Física III --Exercícios resolvidos Propriedades Magnéticas da Matéria

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 Prof. A.F.Guimarães 
Física 3 – Questões 12 
 Questão 1
Uma barra imantada possui momento 
magnético total igual a Ͳǡͷ�ܣ ή ݉ଶ. Esta barra é 
colocada no interior de um campo magnético 
uniforme cujo vetor indução magnético possui 
módulo ܤ ൌ ͲǡͲͲʹ�ܶ. O ângulo entre o vetor 
momento magnético e o vetor B é igual a ͵Ͳι. 
Calcule o módulo do torque que atua sobre a 
barra. 
Resolução: 
O módulo do torque é dado por: ࣮ ൌ ߤܤݏ݁݊�ߠ 
(1.1) 
Assim sendo, teremos: ࣮ ൌ Ͳǡͷ ή ͲǡͲͲʹ ή ͳʹ � ׵ ࣮ ൌ ͷ ή ͳͲିସܰ ή ݉ 
(1.2) 
 Questão 2
Suponha que a barra imantada na questão 
anterior seja suspensa pelo seu centro de massa e 
sofra pequenas oscilações no interior do campo 
magnético. Calcule a frequência deste movimento 
oscilatório sabendo que o momento de inércia da 
barra é igual a ͲǡͲͲͲʹ�݇݃ ή ݉ଶ. 
Resolução: 
Utilizado a relação (1.1), teremos, para pequenas 
oscilações: ࣮ ؆ െߤܤߠ 
 (2.1) 
Em que o sinal negativo indica que o torque é 
restaurador, ou seja, faz a barra girar para a 
posição inicial. E também, para pequenas 
oscilações, temos ݏ݁݊�ߠ ؆ ߠ. O torque resultante, 
por sua vez é dado por: ࣮ ൌ ܫ ή ݀ଶߠ݀ݐଶ 
(2.2) 
Agora, utilizando (2.1) e (2.2), teremos: 
 ݀ଶߠ݀ݐଶ ൅ ߤܤܫ ߠ ൌ Ͳ 
(2.3) 
 
O coeficiente de ߠ, na equação diferencial (2.3) 
representa ߱ଶ. Assim, teremos: 
 ߱ ൌ ඨߤܤܫ 
(2.4) 
 
E como ߱ ൌ ʹߨߥ, então, utilizando (2.4) teremos: 
 ߥ ൌ ͳʹߨඨߤܤܫ 
(2.5) 
 
Utilizando os dados numéricos em (2.5), teremos: 
 ߥ ൌ ͳʹߨඨʹ ή ͳͲିଷ ή Ͳǡͷʹ ή ͳͲିସ ؆ ͳǡͳ͵�ܪݖ 
(2.6) 
 
 Questão 3
 
Uma carga total q é distribuída uniformemente 
sobre um anel dielétrico de raio r. Se o anel gira 
em torno de um eixo perpendicular a seu plano e 
que passa pelo seu centro, com uma velocidade 
angular ߱, determinar a intensidade e sentido do 
momento magnético resultante. 
Resolução: 
O momento dipolo magnético é dado por: 
 ߤ ൌ ݅ܣ 
(3.1) 
 
Em que A é a área delimitada pela distribuição de 
carga. Assim, para a distribuição de carga girando 
em torno do seu centro, teremos: 
 
 
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ߤ ൌ ݍ߱ܣʹߨ 
(3.2) 
Em que o período é dado por ܶ ൌ ଶగఠ . Assim 
teremos: ߤ ൌ ݍݎଶʹ ή ߱ 
(3.3) 
 
O resultado (3.3) sugere que o momento dipolo 
magnético, para esse caso, esteja orientado de 
acordo com o vetor velocidade angular. Logo: ߤԦ ൌ ݍݎଶʹ ή ሬ߱ሬԦ 
(3.4) 
 Questão 4
Suponha que a carga e a massa de um elétron 
estejam uniformemente distribuídas em todo o 
volume de uma esfera de raio R. Este elétron tem 
um momento angular de spin ܮ௦ igual a Ͳǡͷ͵ ή ͳͲିଷସ�ܬ ή ݏ e um momento magnético ߤ igual 
a ͻǡ͵ ή ͳͲିଶସ�ܣ ή ݉ଶ. Mostre que o momento 
magnético gerado pela rotação desta distribuição 
de cargas satisfaz à relação: ௘௠ ൌ ଶఓ௅ೞ . 
Será que esta previsão está de acordo com o 
resultado experimental? (Sugestão: Divida o 
elétron esférico em espiras infinitesimais de 
corrente e obtenha por integração o valor do 
momento magnético. Este modelo do elétron faz 
demasiado apelo a argumentos de Física Clássica 
para estar de acordo com o ponto de vista pelo 
qual a Mecânica Quântica encara atualmente esta 
partícula). 
Resolução: 
O momento angular de rotação (spin) é dado por: ܮ௦ ൌ ܫ௦߱௦ 
(4.1) 
Em que ܫ௦�݁�߱௦ são respectivamente o momento de 
inércia e a velocidade angular de rotação do 
elétron. Para uma esfera girando em rotação em 
torno de seu diâmetro, o momento de inércia é 
dado por: 
 ܫ௦ ൌ ͷʹܯܴଶ 
(4.2) 
 
Em que M é a massa da esfera, no caso será a 
massa do elétron. Agora, vamos tomar o elétron 
como uma esfera maciça. Seja a figura 4.1 uma 
representação do elétron. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 
 
Podemos concluir que o elemento de volume 
(espira) para o nosso modelo de elétron será dado 
por: 
 ܸ݀ ൌ ʹߨݎଶܿ݋ݏ�ߠ�݀ߠ�݀ݎ 
(4.3) 
 
A carga elétrica presente neste elemento de 
volume será dada por: 
 ݀ݍ ൌ ܸ݁ ܸ݀ 
(4.4) 
 
E para o elemento de corrente: 
 ݀݅ ൌ ߱௦ʹߨ ݀ݍ 
(4.5) 
 
E por sua vez, o elemento de momento dipolo 
magnético será dado por: 
 ݀ߤ ൌ ݀݅ ή ܣ 
(4.6) 
ߠ ݎ ݀ ߠ ܴ 
ܸ݀ ݎ�ܿ݋ݏߠ ߠݎݎ ݀ߠܴܴ
ܸ݀ ݎ ܿ݋ݏߠܿ݋ݏܿ݋ݏߠ
 
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Em que ܣ ൌ ߨݎଶܿ݋ݏଶߠ é a área delimitada pela 
espira. Utilizando as relações (4.3) – (4.6), 
teremos para o elemento de momento dipolo 
magnético: ݀ߤ ൌ ߨ߱௦ܸ݁ ݎସܿ݋ݏଷߠ݀ߠ݀ݎ 
(4.7) 
Em que ܸ ൌ ସଷߨܴଷ é o volume do elétron. Assim, 
integrando (4.7), teremos: 
ߤ ൌ ʹߨ߱௦ܸ݁ න ݎସ݀ݎோ଴ න ܿ݋ݏଷߠ݀ߠഏమ଴ 
 (4.8) 
Em que o fator 2 que aparece multiplicando em 
(4.8) representa a integração para toda a esfera, 
pois a integral para ߠ é efetuada apenas para a 
metade de cima. Assim, (4.8) fica: 
ߤ ൌ ʹߨ߱௦ܸ݁ ή ܴହͷ ቈݏ݁݊ߠ െ ݏ݁݊ଷߠ͵ ቉଴ഏమ 
(4.9) 
Que se torna: ߤ ൌ ߱௦݁ ή ܴଶͷ 
 (4.10) 
 
Agora, utilizando (4.1) e (4.2) em (4.10), teremos: 
݁ܯ ൌ ʹߤܮ௦ 
(4.11) 
Obs.: 
Para (4.2) e para as integrais em (4.8) veja 
SPIEGEL M. R. Manual e fórmulas e tabelas 
matemáticas, McGraw Hill 1973. Rio de Janeiro – 
RJ. 
 Questão 5
(a) Qual é o momento magnético devido ao 
movimento orbital de um elétron num átomo 
quando o momento angular orbital é igual a um 
“quantum” ԰� ቀ԰ ൌ ௛ଶగ ൌ ͳǡͷ ή ͳͲିଷସ�ܬ ή ݏቁ ? (b) O 
momento magnético de spin de um elétron é Ͳǡͻʹͺ ή ͳͲିଶଷ�ܣ ή ݉ଶ. Qual é a diferença na energia 
potencial magnética U, entre um estado onde o 
momento magnético está alinhado com um campo 
magnético externo de 1,2 T, e um outro onde o 
momento magnético tem o sentido oposto ao do 
campo? (c) Para que temperatura absoluta a 
diferença de energia calculada em (b) é igual à 
energia térmica média 
௞ଶ் ? 
Resolução: 
a) Para o elétron, a relação entre o momento de 
dipolo magnético e o momento angular orbital, é 
semelhante àquela encontrada em (4.11): 
 ݁݉ ൌ ʹߤ଴ܮ଴ 
(5.1) 
 
Veja por exemplo Física III Sears e Zemansky 
Eletromagnetismo (Young & Freedman) Ed. 
Pearson (AW), 10ª edição, São Paulo 2004. Pag. 
253. Assim, utilizando os dados numéricos: 
 ߤ଴ ൌ ͳǡ͸ ή ͳͲିଵଽ ή ͳǡͲͷ ή ͳͲିଷସʹ ή ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ؆ ͻǡʹʹͳ ή ͳͲିଶସ�ܣ ή ݉ଶ 
(5.2) 
 
b) Para a diferença de energia, teremos: 
 οܷ ൌ ʹߤܤ ൌ ʹ ή ͻǡʹ ή ͳͲିଶସ ή ͳǡʹ ؆ ʹǡʹ ή ͳͲିଶଷ�ܬ 
(5.3) 
 
c) Para a temperatura teremos: 
 οܷ ൌ ݇ܶʹ� ʹǡʹͶ ή ͳͲିଶଷ ൌ ͳǡ͵ͺ ή ͳͲିଶଷܶʹ ׵ ܶ ؆ ͵ǡʹιܭ 
(5.4) 
 
 Questão 6
 
É possível calcular o valor de 
௘௠ para o elétron 
medindo (a) a frequência de cíclotron ߥ௖ dos 
elétrons num certo campo magnético e (b) a 
frequência de precessão ߥ௣ dos prótons no mesmo 
campo. Mostre que essa relação é dada por: 
 
 
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௘௠ ൌ ఔ೎ఔ೛ ή ఓೞ௅ೞ, 
Como os valores de ߤ௦�‡�ܮ௦ para o próton são 
conhecidos com grande precisão, esta experiência 
nos dá atualmente a melhor aproximação do valor 
de 
௘௠. 
Resolução: 
A frequência de precessão do próton em um 
campo magnético é dada por: ߥ௣ ൌ ͳʹߨ ή ߤ௣ܤܮ௣ 
(6.1) 
Veja por exemplo Física 3 Halliday e Resnick 4ª 
edição, editora LTC , 1984, Rio de Janeiro, p. 285. A 
frequência de cíclotron do elétron é dada por: ߥ௖ ൌ ͳʹߨ ή ݁݉ܤ 
(6.2) 
Veja por exemplo, mesma referência citada acima, 
página 178. Agora utilizando (6.1) e (6.2), 
teremos: ߥ௣ߥ௖ ൌ ߤ௣݉ܮ௣݁ ׵ ݁݉ ൌ ߥ௖ߥ௣ ή ߤ௣ܮ௣ 
(6.3) 
 Questão 7
Em uma certa região do espaço, o campo 
magnético ܤሬԦ não é uniforme. O campo magnético 
possui um componente z e outro componente que 
aponta para fora ou para dentro do eixo Oz. O 
componente z é dado por ܤ௭ሺݖሻ ൌ ߚݖ, onde ߚ é 
uma constante positiva. O componente radial ܤ௥ 
depende somente de r, a distância radial até o 
eixo Oz. A) Use a lei de Gauss para o magnetismo, 
para determinar o componente ܤ௥ em função de r. 
(Dica: Experimente uma superfície gaussiana 
cilíndrica de raio r concêntrica com o eixo Oz, com 
uma extremidade em ݖ� ൌ �Ͳ e a outra no ponto ݖ� ൌ �ܮ). B) Faça um desenho mostrando as linhas 
do campo magnético. 
Resolução: 
a) A figura 7.1mostra a configuração do nosso 
problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.1 
 
Utilizando a lei de Gauss para o campo de indução 
magnética, teremos: 
 රܤሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ Ͳ 
(7.1) 
 
Aplicando (7.1) para o nosso caso, teremos: 
 රܤሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ න ܤ௭݀ܣଵ ൅න ܤ௭݀ܣଶ ൅ න ܤ௥݀ܣଷ 
(7.2) 
 
 
Em que 1, 2 e 3 são respectivamente as bases 
inferior, superior e lateral do cilindro da figura 
7.1. Assim, teremos: 
 Ͳ ൌ Ͳ ൅ ߚܮߨݎଶ ൅ ܤ௥ʹߨݎܮ ׵ ܤሬԦ௥ ൌ െߚʹݎ ݎƸ 
(7.3) 
 
 Questão 8
 
Um dispositivo para medir volume. Um 
tanque com um líquido possui espiras enroladas 
em torno dele, fazendo com que ele funcione como 
um indutor. O volume do líquido no interior do 
tanque pode ser medido usando-se o valor de sua 
indutância para determinar a altura do líquido. A 
indutância do tanque varia de um valor ܮ଴ 
correspondente a uma permeabilidade relativa 
igual a 1, quando o tanque está vazio, até um valor ܮ௙ correspondente a uma permeabilidade relativa 
igual a ܭ௠ (a permeabilidade relativa do líquido) 
quando o tanque está cheio. Um circuito 
eletrônico apropriado pode determinar a 
indutância com cinco algarismos significativos e, 
2 
1 1
2
L 
z 
3 
 
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5 
portanto, ser capaz de determinar a 
permeabilidade relativa efetiva da combinação do 
volume de ar com o volume do líquido na cavidade 
retangular do tanque. A seção reta retangular do 
tanque possui largura W e altura D (figura 8.1). A 
altura atingida pelo líquido no tanque é igual a d. 
Despreze os efeitos de borda suponha que a 
permeabilidade relativa do material do tanque 
seja desprezível. A) Deduza uma expressão para d 
em função de L, a indutância correspondente a 
uma certa altura do líquido, de ܮ଴, de ܮ௙ e de D. B) 
Qual é a indutância (com cinco algarismos 
significativos) para um tanque cheio até um 
quarto, cheio até a metade, cheio até três quartos 
e completamente cheio de oxigênio líquido? 
Considere ܮ଴ ൌ Ͳǡ͸͵ͲͲͲ�ܪ. A suscetibilidade 
magnética do oxigênio líquido é ߯௠ ൌ ͳǡͷʹ ή ͳͲିଷ. 
C) Repita o item (B) para o mercúrio. A 
suscetibilidade magnética do mercúrio é dada por െʹǡͻ ή ͳͲିହ. D) Para que tipo de material esse 
dispositivo de medição de volume é mais prático? 
Figura 8.1 
 
Resolução: 
A) Vamos observar o comportamento da 
indutância por meio de um gráfico. 
Figura 8.2 
O gráfico da figura 8.2 representa uma variação 
linear da indutância em função de d. Assim, 
tomando uma semelhança de triângulo, teremos: 
ܮ െ ܮ଴ܮ௙ െ ܮ଴ ൌ ݀ܦ �׵ ݀ ൌ ܦ ή ܮ െ ܮ଴ܮ௙ െ ܮ଴ 
(8.1) 
 
B) Podemos pensar na indutância como sendo 
diretamente proporcional a ߤ଴. No entanto, 
quando existem materiais na região do campo 
induzido, podemos mudar para ܭ௠ߤ଴. Em que ܭ௠ ൌ ߯௠ ൅ ͳ. Assim sendo, podemos escrever: 
 ܮ௙ ൌ ܭ௠ܮ଴ ֜ ܮ௙ െ ܮ଴ ൌ ܮ଴߯௠ 
(8.2) 
 
Então de (8.1), teremos: 
 ܮ ൌ ܮ଴ ൤ͳ ൅ ݀ܦ ή ߯௠൨ 
(8.3) 
 
No caso do oxigênio líquido, teremos: 
 ܮ ൌ Ͳǡ͸͵ͲͲͲ ή ൤ͳ ൅ ݀ܦ ή ͳǡͷʹ ή ͳͲିଷ൨ 
(8.4) 
 
Com o auxílio de uma planilha faremos os cálculos 
solicitados. Assim, para o oxigênio líquido, 
teremos: 
d/D L(H) 
0,25000 0,63024 
0,50000 0,63048 
0,75000 0,63072 
1,00000 0,63096 
 
Tabela 8.1 
 
C) Para o mercúrio, utilizando o mesmo 
procedimento, teremos: 
 
d/D L(H) 
0,25000 0,63000 
0,50000 0,62999 
0,75000 0,62999 
1,00000 0,62998 
 
Tabela 8.2 
 
D) Podemos concluir dos dados da tabela 8.2 que 
esse procedimento não é eficaz para o mercúrio. 
 
Circuito 
eletrônico 
 
 
 
d 
D 
W 
Ar 
Líquido 
0 
L 
d 
ܮ଴ 
ܮ௙ ܮ 
݀ ܦ