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Mecânica Geral M A T E R I A L T E Ó R I C O Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos Responsável pelo Conteúdo: Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga Revisão Textual: Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 1 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br zzzzzzzzzzzzzzz Orientação de Estudos Olá caros alunos, Sejam bem-vindos a mais uma unidade de ensino e de aprendizagem da disciplina de Mecânica Geral. Espero que tenham um excelente estudo e um bom aproveitamento. Há nesta unidade atividades que contemplam exercícios de sistematização e aprofundamento do conteúdo em que aplicamos o que aprendemos sobre o Equilíbrio de Corpos Rígidos. A T E NÇ Ã O: Para um bom aproveitamento do curso, leia o material teórico atentamente antes de realizar as atividades. É importante também respeitar os prazos estabelecidos no cronograma. Olá, Caros Alunos: Nesta unidade, abordaremos o Equilíbrio de Corpos Rígidos, a fim de introduzir as duas condições para ocorrência de um equilíbrio estático: o equilíbrio de forças externas e o equilíbrio de momentos. A resolução de problemas passa por um importante método para simplificar a aplicação das condições de equilíbrio: a construção de diagramas de corpos livres. Eles constituem uma maneira de se apresentar em um diagrama apenas as forças e momentos que participarão explicitamente do balanço de forças e momentos. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 2 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos Contextualização Nesta unidade IV, iremos estudar o equilíbrio estático em corpos rígidos, objetos que são idealizações de objetos reais, pois os corpos rígidos não possuem flexibilidade, não se deformam, de forma que dois pontos quaisquer pertencentes a ele mantêm a mesma distância entre si. Os pontos fundamentais para o equilíbrio estático de corpos rígidos são: i) o equilíbrio entre as forças agindo no corpo, em que estas forças devem resultar em uma força total – a força resultante – nula; ii) o equilíbrio de momentos, em que a soma de todos os momentos externos – o momento total resultante – deve se anular. O que faz um corpo alterar seu estado de movimento translacional é uma força externa resultante e o que faz o mesmo corpo alterar seu estado de movimento rotacional é um momento (ou torque externo) ser nulo também. Assim, a condição (i) estabelece um equilíbrio translacional e a condição (ii) é a responsável pelo equilíbrio rotacional. Estabelecidas as condições de equilíbrio, parece, à primeira vista, que será muito fácil resolver os problemas de Estática que ocorrem em Engenharias: a parte envolvendo os cálculos se reduzirá a um sistema de equações com o mesmo número de incógnitas que, portanto, terá solução única - e direta - pelos métodos comuns de resolução de sistemas. Mas, em geral, nos deparamos com o problema de aplicar as condições de equilíbrio, pois às vezes ficamos confusos em como representar as forças e momentos, em onde e como devemos localizar o sistema de coordenadas. Em razão disto, a introdução de uma forma sistemática de descrever as forças e momentos importantes para a resolução dos problemas é introduzida. Tal método é conhecido como Diagramas de Corpos Livres. Não é muito trivial seu aprendizado e tampouco a se acostumar com suas regras de construção, habilidade que se consegue fazendo o maior número de exercícios que for possível. Todavia, uma longa exposição foi feita a fim de prover material de apoio suficiente para a resolução dos exercícios. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 3 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos Equilíbrio de Corpos Rígidos Introdução: O que é um corpo rígido? Dizer que uma partícula permanece em equilíbrio é equivalente a dizer que ela se encontra em repouso ou em um estado de movimento retilíneo e uniforme. No entanto, em uma situação de equilíbrio estático, ela tem de necessariamente estar parada. Isto acontece – o repouso ou o movimento retilíneo e uniforme – sempre que a resultante de todas as forças que atuam sobre ela for igual a zero. Essa é a 1ª lei de Newton, estudada na Unidade III. Essa condição de equilíbrio pode ser estendida para corpos maiores do que uma partícula sempre que tenhamos um corpo com dimensões desprezíveis quando comparadas às outras dimensões envolvidas no sistema (neste caso, o corpo é conhecido por ponto material). Damos como exemplo o sistema Terra-Sol, em que ambos podem ser tratados como pontos materiais se compararmos suas dimensões com a distância que os separa. Além disso, isso é válido também quando tratamos todas as forças externas como se estivessem concentradas em um único ponto do corpo extenso: o centro de massa. Recordando a declaração da 1ª Lei de Newton, temos: Uma partícula (ou ponto material) permanece no seu estado de repouso ou de movimento retilíneo e uniforme a menos que uma força resultante externa altere seu estad0 de movimento. Resumindo, a condição de equilíbrio de forças pode ser estendida para corpos maiores do que uma partícula sob uma de duas possíveis condições: se as forças atuando sobre o corpo forem concorrentes (caso em que elas são dirigidas para um único ponto); se o corpo se move com movimento translacional uniforme, isto é, em uma mesma direção fixa com velocidade constante, sem rotações. Muitos dos problemas do equilíbrio de corpos extensos não preenchem estas condições. As forças atuando sobre o corpo não passam através de um único ponto, isto é, não são concorrentes, e o movimento do corpo não é um movimento puramente translacional, mas pode incluir rotações também. O movimento de um corpo extenso é, em geral, complicado, como é o caso de uma raquete de tênis jogada para cima. A raquete é quase sempre lançada de modo a girar em torno de um de seus eixos, mas, além disso, o próprio eixo de rotação pode girar e o movimento consequente é uma superposição de uma translação com uma rotação. Devemos manter nossa atenção no estudo do equilíbrio de um corpo em relação à rotação em torno de um eixo fixo. Embora todos os corpos materiais se deformem de alguma forma sob a ação de forças aplicadas, é conveniente pensar neles como corpos não deformáveis, isto é, rígidos. Assim, podemos definir um Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 4 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos corpo rígido como aquele em que todas as dimensões permanecem as mesmas – constantes -, não importando a natureza das forças aplicadas. No fundo, é o mesmo que dizer que, escolhendo dois pontos quaisquer no corpo, eles permanecerão sempre com a mesma distância, não importando o estado de movimento. Com este conceito, a Estática de Corpos Materiais pode ser bastante simplificada, pois ao invés de se ter de estudar o corpo como se ele fosse uma vasta coleção de partículas para as quais as condições de equilíbrio devam ser aplicadas para somente uma única partícula de cada vez, o corpo inteiro pode ser tratado como um objeto único e seu equilíbrio pode ser estudado por intermédio da introduçãode um novo conceito chamado momento de uma força (que também recebe o nome de torque), que é uma quantidade relativa a rotações de corpos ou a movimentos de partículas em torno de eixos. Momento de uma Força (Torque) O efeito de uma força, ao produzir uma rotação, é determinado por dois fatores: 1. a força em si; 2. a distância da linha de ação da força, a partir de alguma reta considerada como eixo de rotação. Suponha que a força atue sobre um corpo rígido, como é mostrado na Figura 1; sua linha de ação é colinear ao vetor : Figura 1: Uma força sendo aplicada em um corpo rígido a uma distância de um ponto por por onde passa um eixo de rotação. Imagine um eixo passando através de um ponto perpendicular ao plano da tela do computador ou do papel, no caso do texto impresso, tal que a distância a partir de à linha de ação da força seja igual a : O efeito da força na produção da rotação em torno do eixo que passa por O, chamado momento da força ou torque, é definido como o produto da força pela distância perpendicular à linha de ação da força. Se representa o módulo do momento, então: Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 5 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos Como se pode ver na Figura 1, o momento tenderá a produzir uma rotação do corpo em um sentido anti-horário em torno de um eixo passando por O; o momento é dito estar no sentido anti-horário. A Figura 2 apresenta um corpo rígido sujeito a duas forças, e , a distâncias e , respectivamente, a partir de um eixo passando por perpendicular ao plano da tela ou do papel, o que for utilizado. O momento produzido por em torno de é no sentido anti- horário e o momento produzido por em torno de é no sentido horário. Por convenção, um momento no sentido anti-horário é costumeiramente definido positivo e o no sentido horário oposto é definido negativo. Assim, o momento total produzido por estas forças em torno do eixo passando por é: Figura 2: Duas forças são aplicadas em pontos diferentes em relação ao eixo de rotação Sempre que o momento produzido por uma força em torno de um eixo particular precisa ser determinado, é essencial descobrir a distância perpendicular à linha de ação da força. Na Figura 3, a força é aplicada no ponto E na borda de um disco. Para encontrar o momento em torno de um eixo perpendicular ao plano da tela (ou papel) que passa pelo ponto no centro do disco, é necessário estender o raio de ação da força mostrada pela linha pontilhada e então descer uma perpendicular a partir de sobre este raio para obter a distância perpendicular . O momento de em torno do eixo que passa por é ; o sinal de menos indica que ele aponta no sentido horário. As unidades usadas para expressar o momento devem ser coerentes com o produto de uma força por uma distância. Assim, libra-força vezes pé é costumeiramente utilizada no sistema britânico, newton vezes metro ( ) no sistema internacional ou dina vezes centímetro no sistema CGS, pois todas elas são unidades apropriadas para o momento. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 6 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos Figura 3: Uma força aplicada em um disco a uma distância do centro. Representação Vetorial do Momento Somente forças coplanares foram consideradas na discussão precedente. O eixo em torno do qual os momentos das forças foram determinados estavam sempre formando ângulos retos com os planos que continham as forças. Neste caso mais simples, o sentido de rotação e, por conseguinte, o sentido do momento foi especificado como sendo horário ou anti-horário. No caso mais geral, em que as forças são não coplanares e o eixo de rotação pode estar em qualquer direção arbitrária, é necessário que se tenha um método mais geral, consistindo em representar o momento por um vetor. Sistemas de coordenadas retangulares são ditos sistemas de mão direita quando eles têm a disposição representada pelo conjunto de vetores , e que aparecem na Figura 4. Figura 4: Indicação da regra da mão direita. Pela figura, se os dedos da mão direita estão apontando no sentido positivo do eixo (representados na figura pelo vetor ) e as partes dos dedos que estão dobradas de forma a apontar no sentido positivo do eixo (representados pelo vetor ), o polegar que está esticado apontará no sentido positivo do eixo (representado pelo vetor ). A disposição dos dedos e do polegar da mão direita é comumente usada para representar quantidades vetoriais envolvendo rotações. Se os dedos da mão direita fossem usados para girar o disco representado na Figura 5, com os dedos apontando no sentido da rotação que a Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 7 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos força aplicada em A pode produzir, o polegar estendido deve apontar na direção do eixo de rotação. Para representar o momento produzido pela força em A por um vetor, temos de desenhar um vetor de módulo dado por , apontando ao longo da linha do eixo de rotação no sentido da esquerda da figura. Figura 5: Ilustração da regra da mão direita mostrando o sentido do momento pelo polegar. Equilíbrio de um Corpo Rígido Quando um corpo rígido permanece em repouso sob a ação de um sistema de forças, diz-se que o corpo está em equilíbrio estático. Porém, sob condições especiais, um corpo pode estar em equilíbrio até mesmo quando ele está em movimento e, neste caso, diz-se que este corpo está em equilíbrio dinâmico. Por exemplo, um corpo rígido está em equilíbrio se ele se move de tal forma que cada partícula no corpo se move com velocidade uniforme em uma reta. Outro tipo de equilíbrio dinâmico é aquele de uma roda girando em torno de seu eixo com velocidade angular uniforme. Para um corpo rígido permanecer em equilíbrio estático, quando um conjunto de forças atua sobre ele, duas condições devem ser satisfeitas: 1. A soma vetorial de todas as forças agindo sobre o corpo deve ser nula. Esta condição assegura que não haverá variação no estado do movimento translacional. Escrevendo a condição na forma de uma equação, temos: em que a soma vetorial engloba todas as forças atuando sobre o ponto material em questão. Notemos que esta é a mesma condição para o equilíbrio de uma partícula. Esta equação é conhecida como balanço de forças. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 8 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos 2. A soma vetorial de todos os momentos agindo sobre um corpo em torno de qualquer eixo é nula. Em se tratando de problemas bidimensionais, isto é equivalente a dizer que a soma dos momentos no sentido horário em torno de qualquer eixo deve ser igual a soma dos momentos no sentido anti-horário em torno do mesmo eixo. Escrevendo esta condição, na forma de uma equação, temos: Esta condição sobre os momentos, a saber, que a soma dos momentos deve se anular, é uma nova condição para o equilíbrio aplicávela um corpo rígido que não era pertinente ao equilíbrio de uma partícula, já que todas as forças agindo sobre a partícula tinham de se cruzar sobre a mesma. As forças agindo sobre um corpo rígido, não atuam, em geral, sobre um único ponto no corpo e, consequentemente, darão surgimento a um movimento rotacional, a menos que a condição sobre os momentos seja satisfeita. Esta equação é conhecida como balanço de momentos (ou balanço de torques). Diagramas de Corpo Livre (DCL) Um diagrama de corpo livre consiste em primeiramente fazer um esboço do corpo em questão e colocar as flechas representando as forças aplicadas a ele. A seleção do corpo para o esboço pode ser a primeira decisão importante no processo de resolução de um problema. Por exemplo, para descobrir as forças sobre a junta-pivô de um simples par de tenazes, como em uma pinça de cadinho siderúrgico (ou químico) ou mesmo em um alicate, é útil que se faça um esboço do DCL de uma das tenazes, não do sistema inteiro, substituindo a segunda metade pelas forças que deveriam ser aplicadas à primeira. O que deve ser incluído O desenho de um DCL precisa incluir tão somente os detalhes necessários e importantes. Em geral, um simples esboço é suficiente. Dependendo da análise a ser feita e do modelo que está sendo empregado, até mesmo um único ponto pode ser o mais adequado a ser representado por intermédio de um desenho. Se a rotação do corpo e o momento estão sendo levados em consideração, o melhor a fazer é desenhar o formato do corpo. Diagramas de corpo livre são chamados assim porque o diagrama isola o corpo - daí o "livre”- de todos os outros corpos interagentes, de forma que o diagrama focaliza apenas o corpo específico. Desenhos de corpos em volta dos DCL podem ser necessários a fim de considerar os outros corpos interagentes do sistema. Todos os contatos externos, vínculos e forças entre corpos são indicados por flechas com descrições apropriadas. As flechas mostram a direção, sentido e módulo das várias forças existentes no sistema em questão. Sempre que possível, para propósitos práticos, as flechas devem indicar o ponto de aplicação Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 9 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos das forças que elas representam. Apenas as forças que atuam sobre um objeto são incluídas. Estes podem incluir forças tais como: a de atrito, a gravitacional, a força normal, a de arrasto, tensões em cordas ou outras tensões, ou uma força humana que irá empurrar ou puxar. Quando tratamos de um sistema que está em um sistema de referência não inercial, forças fictícias tais como a pseudoforça centrífuga, podem ser apropriadas. Um sistema de coordenadas é usualmente incluído, de acordo com a conveniência. Isto pode tornar a definição dos vetores mais simples no momento de escrever as equações de movimento. Por exemplo, a direção pode ser escolhida de forma a apontar para baixo em uma rampa no problema do plano inclinado. No caso da força de atrito, se tiver apenas a componente a força normal só terá componente . A força de gravidade terá ainda componentes em ambas as direções e : na direção ( é o seno do ângulo ) e na direção , em que é o ângulo que a rampa faz com a horizontal (veja a Figura 6). Figura 6: Figura mostrando um bloco de massa m sujeito à aceleração da gravidade g em um plano inclinado de um ângulo com coeficiente de atrito O que não deve ser incluído Todas as forças externas de contato e de vínculo escritas a partir dos objetos externos são deixadas de fora e substituídas por flechas de força sobre o corpo livre. As forças oriundas da aplicação do corpo livre sobre outros objetos não são incluídas. Por exemplo, se uma bola repousa sobre uma mesa, a bola aplica uma força sobre a mesa e a mesa aplica uma força sobre a bola igual e oposta. O DCL da bola inclui apenas a força que a mesa faz sobre a bola. Forças internas, isto é, as forças entre as várias partes que compõem um sistema que está sendo tratado como um corpo simples são omitidas. Por exemplo, se um andaime inteiro está sendo analisado para se descobrir as forças de reação no suporte, as forças entre as diversas partes individuais do andaime não são incluídas. Qualquer velocidade ou aceleração deve ser deixada de fora. Estas podem ser indicadas em um diagrama parecido, chamado de "diagrama cinemático", "diagrama de resposta inercial" ou algum termo equivalente, dependendo do autor. Suposições Um DCL reflete as suposições e as simplificações feitas a fim de analisar o sistema. Se o corpo em questão é um satélite em órbita, por exemplo, e tudo o que se quer é encontrar sua velocidade, então um simples ponto pode ser a melhor representação. Por outro lado, a empinada traseira de uma moto, quando ela é brecada fazendo com que o motociclista seja jogado um pouco para a frente sobre o garfo dianteiro, não pode ser descrita a partir de um único Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 10 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos ponto, e um esboço mais detalhado deve ser utilizado. Os vetores de força devem ser cuidadosamente localizados para evitar suposições que pressupõem um resultado. Por exemplo, em um diagrama de um bloco sobre uma rampa, a localização exata da força normal, resultante da rampa sobre o bloco, pode somente ser encontrada após a análise do movimento ou assumindo-se o equilíbrio do sistema. Exemplos Dois exemplos bastante simples serão apresentados a seguir. Um deles, o de uma bicicleta sendo brecada, cujo foco será a roda dianteira. O DCL deverá apresentar o sistema de eixos (pode-se utilizar um sistema de mão direita com o eixo orientado para baixo e o eixo orientado para a direita ou um sistema de mão esquerda, com o eixo orientado para a direita e o eixo orientado para baixo), a força de atrito do breque sobre a roda, a força de atrito do chão sobre a roda e a força normal do chão sobre a roda. Dá para notar que as duas forças de atrito estão com suas maiores componentes dirigidas ao mesmo sentido. Outro exemplo é o de uma pessoa de pernas ligeiramente abertas mantendo-se em pé. Há o peso da pessoa para baixo, as duas normais atuando uma em cada pé e as duas forças de atrito recebidas no pé e aplicadas pelo chão em sentidos opostos, ambas do sentido externo para o interno ao eixo de simetria bilateral (aquele eixo imaginário que corta longitudinalmente uma pessoa ao meio, passando pelo nariz e boca e pelo umbigo). Este par de forças de atrito, atuando nos pés, permite que a pessoa se mantenha em pé; sem atrito, os pés escorregariam fazendo com que as pernas se abrissem e a pessoa caísse. Na Figura 7 há um esboço de cada sistema e o DCL de cada um dos sistemas em questão. Figura 7: Dois exemplos de diagramas de corpo livre: uma bicicleta sendo brecada e uma pessoa em pé de pernas abertas. O que mostrar e o que não mostrar em um diagrama de corpo livre? Vamos falar um pouco mais acerca dos elementos de um bom DCL. Alguns destes têm mais a ver com estilo, mas achamos que mesmo assim eles ajudarão na resolução de problemas. O sistema: Um DCL é um desenho do sistema para o qual você gostaria Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 11 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos de aplicar os balanços de forças e de momentos ou o balanço de energia. Ele apresenta o sistema isolado(livre) de seu meio ambiente, ou seja, o DCL não apresenta objetos que estão próximos ou tocando o sistema de interesse; A palavra corpo significa sistema: Um DCL pode mostrar uma ou mais partículas, objetos rígidos, objetos deformáveis ou partes componentes de tal máquina. Você pode desenhar um DCL de qualquer coleção de materiais que você identificar. A palavra corpo tem a conotação de um objeto padrão nas mentes das pessoas. O corpo em um DCL pode ser um subsistema de um sistema global de interesse. Para um sistema de partes, há coleções de partes. Para os alicates apresentados na Figura 11 há 4 partes e 15 DCL possíveis (6 deles foram apresentados); As forças que enganam em um sistema: O DCL de um sistema apresenta as forças e momentos que o meio ambiente impõe ao sistema. Isto é, já que o único método de interação mecânica que a Natureza "inventou" é a força (e, por conseguinte, o momento para um corpo extenso), um DCL apresenta o que deveria ser feito para "enganar" um sistema, se fôssemos literalmente isolar tal sistema. Assim, o movimento do sistema seria totalmente o mesmo se fôssemos isolá-lo e as forças mostradas em um diagrama de corpo livre fossem aplicadas em substituição a todas as interações externas; Cada força possui uma fonte e um alvo: Toda força mostrada em um DCL atua sobre o sistema (o corpo) e a partir de outro objeto de acordo com alguma regra. Para cada força você deve ser capaz de denominar um alvo (o corpo "livre"), a fonte (isto é, o corpo que está em contato) e a regra (isto é, lei da gravidade, uma equação de mola, a força suficiente para evitar interpenetração). Alguns índices podem ajudar, tais como que indica a força que atua a partir de E sobre D; Coloque forças em cortes: As forças e os momentos são localizados em um DCL nos pontos aonde eles são aplicados. Estes lugares estão onde você fizer os "cortes" para liberar o corpo; O movimento é causado ou evitado por forças: Em lugares aonde o meio externo causa ou restringe a translação do sistema isolado, uma força de contato é desenhada sobre o DCL; A rotação é causada ou evitada por momentos: Em conexões com o mundo exterior que causa ou restringe a rotação do sistema, um momento de contato (ou um binário) é desenhado. Desenhe este momento para fora do sistema para maior clareza; Desenhe forças de contato para fora do corpo: Desenhe a força de contato saindo do esboço do sistema para uma maior clareza. Um bloco preso por uma dobradiça como na Figura 8 ilustra como a força de reação sobre o bloco devido à dobradiça é melhor apresentada saindo do bloco. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 12 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos Figura 8: A figura apresenta um bloco de massa m sendo mantido por uma dobradiça com atrito. Estão desenhados os DCL correto e o errado. Desenhe as forças sobre o corpo (por exemplo, a força da gravidade) para dentro do corpo: O DCL apresenta o corte do sistema livre da fonte de quaisquer forças de corpos aplicadas ao sistema. Forças de corpos são forças que atuam sobre o interior de um corpo a partir de objetos fora do corpo. É melhor desenhar as forças de corpos sobre o interior do corpo exatamente no centro de massa, se isto representar corretamente o efeito total dessas forças. A Figura 8 mostra a forma mais limpa de representar a força de gravidade sobre o bloco uniforme, atuando exatamente no centro de massa; As forças internas não são desenhadas: O DCL mostra todas as forças externas atuando sobre o sistema, mas nenhuma força interna, isto é, forças entre os objetos dentro de um corpo não são mostradas; Figura 9: DCL desenhado de forma errada, pois apresenta forças internas. Não desenhe velocidades e acelerações: O DCL não apresenta nada acerca do movimento. Ele não mostra "forças centrífugas", "forças inerciais" etc. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 13 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos Como desenhar as forças em um diagrama de corpo livre Isto irá depender: de quanto você sabe acerca da força antes de fazer sua análise. Você conhece sua direção e sentido? Seu módulo? da sua escolha de notação (que pode variar de vetor para vetor em um DCL). Algumas das possibilidades são: 1. Qualquer é possível; 2. A direção e o sentido de são conhecidos; e 3. Tudo a respeito de é sabido. Observe na Figura 10 o processo de construção de um diagrama de corpo livre. Figura 10: A figura apresenta o corte e o isolamento de DCL de um sistema envolvendo a roda de um ônibus espacial. A Figura 11 apresenta o processo correto de introdução das forças no DCL para um alicate que prende um lápis com a mão apertando esse alicate. Número de Equações e Número de Incógnitas Em duas dimensões, as equações de equilíbrio perfazem três equações escalares independentes. Podemos ter: duas componentes do balanço de forças e uma componente não trivial do balanço de momentos; ou balanço de momentos em torno de dois pontos quaisquer (exceto na direção ortogonal à linha que liga estes dois pontos); balanço de momentos em torno de três pontos (três pontos quaisquer que não estejam alinhados são suficientes). Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 14 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos Figura 11: Mão apertando um lápis com o alicate. De (a) até (f), representação correta dos DCL’s. Em (g), o detalhe do lápis e o alicate. Note que o balanço de momentos necessariamente é parte das equações de equilíbrio, mas o balanço de forças pode ser mais sutil. Com um diagrama 2D do corpo livre, as equações de equilíbrio podem ser resolvidas de forma a encontrar três incógnitas escalares; por exemplo: os módulos das três forças cujas direções são conhecidas a priori; ou um vetor força incógnita (as duas componentes, ou ângulo e módulo) e um módulo desconhecido; ou uma outra lista de três escalares associados às forças em um DCL. Além disso, componentes de força e módulos podem incluir um ângulo da força, ; um coeficiente de atrito, ; ou o local de aplicação da força. Uma vez que temos três equações independentes, quaisquer equações adicionais que venhamos a escrever, digamos o momento em torno de qualquer ponto imóvel, esta não conterá qualquer informação extra. Uma quarta equação de equilíbrio pode aparentemente parecer diferente de qualquer outra equação que já foi escrita, mas certamente ela pode ser deduzida de combinações lineares das outras equações. Em alguns problemas, as forças apresentadas em um diagrama de corpo livre satisfazem automaticamente uma ou mais das equações de equilíbrio; ao fazer o desenho, poderemos ter de implicitamente resolver algumas equações de equilíbrio. As equações de equilíbrio então oferecem menos (e até em algumas situações, nenhuma) informação nova. Em 3D, as equações de equilíbrio produzem 6 equações escalares independentes: 3 são para as componentes da força e 3 para as componentes do momento. Mas há muitas combinações diferentes de equações de equilíbrio que produzem 6 equações escalares independentes. Resolução de alguns problemas simples Exemplo 1: Vamos analisar as forças associadas com a operação de uma alavanca. Essencialmente, uma alavanca consiste em uma barra rígida AB, como na Figura 12, capaz de rodar em torno de um ponto de apoio, chamado de Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 15 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos Figura 12: Figura mostrando uma alavanca com um peso, W, posto em A com uma força F aplicada em B. Observe o fulcro sustentando a alavanca em O e aplicando- lhe uma reação, P. fulcro ou sustentáculo, que define o eixo de rotação. Suponha que um peso seja colocado na extremidade A e que uma força seja aplicada para baixo na extremidade B para manter a alavanca em equilíbrio na posição horizontal. Aplicando a equação do equilíbrio de forças da barra AB, uma vez que as forças e estão ambas na direção , a única outra força possível, a força exercida pelo apoio em , deve estar também na direção Chamando esta força de , a equação vetorial para essas forças deve ser: . Reescrevendo a equação com os símbolos W, P e F representando o módulo das três forças, seus respectivos sentidos são tomados a partir dos sentidos das flechas na figura, de forma que: Logo, . Para aplicar a segunda condição para o equilíbrio, vamos determinar os momentos das forças em torno do ponto em relação a um eixo que aponta para fora da tela (ou do papel, caso seja uma cópia de impressão em papel). Se considerarmos como a origem de um sistema de coordenadas com o eixo positivo apontando à direita do ponto B, a direção positiva como a direção dada pelo vetor , então o sentido positivo de aponta na direção normal para fora da tela ou do papel, como dada pela convenção de sistemas de eixos de mão direita. O momento de em torno de é , já que a rotação que seria gerada por estaria no sentido anti-horário, e o vetor momento apontaria na direção positiva de O momento de em torno de é , já que este está no sentido horário; o momento de em torno de é zero. Todos os momentos estão no sentido de positivo, de forma que aplicaremos as condições para o equilíbrio de momentos: Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 16 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos ou, usando apenas as componentes, temos: , de modo que, finalmente, temos: As distâncias e são chamadas de braços de alavanca das respectivas forças e . Assim, no caso de uma alavanca, e estão na razão inversa de seus braços de alavanca. Colocando-se o fulcro mais próximo a , deveremos precisar de uma força menor para erguer . O fulcro pode ser colocado em qualquer ponto ao longo da barra e as posições de e podem ser movidas de forma a obter quase que qualquer resultado desejado consistente com a aproximação que a barra permanece um corpo rígido. Muitas ferramentas comuns são aplicações do princípio da alavanca, como pode ser visto a partir da análise do uso da tesoura, do alicate, do cortador de unhas e do quebra-nozes. Exemplo 2: Uma barra de aço de 5 ft (pés) de comprimento é suportada em suas duas terminações, conforme mostrada na Figura 13. Um peso de 160 lbf (libras-força) é colocado a 2 ft (pés) da extremidade A. Desprezando o peso da barra, determine as forças exercidas pelos suportes. Solução: As forças atuando sobre a barra de aço são mostradas na Figura 13. Figura 13: Figura mostrando uma barra de aço e um peso sobre ela e as forças atuando em suas extremidades. As forças exercidas pelos suportes são apresentadas como e . A partir da condição de equilíbrio, obtemos: Aplicando a segunda condição para o equilíbrio, ficamos com a liberdade de Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 17 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos escolher qualquer eixo de rotação. Vamos escolher um eixo que passa através do ponto A dirigido para a normal que sai da tela (ou do papel, caso se faça uma cópia impressa). Seguindo o exemplo prévio, definimos esta como a direção positiva. A soma dos momentos de todas as forças em torno de A é zero, produzindo: a partir da qual: Substituindo esta na primeira equação resulta: Este exemplo realmente representa a solução de uma classe de muitos problemas em Estática. Se a linha AB representa uma simples ponte, então FA e FB representam as forças exercidas pelos piers da ponte, e resolvemos o problema da carga suportada pelos piers sob uma distribuição particular de cargas. Se a linha AB representa o chassi de um caminhão, como bem poderia ser com a substituição de números um pouco diferentes para a distância e peso, então poderia representar o peso do motor e as duas forças poderiam representar a carga suportada pelos pneus da frente e de trás. Exemplo 3: Um bastão de 8 ft de comprimento e que pode ser considerado sem peso, é preso a uma parede em uma ponta, como é mostrado na Figura 14a. Para suportar o bastão horizontalmente, uma corda de 10 ft de comprimento é esticada, puxando a ponta de fora do bastão para cima até chegar à parede a uma distância de 6 ft acima do pino em que o bastão está preso. Encontre a tensão na corda e a força exercida pelo pino sobre o bastão. Figura 14: Uma barra suportando um peso é presa por uma corda em (a); em (b), está representado o DCL deste sistema. Observemos que estamos tratando do equilíbrio de um corpo rígido, isto é, de um bastão. A partir das dimensões dadas, trata-se de um triângulo retângulo 3- 4-5, e o ângulo ACD é de 37°. Vamos isolar o bastão AC e rotular todas as forças Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 18 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos atuando sobre ele, assim como é apresentado na Figura 14b. Uma vez que não sabemos nem o módulo nem a direção da força exercida pelo pino em A, iremos rotular também as componentes dessa força como e e desenhá-las nos sentidos em que esperamos que essas forças atuem. Embora conheçamos a direção da tensão na corda, é mais conveniente trabalhar em termos das componentes da tensão e . As forças sobre o bastão são , , , e , cujos símbolos sem as flechas representam os módulos das forças, as direções sendo dadas no diagrama. Seguindo tal procedimento, se uma das forças se mostra negativa para a solução do problema, a direção da força particular será oposta àquela mostrada na figura. Nós aplicaremos na forma de componentes a equação para o balanço de forças para o equilíbrio translacional de um corpo rígido: Já que e são componentes de uma força podemos escrever: Neste estágio, temos três equações e quatro incógnitas, , , e . Desta forma, necessitamos de uma relação adicional entre essas quantidades para obter a solução do problema. A segunda condição de equilíbrio, a condição dos momentos, fornece a relação necessária. Mais uma vez, a direção positiva é mantida, apontando para fora da tela (ou do papel). O eixo de rotação será tomado na direção e a localização do eixo de rotação será escolhida passando pelo pino A. As linhas de ação de todas as forças , e passam pelo pontoA; consequentemente, essas forças não produzem torque em torno do eixo que passa por A. Foi por essa razão que o ponto A foi escolhido para a localização do eixo de rotação e não porque o pino estava localizado em A. O ponto C teria sido igualmente uma boa escolha para a localização do eixo de rotação. Substituindo na dos momentos em torno do eixo que passa por A, obtemos: Logo, Com este resultado, o problema inteiro é reduzido a manipulações algébricas. Da relação entre as tangentes, obtemos: Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 19 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos Usando as equações para o equilíbrio de forças e de momentos no eixo , encontramos: ou E das mesmas equações para , encontramos: Por conseguinte, a tensão na corda T possui o módulo: A direção e sentido de são conhecidos a partir da declaração do problema. O módulo da força no pino A é dado por: a direção da força pode ser definida em termos do ângulo que ela faz com a barra considerada como eixo e, assim, Interações A forma com que os objetos interagem mecanicamente é pela transmissão de uma força ou um conjunto de forças. Se quisermos apresentar o efeito que um corpo B exerce sobre outro corpo A, no caso mais geral, podemos esperar que uma força, ou um momento, será equivalente a um sistema complexo inteiro de forças e momentos. A interação mais geral entre dois corpos requer o conhecimento de: três números em duas dimensões (duas componentes da força e uma componente do momento); ou seis números em três dimensões (três componentes da força e três componentes do momento). É comum que os objetos não interajam da forma a mais geral possível e, com isto, menos números serão necessários. Algumas das formas mais comuns em Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 20 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos que os objetos mecânicos interagem, pelo menos de forma idealizada, serão descritas a seguir. Movimento Vinculado e Movimento Livre Um princípio geral das forças de interação e dos momentos diz respeito aos vínculos "geométricos". Onde quer que um movimento A seja causado ou evitado por B há uma força correspondente mostrada no ponto de interação sobre o DCL de A. Similarmente, se B causa ou evita rotação há um momento mostrado sobre o DCL de A no ponto da interação. O inverso também é verdadeiro. Muitos tipos de artefatos de acoplamentos mecânicos são, na realidade, projetados para permitir o movimento. Se um acoplamento permite movimento livre em dada certa direção (diz-se que possui um grau de liberdade), então o DCL não apresenta força naquela direção. Se um acoplamento permite rotação livre em torno de um eixo, então o DCL não apresenta momento em torno daquele eixo. Poderíamos pensar em cada ponto do acoplamento como tendo uma variedade de tarefas a fazer. Para cada possível grau de liberdade de translação, ou rotação, o acoplamento ou tem de permitir movimento livre ou restringir o movimento. De qualquer forma, o movimento é restringido (ou causado) pela conexão com uma força ou com um momento. O movimento de um corpo A é causado e restringido por forças e momentos que atuam em A. O movimento é livremente permitido pela ausência de tais forças ou momentos. Assim, demonstrando as ideias acima, estão algumas das conexões ou acoplamentos mais comuns. Cortes em Conexões "Rígidas" Algumas vezes o corpo que você irá desenhar em um DCL está preso firmemente a outro corpo. A Figura 15 mostra uma estrutura de alavanca presa em um edifício. Figura 15: DCL para o corte de uma alavanca presa a um edifício. O DCL da alavanca tem de mostrar todas as possíveis forças e componentes de Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 21 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos carga. Já que temos usado a notação vetorial para a força e para o momento da força , pode haver ambiguidade acerca de estarmos fazendo uma análise bi ou tridimensional. A gravidade está apontando para baixo, então por que mostramos uma força de reação horizontal em C? Esta é uma questão razoável porque uma análise rápida da Estática mostra que, para um edifício e alavanca estacionários, deve ser vertical. Há duas razões para apresentar a força horizontalmente: 1. A Mecânica inclui tanto Estática quanto a Dinâmica. Em Dinâmica, as forças sobre um corpo não têm resultante zero. De fato, o edifício mostrado na Figura 15 poderia estar sofrendo uma rápida aceleração para a direita, devido a movimentos de um violento terremoto que estaria acontecendo no instante em que foi desenhada a figura; 2. Seja ou não um terremoto, o acoplamento da alavanca ao edifício em C na Figura 16 é seguramente feito para ser rígido e evitar que a alavanca se mova para cima ou para baixo (queda) ou mover-se para os lados e girar em torno do ponto C. Na maior parte da vida dos edifícios, a reação horizontal em C é pequena. Mas, uma vez que a conexão em C evita claramente o movimento horizontal relativo, é, em geral, melhor desenhar uma força de reação horizontal no DCL. Desse modo, o mesmo DCL fica adequado tanto durante os terremotos quanto nos dias normais. Quando sabemos que uma força está caindo a zero, como as forças laterais neste exemplo se tratadas como um problema de Estática, é uma questão de gosto mostrar ou não as forças laterais no DCL. Nosso conselho é “melhor prevenir do que remediar”; se não soubermos que uma força, ou momento, está caindo a zero, mantenha-o no DCL. A situação com conexões rígidas, como a já comentada alavanca, é mostrada de forma mais abstrata em 3D e 2D na Figura 16. Figura 16: DCL para cortes em 2D e 3D de uma conexão rígida presa a um corpo rígido. Cortes em Dobradiças Uma dobradiça, mostrada na Figura 17, permite que se faça rotação e não deixa que se faça translação. Assim, o DCL de um corte de objeto em uma dobradiça não apresenta momento em torno do eixo da dobradiça, mas mostra a força ou Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 22 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos suas componentes que evitam que se faça translação. Figura 17: Representação de um DCL para uma junta com pino. Há alguma ambiguidade acerca de como modelar as juntas com pinos (dobradiças) em três dimensões. A ambiguidade é mostrada em relação à porta com a dobradiça (Figura 18) e discutida a seguir. Figura 18: Representação do DCL para uma dobradiça de porta. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 23 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos Claramente, uma dobradiça, se é o único acoplamento, evita a rotação da porta em torno do eixos e apresentados. Assim, é natural mostrar um momento na direção , , e um momento na direção , . Mas, a dobradiça não evita resistências muito firmes a rotaçõesnessas direções comparadas à resistência da outra dobradiça. Ou seja, até se ambas as dobradiças são modeladas com juntas de bola e soquete (veja a seguir), que não oferecem nenhuma resistência à rotação, a porta ainda não poderá rodar em torno dos eixos e . Quando o vínculo opositor vence Se uma conexão entre objetos evita a translação relativa ou rotação que já é evitada por outra conexão opositora, então a reação da conexão mais vinculativa é sempre desprezada. Até mesmo sem vínculos rotacionais, os vínculos translacionais nas dobradiças A e B restringem a rotação da porta mostrada na Figura 18. Assim, cada uma das duas dobradiças ficam bem modeladas, ou seja, elas nos conduzirão a cálculos razoavelmente acurados de forças e movimentos - por juntas de bola e soquete em A e B. Em 2D, uma junta de bola e soquete é equivalente a uma dobradiça ou junta de pino (com o eixo da dobradiça ortogonal à tela ou à pagina impressa). Fazendo o alinhamento Se duas conexões fazem a mesma tarefa, por exemplo, as duas dobradiças de porta apresentadas na Figura 18, elas podem não fazer a tarefa exatamente da mesma forma. Assim, por exemplo, dobradiças de porta precisam ser bem alinhadas a fim de que a porta se abra de forma livre e evite que se faça grandes forças e momentos em uma batalha entre as fechaduras. Junta de Bola e Soquete Algumas vezes se deseja prender dois objetos de forma a não permitir movimento translacional relativo, porém que seja livre para fazer rotações. O aparelho que é usado para este propósito é chamado de "junta de bola e soquete" (confira a Figura 19). Ele é construído ligando-se rigidamente uma esfera (a bola) a um dos objetos e prendendo rigidamente uma cavidade esférica parcial (o soquete) ao outro objeto. Figura 19: DCL em 2D e 3D para a junta de soquete e bola. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 24 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos A junta do quadril humano é uma junta de bola e soquete (veja Figura 20). Figura 20: Prótese de junta de bola e soquete. Na extremidade superior do osso chamado "fêmur" está a cabeça femural, uma esfera perfeita dentro de uma tolerância de vários centésimos de milímetro. O osso do quadril possui uma capa esférica que de forma muito acurada se ajusta à cabeça femural. A junta do quadril humano não é muito diferente de juntas usinadas de bola e soquete. Suspensões de carros são construídas a partir de um mecanismo tipo “suporte tridimensional”. Algumas das partes necessitam de uma rotação relativa livre em três dimensões e, assim, deve-se usar uma junta chamada "junta de bola", ou "ponta de haste", que é uma junta de bola e soquete. Já que esse tipo de junta permite todas as rotações, nenhum momento é mostrado em um corte de junta de bola e soquete. Uma vez que ela evita translação relativa em todas as direções, a possibilidade de forças em qualquer direção é mostrada. Barbantes, Cordas, Fios Metálicos e Correntes Leves Uma maneira de manter uma torre de rádio para não cair é prendê-la com fios, como mostrado na Figura 21. Se o peso dos fios é pequeno e a resistência do ar é desprezível, é uma prática comum assumir que eles possam transmitir forças somente ao longo da linha que ligam suas pontas. Os momentos não são mostrados porque cordas, barbantes e fios metálicos, em geral, são tão flexíveis que os momentos de enverga são desprezíveis. Para fios metálicos, a tensão é a força puxando para fora em um corte no DCL. Figura 21: Antena de rádio presa por fios de sustentação. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 25 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos Material Complementar Existem muitos sites excelentes na web sobre o assunto Equilíbrio de Corpos Rígidos. A seguir, listaremos alguns que julgamos interessantes: http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/aurb006/9%20- %20Equilibrio%20dos%20Corpos%20Rigidos.pdf http://www.eletrica.ufpr.br/ufpr2/professor/49/TE224/Aula%205%2 0Equil%C3%ADbrio%20de%20um%20corpo%20r%C3%ADgido.pdf E para complementar seus conhecimentos, visite também: http://pt.wikibooks.org/wiki/Introdução_à_Física/Equilíbrio_dos_c orpos_rígidos http://www.mecanicavetorial.com/equilibrio/ http://rived.mec.gov.br/atividades/fisica/EXTERNOS/equiilibriun/a equilibrium.html Depois de ler o material e se informar sobre o assunto, vamos pôr em prática esses conhecimentos nas atividades! Bom trabalho! Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 26 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos Anotações _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 27 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos Referências BEER, F.P. & JOHNSTON JUNIOR, E.R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5ª Edição; São Paulo, Makron Books do Brasil, 2005. HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para Engenharia. 10ª edição; São Paulo, Pearson Prentice Hall , 2006 (e-book). MERIAM, J.L. Mecânica: Estática. 4ª Edição; Rio de Janeiro, LTC – Livros Técnicos e Científicos, 1997. GIACAGLIA, G.E.O. Mecânica Geral. 7ª Edição; São Paulo, Nobel, 1977. www.cruzeirodosul.edu.br Campus Liberdade Rua Galvão Bueno, 868 01506-000 São Paulo SP Brasil Tel: (55 11) 3385-3000 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
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