Prova P3 Física I 2011 01 ICEx SOLUÇÕES

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ICEx – FÍSICA I – PROVA P3 – 06/07/2011 – Prof. Armando 
 
O aluno poderá escolher 4 entre as 5 questões apresentadas. Resolvendo as 5, total ou parcialmente, cada questão 
valerá 2 pontos, e a nota atribuída será a maior de cada conjunto de 4 ou de 5 questões, segundo os valores das 
questões em cada caso. 
 
1. Considere um triângulo equilátero com lado . 
 (a) Usando o teorema de Pappus, calcule o volume do sólido gerado pela rotação horizontal desse triângulo em torno 
de um eixo vertical perpendicular à sua base, que passa em um dos vértices da base. 
 (b) Calcule o momento de inércia, em relação ao eixo que passa no centro de inércia e no vértice oposto à base, do 
prisma sólido que tem esse triângulo como base, altura 
h
 e massa 
M
. 
Solução: 
(a) A área do triângulo equilátero é 
   2tr 1 2 3 2 3 4A   
. Pelo teorema de Pappus, o volume do sólido gerado 
será igual a 
   2 33 4 2 2 3 4V    
. 
(b) Para achar o momento de inércia do sólido, basta achar o momento de inércia do triângulo da base em relação ao eixo 
perpendicular ao seu plano e que passa no centro de inércia, ou centróide, uma vez que o sólido é simétrico (
1 2 3 2I I I 
), 
e, neste caso, o momento de inércia independe da altura. O momento de inércia do triângulo equilátero é a metade do 
momento de inércia do retângulo de mesma base e mesma altura, uma vez que os centros de inércia coincidem, e a área do 
triângulo é a metade da área do retângulo: 
 
2 2 2 2 2
2 2 2
tr 3
0 0
3 7 7 7 3
12 12 4 48 96 96
h h
ret pri pri
M M M M Mz
I a b I I dI dz
h
 
          
 
 
. 
 
 
 
 
2. Considere um cone sólido invertido de massa 
M
, raio da base 
R
 e altura 
h
. 
 (a) Calcule o momento de inércia do cone em relação ao seu eixo. 
 (b) O cone gira em torno do seu eixo, mantendo a posição vertical, com velocidade angular constante 

, enquanto o 
vértice descreve um movimento circular uniforme sobre o plano horizontal com velocidade tangencial 
V
 e raio 
R
. Calcule o 
momento angular total e a energia cinética total do movimento. 
Solução: 
(a) A massa do cone é 
M
, o raio da base é 
R
, e altura do cone é 
h
, conforme mostra a figura. 
 
O eixo do cone será o eixo 
z
, apontando para cima e com a origem localizada no vértice do cone. Em primeiro lugar, vamos 
calcular o volume do cone, considerando-o construído por discos infinitesimais distando 
z
 acima da origem e com raio 
r
. 
Como 
r z R h r Rz h  
: 
2
2 2 2
2
0
1
3
h
R
V dV r dz z dz R h
h
      
. 
Portanto, uma vez que a razão entre o elemento de massa de um disco e a massa total é a razão entre o volume elementar e o 
volume total, temos que 
2 2 2
2 2 2
3 3
3
dm r dz r Mr
dz dm dz
R hM R h R h

   
. 
Já foi calculado acima que o momento de inércia de um disco de espessura 
dz
 é dado por 
21
2
dI r dm
, 
logo, fazendo a substituição e integrando, 
4 4 2
4 4 2
2 2 4 5
0 0
3 3 3 3
2 2 2 10
h h
M M z R MR
dI r dz I z dz MR
R h R h h h
     
. 
Observe-se que o momento de inércia de um cone independe da altura do mesmo, o que ocorre também com o cilindro, e 
com qualquer sólido simétrico que possa ser construído através de placas infinitesimais simétricas. 
(b) O cone descreve um movimento circular uniforme, logo, o momento angular total é a soma do momento angular da 
rotação do cone em torno do seu eixo com o momento angular do movimento circular do cone: 
     2 2 2 2
3 3
10 10
tot cone cone
V V
L L L V R I I MR M r r R
R R
             
  
. 
Da mesma forma, a energia cinética total é a soma das energias cinéticas dos dois movimentos: 
 
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 3 3 1
2 2 20 20 2
c cone cone
V r
E I I MR Mr M V MV
R R
      . 
(Obs.: O mesmo tipo de cálculo foi usado para estimar a energia do átomo de hidrogênio, com um elétron girando em órbita 
circular e possuindo spin – isso antes da descoberta da Mecânica Quântica. É claro que a estimativa foi muito grosseira, pois 
o átomo de hidrogênio não obedece à Mecânica Clássica.) 
 
 
 
 
 
 
3. Um elevador antigo se conecta a um contrapeso através de um cabo que passa em um 
 
disco com 
2,50m
 de diâmetro. O elevador sobe e desce quando o disco se move, e o cabo não desliza, mas se move junto 
com o disco. (a) A quantas r.p.m. o disco deve girar para erguer o elevador a 
25,0cm s
? (b) Para dar a partida, o elevador 
deve ser acelerado a 
8g
. Qual deverá ser a aceleração angular do disco, em 
2rad s
? Que ângulo o disco girou, em 
radianos e em graus, para erguer o elevador por 
3,25m
? 
Solução: 
(a) O raio do disco é 
1,25R m
, e, como a velocidade desejada é 
0,250v m s
, a velocidade angular será igual a 
0,20v R rad s  
. Logo, a frequência de rotações por minuto será 
60 2 1,91 . . .f r p m    
(b) A aceleração angular será 
 2 29,8 8 2,50 0,98a R m s m rad s    . 
(c) O ângulo descrito será 
 2 3,25 2 1,25 0,42 149ºh R m m rad      . 
 
4. Um objeto na forma de halter foi construído da seguinte forma: uma barra horizontal de comprimento 
L
 e massa 
BM
 
une, sempre normalmente às superfícies laterais, uma esfera com massa 
EM
 e raio 
R
 a um cilindro de eixo vertical com 
massa 
CM
, raio 
r
 e altura 
h
. Todos os sólidos possuem a mesma densidade uniforme de massa, e o comprimento da barra é 
medido entre as superfícies externas da esfera e do cilindro. Sabendo que os raios de giração da barra, da esfera e do 
cilindro, em relação ao eixo central de cada um, são, respectivamente, 
2 3L
, 
2 5R
 e 
2r
, calcule: (a) o momento de 
inércia do objeto em relação a um eixo de rotação que coincide com o diâmetro vertical da esfera; (b) idem, em relação a um 
eixo que coincide com o eixo vertical do cilindro; (c) idem, em relação a um eixo vertical que passa no centro da barra. 
Solução: 
Pelos raios de giração, sabemos que os momentos de inércia dos sólidos em relação aos seus próprios eixos são: 
22
5
E EI M R
; 2
2
C
C
M r
I 
; 2
12
B
B
M L
I 
. 
Usando-se agora, em cada caso, o Teorema dos Eixos Paralelos: 
(a) 
 
2
2
2
E B B C C
L
I I I M R I M r L R
                  
 
(b) 
 
2
2
2
E E B B
L
I I M r L R I M r I
                 
 
(c) 2 2
2 2
E E B C C
L L
I I M R I I M r
      
            
         
 
 
5. Um bloco de massa 
m
, que pode deslizar sem atrito sobre um plano inclinado de inclinação 

 em relação à horizontal, 
está ligado por um fio de massa desprezível a uma massa 
m m 
 suspensa, através de uma polia de raio 
R
 e massa 
M
, 
como mostra a figura abaixo. Calcule, usando a conservação da energia, a velocidade 
v
 de 
m
após cair de uma altura 
h
. 
 
Solução: 
A aceleração e a velocidade tangenciais são as mesmas para todos os corpos, logo, a equação que expressa a conservação da 
energia total é: 
2 2
2 2
2
1 1 1
sen
2 2 2 2
MR v
m gh m v mv mgh
R
    . 
Resolvendo para a velocidade: 
 2 sen
2
gh m m
v
m m M
 

  
.