Atividade respondida 2

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ATIVIDADE DE ESTUDO 2 - ENG PROD - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 2017A2
Período: 06/03/2017 22:30 a 13/03/2017 23:59 (Horário de Brasília)
Data Final: 20/03/2017 23:59 valendo 50% data nota!
Status: ABERTO
Valor: 0.50
Gabarito: Gabarito será liberado no dia 21/03/2017 00:00 (Horário de Brasília)
1ª QUESTÃO
Gradientes são importantes, pois podem indicar os pontos que possivelmente serão máximos e mínimos da
função, e isso é muito importante em aplicações reais. O gradiente da função f (x,y,z) = x + y² + z³ é:
ALTERNATIVAS
6
(1, 2, 3)
1 + 2y + 3z
1 + 2y + 3z²
(1, 2y, 3z²)
2ª QUESTÃO
O limite é, assim como derivadas e integrais, um dos procedimentos mais corriqueiros no trabalho com
funções, inclusive as de várias variáveis. Por meio dele, pode-se avaliar funções como rentabilidade em
casos extremos, a fim de obter os maiores e menores valores. Nos cálculos que envolvem apenas uma
variável, ele é mais simples, pois aproxima-se de um valor por valores menores e maiores (limite a
esquerda e limite a direita); mas, nos cálculos que envolvem mais de uma variável, esse limite é calculado
por caminhos. Nesse contexto, assinale a alternativa que representa o resultado do domínio de uma
função de mais de uma variável.
ALTERNATIVAS
Limite de f(x,y) = x²/y² quando (x,y) tende a (0,0) não existe. (Use os caminhos y = x e y = 2x)
Limite de f(x,y) = x²/y quando (x,y) tende a (0,0) é 1. (Use os caminhos y = x e y = 2x)
Limite de f(x,y) = x²/y quando (x,y) tende a (0,0) não existe. (Use os caminhos y = x e y = 2x)
Limite de f(x,y) = x²+y quando (x,y) tende a (0,0) não existe. (Use os caminhos y = x e y = 2x)
Limite de f(x,y) = x²/y² quando (x,y) tende a (0,0) é 0. (Use os caminhos y = x e y = 2x)
3ª QUESTÃO
A Continuidade é a propriedade de funções que garante que derivadas e integrais existam e possam ser
calculadas para as mesmas. Por exemplo, a função produtividade como função do tempo é descontínua
para números menores que zero, pois fisicamente não existem tempos negativos. Para que uma função seja
contínua, é necessário atender alguns quesitos. Assinale as premissas que são suficientes e necessárias
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para que uma função seja contínua:
I - O valor da função f (x,y), calculado em x0 e y0 (dois valores reais), é um valor real.
II - O valor do limite da função f (x,y), quando (x,y) tende a (x0,y0), é um valor real.
III - O valor do limite da função f (x,y), quando (x,y) tende a (x0,y0), é um valor real e é igual ao valor
calculado da função no mesmo ponto.
IV - (x,y) faz parte do domínio.
Estão corretas:
ALTERNATIVAS
I, II, III e IV.
I, II e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
II e IV, apenas.
III e IV, apenas.
4ª QUESTÃO
Uma das aplicações do cálculo na trajetória de um Engenheiro é a identificação de pontos máximos e
mínimos de funções, por meio dos conceitos de derivadas e pontos críticos. O Engenheiro Civil, por meio
desse conceito, pode, por exemplo, averiguar as forças máximas existentes em um determinado ponto de
uma obra. O Engenheiro de Produção pode identificar as condições que a função lucro pode gerar valores
máximos ou mínimos. Uma vez definidos os possíveis pontos de máximos e mínimos de uma função, é
possível verificar em qual das duas categorias esses pontos encaixam-se. Uma das formas de fazer isso é
utilizar a matriz Hessiana e, nesse método, é necessário conhecer:
ALTERNATIVAS
Determinante da matriz das derivadas segundas e ainda o sinal da derivada segunda em relação a x.
Determinante da matriz das derivadas primeiras e ainda do sinal da derivada segunda em relação a x.
Determinante da matriz das derivadas segundas e ainda do sinal da derivada primeira em relação a x.
As derivadas segundas, apenas.
As derivadas primeiras, apenas.
5ª QUESTÃO
Em funções reais de duas variáveis reais, algo interessante ocorre: as derivadas de segunda ordem
cruzadas, ou seja, fxy e fyx, são iguais, quando a função é dita ser exata. Em relação a esse conteúdo,
assinale a opção correta.
ALTERNATIVAS
f (x,y) = xy não é exata
f (x,y) = xy(x² - y²) é exata e fxy = fyx = 3x² - y²
f (x,y) = xy é exata
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f (x,y) = xy(x² - y²) não é exata
f (x,y) = x²y² é exata e fxy = fyx = 4
6ª QUESTÃO
Uma das aplicações mais comuns e úteis das derivadas parciais em funções de várias variáveis é o cálculo
de máximos e mínimos. Esses tipos de análise são comuns em casos de otimização de condições de
operação em empresas e indústrias, uma vez que as condições de operação são limitadas e devem ser
elaborados planos para melhorar o rendimento. Uma das formas de se calcular máximos e mínimos, é feito
em relação às derivadas de primeira ordem, por meio da determinação dos pontos críticos. Assinale a
alternativa que contém os pré-requisitos para a identificação de pontos críticos.
ALTERNATIVAS
As derivadas primeiras são zero.
As derivadas primeiras não existem.
As derivadas primeiras são zero ou pelo menos uma derivada primeira não existe.
As derivadas segundas são zero ou pelo menos uma derivada segunda não existe.
As derivadas primeiras são positivas ou pelo menos uma derivada primeira não existe.
Atenção! Questão anulada.
7ª QUESTÃO
Uma importante forma de analisar as derivadas de uma função com várias variáveis corresponde à análise
vetorial destas, ou seja, a união do conceito de derivada com o conceito de vetor. Nesse sentido, surge a
ideia de gradiente, que corresponde ao vetor cujas coordenadas são as derivadas primeiras da função. A
alternativa que representa, corretamente, o gradiente de f(x,y) = ln(x+y) é:
ALTERNATIVAS
grad f = (fx,fy) = ln (y) + ln (x)
grad f = (fx,fy) = (1/(ln(x+y)), 1/(ln(x+y)))
grad f = (fx,fy) = (x/(ln(x+y)), y/(ln(x+y)))
grad f = (fx + fy) = (ln (y), ln (x))
grad f = (fx, fy) = (1,1)
8ª QUESTÃO
Em funções reais de variáveis reais, por exemplo, em uma indústria cuja produção depende de tempo,
matéria prima e quantidade de equipamentos, pode-se calcular as derivadas de ordem superior, que
consistem em derivadas das derivadas primeiras. No Cálculo I, por se trabalhar com apenas uma variável,
as derivadas superiores são em apenas uma variável; quando se trata de mais variáveis, há a possibilidade
das derivadas serem em relação a variáveis cruzadas. A função f (x,y,z) = 2xz + 3xy² – xyz tem
derivadas segundas fxx, fxy e fxz:
ALTERNATIVAS
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2, 6y - z, 2 - y.
0, 6, 2.
0, 6y - z, 2 - y.
2, 6y, - y.
2, 6, 1.
9ª QUESTÃO
Os gradientes são importantes, pois, uma vez definido o gradiente, tem-se como indicar os pontos que
possivelmente serão máximos e mínimos da função, e isso é muito importante em aplicações reais, como
na melhoria da produtividade de uma fábrica. Uma vez conhecidas as condições do processo e também
as suas restrições, a aplicação de qual dos seguintes conceitos seria mais viável para determinação
dos pontos máximos e mínimos?
ALTERNATIVAS
Teorema de Green.
Teorema de Stokes.
Derivação por regra da cadeia.
Matriz Hessiana.
Multiplicadores de Lagrange.
10ª QUESTÃO
Em uma empresa, ao considerar todos os fatores que podem afetar a produtividade e o lucro desta, tem-se
uma extensa lista de variáveis da qual o processo depende. Como pode-se pensar, quanto maior o número
de variáveis e maior a ordem de derivação das derivadas parciais em uma função de várias variáveis,
maior o número de derivadas. Em uma função de três variáveis, quantas derivadasparciais de
terceira ordem existem?
ALTERNATIVAS
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3.
6.
9.
27.
30.
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