Estruturas de Concreto Armado 1

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UFRGS – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
Escola de engenharia 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
ENG 01111 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
 
 
 
 
 
 
Prof. Virgínia Maria Rosito d’Avila Bessa 
vichy@ufrgs.br 
sala 308a 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
- NBR 6118/14 - Projeto de estruturas de concreto - Procedimento 
- NBR 7480/08 - Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado - 
 Especificação 
- NBR 8681 - Ações e segurança nas estruturas 
- Montoya, Meseguer e Morán : Hormigón Armado 
- Leonhardt e Mönning : Construções de Concreto vol. 1 a 6 - Interciências 
- Péricles B. Fusco : Estruturas de Concreto, solicitações normais 
- Péricles B. Fusco – Técnica de armar as estruturas de concreto 
- Carvalho e Figueiredo Filho – Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto 
 Armado Segundo a NBR6118:2003 
- José Milton de Araújo – Curso de Concreto Armado vol. 1 a 4 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 2 
I - FUNDAMENTOS DO CONCRETO ARMADO 
 
1- INTRODUÇÃO 
 
O concreto armado é um material composto, constituído por concreto simples e 
barras de aço. Os dois materiais constituintes (concreto e aço) devem agir solidariamente 
para resistir aos esforços a que forem submetidos e devem ser dispostos de maneira a 
utilizar econômica e racionalmente as resistências próprias de cada um deles. 
O emprego de materiais com propriedades adesivas e coesivas, que 
apresentassem resistência às intempéries e pudessem ser utilizados como material de 
construção é muito antigo: os antigos egípcios usavam gesso impuro calcinado e os 
gregos e romanos utilizavam uma mistura de cal, água, pedras e areia. A seguir, 
encontram-se alguns fatos importantes relacionados com o desenvolvimento do concreto 
armado: 
- Império Romano: Emprego de um material de origem vulcânica parecido com o cimento 
pozolânico. O termo cimento vem do termo latino coementum, que designava na velha 
Roma uma espécie de pedra natural de rochedos. 
- 1824: O inglês Aspdin consegue calcinar argila e pedra calcária, obtendo um material 
que, após moído até obter um pó fino, é conhecido hoje como Cimento Portland. 
- 1848: O francês Lambot constrói barcos de argamassa de cimento reforçada com ferro. 
- 1861: O francês Monier fabrica vaso de flores de concreto com armadura de arame. 
- 1902: O alemão Mörsch formula uma Teoria Científica sobre o dimensionamento de 
peças de concreto armado. Os conceitos desenvolvidos por Mörsch são válidos ainda 
hoje. 
Simplificadamente, para a composição do concreto armado, pode-se indicar 
esquematicamente: 
- cimento + água = pasta 
- pasta + agregado miúdo = argamassa 
- argamassa + agregado graúdo = concreto simples 
- concreto simples + barras de aço = concreto armado 
O material concreto armado possui as seguintes propriedades: 
- Elevada resistência à compressão do concreto e elevada resistência tanto à tração 
quanto à compressão do aço. 
- Trabalho conjunto do concreto e do aço, assegurado pela aderência entre os dois 
materiais. 
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- O concreto protege a armadura de oxidação, garantindo a durabilidade da estrutura. O 
concreto proporciona às barras de aço da armadura proteção física (cobrimento) e 
química (ambiente alcalino). 
Já que o concreto possui alta resistência à compressão porém pequena resistência 
à tração, as barras da armadura devem absorver os esforços de tração que surgem nas 
peças de concreto armado. Portanto, necessariamente, deve ser colocada armadura na 
zona de tração das peças. 
Devido à aderência entre o concreto e o aço, as deformações das barras de aço e 
a do concreto que as envolve devem ser iguais. Tendo em vista que o concreto 
tracionado não pode acompanhar as grandes deformações do aço, o concreto fissura-se 
na zona de tração; os esforços de tração são, então, absorvidos apenas pelo aço. 
 O concreto armado é um material largamente empregado na construção civil por 
apresentar as seguintes vantagens: 
- grande moldabilidade, adaptando-se a qualquer tipo de forma. 
- quando moldado in loco, resultam estruturas monolíticas, hiperestáticas, que favorecem 
a segurança. 
 Como desvantagens do emprego do concreto armado podem-se salientar: 
- Peso próprio alto: 2,5t/m3 = 25KN/m3 
- Dificuldade de reformas e demolições. 
 
 
2- PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 
 
2.1- CONCRETO 
 
 As propriedades do concreto que interessam ao estudo do concreto armado são a 
resistência à ruptura e à deformabilidade, quer sob a ação de variações das condições 
ambientes, quer sob a ação de cargas externas. 
 
 
2.1.1 Resistência à compressão - fc 
 
A resistência à compressão simples é a característica mecânica mais importante 
de um concreto. Geralmente sua determinação se efetua mediante o ensaio de corpos de 
prova, executado segundo procedimentos operatórios normalizados. 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 4 
A resistência do concreto não é uma grandeza determinística, mas está sujeita a 
dispersões cujas causas principais são variações aleatórias da composição, das 
condições de fabricação e da cura. Além destes fatores aleatórios, existem também 
influências sistemáticas como: influência atmosférica (verão/inverno), mudança da origem 
de fornecimento das matérias primas, turmas de trabalho ... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura I-1: Diagrama de frequências. 
 
 A representação das dispersões na determinação da resistência à compressão 
simples do concreto é representada através de um diagrama de frequências, ver Fig. I-1. 
Para um grande número de ensaios, o diagrama de frequências pode ser 
representado por uma curva de distribuição normal ou curva de Gauss. Considerando 
uma distribuição normal, pode-se determinar a média aritmética por 
n
f
 f
n
1
ci
cj
∑
=
 
 
e o desvio padrão por 
 1n
)f(f
 S
n
2
cjci
n
1
−
−
=
∑
 
 
sendo n o número de corpos de prova. 
 
Dado o diagrama de frequências, surge um problema prático: determinar um valor 
abcissa que mede 
a resistência de maior 
frequência 
Sn Sn 
fcj 
frequência 
fci (MPa) 
curva de Gauss 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 5 
que seja representativo da resistência do concreto. 
A média aritmética (fcj) apresenta o inconveniente de não representar a verdadeira 
resistência do concreto na obra, por não levar em conta a dispersão da série de valores. 
Analisando-se dois concretos de mesma resistência média e diferente dispersão, 
concretos 1 e 2 da Fig.I-2, não há dúvida que o mais seguro é aquele de menor 
dispersão, o concreto 1 (possui menos pontos com resistência menor que a média). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura I-2: Curvas de Gauss para diferentes concretos. 
 
Em consequência, o coeficiente de segurança a adotar no cálculo deve ser maior 
para o concreto 2 do que o utilizado para o concreto 1. 
Adotando-se a resistência média, ter-se-á coeficientes de segurança variáveis 
segundo a qualidade de execução do concreto. 
 Para a adoção de um coeficiente de segurança único faz-se necessário o emprego 
da resistência característica. 
 
2.1.2- Resistência característica - fck 
 
Define-se como resistência característica do concreto aquele valor que apresenta 
uma probabilidade de 95% de que se apresentem valores individuais de resistência de 
corpos de prova mais altos do que ele; ou seja, somente 5% de valores menores ou 
iguais a ele. 
A resistência característica é uma medida estatística que leva em consideração 
não só o valorda média fcj como também o coeficiente de variação δ. 
Analisando-se dois concretos de mesmo fcj e dispersões diferentes, concretos 1 e 
2 da Fig. I-2, o concreto mais seguro o de menor δ, concreto 1. Também, analisando-se 
fci 
fcj1 = fcj2 
frequência 
fck1 fck2 
fck3 fcj3 
1 
2 
3 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 6 
dois concretos de mesmo fck e coeficientes de variação distintos, concretos 2 e 3 da Fig. 
I-2, o mais econômico (menor fcj) o de menor δ, o concreto 3. 
Considerando-se uma distribuição normal, a resistência característica é dada por 
 
ncjck S 1,65 - f f = ou ) 1,65 -1( f f cjck δ= 
 
sendo δ = Sn/fcj 
 
 Os concretos podem ser classificados, segundo a NBR 8953, em classes de 
resistências conforme o valor de seu fck. Por exemplo, um concreto C20 é um concreto 
com fck = 20 MPa. 
Segundo a NBR 6118:2014, em estruturas de concreto armado podem ser utilizados os 
concretos do grupo I (C15, C20, C25, C30, C35, C40, C45 e C50) e grupo II (C55, C60, 
C65, C70, C75, C80, C85, C90). A classe C15 pode ser usada apenas em obras 
provisórias ou concretos sem fins estruturais, conforme NBR 8953. 
 
2.1.3- Carregamento de longa duração 
 
A resistência do concreto à compressão é, para cargas de longa duração, inferior 
àquela referente a carregamentos rápidos. Trabalhando-se com uma resistência do 
concreto retirada de ensaios de curta duração, precisa-se afetar o valor assim obtido para 
a resistência característica de um fator redutor. Segundo os ensaios de Rüsch, esta 
redução deve ser de 15%. 
 
2.1.4- Módulo de deformação longitudinal 
 
O módulo de deformação pode ser definido como a derivada da curva tensão-
deformação no ponto em consideração – módulo de deformação tangente. 
Segundo a NBR 6118 item 8.2.8 “quando não forem feitos ensaios, pode-se 
estimar o valor do módulo de deformação inicial usando as expressões”: 
 
 Eci = αE 5600 fck1/2 (MPa) para fck de 20MPa a 50 MPa 
 
 Eci = 21,5x103 αE (fck /10 + 1,25)1/3 (MPa) para fck de 55MPa a 90 MPa 
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Sendo: 
αE = 1,2 para basalto e diabásico 
αE = 1,0 para granito e gnaisse 
αE = 0,9 para calcário 
αE = 0,7 para arenito 
 
O módulo de deformação secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, 
especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites 
de serviço, deve ser calculado pela expressão: 
 
Ecs = αi Eci 
 
sendo αi = 0,8 + 0,2 (fck /80) ≤ 1,0 
 
Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal 
pode ser adotado um módulo único, à tração e à compressão, igual ao módulo de 
deformação secante (Ecs). 
 
2.1.5- Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal (item 8.2.9) 
 
Para tensões de compressão menores que 0,5fc e tensões de tração menores que 
fct pode-se considerar ν = 0,2 e Gc = Ecs / 2,4. 
 
2.1.6- Diagrama tensão-deformação - Compressão (NBR 6118 item 8.2.10) 
 
Visando estabelecer um critério comum ao dimensionamento, busca-se, para as 
diferentes resistências à compressão com que se trabalha na prática, um diagrama ideal, 
matematicamente definido. Para análises no estado limite último pode ser empregado o 
diagrama parábola retângulo da Fig. I-3. 
 
 O trecho curvo fica definido por 
 -1 -1 f 0,85 
c2
c
cd














=
n
c ε
ε
σ 
 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura I-3: Diagrama tensão – deformação. 
 
Para concretos do grupo I ( C20 a C50): 
εc2 = 2‰ εcu = 3,5‰ n = 2 
 
Para concretos do grupo II (C55 a C90): 
 εc2 = 2‰ + 0,085‰ (fck -50)0,53 
 εcu = 2,6‰ + 35‰ [(90 - fck) / 100]4 
n = 1,4 + 23,4 [(90 - fck) / 100]4 
 
2.1.7- Resistência à tração - fct (NBR 6118 item 8.2.5) 
 
 Na falta de ensaios, o valor de fct médio ou característico pode ser avaliado por 
meio das equações seguintes: 
 
Para concretos do grupo I ( C20 a C50): fct,m = 0,3 fck2/3 (MPa) 
 
Para concretos do grupo II (C55 a C90): fct,m = 2,12 ln (1 + 0,11 fck) (MPa) 
 
e os valores inferior e superior por: 
 fctk,inf = 0,7 fctm fctk,sup = 1,3 fctm 
 
2.1.8- Características Reológicas 
 
REOLOGIA: é o ramo da mecânica que estuda a evolução de deformações de um 
material, produzidas por causas tencionais ao longo do tempo. 
 
 
σc 
0,85fcd 
εcu 
 
εc2 
εc 
Trecho curvo 
εcu → ruptura 
εc2→ tensão máxima 
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a) RETRAÇÃO/EXPANSÃO 
 
A retração é uma deformação independente do carregamento e devida à variação 
de umidade do concreto, na tendência a permanecerem em equilíbrio a umidade do 
concreto e a umidade do meio exterior. No processo da retração, a água é inicialmente 
expulsa das fibras externas o que gera deformações diferenciais entre a periferia e o 
miolo, gerando tensões internas capazes de provocar fissuração do concreto. 
 
b) FLUÊNCIA OU DEFORMAÇÃO LENTA (NBR 6118 item 8.2.11) 
 
A fluência é uma deformação que depende do carregamento; é plástica, apenas 
uma pequena parcela é recuperada. Constata-se, na prática, que a deformação de uma 
peça de concreto armado é maior em um tempo t que àquela observada inicialmente, 
mantendo-se o mesmo carregamento. Explicação: devido à deformação inicial, imediata, 
ocorre uma redução de volume da peça, provocando deslocamento de água existente no 
concreto para regiões onde sua evaporação já tenha ocorrido. Isto desencadeia um 
processo, ao longo do tempo, análogo ao da retração, verificando-se o crescimento da 
deformação inicial até um valor máximo no tempo infinito. 
 
c) VARIAÇÃO DE TEMPERATURA (NBR 6118 item 8.2.3) 
 
Supõe-se que as variações de temperatura sejam uniformes na estrutura, salvo 
quando a desigualdade dessas variações, entre partes diferentes da estrutura, seja muito 
acentuada. O coeficiente de dilatação térmica do concreto armado é considerado igual a 
10-5/°C. 
 
2.2- AÇO 
 
2.2.1 Categorias 
 
Segundo a NBR 6118 item 8.3 “nos projetos de estruturas de concreto armado 
deve ser utilizado aço classificado pela NBR 7480 com o valor característico da 
resistência de escoamento nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60. Os diâmetros e seções 
transversais nominais devem ser os estabelecidos na NBR 7480”. 
A nomenclatura é função do valor característico da tensão de escoamento fyk. Por 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 10 
exemplo, para o aço CA-50 a tensão de escoamento vale fyk = 50 kN/cm2 = 500 MPa. 
Segundo a NBR 7480:2008, os aços podem ser classificados como barras (CA-50 
e CA-25) e fios(CA-60). 
As barras são obtidas por laminação a quente, sem necessidade de posterior 
deformação a frio, com escoamento definido caracterizado por patamar no diagrama 
tensão-deformação e alta ductilidade. Já os fios são obtidos a partir de fio-máquina por 
trefilação ou laminação a frio. 
Os diâmetros e seções transversais estabelecidos pela NBR 7480 são dados na 
Tabela I-1. 
 
2.2.2- Tipo de superfície 
 
 Segundo o tipo de superfície, as barras da armadura podem ser classificadas em: 
lisas (CA-25), entalhadas (CA-60) e nervuradas (CA-50). As nervuras melhoraram as 
condições de aderência entre aço e concreto. 
 Na Tabela I-2, encontram-se os coeficientes de conformação superficial para cada 
tipo de superfície. 
 
TabelaI.2 – Coeficiente de conformação superficial - η1 
NBR6118 – item 8.3.2 
Tipo de barra ηηηη1 
Lisa 1,0 
Dentada 1,4 
 Alta aderência 2,25 
 
 
2.2.3- Diagramas tensão – deformação (NBR 6118 item 8.3.6) 
 
 Para análises no estado limite último, permite-se a utilização do diagrama 
simplificado da Fig. I-4, material elasto-plástico perfeito, tanto para as barras como para 
os fios. No diagrama dado pela Fig. I-4, existem dois trechos onde: 
 
 
 ydf =sd %10 yd
 
sd csE =sd sd 0
0 σεε
εσεε
→≤≤
→≤≤
sd
yd
 
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Figura I-4: Diagrama tensão-deformação. 
 
O módulo de elasticidade é dado por: 
 
 
f
=f MPa 102,1 =E 
f
 = E = tg 
s
yk
yd
5
cs
yd
yd
cs γ
→×→
ε
ϕ
 
 
 A deformação limite dada no diagrama não corresponde à ruptura do aço. Na 
tração (10‰) é uma limitação para evitar deformação excessiva e na compressão (εcu) é 
devida ao funcionamento conjunto com o concreto. 
ϕ 
fyd 
σs 
εyd 10‰ 
patamar 
εs εyd 
fyd 
εcu 
 
 
 
TABELA I-1 - ÁREA DA SEÇÃO DE ARMADURA AS (cm2) 
 
BITOLAS PADRONIZADAS (NBR7480:2008) 
BITOLA φ(mm) Número de fios ou barras 
FIOS 
CA-60 
BARRAS 
CA-50 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
2,4 0,05 0,09 0,14 0,18 0,23 0,27 0,32 0,36 0,41 0,45 
3,4 0,09 0,18 0,27 0,36 0,45 0,54 0,64 0,73 0,82 0,91 
3,8 0,11 0,23 0,34 0,45 0,57 0,68 0,79 0,91 1,02 1,13 
4,2 0,14 0,28 0,42 0,55 0,69 0,83 0,97 1,11 1,25 1,39 
4,6 0,17 0,33 0,50 0,66 0,83 1,00 1,16 1,33 1,50 1,66 
5,0 0,20 0,39 0,59 0,79 0,98 1,18 1,37 1,57 1,77 1,96 
5,5 0,24 0,48 0,71 0,95 1,19 1,43 1,66 1,90 2,14 2,38 
6,0 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 
 6,3 0,31 0,62 0,94 1,25 1,56 1,87 2,18 2,49 2,81 3,12 
6,4 0,32 0,64 0,97 1,29 1,61 1,93 2,25 2,57 2,90 3,22 
7,0 0,38 0,77 1,15 1,54 1,92 2,31 2,69 3,08 3,46 3,85 
8,0 8,0 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 
9,5 0,71 1,42 2,13 2,84 3,54 4,25 4,96 5,67 6,38 7,09 
10,0 10,0 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 
 12,5 1,23 2,45 3,68 4,91 6,14 7,36 8,59 9,82 11,04 12,27 
 16,0 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 
 20,0 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 
 22,0 3,80 7,60 11,40 15,21 19,01 22,81 26,61 30,41 34,21 38,01 
 25,0 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 
 32,0 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 
 40,0 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66 
 
 
 
II - BASES DO DIMENSIONAMENTO 
 
1- AÇÕES 
 
1.1- Ações a considerar 
 
 Embora exista uma norma brasileira de ações e segurança nas estruturas, NBR 
8681, a NBR 6118, no capítulo 11, altera alguns itens desta norma. Portanto, o texto 
apresentado a seguir foi retirado do capítulo 11 da NBR 6118. 
Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que 
possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-
se em conta os possíveis estados limites últimos e os de serviço. As ações a considerar 
classificam-se de acordo com a NBR 8681 em: permanentes, variáveis e excepcionais. 
 
1.1.1 Ações permanentes 
 
Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes 
durante toda a vida da construção. Também são consideradas como permanentes as 
ações que aumentam no tempo, tendendo a um valor-limite constante. As ações 
permanentes devem ser consideradas com seus valores representativos mais 
desfavoráveis para a segurança. 
 
Ações permanentes diretas: são constituídas pelo peso próprio da estrutura e pelos 
pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes. Consideram-se 
como permanentes os empuxos de terra e outros materiais granulosos quando forem 
admitidos não removíveis. 
 
Ações permanentes indiretas: são constituídas pelas deformações impostas por: 
retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e 
protensão. 
 
1.1.2 Ações variáveis 
 
Ações variáveis diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas para o 
uso da construção, pela ação do vento e da chuva, devendo-se respeitar prescrições 
feitas por normas brasileiras específicas. 
 
As cargas acidentais devem ser dispostas nas posições mais desfavoráveis para o 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 14 
elemento estudado, ressalvadas as simplificações permitidas por normas brasileiras 
específicas e correspondem a: 
- cargas verticais de uso da construção; 
- cargas móveis, considerando o impacto vertical; 
- força longitudinal de frenação ou aceleração; 
- vento; 
- água. 
 
Ações variáveis indiretas: são constituídas por variações uniformes e não uniformes de 
temperatura e ações dinâmicas. 
 
1.1.3 Ações excepcionais 
 
No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos 
efeitos não possam ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações 
excepcionais com os valores definidos, em cada caso particular, por normas brasileiras 
específicas.” 
 
1.2 Valores das ações 
 
1.2.1 Valores característicos 
 
Os valores característicos Fk das ações são estabelecido em função da 
variabilidade de suas intensidades. 
 
1.2.2 Valores representativos 
 
As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser: 
a) os valores característicos 
b) valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações 
excepcionais; 
c) valores reduzidos, em função da combinação de ações. 
 
1.2.3 Valores de cálculo 
 
Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores 
representativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação γf. 
 
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2- ESTADOS LIMITES 
 
Uma estrutura, ou parte dela, é considerada inadequada à sua finalidade quando 
ela atinge um estado particular, dito estado limite, no qual ela não atende critérios 
condicionantes ao seu comportamento ou ao seu uso. O objetivo do cálculo de uma 
estrutura em concreto armado é o de garantir, a um só tempo, estabilidade, conforto e 
durabilidade. 
 
2.1- Estados Limites Últimos (ELU) 
 
Segundo a NBR 6118 item 3.2.1 “Estado limite relacionado ao colapso, ou a 
qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da 
estrutura.” 
Corresponde ao máximo da capacidade portante, podendo originar-se de: 
- perda de estabilidade (incapacidade de absorver reações de apoio ou forças de ligação 
em vínculos internos) 
- ruptura de seções críticas 
- transformação da estrutura em mecanismos (ruptura após plastificação). 
A capacidade portante da estrutura é obtida com as cargas majoradas e as 
resistências dos materiais minoradas. 
Considera-se que uma peça tenha atingido sua capacidade limite quando na fibra 
mais comprimida de concreto o encurtamento é igual ao valor último convencional (εc2 ou 
εcu) ou quando na armadura tracionada a barra de aço mais deformada tem o 
alongamento igual ao valor último convencional (εs = 10‰). 
 
2.2- Estados Limites de Serviço (ELS) 
 
Impossibilidade de utilização da estrutura visto que a mesma não mais apresenta 
condições necessárias de conforto e durabilidade. Origina-se de: 
- deformações excessivas (ELS-DEF) 
- fissuração excessiva (ELS-F) e (ELS-W) 
- vibração (ELS-VE) 
 
 
 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 16 
3- VALORES DE CÁLCULOExiste a necessidade da utilização de coeficientes de segurança, ou coeficientes 
de ponderação, pelo fato de, durante o projeto de uma estrutura, estarem envolvidos 
fatores tais como: incerteza dos valores reais das resistências dos materiais; erros na 
geometria da estrutura (desaprumo de pilares...); incerteza dos valores das cargas 
consideradas; simplificação dos métodos de cálculo... 
 A NBR 6118 recomenda a utilização de coeficientes de ponderação parciais, que 
permitem atribuir a cada grandeza que influencia o comportamento das estruturas um 
coeficiente de majoração ou minoração separado. 
 
3.1 Cargas (NBR 6118 item 11.7) 
 
Para obter o valor de cálculo das ações nas combinações normais, majora-se o 
valor representativo das ações, obtendo-se a denominada ação de cálculo (O sub-índice 
d vem do inglês: design) 
 
 Fd = γf Fk → Fd = 1,4 Fk 
 
3.2 Resistência dos materiais (NBR 6118 item 12.4) 
 
Para obter a resistência de cálculo dos materiais, nas combinações normais, 
minora-se o valor característico das resistências, conforme: 
 concreto : 
 
4,1
f
 = f ckcd ; aço : 15,1
f
 = f ykyd 
 
 
4- ESTÁDIOS DE FLEXÃO 
 
Ensaiando-se uma peça de concreto armado à flexão, sob a ação de carga 
gradativamente crescente, observa-se que as tensões passam por 3 fases distintas 
durante o aumento da carga, os denominados ESTÁDIOS DE FLEXÃO. 
 A Figura II–1 representa o diagrama momento-curvatura ou tensão-deformação de 
uma peça de concreto armado. Nela estão demarcados os possíveis estádios de flexão. 
 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura II-1: Estádios de flexão. 
 
 
ESTÁDIO I 
ESTÁDIO Ia : Corresponde ao início do ensaio, onde as solicitações são muito pequenas 
e o concreto se mantém intacto na zona tracionada; ou seja, o concreto resiste à tração. 
O diagrama é uma reta. A peça funciona no regime elástico, obedecendo a Lei de Hooke. 
ESTÁDIO Ib: Aumentando a carga de ensaio, admite-se que antes de atingir o estádio II 
as tensões de tração passam por um estágio onde é ultrapassada a fase linear-elástica, 
sem ruptura do concreto. Comportamento não linear na zona tracionada com diagrama 
curvo. 
O projeto no estádio I não é econômico, pois para não ser ultrapassada a tensão 
admissível do concreto à tração (que é muito pequena), devem-se ter dimensões muito 
grandes para a seção transversal. O dimensionamento é feito empregando-se 
diretamente as expressões da Resistência dos Materiais aplicadas à seção 
homogeneizada, sem desprezar a resistência do concreto à tração. 
 
ESTÁDIO II 
Corresponde à fase em que a resistência à tração do concreto foi ultrapassada, 
mas estando o concreto ainda no regime elástico linear na zona comprimida. As fissuras 
ΙΙΙ 
ΙΙ 
Ιb 
Ιa 
0 
σc 
fck 
ftk 
εr ε 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 18 
são pequenas (capilares) e o concreto não resiste mais à tração. 
 
ESTÁDIO III 
Corresponde a fase onde o concreto comprimido não obedece mais a Lei de 
Hooke, apresentando comportamento plástico (não linearidade na zona comprimida). 
Com o aumento da carga, chega-se a ruptura final da peça. As cargas são consideráveis, 
as fissuras aumentam e a deformação da armadura cresce de forma não linear em 
relação à solicitação devido ao escoamento. 
 
 
ESTÁDIO III →→→→ ESTADO LIMITE ÚLTIMO →→→→ DIMENSIONAMENTO 
 
 
5 - HIPÓTESES BÁSICAS DE CÁLCULO DE PEÇAS DE CONCRETO ARMADO 
SUBMETIDAS A SOLICITAÇÔES NORMAIS NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
5.1- Hipóteses 
 
Segundo a norma brasileira NBR 6118 item 17.2, uma seção de concreto armado, 
submetida a solicitações normais, alcança o Estado Limite Último, Estádio III, por 
esmagamento do concreto na zona comprimida ou por deformação plástica excessiva do 
aço, limitada em εs = 10‰ no alongamento. 
 Solicitações normais são esforços solicitantes que originam tensões normais sobre 
a seção transversal, ou seja, momento fletor e esforço normal. 
O estudo de seções de concreto armado no Estado Limite Último de Resistência é 
feito com base nas seguintes hipóteses: 
- Manutenção da seção plana (hipótese de Bernoulli): as deformações normais 
específicas são, em cada ponto da seção transversal, proporcionais à sua distância à 
linha neutra. 
- Solidariedade perfeita entre os materiais: a deformação da armadura é igual a do 
concreto adjacente. 
- A resistência do concreto à tração é desconsiderada. 
 
 
 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 19 
5.2- Notação 
 
 
 Na Figura II-2 está representada a seção transversal retangular de uma viga de 
concreto armado onde pode-se definir: 
- b ou bw = largura da seção transversal 
- h = altura da seção transversal 
- As = área das barras da armadura longitudinal tracionada 
- As’= área das barras da armadura longitudinal comprimida 
- d = altura útil – distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada (As) até a 
fibra mais comprimida do concreto 
- d’= distância entre o centro de gravidade da armadura comprimida (As’) até a fibra mais 
comprimida do concreto 
- x = distância da linha neutra até a fibra mais comprimida – profundidade da LN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura II-2: Seção transversal. 
 
5.3 - Relações Constitutivas 
 
5.3.1 – Concreto 
 
Na determinação da resultante dos esforços de compressão no concreto, de 
acordo com a NBR 6118 item 17.2.2.e), pode-se fazer a substituição do diagrama tensão 
- deformação do tipo parábola retângulo (Fig. II-3 (b)) por um diagrama retangular (Fig.II-
3(c)). Esta substituição pode ser feita de forma segura considerando que a altura da zona 
comprimida vale y = λx, onde o valor de λ pode ser tomado igual a: 
 
- λ=0,8 para fck ≤ 50MPa 
- λ=0,8 – (fck – 50)/400 para fck ≥ 50MPa 
 
 b 
h d 
d’ As’ 
As 
x 
LINHA NEUTRA 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 20 
e que a tensão de compressão no concreto vale (ver Fig. II-3(c)): fc = αc fcd se a largura 
da seção não diminui a partir da linha neutra para a borda comprimida e fc = 0,9 αc fcd 
caso contrário (seções circulares, triangulares, etc). αc é definido por: 
 
 - αc = 0,85 para fck ≤ 50MPa 
 - αc = 0,85 [1- (fck – 50)/200] para fck ≥ 50MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) (c) 
 
Figura II-3: Relação Constitutiva para o concreto: (a) Variação das deformações; 
 (b) Diagrama retangular parábola Retângulo; (c) Diagrama retangular. 
 
 
Na Fig. II-3 apresenta-se o diagrama das deformações (hipótese de Bernoulli) e os 
diagramas parábola retângulo e retangular para o concreto comprimido. Cabe salientar 
que a resistência do concreto aparece multiplicada por 0,85, mesmo no diagrama 
parábola-retângulo b), devido ao efeito Rush. 
 
 
5.4 - Domínios de deformação 
 
A Figura II-5 mostra as possíveis configurações últimas do diagrama de 
deformações específicas ao longo da seção transversal de uma peça de concreto armado 
sujeita à Solicitações Normais. 
 
Define-se domínios de deformação conforme a natureza da ruptura da seção 
(NBR 6118 item 17.2.2.g). 
 
 y = λx 
0,85fcd αcfcd/0,9αcfcd 
x 
d 
ε1 
εc 
LN 
As 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura II-5: Domínios de deformação. 
 
5.4.1- Ruptura por alongamento plástico excessivoda armadura de tração 
 
- Reta a: Tração uniforme; 
 
- Domínio 1: Tração não uniforme. O estado limite último é caracterizado pelo 
escoamento do aço (εs = 10‰); 
 
- Domínio 2: Flexão Simples ou Composta sem ruptura à compressão do concreto (εc ≤ 
εcu). O estado limite último é caracterizado pelo escoamento do aço (εs = 10‰). A linha 
neutra corta a seção. 
 
5.4.2 - Ruptura do concreto comprimido (sem grandes deformações) 
 
- Domínio 3: Flexão Simples (seção subarmada) ou Composta com ruptura à compressão 
do concreto (εc = εcu) e com escoamento do aço (εs ≥ εyd ). A linha neutra corta a seção. 
 
- Domínio 4: Flexão Simples (seção superarmada) ou Composta com ruptura à 
compressão do concreto (εc = εcu) e sem escoamento do aço (εs < εyd ). A linha neutra 
corta a seção. A ruptura da peça ocorre de forma frágil, sem aviso, pois o concreto 
rompe antes que a armadura tracionada se deforme excessivamente. 
 
εcu 0 
h d 
d’ 
10‰ 
x23 
xlim 
εyd 
 3 
 4 
 2 
As’ 
As 
(encurtamento) 
(alongamento) 
LN 
LN: linha neutra 
0 
a 
a 
B 
1 
5 
εs 
εc 
εc2 
b 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 22 
- Domínio 4a: Flexão Composta com armaduras comprimidas e ruptura à compressão do 
concreto (εc = εcu). A linha neutra corta a seção na região de cobrimento da armadura 
menos comprimida. 
 
- Domínio 5: Compressão não uniforme, sem tração. A linha neutra não corta a seção. 
Neste domínio, a deformação última do concreto é variável, sendo igual a εc = εc2 e na 
compressão uniforme e εc = εcu na flexo-compressão (linha neutra tangente à seção). 
 
- Reta b: Compressão uniforme 
 
 As peças projetadas no DOMÍNIO 3 são as que melhor aproveitam as resistências 
dos materiais; portanto, são as mais econômicas. 
 
5.5 Ductilidade em vigas (item 17.2.3) 
 
 Nas vigas é necessário garantir boas condições de ductilidade respeitando os 
limites da posição da linha neutra (x/d), sendo adotada, se necessário, armadura de 
compressão. A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de 
valores menores da posição da linha neutra (x), que estejam nos domínios 2 ou 3, não 
conduz a elementos estruturais com ruptura frágil. A ruptura frágil está associada a 
posições da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão. 
 
Os limites para a condição de ductilidade estão estabelecidos no item 14.6,4.3 da 
NBR 6118, que diz “quanto menor for a relação x/d, tanto maior será a capacidade de 
rotação dos elementos estruturais”. Assim, para proporcionar o adequado comportamento 
dúctil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes 
limites: 
- x/d ≤ 0,45 para concretos com fck ≤ 50 MPa 
- x/d ≤ 0,35 para concretos com fck > 50 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 23 
III- FLEXÃO SIMPLES 
 
1- EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÃO 
 
As deformações na flexão simples correspondem aos domínios de deformação 2, 
3 e 4 (ver Fig. II-5). Os valores de x que limitam estes domínios podem ser obtidos 
facilmente das equações de compatibilidade de deformações, conforme a Fig. III-1. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura III-1: Deformação na flexão. 
 
 A expressão que relaciona a deformação na fibra mais comprimida do concreto εc 
com a deformação na armadura tracionada ε1 (ou no concreto no entorno desta 
armadura), pode ser colocada como 
 
 
 x- d
 =
x
c 1εε
 
 
sendo x a distância da linha neutra até a fibra mais comprimida do concreto e d a 
distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada (As) até a fibra mais 
comprimida do concreto. 
 
1.1- DOMÍNIO 2 
 
Para o domínio 2, o estado limite último é atingido pela deformação plástica 
excessiva do aço (ε1 = 10‰) sem ruptura do concreto (0 < εc < εcu). Substituindo-se os 
valores de ε1 e εc na equação de compatibilidade das deformações, determina-se o 
intervalo de valores possíveis de x 
 
0 ≤ x ≤ x23 = 0,259 d para fck ≤ 50 MPa 
0 ≤ x ≤ x23= [εcu / (εcu + 10‰)] d para fck > 50 MPa 
εc 
x 
d Md 
ε1 
LN 
d-x 
As 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 24 
sendo x23 o limite entre os domínios 2 e 3, que varia com o valor do fck para os concretos 
do grupo II. 
 
1.2- DOMÍNIO 3 
 
 No domínio 3, a ruptura do concreto (εc = εcu) ocorre simultaneamente com o 
escoamento do aço (10‰ > ε1 > εyd), ver Fig. II-5. O intervalo de valores possíveis de x é 
determinado substituindo-se os valores de ε1 e εc na equação de compatibilidade das 
deformações, resultando 
 
x23 < x < xlim 
 
O valor de xlim, além de ser dependente do valor de εcu que depende do valor do fck, 
também é dependente do valor de εyd (deformação do aço relativa ao início do patamar 
de escoamento, Fig. II-4, que depende da tensão de escoamento do aço fyd). Desta 
forma, para cada de tipo de concreto e de aço ter-se-á um valor de xlim 
 
 d 
E +f
E 
 = x 
E
f
 
scuyd
scu
lim
s
yd
yd ε
ε
ε →= 
 
sendo xlim o limite entre os domínios 3 e 4. 
 
Esta é uma situação desejável, pois há o aproveitamento integral dos dois 
materiais sem o risco de ruptura brusca da peça. 
 
1.3- DOMÍNIO 4 
 
No domínio 4 o concreto rompe (εc = εcu) sem que o aço escoe (ε1 < εyd). O 
intervalo de valores possíveis de x é determinado substituindo-se os valores de ε1 e εc na 
expressão de compatibilidade de deformações, resultando 
 
 xlim < x ≤ d 
Esta situação deve ser evita, pois, além de não ser econômica (pouco 
aproveitamento do aço), a peça rompe sem que ocorram grandes deformações. 
 
 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 25 
2- ARMADURAS LONGITUDINAIS MÁXIMAS E MÍNIMAS 
 
A NBR6118, item 17.3.5.2.1, diz: 
 
 “A ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, 
deve ser evitada considerando-se, para o cálculo das armaduras, um momento mínimo 
dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concreto 
simples, supondo que a resistência à tração do concreto seja dada por fctk,sup , devendo 
também obedecer às condições relativas ao controle da abertura de fissuras. 
A especificação de valores máximos para as armaduras decorre da necessidade 
de se assegurar condições de ductilidade e de respeitar o campo de validade dos ensaios 
que deram origem às prescrições de funcionamento do conjunto aço-concreto.” 
 
2.1- ARMADURA MÍNIMA 
 
O valor da armadura mínima visa prevenir uma situação que pode ocorrer quando 
as dimensões da seção transversal (seja por motivos construtivos ou arquitetônicos) são 
maiores do que aquelas que seriam necessárias pelo dimensionamento devido à 
solicitação. Estas peças, quando submetidas às cargas de serviço, funcionam no Estádio 
I; ou seja, a tensão máxima na região tracionada não atinge o valor característico da 
resistência à tração. Um excesso de carga pode fazê-las passar do Estádio I para o 
Estádio II. Para evitar a possibilidade de uma ruptura brusca do bordo tracionado quando 
da passagem do Estádio I para o II, deve-se colocar junto ao bordo tracionado uma 
armadura mínima capaz de assegurar à peça uma resistência à flexão no Estádio II igual 
àquela que possuía no Estádio I. 
A armadura mínima de tração deve ser determinada, segundo a NBR6118 item 
17.3.5.2.1, pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela 
expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta 0,150 %:Md,mín = 0,8W0 fctk,sup 
 
onde W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo à fibra 
mais tracionada. 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 26 
O dimensionamento para Md,mín deve ser considerado atendido se forem 
respeitadas as taxas mínimas de armadura (ρmin) da tabela a seguir. Assim, a armadura 
mínima pode ser determinada por: 
 
 As,min = ρmin Ac 
� 
Tabela III-1 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas 
(tabela 17.3 da NBR6118) 
 
 
 fck 
Valores de ρρρρmin*=(As,min/Ac) % 
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
Retangular 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256 
* Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, 
γc = 1,4 e γs = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado. 
 
 
2.2- ARMADURA MÁXIMA 
 
Segundo a NBR6118 item 17.3.5.2.4 a soma das armaduras de tração e de 
compressão não pode ter valor maior 4% da área de concreto, calculada fora da zona de 
emendas. 
 
As máx = As + As' = 4% Ac 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 27 
3- DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO 
 
 No dimensionamento à flexão de uma viga de concreto armado, conhecidas as 
dimensões da seção transversal e as resistências dos materiais (fck, fyk), o objetivo é 
determinar a área das armaduras longitudinais que irão equilibrar, em conjunto com o 
concreto, o momento fletor externo (Md). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura III-2: Dimensionamento à flexão. 
 
O dimensionamento será feito no estado limite último, estádio 3, considerando que 
o concreto não resiste mais à tração. Na Fig. III-2 encontra-se um esquema simplificado 
das solicitações envolvidas, onde Fcc é a resultante das forças de compressão e Fst é a 
resultante das forças de tração. 
 
Aplicando-se as equações de equilíbrio, chega-se a 
 
 f A f A 0 F ydscdccc =→=∑ α 
 
y) 0,5 - (d f A = M 0 cdcccd α→=∑ AsM 
 
onde Acc é a área de concreto da zona comprimida, ou seja Acc = b y. 
Basicamente, as incógnitas do problema são: a área de aço tracionada (As) e a 
dimensão y, a altura da zona comprimida. 
O valor de y pode ser determinado pela equação de equilíbrio de momentos. Se o 
valor de y ≤ ymax indica que a seção está nos domínios 2 ou 3 de deformação com 
armadura simples e, substituindo-se este valor na equação de equilíbrio de forças, chega-
b 
h 
As’ 
As 
d 
Md 
Fcc = Acc αc fcd 
 y = λx 
Fst = As fyd 
x 
linha neutra 
As 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 28 
se ao valor de As. 
Caso o valor de y > ymax deve-se colocar uma armadura na zona comprimida As’ 
para ajudar o concreto a resistir aos esforços de compressão. 
O valor de ymax corresponde ao menor valor entre ylim (limite entre os domínios de 
deformação 3 e 4) e ydutil (limitação da relação x/d para melhorar a ductilidade), ou seja 
 
 ymax = min (ylim , ydutil) 
 
sendo 
 
 d 
E +f
E 
 =y
scuyd
scu
lim ε
ελ 
e 
ydutil = 0,36 d para concretos com fck ≤ 50 MPa 
ydutil = λ 0,35 d para concretos com fck > 50 MPa 
 
 
3.1 - SEÇÃO RETANGULAR 
 
3.1.1- Armadura simples 
 
 Para o caso onde y ≤ ymax, necessita-se determinar apenas a área de aço da 
armadura tracionada. O esquema com as solicitações envolvidas encontra-se na Fig.III-3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura III-3: Dimensionamento da seção retangular – armadura simples. 
 
d 
Md 
αc fcd 
Fcc = cα b y fcd 
 
y = λx 
Fst = As fyd 
x 
linha neutra 
As 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 29 
A partir das equações de equilíbrio 
 
 f A - fy b = 0 0 F ydscdcα→=∑ 
 
y) 0,5 - (d fy b = M 0 cdcd α→=∑ AsM 
 
chega-se a 
 
 
f b 
 2d-d y
cdc
d2
α
M
−=
 e 
yd
cdc
f
fy bA α=s 
 
3.1.2- Armadura dupla 
 
 No caso y > ymax, deve-se projetar armadura dupla. Para isso, fixa-se a 
profundidade da zona comprimida em ymax e se introduz uma armadura localizada na 
zona comprimida, As’, o mais afastada possível da linha neutra. Esta armadura de 
compressão e uma armadura adicional de tração ∆As constituem, quando suas áreas são 
multiplicadas por suas resistências, as forças de compressão e tração que formam o 
binário capaz de absorver a diferença de momentos ∆Md = Md - Mdlim. 
O esquema com as solicitações envolvidas encontra-se na Fig. III-4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura III-4: Dimensionamento da seção retangular – armadura dupla. 
 
O momento Mdlim é definido como o momento que pode ser absorvido pela viga no 
limite da armadura simples, ou seja, quando y = ymax 
 
)y 0,5 - (d f y b = M maxcdmaxcdlim α 
d’ 
d Mdlim 
αc bymax fcd 
As1 fyd 
d - 0,5ymax 
As’ 
d’ 
d ∆Md 
As’σ2 
∆As fyd 
d - d’ 
As’ 
As As 
+ 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 30 
A armadura tracionada, As, resulta: As= As1+ ∆As . 
 
Assim, quando y > ymax ou Md > Mdlim as equações de equilíbrio resultam 
 
 f A - 'A + f y b = 0 0 F yds2scdmaxc σα→=∑ 
 
 )d' - (d ' A+M = M 0 M 2sdlimdAs σ∑ →= 
 
A tensão σ2 da armadura de compressão A’s deve ser determinada pelo diagrama 
tensão-deformação do aço empregado, tendo-se calculado antes a deformação ε2 a partir 
da equação de compatibilidade de deformações: 
 
 
y
d' - y
 
max
max
cu2ε
λ
ε=
 
 
Substituindo-se o valor da tensão σ2 nas equações anteriores, chega-se a 
 
)d' (d
MMA
 2
dlim d'
s
−
=
−
σ
 f
Afy b 
 = A
yd
2
'
s + cd maxc
s
σα
 
 
 
3.2- SEÇÃO T 
 
O dimensionamento da seção T segue o mesmo procedimento adotado para a 
seção retangular, adaptando-se apenas a forma da seção. 
A notação empregada para a seção T, ver Fig. III-5, é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura III-5: Seção T – notação. 
h hf 
bw 
bf 
- bw: largura da alma 
- bf: largura da mesa 
- h: altura total 
- hf: altura da mesa 
 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 31 
No dimensionamento à flexão de vigas de seção T, existem três situações 
possíveis, conforme a posição da linha neutra: 
 
3.2.1- Zona comprimida está dentro da mesa →→→→ armadura simples 
 
Para o caso onde y < hf a zona comprimida está dentro da mesa, ver Fig. III-6. 
Normalmente nestas situações, y < hf < ymax, e necessita-se apenas de armadura 
tracionada (armadura simples). 
 
 
 
 
 
Figura III-6: Seção T – zona comprimida dentro da mesa. 
 
O dimensionamento é feito como se tivesse uma viga de seção retangular de 
largura bf e altura útil d, com as seguintes equações de equilíbrio: 
 
 f A - fy b = 0 ydscdfcα 
 
( ) 0,5y - d fy b = M cdfcd α 
 
3.2.2- A altura da zona comprimida está entre hf e ymax →→→→ armadura simples 
 
Para o caso onde hf < y ≤ ymax (ver Fig. III-7), apesar da linha neutra estar fora da 
mesa, ainda necessita-se apenas de armadura tracionada (armadura simples). 
 
 
 
 
 
Figura III-7: Seção T – linha neutra fora da mesa. 
 
O dimensionamento é feito adaptando-se as equações de equilíbrio para a seção 
T, o que resulta: 
y 
y 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 32 
 
()
 f A - h b -b f + fy b = 0 ydsfwfcdccdwc αα 
 
( ) ( ) 0,5h - d h b -b f + y) 0,5 - (d fy b = M ffwfcdccdwcd αα 
 
3.2.3- A altura da zona comprimida é maior que ymax →→→→ Armadura Dupla 
 
Para o caso onde y > ymax, o procedimento é análogo ao da seção retangular com 
armadura dupla. Faz-se, então, o cálculo do momento correspondente a seção T quando 
y = ymax , Mdmáx : 
 
( ) ( ) 0,5h - d h b -b f + )y 0,5 - (d f y b = M ffwfcdcmaxcdmaxwcdmáx αα 
 
A diferença de momentos ∆Md = Md - Mdmáx será absorvida por uma armadura de 
compressão, A’s, e uma armadura tracionada ∆As. As equações de equilíbrio são, então, 
dadas por: 
[ ]
 f A - 'A + y b h )b-(b f = 0 0 yds2smaxwfwfcdc σα +→=∑F 
 
 )d' - (d A +M = M 0 M 2'sdmaxdAs σ→=∑ 
 
A tensão σ2 da armadura de compressão A’s deve ser determinada pelo diagrama 
tensão-deformação do aço empregado, tendo-se calculado antes a deformação εs2 a 
partir da equação de compatibilidade de deformações: 
 
 
y
d' - y
 
max
max
cu2
λ
εε =s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 33 
4- VERIFICAÇÃO À FLEXÃO DE SEÇÃO RETANGULAR 
 
Nos problemas de verificação à flexão de vigas de concreto armado, são 
conhecidas as dimensões da seção transversal, as armaduras, as resistências dos 
materiais e deve ser calculado o momento fletor último, Mu, que pode solicitar a viga. 
A diferença do problema de verificação em comparação ao de dimensionamento 
está no fato de não se saber se a armadura tracionada atingiu a tensão de cálculo fyd. 
 
4.1- ARMADURA SIMPLES 
 
As equações de equilíbrio são: 
 
 1 A - fy b = 0 0F scdc σα→=∑ (1) 
 
 y) 0,5 - (d fy b = M 0M cdcuAs α→=∑ (2) 
 
Este sistema não pode ser resolvido diretamente, pois existem duas equações e 
três incógnitas: 
- y: profundidade da zona comprimida 
- σ1: tensão na armadura longitudinal tracionada 
- Mu: momento fletor último 
O procedimento utilizado para resolver o sistema é o seguinte: 
1) arbitra-se, na Eq. (1), σ1= fyd e obtém-se o valor de y 
2) se o valor encontrado para y for y ≤ ylim , σ1 realmente atingiu a tensão de cálculo fyd; o 
valor de y calculado está correto e determina-se o valor de Mu substituindo-se y na 
equação (2) 
3) se o valor encontrado para y for y > ylim, o seu valor não está correto, pois para y > ylim 
a tensão na armadura tracionada σ1< fyd � σ1 está na parte da reta de Hooke do 
diagrama tensão-deformação; assim, a deformação na armadura tracionada é dada 
por: 
sE
1
1
σ
=ε 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 34 
sendo Es o módulo de deformação longitudinal do aço, Es = 210000 MPa. 
A tensão σ1 é determinada substituindo-se o valor acima na equação de 
compatibilidade das deformações: 
y
 y) - d(E 
1
scu
λε
σ = 
Esta equação, junto com as de equilíbrio (1) e (2) torna o sistema determinado. 
 
4.2- ARMADURA DUPLA - uma armadura tracionada e a outra comprimida 
 
Para uma seção retangular com armadura dupla não se sabe se as duas 
armaduras atingiram a tensão de cálculo fyd. As equações de equilíbrio, neste caso, são: 
 
 A - 'A + fy b = 0 0F 1s2scdc σσα→=∑ (1) 
 
 )d' - (d 'A +0,5y) - (d fy b = M 0M 2scdcuAs σα→=∑ (2) 
 
 
Este sistema não pode ser resolvido, pois existem mais incógnitas do que 
equações. As incógnitas são: 
- y: profundidade da zona comprimida 
- σ1: tensão na armadura longitudinal tracionada 
- σ2: tensão na armadura longitudinal comprimida 
- Mu: momento fletor último 
 
O problema deverá ser arbitrando-se, na equação (1), σ1= σ2= fyd para obter-se o 
valor de y. Podem ocorrer três situações: 
 
a.1) Se y ≤≤≤≤ x23 (domínio 2) 
 
Neste caso a tensão σ1= fyd e a σ2 ≤ fyd. Para determinar o valor de σ2 deve-se, 
inicialmente, obter a deformação da armadura comprimida através da equação de 
compatibilidade de deformações para o domínio 2: 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 35 
yλd
 )dλ -(y 0,01
2
−
′
=ε 
 
Com o valor de ε2, determina-se o valor da tensão σ2 através do diagrama tensão-
deformação conforme: 
- Se ε2 ≥ εyd a armadura comprimida atingiu a tensão de escoamento, σ2 = fyd, e da 
equação de equilíbrio (2) pode-se calcular Mu. 
-Se ε2 < εyd então a equação abaixo junto com as de equilíbrio (1) e (2) torna o sistema 
determinado 
yλd
 )dλ -(y E 0,01
2
s
−
′
=σ 
 
a.2) x23 < y ≤≤≤≤ ylim (domínio 3) 
 
Como no caso anterior, a tensão σ1= fyd e a σ2 ≤ fyd. Para determinar o valor de σ2 
deve-se, inicialmente, obter a deformação da armadura comprimida através da equação 
de compatibilidade de deformações para o domínio 3: 
 
y
 )dλ -(y ε
2
cu
′
=ε 
 
Com o valor de ε2, determina-se o valor da tensão σ2 através do diagrama tensão-
deformação conforme: 
- Se ε2 ≥ εyd a armadura comprimida atingiu a tensão de escoamento, σ2 = fyd, e da 
equação de equilíbrio (2) pode-se calcular Mu. 
-Se ε2 < εyd então a equação abaixo junto com as de equilíbrio (1) e (2) torna o sistema 
determinado 
 
y
 )d0,8 -(y E 0,0035
2
s
′
=σ 
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 36 
a.3) Se y > ylim (domínio 4) 
 
No domínio 4, σ1< fyd e, geralmente, σ2 = fyd . A equação abaixo junto com as de 
equilíbrio (1) e (2) torna o sistema determinado. 
 
y
 y)- d( E 
1
scu
λε
σ = 
 
Tomou-se σ2 = fyd porque, no domínio 4, somente excepcionalmente σ2 deixa de 
atingir a tensão de cálculo fyd. Isto ocorre em peças armadas com aço de alta resistência, 
de pequena altura útil e recobrimento da armadura de compressão grande. Nestes casos, 
ε2 < εyd e a tensão σ2 deve ser determinada por 
 
y
 )d -(y E 
2
scu
′
=
λε
σ