Lista de exercícios de calculo diferencial e integral

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Universidade Federal do Para´
Campus Universita´rio de Salino´polis
Curso: Engenharia de Produc¸a˜o e Explorac¸a˜o de Petro´leo
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I
Aluno(a): Nota:
Lista #1
1. Calcule:
a)
f(a+ b)− f(a− b)
ab
, sendo f(x) = 3x+ 2 e ab 6= 0
b) f(−1) e f(1/2) sendo f(x) = −x2 + 2x
c) g(0), g(2) e g(
√
2) sendo g(x) =
x
x2 − 1
2. Simplifique
f(x)− f(p)
x− p (x 6= p) sendo dados:
a) f(x) = 2x+ 1 e p = −1 b) f(x) = 5 e p = 2
c) f(x) = x2 − 3x d) f(x) = 1/x2 e p 6= 0
3. Simplifique
f(x+ h)− f(x)
h
(h 6= 0) sendo f(x) igual a
a) 2x+ 1 b) 3x− 8
c) x2 + 3x d)
1
x+ 2
4. Crescimentos exponenciais na˜o acontecem na natureza, pelo menos por tempo ilimitado. No
entanto, durante breves intervalos de tempo populac¸o˜es crescem com este modelo. Os motivos
podem ser variados, como fatores econoˆmicos, sociais ou suprimento limitado de alimentos e
de espac¸o. A populac¸a˜o eventualmente se estabilizaria num n´ıvel compat´ıvel com o que o meio
ambiente pode sustentar, sem a extinc¸a˜o da espe´cie. Um o´timo modelo para o estudo deste
tipo de situac¸a˜o e´ func¸a˜o log´ıstica, definida por
L(t) =
A
1 +Be−Ct
,
onde A,B e C sa˜o constantes positivas. Este modelo tambe´m e´ usado no estudo da propagac¸a˜o
de epidemias, da propagac¸a˜o de doenc¸as infecciosas e na propagac¸a˜o de boatos ou de not´ıcias.
Nestes termos:
a) Uma populac¸a˜o de moscas droso´filas num ambiente limitado e´ dado por:
L1(t) =
400
1 + 39e−0.4t
,
onde t denota o nu´mero de dias transcorridos. Qual e´ a populac¸a˜o inicial? Qual e´ a populac¸a˜o
no 10o dia?
b) Durante uma epidemia de dengue, o nu´mero de pessoas que adoeceram apo´s t dias, num
certo bairro, e´ dada por:
L2(t) =
1000
1 + 99e−0.2t
.
Quantas pessoas ficaram doentes apo´s o primeiro dia? Quantas pessoas ficaram doentes apo´s
o 25 dias?
5. Considere uma amostra de material que conte´m uma certa quantidade de iso´topo radioativo.
Foi experimentalmente observado que uma frac¸a˜o constante desse material radioativo decaira´
espontaneamente durante uma unidade de tempo. A meia-vida de um iso´topo radioativo e´ o
tempo necessa´rio para a metade dele decair. Por exemplo, a meia-vida do Carbono-14 e´ de
5730 anos, a do To´rio-234 e´ de 24.5 dias, aproximadamente. Esta e´ a chave do me´todo para
a determinac¸a˜o da idade de objetos orgaˆnicos (fo´ssil) utilizando Carbono-14. Este iso´topo
e´ acumulado durante toda a vida e comec¸a a decair com a morte. Como a meia-vida do
Carbono-14 e´ de 5730 anos aproximadamente, quantidades mensura´veis de Carbono-14 esta˜o
presentes muitos anos apo´s a morte do objeto orgaˆnico. Por exemplo, um osso apo´s 5730
anos possui a metade da quantidade de Carbono-14 que existia quando estava vivo. Para
determinar a func¸a˜o que representa o exemplo, consideramos 5730 anos como unidade. Seja
C0 a quantidade inicial de Carbono-14; enta˜o a quantidade C de Carbono-14 apo´s t unidades
de tempo e´ calculada por:
C(t) = C0
(
1
2
) t
5730
.
Em geral, se a meia-vida de um iso´topo radioativo e´ h anos, enta˜o a quantidade de iso´topo
apo´s x unidades de tempo e´ determinada por:
Q(t) = Q0
(
1
2
) t
h
,
onde Q0 e´ a quantidade inicial.
Assim,
a) Se uma amostra de carva˜o vegetal achada conte´m 63% de Carbono-14, em relac¸a˜o a uma
amostra atual de igual massa, determine a idade da amostra achada.
b) O elemento radioativo poloˆnio-210 tem uma meia-vida de 140 dias aproximadamente. Sa-
bendo que uma amostra pesa 20 miligramas inicialmente, quanto restara´ apo´s duas semanas?
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6. Se f e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo l, enta˜o a func¸a˜o definida por g(x) = f(kx + m) e´
perio´dica de per´ıodo l
k
, se k > 0. De fato:
g(x+
l
k
) = f(k(x+
l
k
) +m) = f(kx+m+ l) = f(kx+m) = g(x).
Dessa forma, determine o per´ıodo da func¸a˜o g(x) = sin(2x+ pi
3
).
7. O movimento harmoˆnico simples descreve a posic¸a˜o das oscilac¸o˜es regulares, em torno de
uma posic¸a˜o de equil´ıbrio, que variam suavemente, como por exemplo, um peˆndulo que oscila
continuamente na vertical sem nenhum tipo de restric¸a˜o, como por exemplo, a fricc¸a˜o. Essas
posic¸o˜es sa˜o muito bem descritas pelas func¸o˜es:
f(t) = k sin(wt+ b) ou g(t) = k cos(wt+ b)
onde k, b ∈ IR e w > 0. O per´ıodo e´ o tempo T = 2pi
w
necessa´rio para uma oscilac¸a˜o completa
e a frequeˆncia
1
T
=
w
2pi
e´ o nu´mero de oscilac¸o˜es por unidade de tempo.
Por outro lado, o movimento harmoˆnico amortecido descreve fenoˆmenos de oscilac¸a˜o onde
sa˜o impostas restric¸o˜es, como por exemplo, um peˆndulo que oscila com fricc¸a˜o. Tal tipo de
movimento e´ descrito por
f(x) = e−ax sin(bx), (a, b > 0).
8. Na teoria da relatividade restrita de Einstein, a massa de uma part´ıcula e´ func¸a˜o de sua
velocidade:
M(v) =
m0√
1− v2
c2
,
onde m0 e´ a massa da part´ıcula em repouso e c e´ a velocidade da luz. Calcule (a) lim
v→c−
M(v);
(b) Interprete o resultado obtido no item anterior.
9. Determine k tal que:
a) lim
x→5
3kx2 − 5kx+ 3k − 1 = 3/2 c) lim
x→2
5x4 − 3x2 + 2x− 2 = k
b) lim
x→k
x2 − 5x+ 6 = 0 d) lim
x→1
x2 − k2
x+ k
10. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→1
4x5 + 9x+ 7
3x6 + x3 + 1
d) lim
x→0
x2 − a2
x2 + 2ax+ a2
b) lim
x→−1
x+ 1√
6x2 + 3 + 3x
e) lim
h→0
(t+ h)2 − t2
h
c) lim
x→2
8− x3
x2 − 2x f) limx→a
√
x−√a+√x− a√
x2 − a2
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11. Verifique se os seguintes limites existem:
a) lim
x→5
x3 − 6x2 + 6x− 5
x2 − 5x c) limx→1
x3 − 1
|x− 1|
b) lim
x→−4
x2 + 3x− 4
x3 + 4x2 − 3x− 12 d) limx→3 |x− 3|
12. Calcule os seguintes limites no infinito:
a) lim
x→∞
2x3 + 5x+ 1
x4 + 5x3 + 3
b) lim
x→−∞
x2 − 2x+ 3
3x2 + x+ 1
c) lim
x→+∞
x−
√
x2 + 1 d) lim
x→+∞
3
√
x3 + 2x− 1√
x2 + x+ 1
e) lim
x→−∞
6− 7x
(2x+ 3)4
f) lim
x→+∞
x3 + x+ 1
3
√
x9 + 1
13. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→0
sin(3x)
x
b) lim
x→pi/2
1− sin(x)
2x− pi
c) lim
x→0
tan(3x)
sin(4x)
d) lim
x→
sin(x)
pi − x
e) lim
x→∞
(1 +
2
x
)x+1 f) lim
x→0
(1 +
1
2x
)x
g) lim
x→0
e2x − 1
x
h) lim
x→0
ex
2 − 1
x
i) lim
x→+∞
(1− 4
x
)x+4 j) lim
x→0
3x − 1
x
14. Calcule (I) lim
x→p
f(x)− f(p)
x− p (x 6= p) e (II) limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
(h 6= 0), sendo dados:
a) f(x) = x2 e p = 2 b) f(x) = x2 + 1 e p = 2
c) f(x) = 3x2 − x e p = 0 d) f(x) = |x|2 e p = 0
15. O custo em u.m. (unidades moneta´rias) para remover x% dos detritos to´xicos despejados num
aterro e´ dado por S(x) =
0.8x
100− x, 0 < x < 100.
a) Calcule lim
x→100−
S(x) b) Interprete o resultado.
16. Sejam f e g func¸o˜es definidas como f(x) =
{
x2 + 3, x ≤ 1
x+ 1, x > 1
e g(x) =
{
x2, x ≤ 1
2, x > 1.
a) Mostre que lim
x→1−
f(x) e lim
x→1+
f(x) existem mas na˜o sa˜o iguais, e em consequencia lim
x→1
f(x)
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na˜o existe.
b) Mostre que lim
x→1−
g(x) e lim
x→1+
g(x) existem mas na˜o sa˜o iguais, e em consequencia lim
x→1
g(x)
na˜o existe.
17. Observe a Figura 1 representativa do gra´fico da func¸a˜o f(x) no domı´nio [0, 5]. Encontre:(a)
lim
x→0+
f(x); (b) lim
x→1−
f(x); (c) lim
x→1+
f(x); (d) lim
x→1
f(x); (e) lim
x→1
f(x); (f) lim
x→2−
f(x); (g) lim
x→2+
f(x);
(h) lim
x→2
f(x); (i) lim
x→4+
f(x); lim
x→4−
f(x); (j) lim
x→4
f(x); (k) lim
x→5−
f(x).
Figura 1: Gr´fico da func¸a˜o f
18. A Figura2 e´ chamada curva de Koch e e´ obtida a partir da linha poligonal constru´ıda pelos lados
de um triaˆngulo equila´tero de lado unita´rio. A cada passo substitui-se o terc¸o me´dio de cada
segmento da linha poligonal por dois segmentos que formariam um triaˆngulo equila´tero com o
terc¸o me´dio que foi retirado, conforme os desenhosabaixo: Denote por An a a´rea compreendida
Figura 2: Curva de Koch
pela linha poligonal apo´s n passos; logo, A0 =
√
3
4
, A1 =
√
3
3
, A2 =
10
√
3
27
, . . . , An =
√
3
4
(
1 +
3
5
(
1−
(4
9
)n))
, se n ≥ 0. Determine A∞.
19. Determine L para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua no ponto dado. Justifique.
a) f(x) =

x2 − 4
x− 2 , x 6= 2
L , x = 2
em p = 2. b) f(x) =

x2 − x
x
, x 6= 0
L , x = 0
em p = 0.
20. Um assado pesando 2,5 kgf, inicialmente a 10◦C, e´ posto em um forno a 280◦C a`s cinco horas da
tarde. Depois de 75 min a tenperatura T (t) do assado e´ de 90◦C. Quando sera´ a temperatura
do assado igual a 150◦C?
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21. Uma lancha se afasta do cais ao longo de uma linha reta com uma acelerac¸a˜o dada por a(t) =
12t − 4 ft/s2. No tempo t = 0 a lancha tinha uma velocidade de 8 ft/s e se encontrava a
15 ft do cais. Calcule a sua distaˆncia s(t) ao cais ao longo de t segundos.
22. Um pequeno pa´ıs tem uma reserva de ga´s natural de 100000 milho˜es de pe´s cu´bicos. Se A(t)
denota a quantidade total de ga´s natural que se tem consumido em t anos, enta˜o dA/dt e´ a
rapidez ou taxa de consumo. Tem-se que a taxa de consumo e´ de 5000 + 10 t milho˜es de pe´s
cu´bicos por ano. Em quantos anos se esgotara´ a reserva de ga´s natural desta nac¸a˜o?
23. Para certos tipos de baterias, a func¸a˜o probabilidade de vida u´til de uma bateria escolhida
aleatoriamente e´ dada por
f(x) =
{
1/60 e−x/60 se x ≥ 0
0 se x = 0
Calcule a probabilidade de que a vida u´til de uma bateria escolhida aleatoriamente esteja (a)
entre 15 e 25 horas, e seja (b) pelo menos de 50 horas.
Definic¸a˜o 1 (Integral impro´pria com limite superior infinito) Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua
para todo x ≥ a, enta˜o ∫ +∞
a
f(x) dx = lim
b→+∞
∫ b
a
f(x) dx
se este limite existe.
24. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y = e−x, o eixo y, o eixo x e a reta x = b, onde
b > 0.
Definic¸a˜o 2 Se f e´ cont´ınua para todo x ≤ b, enta˜o∫ b
−∞
f(x) dx = lim
a→−∞
∫ b
a
f(x) dx
se este limite existe.
25. Calcule a integral ∫ 2
−∞
dx
(4− x)2 .
26. Calcule as seguintes integrais usando o me´todo da substituic¸a˜o:
a)
∫
x√
x2 − 1 dx b)
∫
sin(2x) cos2(2x) dx c)
∫
cos(ax)√
b+ sin(ax)
dx
d)
∫ √
x+ 5 dx e)
∫
6x
(5− 3x2)2 dx f)
∫
x2ex
3
dx
27. Calcule as seguintes integrais usando integrac¸a˜o por partes:
a)
∫
xex dx b)
∫
x2 sin(x) dx c)
∫
3x cos(x) dx
d)
∫
x3 sin(5x) dx d)
∫
e1/x
x3
dx e)
∫
x3√
1− x2 dx
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28. Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o me´todo de substituic¸a˜o e depois, inte-
grac¸a˜o por partes:
a)
∫ √
1 + x2 dx b)
∫
x11 cos(x4) dx c)
∫
cos(ln(x)) dx
d)
∫
e
√
x dx d)
∫
sin(
√
x) dx e)
∫
x5ex
2
dx
29. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelo eixo dos x e pelo gra´fico de y = 4x4 − 5x2 + 1.
30. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelos gra´ficos y = x2 e y = x+ 2.
31. Calcular a a´rea da regia˜o delimitada pelas retas x = 3y, x+ y = 0, 7x+ 3y = 24.
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