Resumo Matemática para Negócios

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CONJUNTOS NUMÉRICOS
UNIÃO DE CONJUNTOS
A = {0, 1, 3, 4, 5,}
B = {1, 3, 6, 8, 9}
A ∪ B = {0, 1, 3, 4, 5 6, 8, 9}
INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
A = {0, 1, 3, 4, 5,}
B = {1, 3, 6, 8, 9}
A ∩ B = {1, 3}
DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS
A = {0, 1, 3, 4, 5,}
B = {1, 3, 6, 8, 9}
A - B = {0, 4, 5}
POTENCIAÇÃO
RADICIAÇÃO
INTERVALOS NUMERICOS
FATORAÇÃO
a3 = a.a.a
Base positiva = Potencia positiva
(2)4 = _24 = _16_
(3) 34 81
Base negativa:
*Expoente par: Potencia positiva
(-3)4 = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = 34 = 81
*Expoente imar: Potencia negativa
( _ 1)3 =( _ _1_). (_ _1_) . (_ _1_ ) = _ _1_
( 2) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 8
Produto de potencia da mesma base
22 . 23 = 22+3 = 25 = 32
Quociente de potencia da mesma base
128 = 128 : 126 = 128-6 = 122 = 144
126
Potencia de potencia
(32)3 = 32.3 = 36 = 729
Multiplicação de potencia com mesmo expoente
24 . 34 = (2 . 3)4 = 64 = 1296
Divisão de potencia com mesmo expoente
103 = 103 : 23 = (10 : 5)3 = 53 = 125
 23
Uma raiz nada mais é que uma operação inversa à potenciação, sendo assim, ela é utilizada para representar, de maneira diferente, uma potência com expoente fracionário.
Exemplos
Raiz com índice par
Para um número real a positivo, com n sendo um número natural par e positivo, maior que 1, tem-se um b, tal que, se  = b, então bn = a, onde a é o radicando, n é o índice, b é raiz e √ é o radical. Com .
Nenhum valor de a negativo (-a) tem definição nesse caso.
Observação: quando o índice não aparecer no radical, isso indica que n = 2 e teremos uma raiz quadrada.
Exemplos:
Raiz com índice ímpar
Sendo a um número real, positivo ou negativo, com m sendo um número natural ímpar e positivo, maior que 1, tem-se um b, tal que, se  , então bm = a, onde a é o radicando, m é o índice, b é raiz e √ é o radical. Com  .
Nesse caso é possível obtermos raízes negativas dentro do conjunto dos números reais (ℝ).
Exemplos:
Propriedades
Para o radicando que tenha, como resultado de uma fatoração, expoente igual a seu índice, então este radicando é igual à raiz procurada.
Exemplos:
Podemos dividir o radicando e o índice por um mesmo número real, desde que este seja diferente de zero e maior que um, e divisor comum do radicando e do índice.
Exemplos:
Para resolvermos a raiz m-esima de uma raiz n-ésima, multiplicamos os índices entre si mantendo intacto o radical interno.
Exemplos:
A raiz n-ésima de um produto é igual ao produto das raízes n-ésimas.Exemplos:
A raiz n-ésima de um quociente (divisão) de a por b é igual ao quociente entre as raízes n-ésimas.
Exemplos:
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Pode-se representar o conjunto dos números reais  associando cada número x ∈ R a um ponto de uma reta r. assim se convencionarmos uma origem O, associando a ela o zero, adotamos uma unidade e um sentido positivo para esta reta, teremos aquela que denominamos reta orientada.
Seja a e b números reais com a < b. os subconjuntos de R a seguir são chamados intervalos.
Intervalo limitado
Intervalo fechado: Números reais maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b.
Intervalo: [a, b]
Conjunto: {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
Intervalo aberto: Números reais maiores do que a e menores do que b.
Intervalo: ]a, b[
Conjunto: {x ∈ R | a < x < b}
Intervalo fechado à esquerda: Números reais maiores ou iguais a a e menores do que b.
Intervalo: [a, b[
Conjunto: {x ∈ R | a ≤ x < b}
Intervalo fechado à direita: Números reais maiores do que a e menores ou iguais a b.
Intervalo: ]a, b]
Conjunto: {x ∈ R | a < x ≤ b}
Intervalos ilimitados
Semi reta esquerda, fechada, de origem b: Números reais menores ou iguais a b.
Intervalo: ]-∞ ,b]
Conjunto: {x ∈ R | x ≤ b}
Semi reta esquerda, aberta, de origem b: Números reais menores que b.
Intervalo: ]-∞ ,b[
Conjunto: {x ∈ R | x
Semi reta direita, fechada, de origem a: Números reais maiores ou iguais a a.
Intervalo: [a,+∞ [
Conjunto: {x ∈ R | x ≥ a}
Semi reta direita, aberta, de origem a: Números reais maiores que a.
Intervalo: ]a, +∞ [
Conjunto: {x ∈ R | x>a}
Reta numérica: Números reais.
Intervalo: ] ∞- ,+∞ [
Conjunto: R
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* Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores. Ex: ax + ay = a.(x+y) 
* Existem vários casos de fatoração como: 
1) Fator Comum em Evidência: 
Quando os termos apresentam fatores comuns. Observe o polinômio: 
ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência. 
Assim: ax + ay = a.(x+y) 
Forma fatorada 
2) Fatoração por Agrupamento: 
Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais. 
Como por exemplo: 
ax + ay + bx + by 
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência: a.(x+y) + b.(x+y) 
Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência: (x+y).(a+b) 
Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b) 
3) Fatoração por Diferença de Quadrados: 
Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado. 
Assim: a2 - b2 = (a + b)(a - b)
4) Fatoração do Trinômio Quadrado Perfeito: 
O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito. 
Por exemplo: os trinômios (a2 + 2ab + b2 ) e ( a2 - 2ab + b2 ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente. 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
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EQUAÇÃO DO 1º GRAU
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
1 incógnita 
c=ax+b 
ax=c-b 
x=_(c-b)_
 a 
A equação do 1º grau, tem só uma raiz, e raiz é o valor de x , que que satisfaz a igualdade 
Ex.: 
5=2x+3 
2x=5-3=2
x= _2_
 2
x=1 
veja se x=1 
levando para 
5=2x+3 
dá que 
5=2.1+3=5 
A igualdade se verificou 5=5
4x – 12 = 8 - 6x
4x + 6x = 8 + 12
10x = 20
x = _20_
 10
x = 2
_x – 2 + x – 3 = 1_
 3 2 6
6 . _x – 2 + 6 . x – 3 = 6 . 1_
 3 2 6
2(x – 2) + 3(x – 3) = 1
2x + 3x = 1 + 4 + 9
5x = 14
x = _14_
 5
2 incógnitas
2X + 4y = 16 
x + y = 5 
Primeiro método (substituição) 
Achamos o valor de x em uma equação e substituímos na segunda. 
x = 5 - y ( y troca de sinal por passar para o outro lado da igualdade )
substituindo o valor de x na primeira 
2x + 4y = 16 
2( 5 - y ) + 4y = 16 
10 - 2y + 4y = 16 
-2y + 4y = 16 -10 
2y = 6 
y= 6/2 = 3 
y =3 
Substituindo na segunda equação 
x = 5 - y 
x = 5 - 3 
x = 2 
Segundo processo (comparação) 
achar o valor de x nas duas equações 
X= ( 16 -4y)/2 
X = 5 - y 
Como x = x podemos escrever 
( 16 - 4 y) / 2 = 5 - y 
16 - 4 y = 10 - 2y 
- 4y + 2y = 10 - 16 
- 2y = -6 multiplicando as equações por -1 
2y = 6 
y = 6 / 2 
y = 3 
Levando o valor de y para segunda equação 
X = 5 - y 
X = 5 - 3 
x = 2. 
Terceiro método (adição) 
2 x + 4y = 16 
x = y - 5( multiplicar esta equaçãp por (-2) teremos 
2 x + 4y =16 
-2 x -2y = -10 
--------------------- 
0 + 2 y = 6 
2y = 6 
y = 6 / 2 
y = 3 
substituindo y na equação 2 temos 
2 x + 4 y = 16 
2 x + 4* 3 = 16 
2x + 12 = 16 
2x = 16 - 12 
2x = 4 
x = 4 / 2 
x = 2. 
Independente do método os valores são sempre os mesmos.
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
ax² + bx + c = 0 (o ² indica q a equação é do 2º Grau)
x²-3x-9=0
a=1 
b=-3 
c=-9
a=coeficiente de x², b=coeficiente de x, c=termo independente
x=_-b ± √b² - (4.a.c)_
 2.a
x1=_-b + √b² - 4.a.c_
 2.a
x2=_-b - √b² - 4.a.c_
 2.a
RAZÃO
REGRA DE TRÊS
PORCENTAGEM
_a_ = a : b = c ou d%
 b
a – b a . x=	 = x = _b . c_
c – x	 b . c a
Quantidade / Valor ---------- % 
 500 ---------------------- 100 
 40 ---------------------- X 
500 . X = 40 . 100 
500 . X = 4000 
X = _4000_
 500 
X = 8%
FUNÇÃO AFIM
Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais  tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que define função afim é:
O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.
Domínio: D = R
Imagem: Im = R
São casos particulares de função afim as funções lineares e constante.
Função linear
Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈ R. A lei que define uma função linear é a seguinte:
O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.
Domínio: D = R
Imagem: Im = R
Função constante
Uma função definida por f: R→R chama-se constante quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x ∈ R. A lei que define uma função constante é:
O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b.
Coeficientes numéricos
Cada coeficiente numérico de uma função caracteriza um elemento do gráfico dessa função.
• Coeficiente a: coeficiente angular de uma reta. A é igual à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x.
Quando a > 0, a função é crescente.
Quando a < 0, a função é decrescente.
• Coeficiente b: é a ordenada do ponto em que o gráfico de f cruza o eixo das ordenadas, ou seja, b = f(0).
CUSTO FIXO
CUSTO VARIAVEL
CUSTO TOTAL
FUNÇÃO CUSTO TOTAL
CUSTO MÉDIO
C = custo
Cf = custo fixo
Cv = custo variável 
C(x) = custo total
x = quantidade
= custo médio
Formulas:
C(x) = Cv . x + Cf
= _C(x)_
	x
x = C(x) = Cv . x + Cf (usar equação do 1º Grau)
Ex.:15500 = 20x + 3500
 20x = 15500 – 3500
 20x = 12000
 x = _12000_
 20
 
 x = 600
FUNÇÃO RECEITA
FUNÇÃO LUCRO
PONTO DE EQUILIBRIO
R(x) = receita
p = preço
L(x) = lucro
Formulas:
R(x) = p . x
L(x) = R(x) – C(x)
Ponto de Equilíbrio:
R(x) = p . x = C(x) = Cv . x + Cf
Ex.:
O custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$5.000,00 e o custo variável por unidade é de R$10,00. O preço unitário de venda do produto é R$ 30,00.
Qual a Função Custo Total C(x)
Qual a Função Receita Total R(x)
Qual a Função Lucro L(x)
a) O custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$5.000,00 e o custo variável por unidade é de R$10,00. O preço unitário de venda do produto é R$ 30,00.
Qual a Função Custo Total C(x) e o custo de 600 unidades
b) O custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$5.000,00 e o custo variável por unidade é de R$10,00. O preço unitário de venda do produto é R$ 30,00.
Qual a Função Receita Total R(x) e a receita de 600 unidades
c) O custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$5.000,00 e o custo variável por unidade é de R$10,00. O preço unitário de venda do produto é R$ 30,00.
Qual a Função Lucro L(x) e o lucro de 600 unidades
 
 
d) O custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$5.000,00 e o custo variável por unidade é de R$10,00. O preço unitário de venda do produto é R$ 30,00.
Quantas unidades devem ser produzidas para que seja alcançado o ponto de equilíbrio? 
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FUNÇÃO QUADRÁTICA
FUNÇÃO RECEITA QUADRÁTICA
FUNÇÃO LUCRO QUADRÁTICA
f(x) = ax² + bx + c
 ou
 y = ax² + bx +c
onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
No gráfico:
Para resolver uma equação de 2º grau usamos a fórmula de Bhaskara
sendo = b2 – 4ac
O número real é o discriminante da equação. O valor dele indica se a função tem ou não raízes reais.
 > 0 ⇔ tem duas raízes reais distintas.
 = 0 ⇔ tem duas raízes reais iguais
	(ou 1 raiz real dupla).
 < 0 ⇔ não tem raízes reais.
FUNÇÃO RECEITA E LUCRO QUADRÁTICA
Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado artigo por R(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por 
C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo? 
L(x) = R(x) – C(x) 
L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8) 
L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8 
L(x) = – x² + 6x – 8 
O número de unidades vendidas mensalmente para se obter o lucro máximo será determinado por Xv. 
L(x) = – x² + 6x – 8
Xv = _-b_ = _-6_= _-6_ = 3 unidades
 2ª 2.(-1) -2
Para se obter o lucro máximo, basta que 3 unidades sejam vendidas.
LIMITE DE UMA FUNÇÃO
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
CUSTO MARGINAL
RECEITA MARGINAL
Dada a função f(x) = 4x +1, determine a sua imagem à medida que o valor de x tende a 2.
Vamos determinar o limite da função f(x) = x² – 5x + 3, quando x tende a 4. 
LIMITES FORMAS INDETERMINADAS
FUNÇÃO DERIVADA
Qual a função derivada de f(x)=x³?
Qual a função derivada de f(x)=x4 ?
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO
Qual a derivada de f(x)=x³ no ponto x0=3?
CUSTO MARGINAL
Consideremos a função custo C(x)=0,01x³-0,5x²+300x+100. O custo marginal é dado por:
Suponhamos que   C(x) seja o custo total de fabricação de x pares de calçados da marca Caminhar Bem dado pela equação  
Determinar o custo marginal quando  x = 50 .
Assim sendo, a taxa de variação do custo total, quando 50 pares de calçados da marca Caminha Bem são fabricados, é R$22,00 por par fabricado.
O custo de fabricação do quinquagésimo primeiro par de calçado é 
R$ 22,00. 
RECEITA MARGINAL
Suponha de R(x) seja a receita total recebida na venda de x home theater da loja Vídeo Som dada pela equação   R(x)=-4x² +2000x . 
Calcular a receita marginal para  x = 40. 
A receita efetiva da venda do quadragésimo primeiro home theater é 
R$ 1.680,00