerado como
incluso nos teoremas de Castigliano, porém as provas apresentadas por Menabrea na época,
não foram satisfatórias para comprovar sua tese e foram de fato repetidamente modificadas
por ele devido às várias críticas sofridas. A nova demonstração de Menabrea sobre o seu
princípio foi dada por ele em 1875 com base em alguns dos resultados recém-publicados por
Castigliano, que, no entanto, foram referidos apenas em nota de rodapé. Castigliano opôs
fortemente a essa falta de reconhecimento suficiente em uma carta cheia de indignação juvenil
17
enviada ao presidente da Accademia dei Lincei, hoje conhecida como Accademia Nazionale
dei Lincei. Menabrea respondeu nos tons fundamentados e um tanto condescendente, típicos
de um estadista mais velho, ressaltando a prioridade de seu trabalho. O matemático e
engenheiro Luigi Cremona, atuando como presidente de uma reunião da Academia, deu uma
sentença salomônica sobre a polêmica, afirmando que ele acreditava que a denúncia de
Castigliano nãoestava suficientemente fundamentada, afirmando que o teorema em questão
seria o resultado da obra de ambos os autores, e que as provas não estavam cem por cento
livres de objeções. Deduzindo que não havia objeto para disputa, e concluindo ainda que
Castigliano pode ter tido a honra de ter feito um bom trabalho, porém, ninguém seria capaz de
tirar de Menabrea o mérito de ter tornado popular e de uso comum um princípio geral, que
estaria certamente destinado a receber uma aplicação mais extensa. 
Outras contribuições menores de Castigliano foram um “manual do engenheiro”;
estudos sobre a teoria da lamina e torção em molas (publicado em um livro, em Viena, 1884.),
em arcos de alvenaria, no golpe de aríete, e a invenção de um tipo de extensômetro (Boley,
2012). 
Boley (2012) comenta ainda que a principal obra de Castigliano, embora não isento de
falhas conceituais, representou um avanço definitivo em relação à de seus antecessores. Para
avaliar a importância de sua contribuição, no entanto, é importante notar que, embora haja
alguma validade na atribuição de popularização dos métodos de energia à Menabrea, por
Cremona, é precisamente neste aspecto que se destaca Castigliano. Ele resolveu um número
surpreendente de problemas estruturais importantes por seus métodos, afirmando através de
comparações com soluções previamente conhecidas, a superioridade e exatidão de seus
métodos, estabelecendo de uma vez por toda a sua conveniência e versatilidade. Como ele
afirma no prefácio de sua obra “Théorie de l’équilibre des systèmes élastiques, et ses
applications”, este foi realmente um de seus objetivos explícitos, e o sucesso que ele alcançou
é notável devido à sua curta carreira (morrendo aos trinta e seis) mesmo com a ausência de
fortes laços acadêmicos.
18
3 O TEOREMA DE CASTIGLIANO
Na abordagem de Norton (2010), o Tefiguraorema de Castigliano é dado como um
método de caráter mais prático do que a maioria dos outros métodos para cálculo de deflexão
de vigas, por ser um método energético, ressaltando que o Teorema de Castigliano configura-
se como um dos mais utilizados para o cálculo de deflexão de vigas sendo, tal método,
também capaz de solucionar casos de vigas estaticamente indeterminadas. Norton expõe ainda
que, o princípio que norteia o Teorema de Castigliano está no fato de que quando um corpo
elástico sofre deslocamento devido à aplicação de uma determinada força, torque ou
momento, uma energia é armazenada nesse corpo em forma de tensão. Para pequenos
deslocamentos em vários tipos de geometria, a relação entre a força, momento ou toque
aplicado e o deslocamento resultante pode possuir um caráter linear conforme o mostrado na
figura 2.
Figura 2 – Energia armazenada em uma mola
Fonte: NORTON, 2010
Essa relação também pode ser chamada de razão de mola do sistema (k). A área dentro
da curva de deflexão do carregamento corresponde à energia de deformação U armazenada.
Quando a relação é linear, tal área corresponde à área do triangulo, que em termos
equacionais corresponde a (NORTON, 2010):
19
U=
P i δi
2
 (3.1)
onde Pi corresponde ao carregamento aplicado e δi ao deslocamento.
Norton expõe ainda que Castigliano observou que quando um corpo é elasticamente
fletido por uma carga qualquer, a deflexão na direção em que o carregamento é aplicado é
igual à derivada parcial da energia de deformação com relação à carga. Sendo U a energia de
deformação, Q um carregamento qualquer, e δ um certo deslocamento, tem-se que:
δ=∂ U
∂ Q
 (3.2)
Ao expor o Teorema de Castigliano, Rocha (1969) considera uma viga sujeita a várias
forças P, que realizam um trabalho de deformação na viga em questão, sendo essa
deformação igual à energia interna adquirida pela peça, ou energia de deformação (U). Se um
acréscimo infinitesimalmente pequeno for introduzido em uma das forças atuantes na viga (Pi,
por exemplo), a energia interna também sofrerá um acréscimo, o qual será equivalente a:
U total=U +
∂ U
∂ P i
dP i (3.3)
Dando sequência à explicação de Rocha, se o processo inverso for feito, ou seja, se a
mesma viga estiver previamente sujeita à força infinitesimalmente pequena dPi e em seguida
todas as forças P forem aplicadas, essas cargas realizaram um trabalho de deformação na peça
causando um deslocamento δi na direção da força Pi. Sendo assim, o trabalho total realizado
após a adição das forças P, será o trabalho previamente existente resultante da força dPi mais
o trabalho de deformação das forças P. Dessa forma, o acréscimo da energia interna devido ao
acréscimo na força Pi, corresponderá ao trabalho de dPi realizado com a aplicação das forças
P.
∂ U
∂ P i
d P i=d P i . δi
20
ou
∂ U
∂ P i
=δi (3.4)
O que corresponde ao Primeiro Teorema de Castigliano: “A derivada parcial da
energia interna em relação a uma força qualquer aplicada é igual ao deslocamento que se
realiza na direção da força considerada”.
Porém, atribuindo-se um deslocamento infinitesimalmente pequeno δi ao sistema
carregado com forças P na direção de uma força qualquer, como Pi, o acréscimo de energia
interna será:
∂ U
∂δi
d δi=P i . d δi
ou
∂ U
∂ δ i
=P i (3.5)
O que corresponde ao Segundo Teorema de Castigliano: “A derivada parcial da
energia interna em relação a um dos deslocamentos da peça, é igual à força aplicada na
direção do deslocamento considerado”.
Rocha (1969) ressalta que a condição de aplicabilidade desses teoremas é que tanto a
força P1 quanto o deslocamento δi sejam variáveis independentes, ou seja, ao se fazer um
acréscimo em Pi ou δi as outras forças ou deslocamentos não devem se modificar. Sendo
também válida a lei da superposição dos eventos.
Uma explicação mais detalhada sobre o Teorema de Castigliano é dada por Popov
(1978), ao afirmar que a energia de deformação de um dado corpo pode ser expressa por uma
função quadrática das forças externas P1, P2,..., Pk,..., Pn, M1, . . . , Mp, isto é:
U=U (P1 , P2 …P k … Pn ,M 1 ,M 2… M p) (3.6)
Dando continuidade ao raciocínio de Popov, supondo-se que essa energia corresponda
à energia de deformação de um corpo como mostrado na Fig. 3(a), o aumento infinitesimal
21
nessa função (dU), para um aumento infinitesimal em todas as forças aplicadas dPk e dMm,
decorre da aplicação da regra da cadeia na diferenciação. Isso resultará em:
∂ U= ∂U
∂ P1
d P1+
∂ U
∂ P2
d P2+…+
∂ U
∂ Pk
d P k …+
∂ U
∂ M p
d M p (3.7)
Figura 3 – Sequências possíveis para aplicação de carga em um sistema elástico
Fonte: POPOV, 1987
Nessa expressão os ∂P e os ∂M são usados, por Popov (1978), no lugar da notação
diferencial ordinária, para enfatizar a independência linear dessas quantidades. Desse ponto de
vista, se apenas a força Pk variasse de uma quantidade dPk, Fig. 3(b), o incremento de energia
de deformação seria:
∂ U= ∂U
∂ P k
d P k (3.8)
Dessa forma, como o trabalho das reações é zero, a energia total de deformação U'
22
correspondente à aplicação de todas as forças externas e dPk, Fig. 3(c), é:
U ’=U+δU =U+ ∂ U
∂ Pk
d P k (3.9)
Analogamente a explicação da equação 3.9, Popov (1978) formula uma nova equação
invertendo-se a sequência de aplicação da carga, como se pode constatar nas figuras. 3(a),
3(b) e 3(d). Aplicando-se dPk primeiro, provoca-se um deslocamento infinitesimal dδk. Para
um corpo linearmente elástico, o correspondente trabalho externo de dPk δk /2, pode ser
desprezado porque é de segunda ordem. Além disso, o trabalho externo We realizado pelas
forças P1, P2, . . . , Pk , . . . , Mp é afetado pela presença de dPk. Por outro lado, durante a
aplicação dessas forças,a força dPk realiza trabalho ao se mover de δk, na direção de Pk. Esse
trabalho adicional é igual a (dPk)δk. Dessa forma, o trabalho total W'e realizado pelo sistema
externo de carregamento, incluindo o trabalho efetuado por dPk, (figura 3(d)), é:
W ' e=W e+(d Pk )δk (3.10)
Essa relação pode ser igualada à equação. 3.9, porque a ordem de aplicação da carga
não interfere no resultado final, e o trabalho externo é igual à energia interna de deformação:
W e+(d Pk )δ k=U +(
∂ U
∂ Pk
)d Pk (3.11)
Simplificando, tem-se:
δ k=
∂ U
∂ P k
 (3.12)
Resultando finalmente no Primeiro Teorema de Castigliano, igual ao exposto por
Rocha (1969). Norton (2010) também afirma que, a relação proposta por Castigliano pode ser
aplicada a qualquer carregamento seja ele axial, deflexão, cisalhamento ou torção. Se mais de
um desses casos existirem em um mesmo corpo analisado, seus efeitos podem ser sobrepostos
23
usando a equação de Castigliano para cada caso e somando-se os resultados em seguida.
3.1 Teorema de Castigliano pelo Princípio da Energia Potencial Estacionária
Boresi (1993) expõe que também é possível chegar ao Teorema de Castigliano através
da utilização do conceito de Coordenadas Generalizadas. E, desde que as seções transversais
planas dos membros analisados se mantenham planas, as alterações nas coordenadas
generalizadas indicaram translação e rotação da seção transversal do membro.
Para expor o Teorema de Castigliano pelo Princípio da Energia Potencial Estacionária,
Boresi (1993) apresenta um sistema com um número finito de graus de liberdade que se
encontra em configuração de equilíbrio (x1, x2, ..., xn) de forma que um deslocamento virtual é
imposto a tal sistema de forma que sua nova configuração passa a ser (x1 + dx1, x2 + dx2, ... , xn
+ dxn), onde (dx1, dx2, ..., dxn) representa o deslocamento virtual. Dessa forma o trabalho
virtual dW correspondente ao deslocamento virtual será dado por:
dW=Q1 dx1+Q 2 dx2+…+Qi dx i+…+Qn dxn (3.13)
Onde (Q1, Q2, ..., Qi, ..., Qn), explica Boresi, são os componentes da carga
generalizada, que são funções das coordenadas generalizadas. Sendo Qi definido por uma
dada seção transversal da estrutura, Qi será uma carga unidirecional se dxi for uma translação
da seção transversal, e Qi será um momento ou torque se dxi for uma rotação da seção
transversal.
Para um corpo deformável o trabalho virtual dW, correspondente ao deslocamento
virtual de um sistema mecânico, poderá ser separado de acordo com a seguinte soma
(BORESI, 2013):
dW=dW e+dW i (3.14)
Onde dWe corresponde ao trabalho virtual gerado pelas forças externas e dWi
corresponde ao trabalho virtual gerado pelas forças internas.
Analogamente a expressão para dW na equação 3.13, para um deslocamento virtual
24
(dx1, dx2, ..., dxn) obtém-se:
dW e=P1 dx1+P2 dx2+…+Pn dxn (3.15)
Onde (P1, P2, ..., Pn) são funções das coordenadas generalizadas (x1, x2, ..., xn). Por
analogia com os Qi na equação 3.13, as funções (P1, P2, ..., Pn) são chamadas de componentes
do carregamento externo generalizado. Se as coordenadas gerais (x1, x2, ..., xn) representam
deslocamentos e rotações que ocorrem no sistema, as variáveis (P1, P2, ..., Pn) podem ser
chamadas de componentes das forças externas pré-existentes e binários que agem no sistema
(BORESI, 2013).
Dando sequência a explicação de Boresi, admitindo-se agora um deslocamento virtual
que conduz um sistema completamente por um caminho fechado. Ao final de tal caminho,
será observado que os deslocamentos dx1 = dx2 = ... = dxn = 0. E por isso, pela equação 3.15,
We = 0. Para a análise em questão são considerados apenas sistemas submetidos ao
comportamento elástico. Sendo assim, o trabalho virtual dWi resultante das forças internas
será igual ao negativo da variação virtual na energia de deformação elástica dU, ou seja:
dW i=−dU (3.16)
Onde U = U(x1, x2, ..., xn) corresponde a energia de deformação total do sistema. Desde
que o sistema se desloque por um caminho fechado, ele retornará ao seu estado inicial e,
sendo assim, dU = 0. Consequentemente pela equação 3.16, dWi = 0. E, analogamente o
trabalho virtual total dW (equação 3.14) também será igualado a zero caso percorra um
caminho fechado. A condição para dW = 0 para deslocamentos virtuais que conduzem um
corpo por um caminho fechado, indica que o sistema é conservativo. A condição dW = 0 é
conhecida como Princípio da Energia Potencia Estacionária (BORESI, 2013).
Boresi explica ainda que, para um sistema conservativo (estrutura elástica carregada
por uma força externa conservativa), a variação virtual na energia de deformação dU da
estrutura sob um deslocamento virtual (dx1, dx2, ..., dxn) será dada por:
dU=∂ U
∂ x1
dx1+
∂ U
∂ x2
dx2+…+
∂ U
∂ xn
dxn (3.17)
25
Dessa forma, a devida substituição das equações 3.13, 3.15 e 3.17 na equação 3.14
resultará em:
Q1dx1+Q2 dx2+…+Qn dxn=.
.=P1 dx1+P2 dx2+…+Pn dxn−
∂ U
∂ x1
dx1−
∂ U
∂ x 2
dx2−…−
∂U
∂ xn
dxn
ou
Qi=Pi−
∂U
∂ x i
 (3.18)
Para qualquer sistema com finitos graus de liberdade, se os componentes Qi da força
generalizada forem igualados a zero, então o sistema está em equilíbrio. Portanto, pela
equação 3.18, um sistema elástico com n graus de liberdade estará em equilíbrio se:
P i=
∂ U
∂ x i
, i=1,2 , …, n (3.19)
A relação dada pela equação acima corresponde ao Segundo Teorema de Castigliano
(Equação 3.5). Para uma treliça a energia de deformação será obtida pela soma das energias
de deformação de todos os seus membros.
3.2 Problemas estaticamente indeterminados
Shigley (2005) define um problema estaticamente indeterminado como um sistema no
qual as leis da mecânica estática não são suficientes para que todas as forças ou momentos
atuantes desconhecidos sejam determinados, sendo necessário para solucioná-los escreverem-
se as equações apropriadas de equilíbrio estático mais as equações adicionais que estejam
relacionadas à deformação da peça em análise. Ao total, o número de equações deve ser igual
ao número de incógnitas.
Norton (2010) afirma que o método de Castigliano também fornece uma forma
conveniente de resolver tais problemas estaticamente indeterminados, pois reações em apoios
26
redundantes atuando em uma viga, por exemplo, podem ser encontradas igualando-se a
deflexão no apoio redundante a zero e calculando à força em seguida, ou seja, igualando-se a
equação 3.4 a zero, que resultará na equação 3.20. Dessa forma o Teorema de Castigliano
passa a ser a equação relacionada ao deslocamento da peça, porém com deslocamento igual à
zero.
∂ U
∂ P i
=0 (3.20)
Boresi (1993) exemplifica melhor essa operação ao expor as seguintes situações
expostas na figura 4, onde a viga pinada pela extremidade no ponto B, caso da figura 4(a),
possui quatro reações internas desconhecidas (atuantes em um mesmo plano), que são VA que
impede que a barra deslize verticalmente, NA que impede que a viga se mova ao longo de seu
próprio eixo vertical, MA que impede que a viga rotacione em torno do ponto A e RB que
representa a reação ao apoio em B, como pode der observado na figura 4(b). Porém, apenas
três equações da estática podem ser aplicadas, que são o somatório das forças verticais, o
somatório das forças horizontais e o somatório dos momentos. O apoio em B pode ser
considerado como um apoio redundante, pois caso ele seja retirado a viga torna-se um
problema estaticamente determinável, com a quantidade de incógnitas iguais ao numerode
equações. E o fato de o apoio em B impedir a flexão da viga, possibilita a elaboração de uma
equação adicional, quando associado ao Teorema de Castigliano para flexão, para o cálculo da
reação RB.
Para o caso do membro ABCDE, na figura 4(c), o suporte em E (ou A) pode ser
considerado como apoio redundante. Sendo assim, tanto o suporte em A ou em E podem ser
retirados (mas não ambos) para tornar a estrutura estaticamente determinável. Para o caso de o
suporte em E considerado como redundante (figura 4(d)), as suas três reações redundantes
(VE, TE e ME) podem ser calculadas através do Teorema de Castigliano em conjunto com o fato
de que o suporte em E impede que a flexão, torção e translação atuem no ponto E do membro,
bastando para isso aplicar as respectivas Energias de Deformação para cada caso e igualar as
suas deflexões a zero.
27
Figura 4 – Estruturas com apoios redundantes
Fonte: BORESI, 1993
Boresi (1993) aponta que não apenas apoios redundantes podem ser calculados pela
equação de Castigliano, mas também estruturas estaticamente indeterminadas que contenham
membros redundantes também podem ter as reações nesses membros encontradas, como é o
caso da estrutura mostrada na figura 5(a), em que caso o membro BE (ou CD) é um membro
redundante, visto que a retirada do membro BE ou CD (mas não de ambos) torna a estrutura
estaticamente determinável. Sendo assim, desde que a treliça na figura 6(a) seja ligada por
pinos, o membro BE, por exemplo, estará sujeito a uma força axial (tração), como mostra a
figura 5(b) que será a única força interna redundante. O membro redundante ABC da estrutura
mostrada na figura 5(c) pode suportar três reações internas, a força axial N, o cisalhamento V
e o momento M, como mostra a figura 5(d). Tais forças redundantes também podem ser
calculadas pelo Teorema de Castigliano, desde que as deflexões sejam consideradas zero.
(d)(c)
(b)(a)
28
Figura 5 – Estruturas com membros redundantes
Fonte: BORESI, 1993
(a) (b)
(c) (d)
29
4 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
De acordo com Timoshenko (1981) as equações para o cálculo da energia de
deformação, que serão apresentadas a seguir, só podem ser aplicadas se as seguintes
condições forem satisfeitas:
• O material do elemento analisado segue a lei de Hooke, ou seja, possui
comportamento linear elástico; 
• As condições são tais que pequenos deslocamentos, devidos a deformação, não
afetam a ação das forças exteriores e são desprezíveis no cálculo das tensões.
Timoshenko (1980) explica que, quando uma barra é submetida a tração simples, as
forças em suas extremidades realizam certa quantidade de trabalho quando a barra é
distendida por um alongamento representado por ε. Então, seja o elemento mostrado na figura
10 submetido somente a tensões normais σ x (figura 6(a)), resulta uma força σ x d y d z que
realiza trabalho para um alongamento δ x dx . A relação entre essas duas quantidades durante o
carregamento é representada por uma linha reta, como OA na figura 6(b). E o trabalho
realizado durante a deformação é fornecido pela área A= 1
2
Px do triângulo OAB, sendo
P=σ x dy dz e x=δ x dx . Designando tal trabalho por dU , resulta:
dU=1
2
σ x δ x dx dy dz (4.1)
Timoshenko (1980) afirma que tal trabalho é convertido na energia de deformação
estática, a qual permanecerá acumulada no corpo em quanto ele permanecer deformado dentro
do seu limite elástico.
Considerando-se que o termo σ x d y d z nada mais é do que a tensão sendo
multiplicada por unidade de área, ou seja, σdA=F , e que δ x d x corresponde ao alongamento
sofrido na direção de x e ainda que o trabalho realizado na deformação corresponde à energia
de deformação, a definição de Shigley (2005) para a energia de
30
Figura 6 – Corpo submetido a esforço de tração
Fonte: TIMOSHENKO, 1980
deformação pode ser adotada, pois Shigley afirma que a energia de deformação
correspondente ao trabalho externo feito sobre um membro elástico para deformá-lo, sendo
este trabalho transformado em energia potencial, que também pode ser chamado de energia de
deformação. E se o membro é deformado de uma distância x, tal energia é igual ao produto da
força média pela deflexão, ou seja, a equação 4.1 pode assumir a seguinte forma:
U=1
2
Px (4.2)
4.1 Energia de deformação na tração
Timoshenko (1981) ressalta que, para um corpo sob tração, a força P atuante dividida
por unidade de área da seção transversal do corpo corresponde a tensão, sendo a força P uma
normal (N):
σ= N
A
 (4.3)
A Lei de Hooke é representada por σ=Eε , onde E é o módulo de elasticidade do
material e o alongamento relativo ε é dado pela divisão da variação de comprimento do corpo
( ∆ l=δ ) após a aplicação da carga pelo comprimento inicial do corpo (l), ou seja
(a)
(b)
31
(Timoshenko, 1981):
ε= δ
l
 (4.4)
Fazendo as devidas substituições entre as equações 4.3, 4.4 e a lei de Hooke, chega-se
a equação:
N
A
=E. δ
l (4.5)
Isolando-se o termo δ da equação 4.5, resulta em:
δ= Nl
AE
 (4.6)
E isolando-se o termo N da equação 4.5, resulta em:
N= δAE
l (4.7)
Substituindo a equação 4.6 no local de x da equação 4.2, pode-se encontrar a equação
para o cálculo da energia de deformação para o caso específico de tração ou compressão, com
relação à carga atuante:
U= N
2 l
2 AE
 (4.8)
Se refizermos a mesma operação, porém substituindo a equação 4.7 no lugar de N da
equação 4.2, pode-se encontrar a equação para o cálculo da energia de deformação para o caso
específico de tração ou compressão com relação a sua deformação:
32
U= AE δ
2
2 l
 (4.9)
Para um elemento infinitesimal dx, o acréscimo da energia de deformação dU será
(Branco 1998):
dU= N
2 dx
2 AE
 (4.10)
E para se chegar à energia ao longo de todo o corpo, basta submeter a equação 4.10 a
integração de zero a l, sendo l o comprimento total do corpo:
U=∫
0
l N 2
2 AE
dx (4.11)
Porém o mesmo autor resalta que para aplicações práticas, a energia por unidade de
volume, ou energia específica de deformação ( U 0 ), é muitas vezes de grande importância,
podendo ser encontrado a partir das equações 4.8 e 4.9, dividindo-as por Al:
U 0=
U
Al
= N
2l
2 AE
. 1
Al
=( NA )
2 l
2 El
 
U 0=
1
2
σ 2
E
 (4.12)
ou
U 0=
U
Al
= AE δ
2
2 l
1
Al
=( δl )
2 AE
2 A
 
U 0=
1
2
ε2 E (4.13)
onde σ= NA representa a tensão de tração e 
ε= δ
l representa o alongamento relativo.
Timoshenko (1981) ressalta que a maior quantidade de energia específica de
33
deformação que pode ser acumulada em uma barra, sem que tal barra atinja a zona de
deformação plástica é determinada pela substituição de σ (da equação 4.12) pelo limite de
elasticidade do material. O autor ressalta também que em certos casos também se faz
necessário conhecer a maior quantidade de energia de deformação por unidade de peso (U')
do material que pode ser acumulada sem que esse atinja a zona plástica, sendo essa
quantidade calculada através da divisão de U 0 pela massa de um centímetro cúbico do
respectivo material.
4.2 Energia de deformação no cisalhamento
A energia de deformação armazenada em um elemento submetido à tensão cisalhante
(figura 7), de acordo com Timoshenko (1981), pode ser calculada pelo método usado no caso
da tração, bastando para isso considerar a face interior oc do elemento como fixa, sendo
necessário apenas o cálculo do trabalho realizado pela deformação da força V na face superior
ab.
Figura 7– Corpo sujeito a cisalhamento
Fonte: TIMOSHENKO, 1981
34
Admitindo-se que o material segue a lei de Hooke, Timoshenko (1981) afirma que a
deformação por cisalhamento é proporcional à tensão de cisalhamento, sendo o diagrama que
representa essa relação, semelhante ao mostrado na figura 6. Sendo assim, o trabalho
produzido pela força V e armazenado sob a forma de energia de deformação pode então ser
encontrado pela aplicação da equação 4.2.
Analisando-se a figura 7, constata-se que, para pequenos deslocamentos, onde a face
ao não sofra encurvamento considerável a curvatura γ ≅ δl . Um coeficiente de correcção kc
torna-se necessário para uma maior exatidão da expressão para a energia de deformação
cisalhante U, que passa a ser definido por kcU’. Sendo os valores de kc para perfis I igual a 1 e
para perfis retangulares igual a 1,5. Por tanto, a energia de deformação cisalhante para uma
viga submetida a uma força V, com a aplicação da equação 4.2, será (Boresi, 1993):
U=kc U
'=1
2
k c Vδ (4.14)
Boresi (1993) ressalta que δ=γl , que a tensão cisalhante τ=VA e que 
γ= τ
G , onde
G representa o módulo de elasticidade transversal.
U=
k c V
2l
2 AG
 (4.15)
e
U= AG δ
2
2l
 (4.16)
onde a equação 4.15 representa a energia de deformação com relação à força aplicada e a
equação 4.16 representa a energia de deformação com relação à tensão (Timoshenko, 1981).
Para um elemento infinitesimal dy o acréscimo da energia de deformação dU será:
dU=
k c V
2
2 AG
dy (4.17)
35
E para o corpo todo com comprimento l:
U=∫
0
l kc V
2
2 AG
dy (4.18)
Analogamente ao que foi feito na seção 4.1, a energia por unidade de volume, ou
energia específica de deformação por cisalhamento resulta da divisão das equações de energia
de deformação por cisalhamento pelo volume do elemento (Al):
U 0=
U
Al
= V
2 l
2 AG
1
Al
=(VA )
2 l
2 Gl
 
U 0=
τ2
2G
 (4.19)
ou
U 0=
U
Al
= AG δ
2
2 l
1
Al
=( δl )
2 AG
2 A
 
U 0=
γ2 G
2
 (4.20)
onde τ=V
A
 representa a tensão de cisalhamento e γ= δ
l
 representa a deformação de
cisalhamento.
E, por conseguinte, a energia específica de deformação por cisalhamento que pode ser
acumulada no elemento, sem que aja deformação plástica é obtida através da substituição do
termo τ (da equação 4.19) pelo respectivo limite de elasticidade do material do elemento em
questão.
4.3 Energia de deformação na torção
O cálculo da energia de deformação por torção, conforme demonstrado por
Timoshenko (1981), pode ser efetuado através do diagrama de torção (figura 8(a)) de uma
barra cilíndrica , no qual o momento torçor é representado pela ordenada e o ângulo de torção
pelas abscissas, sendo o ângulo torção proporcional ao momento torçor, quando analisados
36
dentro do limite elástico do material em questão, conforme pode ser observado pela linha
inclinada AO do gráfico da figura 8(a). Nesse gráfico a área estreita tracejada representa o
trabalho produzido pelo momento de torção durante um acréscimo de dφ no ângulo de torção
φ causado pelo torque T (figura 8(b)). Sendo assim, a área do triangulo OAB representa a
energia total armazenada no eixo durante a torção, resultando:
Figura 8 – Diagrama da energia de deformação na torção
Fonte: TIMOSHENKO, 1981
OAB=U=1
2
Tφ (4.21)
Dado um plano de coordenadas xy onde o eixo x é paralelo ao eixo axial da barra
cilíndrica, a energia de deformação torcional será (Boresi, 1993):
U=∫dU =∫ 12 Tdφ (4.22)
Analisando a figura 8(b), Boresi (1993) constata que, sendo o raio r da seção
transversal do cilindro, rφ=γl e assumindo que:
γ= τ
G
 (4.23)
(b)
(a)
37
τ=Tr
J (4.24)
onde J representa o momento polar de inércia da seção transversal da barra cilíndrica, Boresi
(1993) demonstra que ao substituir a expressão de τ e γ na relação rφ=lγ uma expressão para
o ângulo φ pode ser determinada:
rφ= τ
G
l ∴ rφ= Tr
GJ
l 
Simplificando:
φ= Tl
GJ (4.25)
E substituindo a equação 4.25 na equação 4.22 pode-se então encontrar a equação para
a energia de deformação torcional:
U= M
2l
2 GJ
 (4.26)
ou
U=
φ2 G I P
2 l
 (4.27)
Na equação 4.26 a energia é dada em função do momento torçor e na equação 4.27 ele
é dado em função do ângulo de torção.
Para um elemento dx da barra cilíndrica a equação 4.26 assume a forma:
dU= M
2
2GJ
dx (4.28)
E para a extensão total da barra cilíndrica:
38
U=∫
0
l M 2
2GJ
dx (4.29)
Conforme ressalta Timoshenko (1981), o ângulo de torção entre duas seções
transversais adjacentes é obtido pela equação:
dφ
dx
dx=
M T
ko
dx (4.30)
onde ko representa a constante de rigidez torcional. Sendo assim, a energia de deformação por
torção de um elemento infinitesimal do eixo é:
1
2
M T
dφ
dx
dx=
ko
2 ( dφdx )
2
dx (4.31)
Sendo a energia total de deformação dada por:
U=
k o
2 ∫0
l
( dφdx )
2
dx (4.32)
4.4 Energia de deformação elástica na flexão
Para explicar a energia de deformação por flexão, Boresi (1993) considera uma barra
prismática (figura 9(a)) com seção transversal uniforme ao longo do seu eixo longitudinal.
Com as forças P Q e R sendo aplicadas no plano xy. Para esse caso, a expressão para tensão
na flexão será:
σ x=
M z y
I z
 (4.33)
39
onde M z representa o momento fletor em relação ao eixo z (que é perpendicular ao plano
xy), I z representa o momento de inércia da seção transversal x com relação ao eixo z e y é
mensurado a partir do plano xz.
Figura 9 – Viga sob flexão
Fonte: BORESI, 1993
Antes da aplicação das forças P, Q e R, considerando duas seções planas BC e DE
separadas por uma distância dx, se apresentam paralelas uma a outra, porém após a aplicação
das forças, as respectivas seções são deslocadas para B’C’ e D’E’ onde permanecem planas. O
diagrama de corpo livre deste segmento da barra está representado na figura 9(b) onde nota-se
que o plano D’E’ sofreu uma rotação angular dθ com relação ao plano B’C’. Para um corpo
de material com comportamento linear elástico, dθ variará linearmente com o momento Mx
onde o gráfico dθ-M será similar ao apresentado na figura 2. Considerando que a tensão de
cisalhamento τ seja desprezível, a energia de deformação na flexão será igual à área do
triangulo formado por esse gráfico (Boresi, 1993).
(a)
(b)
40
U=∫dU =∫ 12 M z dθ (4.34)
Boresi (1993) ressalta que:
dθ= dδ
y
 (4.35)
dδ=ε x dx (4.36)
E assumindo que:
ε x=
σ x
E
 (4.37)
Então dθ pode assumir a forma:
dθ=
σ x dx
Ey
 (4.38)
E substituindo o termo σ x pela expressão 4.33, chega-se então à expressão para a
deformação dθ em função do momento M:
dθ=
M z dx
E I z
 (4.39)
Substituindo, então o termo dθ da equação 4.34 pela equação 4.39, chega-se então a
expressão para a energia de deformação para o momento fletor:
U=∫ M z
2
2 E I z
dx (4.40)
41
5 O TEOREMA NA PRÁTICA
Tendo a base teórica sido construída, pode-se agora partir para o objetivo maior deste
trabalho, o qual se apresentará sob a forma de um quadro que sintetizará as equações expostas
nos capítulos anteriores de forma que se consiga apresentar o Teorema de Castigliano em um
conjunto de equações que já contenham tanto o Teorema quanto as equações de energia de
deformação.
Para alcançar esse objetivo as seções a seguir irão demonstrarcomo a equação de
Castigliano une as equações de Energia de Deformação para formar a equação que irá
produzir o resultado final.
5.1 Para carregamento axial
Para um carregamento axial, a deflexão é dada pela substituição da equação de energia
de deformação na deflexão axial (eq. 4.8) no Teorema de Castigliano (eq. 3.3):
δ=1
2
∂
∂Q ( N
2 l
EA ) (5.1)
Isso é válido somente se A e E não variarem ao longo do comprimento l. Se eles
variarem ao longo do eixo x do corpo em questão, então a integração se fará necessária:
δ=1
2
∂
∂Q (∫0
l N
EA
dx ) (5.2)
5.2 Para carregamento cisalhante transversal
Para um carregamento cisalhante transversal, a energia de deformação será dada em
função da forma da seção transversal, carregamento e comprimento. Para uma viga com seção
transversal retangular, a deflexão será encontrada substituindo-se a equação de energia de
deformação para cisalhamento (equação 4.15) no Teorema de Castigliano (eq. 3.3):
42
δ=1
2
∂
∂Q (V
2l
GA ) (5.3)
Obtendo-se, a seguinte equação para o caso de haver variação nas características
físicas no corpo:
δ=1
2
∂
∂ Q (∫0
l V 2
GA
dx) (5.4)
onde V é a força cisalhante, que pode estar em função de x. O efeito de um carregamento
cisalhante transversal em deflexão em uma viga, geralmente será menor que 6% do efeito
devido a um momento fletor, de acordo com Norton (2004), quando o quociente entre o
comprimento e profundidade (ou vice-versa) for maior que 10. Assim, somente vigas muito
pequenas terão um efeito significante de carregamentos cisalhante transversal.
5.3 Para carregamento torcional
A deflexão resultante de um carregamento torcional substitui-se a equação da energia
de deformação na torção (Eq. 4.26), no Teorema de Castigliano (eq. 3.3), e então se obtém:
φ=1
2
∂
∂ Q (T
2 l
GJ ) (5.5)
onde T é o torque aplicado, G é o modulo de rigidez e J é o momento polar de inércia com
relação a seção transversal.
Obtendo-se, a seguinte equação para o caso de haver variação nas características
físicas no corpo:
φ=1
2
∂
∂ Q∫0
l T 2
GK
dx (5.6)
43
5.4 Para Carregamento por momento fletor
Para a flexão, a deflexão será encontrada substituindo-se e equação da energia de
deformação (equação 4.40) no Teorema de Castigliano (eq. 3.3), obtendo-se:
θ=1
2
∂
∂ Q (M
2l
EI ) (5.7)
Como o ângulo de deflexão varia ao longo a seguinte equação deverá ser usada ao
invés de a anterior.
θ=1
2
∂
∂ Q (∫0
l M 2
EI
dx ) (5.8)
onde M é o momento fletor, que está em função de x.
5.5 Proposição de quadro
O estudo da aplicação do Teorema de Castigliano resultou na observação de que
determinados procedimentos que são comuns durante a sua aplicação. Os procedimentos
observados foram: a identificação do tipo de solicitação (tração, cisalhamento, torção, flexão);
determinação da energia de deformação; substituição do valor da energia de deformação no
Teorema de Castigliano, dentre outros. Porém, para efeito de elaboração do quadro apenas
estes três serão considerados. Devido a limitação do espaço de página, as equações não
estarão dispostas em um único quadro, mas sim em quatro.
Tais procedimentos podem ser sintetizados nos quadro a seguir, onde as equações
correspondem as que foram elaboradas nas seções de 5.1 a 5.4.
44
Quadro 1 – Teorema de Castigliano para deflexão na tração e cisalhamento
Variável Tração Cisalhamento
U com relação a P δ=1
2
∂
∂ P ( N
2 l
AE ) δ=12 ∂∂ P (V
2 l
AG )
Fonte: Autoria nossa
Quadro 2 – Teorema de Castigliano para deflexão na torção e flexão
Variável Torção Flexão
U com relação à P φ=1
2
∂
∂ P (T
2l
GI ) θ=12 ∂∂ P ( M
2 l
EI )
Fonte: Autoria nossa
Quadro 3 – Teorema de Castigliano para carga na tração e cisalhamento
Variável Tração Cisalhamento
U com relação à δ P=1
2
∂
∂ δ ( AE δ
2
l ) P=12 ∂∂ δ ( AG δ
2
l )
Fonte: Autoria nossa
Quadro 4 – Teorema de Castigliano para carga na torção e flexão
Variável Torção Flexão
U com relação à δ P=1
2
∂
∂ φ (φ
2G I P
l ) P= 12 ∂∂ θ ( θ
2 E I z
l )
Fonte: Autoria nossa
5.6 Utilizações do quadro
Através da proposição desse quadro, espera-se que a tarefa de se calcular a deflexão de
uma viga, ou a força que resultou em uma determinada deflexão, possa ser facilitada, pois os
três procedimentos observados poderão ser substituídos por apenas um, que corresponde ao
emprego do quadro.
Levando-se em conta as limitações da empregabilidade do Teorema de Castigliano, ao
se deparar com uma situação em que seja necessário calcular uma deflexão ou força que
causou determinada flexão os seguintes passos deverão se empregados:
45
1. Identificar o tipo de deformação sofrida pelo corpo;
2. Identificar qual incógnita deve ser calculada (deflexão ou carga);
3. Selecionar a equação adequada contida em um dos quadros de equações do
Teorema de Castigliano através do quadro 5, cruzando-se o tipo de solicitação
com a incógnita;
4. Adequação a equação e substituição dos dados;
5. Efetuar o cálculo da equação.
Quadro 5 – Seleção da equação para o Teorema de Castigliano
Incógnita Tração/Compressão Cisalhamento Torção Flexão
Deflexão Quadro 1 Quadro 1 Quadro 2 Quadro 2
Carga Quadro 3 Quadro 3 Quadro 4 Quadro 4
Fonte: Autoria nossa
46
6 APLICAÇÕES
A seguir são expostos quatro aplicação do Teorema, sendo as duas primeiras
aplicações, casos teóricos, retirados da bibliografia consultada, seguidas de dois estudos de
caso de situações reais. À primeira aplicação ficou reservada a utilização do Teorema de
forma Tradicional e às três aplicações seguintes a utilização do Teorema em conjunto com o
quadro de equações proposto. E através de comparação entre essas aplicações, na seção 7,
será mostrada a eficiência do quadro de equações proposto.
6.1 Aplicação 01 (Boresi, 1993)
Duas barras AB e CB de comprimentos l1 e l2, respectivamente, estão pinadas em uma
fundação rígida pelos pontos A e C, conforme o mostrado na figura 10. A área da seção
transversal da barra AB é A1 e da barra CB é A2. Os módulos de elasticidades são E1 e E2
correspondentes às barras AB e CB respectivamente.
Figura 10 – Exemplo 01
Fonte: BORESI, 1993
47
Sob a ação da força horizontal P e da força vertical Q, o pino em B é submetido a um
deslocamento finito na horizontal e vertical com componentes u e v, respectivamente (figura
11(b)). Mesmo após tal deslocamento as barras permanecem linearmente elásticas. E os pino
apresenta as reações internas conforme a figura 11(a).
Figura 11 – Deslocamento do pino em B para B'
Fonte: Autoria nossa
Sendo 
E1 A1
l1
=k1=2,00 N /mm e 
E2 A2
l 2
=k 2=3,00 N /mm , b1=h=400mm e
b2=300mm pode-se então, encontrar a dimensão das forças P e Q através do seguinte
procedimento.
Considerando as deflexões nas barras AB e CB como δ1 e δ2, tais deflexões podem ser
obtidas através de:
(l 1+δ1 )
2=(b1+u )
2+( h+v )2 , l 1
2=b1
2+h2
(l 2+δ 2 )
2=(b2−u)
2+ (h+v )2 , l 2
2=b2
2+h2
(b)
(a)
(a)
48
Isolando-se δ1 e δ2 tem-se respectivamente:
δ1=√(b1+u )2+(h+v )2−l 1
δ 2=√ (b2+u )2+ (h+v )2−l 2
Considerando que cada barra permanece em comportamento linear elástico, as
energias de deformação U1 e U2, das barras AB e CB respectivamente, serão:
U 1=
1
2
N 1 δ1=
E1 A1
2l1
δ 1
2
(c)
U 2=
1
2
N 2 δ2=
E2 A2
2 l2
δ2
2
Onde N1 e N2 correspondem às forças de tração nas barras AB e CB respectivamente. A
deflexão das duas barras pode ser dada pela relação δi=
N i l i
E i Ai
. A energia de deformação total
U para a estrutura será igual à soma U1+ U2 correspondente às energias de deformação das
duas barras. Dessa forma:
U=
E1 A1
2 l 1
δ1
2+
E2 A2
2 l 2
δ2
2
E as magnitudes de P e Q serão obtidas pela diferenciação da equação (d) com relação
a u e v, respectivamente.
P=∂ U
∂ u
=
E1 A1 δ1
l 1
∂ δ1
∂ u
+
E2 A2 δ 2
l 2
∂ δ 2
∂ u
(e)
Q=∂ U
∂ v
=
E1 A1 δ1
l1
∂ δ1
∂ v
+
E2 A2 δ2
l 2
∂ δ2
∂ v
A derivada parcial de δ1 e δ2 com relação a u e a v é obtida através das equações (b).
Obtendo-se as derivas e substituindo-as na equação (e), obtém-se:
P=
E1 A1 (b1+u )
l 1
√ (b1+u )2+ (h+v )2−l1
√ (b1+u )2+ (h+v )2
−
E2 A2 (b2+u )
l 2
√(b2+u )2+( h+v )2−l 2
√(b2+u )2+ ( h+v )2
(f)
Q=
E1 A1 ( h+v )
l 1
√ (b1+u )2+( h+v )2−l 1
√ (b1+u )2+ ( h+v )2
−
E2 A2 (h+v )
l 2
√(b2+u )2+( h+v )2−l 2
√(b2+u )2+( h+v )2
(b)
(d)
49
Substituindo os valores de k1, k2, b1, b2, h, l1, l2, u e v obtêm-se os seguintes resultados:
P=43,8 N
Q=112,4 N
Os valores de P e Q podem ser confirmados através da determinação das forças de
tenção N1 e N2 nas duas barras.
6.2 Aplicação 02 (Hibbeler, 2004)
A treliça conectada por pinos exibida na figura 12 é feita de um material cujo E= 200
GPa. As magnitudes da carga P = 100 kN. A área da seção transversal de cada elemento é
igual a 400 mm2. Sendo assim, pretende-se encontrar o deslocamento vertical do nó C.
Figura 12 – Exemplo 02
Fonte: HIBBELER, 2004
Para isso, uma força vertical P deverá ser aplicada ao nó C, já que este se apresenta
como ponto de análise. As reações dos apoios A e D da treliça e as forças de tração N foram
calculadas e os resultados mostrados na figura 13. Como não existe carga real no nó C da
treliça, é preciso que P = 0.
50
Figura 13 – Exemplo 02 (reações)
Fonte: HIBBELER, 2004
Reações para a estrutura:
∑ Fx=0 
RAx+RDx=0 
RAx=−RDx 
∑ Fy=0
−100−P+RAy=0 
RAy=100[kN ]+P
∑M A=0 
−100.4−P.2+RDx .2=0
RDx=
400+2P
2
RDx=200+P
RAx=RDx=200 [kN ]+P
51
Reações para o pino A:
∑ Fx=0 
RAx−RAC cos 45º+RAB=0 
200+P−RAC cos 45º−RAB=0 
∑ Fy=0 
−RAy+RAC sen 45º=0 
−100−P+RAC sen45º=0 
RAC=
100+P
sen 45º
RAC=141,4 [kN ]+1,414 P 
200+P−( 100+Psen 45º )cos 45º−RAB=0 
200+P−100−P−RAB=0 
RAB=100 [kN ]
Reações para o pino B:
RBA=RAB=100 [kN ] 
RBC=
RAB
cos 45º
= 100
cos º45
 
RBC=141,4 [kN ] 
Devido às uniões entre as barra serem feitas por pinos, apenas esforços de tração e
compressão estão submetidos a estrutura, sendo necessário a aplicação a equação 4.8 para a
determinação da energia de deformação de cada membro.
Sendo:
N AB=−100kN 
N BC=141,4 kN 
N AC=−141,4−1414,4 P [kN ]
52
N CD=200+P [kN ] 
As derivadas de N com relação a P serão:
∂ N AB
∂ P
=0 
∂ N B C
∂ P
=0 
∂ N A C
∂ P
=−1 , 414 [kN ] 
∂ N CD
∂ P
=1[kN ] 
E igualando-se a força P=0, pois é uma força fictícia:
N AB(P )=−100 kN 
N BC (P)=141,4 kN 
N AC (P )=−141,4kN 
N CD (P)=200 kN 
Com:
LAB=4m 
LBC=2,828m 
LAC=2,828m 
LCD=2m 
Então, a equação de Castigliano para deformação na tração, dada pelo quadro 5, será:
δ=1
2
∂
∂ P ( N
2 l
AE )
Ajustando-a:
δ= 1
AE
N ∂ N l
∂ P
Como são vários corpos, uma somatória se fará necessária:
53
δ= 1
AE ∑ N
∂ N
∂ P
l
Então:
δ= 1
AE
[(−100 . 0 . 4)+(141,4 . 0 . 2,828)+(−1 , 414.−141,4 . 2,828 )+1. 200 .2]
δ= 1
AE
[0+0+565,7+400]
δ=965,7
AE
Com E= 20,0 GPa e A=400 mm2, resulta:
δ c=
965,7 kN.m
[ 400 (10−6 )m2 ]200 (10−6) kN /m2
=0,01207 m=12,1mm
54
6.3 Estudo de caso 01
O Pau de carga (ou guincho de coluna) apresentado na figura 14, está instalado na
planta siderúrgica da Albras, possui a finalidade de içamento de cargas de até 1 tonelada (ou
10 kN), e há a necessidade de confirmação de sua capacidade estrutural de suportar tal
solicitação.
Figura 14 – Pau de carga
Fonte:Autoria nossa
Como não haviam informações seguras sobre o material usado na sua confecção,
foram adotados os parâmetros de vigas metálicas constantes nos catálogo da Gerdau [201-?].
Em loco, foi confirmado que o perfil I horizontal, possui bitola de 6” (152,4 mm) e base de
84,63 mm. O perfil I de apoio diagonal, possui bitola de 4” (101,6 mm) e base de 67,6 mm.
Pelo catálogo da Gerdau, por padrão os perfis I são construídos com aço ASTM A36, que
possuem módulo de elasticidade E=200 GPa. O perfil horizontal possui momento de inércia I
= 919 cm4. O perfil diagonal possui área da seção transversal A = 14,5 cm2.
Os dados dimensionais da estrutura constam na figura 15, com dimensões em
milímetros:
55
Figura 15 – Dimensões do pau de carga
Fonte: Autoria nossa
As reações de apoio constam na figura 16:
Figura 16 – Reações internas no pau de carga
Fonte: Autoria nossa
56
Para o cálculo das reações foram aplicadas as equações equilíbrio da mecânica estática
e relações trigonométricas, considerando o momento MA nulo, pois o binário RDx × Rax se
sobrepõe a ele. Todas as forças serão deixadas em função de P, pois o Teorema de Castigliano
necessita de integração com relação a essa força:
Reações para a seção AB:
∑ F x=0 
RAx−RCx=0 
∑ F y=0 
RCy−RAy−P=0 
RAy=RCy−P
∑M A=0 
−P . 2,6+RCy .1 ,0392=0 
P . 2,6−RCy .1,0392 
RCy=2,5019 P
RAy=RCy−P=2,5019 P−P
RAy=1,5019 P
RAx=RCx=
RCy
tg 30º
=2,5019 P
tg 30º
=4,3334 P
RC=
RCy
sen30º
=2,5019 P
sen30º
=5,0038P
Reações para a seção DC:
RD=RC=5,0038 P 
RDx=RCx=4,3334 P 
57
RDy=RCy=2,5019 P
O cálculo do deslocamento do ponto B na direção da carga P se dará pela soma das
energias de deformação resultantes da força axial (RD) que atua no perfil diagonal CD e dos
dois momentos fletores (resultantes da carga P e da reação RDx) que atuam no membro AB.
Pelo quadro 5, a equação para o Teorema de Castigliano para a deflexão na tração
corresponde a primeira equação do quadro 1 δ=1
2
∂
∂ P ( N
2 l
AE ) , e para o momento fletor
corresponde a segunda equação do quadro 2 δ=1
2
∂
∂ P (M
2l
EI ) . Por tanto o Teorema de
Castigliano corresponderá à derivada da soma dessas equações, ou seja:
δ=1
2
∂
∂ P ( N
2 l
AE
+
M 1
2l
EI
+
M 2
2 l
EI )
Como os momentos fletores M1 no trecho AC e M2 para o trecho CB são dados
respectivamente por (figura 17):
Figura 17 – Momentos fletores no elemento AB
Fonte: Autoria nossa
M 1=1,5019 P.x1
M 2=P.x2
Então:
δ=1
2
∂
∂ P ( N
2 l
AE )+ 12∫0
l 1 ∂
∂ P ( M 1
2
EI
dx)+ 12∫0
l2 ∂
∂ P ( M 2
2 l
EI
dx )
58
δ= N l
AE
+∫
0
l 1
M 1
∂ M 1
∂ P
dx
EI
+∫
0
l 2
M 2
∂ M 2
∂ P
dx
EI
δ= N l
AE
+ 1
EI ∫0
l 1
1,5019. P . x11,5019. x1 dx+
1
EI ∫0
l 2
P.x2. x2 dx
δ= N l
AE
+∣2,2557 . P x133 EI ∣0
l 1
+∣P x233 EI ∣0
l 2
δ= N l
AE
+ 0,9565 P
EI
+ 1,2674 P
EI
δ= N l
AE
+ 2,2239 P
EI
Sendo N = RC = 5,0038P kN; P = 10 kN; l = 1,2 m; l1 = 1,0392 m; l2 = 1,5608m; A =
0,00145 m2; I = 919.10-8 m4, E = 200000000 kPa:
δ= 5,0038. 20 .1,2
0,00145. 200 . 106
+ 2,2239. 20
200 . 106 .919.10−8
δ=0,000165111+0,038908052=0,039073163 m
Limite de escoamento para AB:
Pelo catálogo da Gerdau [201-?], a tensão de escoamento (σesc) para o aço ASTM NBR
A36 encontra-se no valor de 250 MPa. Porém, Hibeller (2004)ressalta a necessidade de se
garantir que a estrutura só seja submetida a tensões menores que a tensão de escoamento,
tornando-se necessária a utilização de uma tensão admissível (σadm). A tensão admissível será
dada por:
FS=
σesc
σadm
onde FS representa o coeficiente de segurança, quepara este caso sera de 1,15. Por tanto:
1,15= 250
σ adm
σ adm=217,39 MPa
Sendo a tensão de flexão dada pela equação 4.33:
59
σ=M y
I
Como momento fletor máximo na viga AB pode ser dado por M 2=P.x2 com P = 10
kN, x2 = 1,5608 m, y equivalente a metade da bitola do perfil I de 6” (y = 6”/2= 152,4/2 mm =
76,2 mm = 0,0762 m) e I = 919.10-8 m4. Então a tensão de flexão,será:
σ=
M 2 y
I
=
(10.1,5608). 0,0762
919.10−8
σ=1,29.10−11 kPa=0,0012910−14 MPa
Logo o membro AB suportará a condição ao qual poderá ser exposto, pois:
0,0012910−14 MPa<σ adm
Limite de escoamento para DC:
Para uma tensão de axial, com N = 25,019 e A = 0,0145 m2:
σ= N
A
= 25,019
0,0145
=1725,45kPa=1,72545 MPa 
Logo o membro DC suportará a condição ao qual poderá ser exposto, pois:
1,72545MPa<σ adm
6.4 Estudo de caso 02
A Monovia apresentada pela figura 18 também encontra-se situada na planta
siderúrgica da Albras e possui a finalidade de içamento de cargas de até 2 tonelada (ou 20
kN), também sendo necessário a confirmação de sua capacidade estrutural de suportar tal
solicitação.
60
Figura 18 – Monovia
Fonte: Autoria nossa
Para esta monovia também foram aplicados os cálculos de acordo os parâmetros do
catálogo da Gerdau [201-?], devido a falta de informações seguras sobre as especificações
técnicas da viga. A monovia é constituída de um perfil I com bitola de 6” (152,4 mm) e base
de 84,63 mm. Pelo catálogo da Gerdau [201-?], por padrão os perfis I são construídos com aço
ASTM A36, que possuem módulo de elasticidade E = 200 GPa. O perfil em questão possui
momento de inércia I = 919 cm4.
Os dados dimensionais da estrutura constam na figura 19, com dimensões em
milímetros, onde as linhas pontilhadas correspondem às bases onde a monovia é soldada,
sendo que, para os cálculos apenas a seção contida na elipse pontilhada foi utilizada, devido a
essa seção conter os pontos com maior espaçamento entre os apoios soldados o que resulta em
um maior braço de alavanca, que por sua vez, gerará os maiores momentos fletores. E caso a
viga suporte os esforços nessa seção, seguramente ela suportara os esforços nos outros pontos.
61
Figura 19 – Dimensionamento da monovia
Fonte: Autoria nossa
Calculo da deflexão para carga aplicada no ponto D:
As reações de apoio para a situação onde a carga encontra-se no meio do espaço entre
os pontos AB constam na figura 20. No ponto D haverá a maior flexão para essa seção da
monovia, desprezando-se atração.
62
Figura 20 – Reações para a monovia com carga entre os pontos A e B.
Fonte: Autoria nossa
Pelas equações de equilíbrio sabe-se que cada apoio em A e em B terá uma reação
normal e equivalente a metade da carga de P no ponto D. O cálculo para a seção da AB da
viga que se encontra sob flexão será feito, de acordo com o quadro 5, com a aplicação do
Teorema de Castigliano para deflexão na flexão, retirado do quadro 2:
δ=1
2
∂
∂ P (M
2l
EI )∴δ= 1EI ∫0
l
M ∂ M
∂ P
dx
Como os momentos fletores a direita e a esquerda da carga P são iguais (figura 21) e a
variação entre os ângulos em A e em B é igual a zero, de acordo com Popov (1978) pelo
método da área de momento, o momentos MA será:
M A=M B=
P
12
x
δ=2 1
EI ∫0
l
M ∂ M
∂ P
dx= 2
EI ∫0
l
( P12 x )( x12 )dx
δ= 2
EI ∣P x
3
36 ∣0
l
= P l
3
18 EI
63
Figura 21 – Momentos fletores na seção AB
Fonte: Autoria nossa
Sendo P = 20 kN; l = 1,2875 m; E = 200.106 kPa; I = 919.10-8 cm4.
δ= 20.(1,2875)
3
18.200.106. 919.10−8
δ=0,00129019=1,29019 .10−3 m
Calculo da deflexão para carga aplicada no ponto C:
Para situação onde a caga se localiza no ponto C as reações serão calculadas pelo
método da superposição, inicialmente os momentos MA e MB serão anulados pois tornam a
estrutura estaticamente indeterminada, sendo assim, as reações ficarão da seguinte maneira
(figura 22):
Figura 22 – Reações para a monovia com carga no o ponto C
Fonte: Autoria nossa
∑ F y=0
−RAy+RBy−P=0
∑M A=0
64
RBy . 2,575−P .(2,575+0,920)=0
RBy=
3,495 . P
2,575
RBy=1,3573. P
∑M B=0
−P . 0,92+RAy . 2,575=0
RAy=
0,92. P
2,575
RAy=0,3573. P
Os momentos fletores M1, na seção AB, e M2, na seção BC, (pela figura 23) são
calculados a baixo:
Figura 23 – Momentos fletores na seção AC
Fonte: Autoria nossa
−M 1+RAy . x1=0
M 1=RAy . x1
M 1=0,3573 . P . x1
M 2−P . x2=0
M 2=P. x2
Aplicando-se agora somente os momentos MA e MB eles deverão possuir tais
magnitudes que anulem os efeitos dos momentos M1 e M2 máximos, ou seja, MA = M1 e MB =
M2. Como os momentos M1 e M2 máximos serão encontrados em x1 = 2,575 e x2 = 0,92:
M A=M 1=(0,3573. P ). 2,575=0,92 P
65
M B=M 2=0,92. P
Então, reaplicando as reações no sistema, os novos momentos M1' e M2' (figura 24)
serão, iguais a M1' e M2', de acordo com o método da sobreposição:
Figura 24 – Análise do sistema completo
Fonte: Autoria nossa
Sendo assim, como a viga em análise também encontra-se em flexão e necessita-se
saber sua deflexão, novamente pelo quadro 5, o Teorema de Castigliano para deflexão na
flexão será retirado do quadro 2, e será aplicado tanto para a seção AB quanto AC:
δ=1
2
∂
∂ P (M
2l
EI )∴δ= 1EI ∫M ∂ M∂ P dx
δ= 1
EI ∫0
l1
M 1
∂ M 1
∂ P
dx+ 1
EI ∫0
l2
M 2
∂ M 2
∂ P
dx
δ= 1
EI ∫0
l1
(0,3573 . P . x1) .(0,3573 . x1)dx+
1
EI ∫0
l2
(P . x2) .(x2)dx
δ= 1
EI ∫0
l1
0,1277 .P . x1
2 dx+ 1
EI ∫0
l2
P . x2
2 dx
δ= 1
EI ∣0,1277. P . x1
3
3 ∣0
l 1
+ 1
EI ∣P . x2
3
3 ∣0
l 2
δ=
0,1277. P . l 1
3
3 EI
+
P . l 2
3
3 EI
Sendo P = 20 kN; l1 = 2,5750 m; l2 = 0,9200 m; E = 200.106 kPa; I = 919.10-8 cm4.
δ=0,1277.20.(2,575)
3
3.200.106. 919.10−8
+
20 .(0,923)
3.200.106 .919.10−8
66
δ= 14,5355+5,1912
200.106 .919.10−8
δ=1,0733.10−2 m
Limite de escoamento para carga no ponto D:
Como o material de composição da monovia é o mesmo do pau de carga do Estudo de
Caso 01, então a tensão admissível para a monovia também será σ adm=217,39 MPa . Sendo a
tensão de flexão dada pela equação 4.33:
σ=M y
I 
Como momento fletor máximo na viga pode ser dado por M= P
2
x com P = 20 kN, x
= 1,2875 m, y equivalente a metade da bitola do perfil I de 6” (y = 6”/2= 152,4/2 mm = 76,2
mm = 0,0762 m) e I = 919.10-8 m4. Então a tensão de flexão,será:
σ=M y
I
=
(20.1,2875) .0,0762
2.919.10−8
=1,0675 .10−3 kPa=1,0675.10−6 MPa
Logo a monovia suportará a condição ao qual poderá ser exposto, pois:
1,0675.10−6 MPa<σadm
Limite de escoamento para carga no ponto C:
Sendo a tensão admissível σ adm=217,39 MPa e a tensãode flexão novamente
calculada por:
σ=M y
I 
Com a flexão máxima na viga dada por M 2=P.x2 , P = 20 kN, x2 = 0,9200 m, y
equivalente a metade da bitola do perfil I de 6” (y = 6”/2= 152,4/2 mm = 76,2 mm = 0,0762
m). Então a tensão de flexão,será:
σ x=
20.0,92.0,0762
919.10−8
=152565,8324 kPa=152,5658 MPa
Logo o membro a monovia suportará a condição ao qual poderá será exposta, pois:
152,5658MPa<σ adm
67
7 CONCLUSÕES
Carlo Alberto Castigliano foi um engenheiro de grande importância visto suas
relevantes contribuições na área de Resistência dos Materiais onde, mesmo estando no meio
industrial, não se afastou do meio científico continuando a estudar por conta própria. Embora
os frutos de seus estudos não tenham recebido o devido mérito, na época em que Castigliano
viveu, sua importância é notória nos dias atuais, em face da raridade de livros que abordam a
área de Resistência dos Materiais que não contenham uma seção, ou mesmo um capítulo
dedicado ao seu teorema.