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Argumentação em Matemática - UAB

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Universidade Aberta do Brasil - UFPB Virtual
Curso de Licenciatura em Matema´tica
Argumentac¸a˜o em Matema´tica
Prof. Lenimar Nunes de Andrade
e-mail: lenimar@mat.ufpb.br
versa˜o 1.0 – 15/novembro/2009
Suma´rio
1 Noc¸o˜es de Lo´gica Matema´tica 3
1.1 Proposic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Conectivos - Proposic¸o˜es compostas . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Negac¸a˜o – O conectivo ¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Conjunc¸a˜o – O conectivo ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Disjunc¸a˜o – O conectivo ∨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Tabelas-verdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Proposic¸o˜es equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.8 Outras equivaleˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9 Exerc´ıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.10 Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.11 Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.12 Rec´ıprocas e contrapositivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.13 Tautologias e contradic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.14 Tautologias e equivaleˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.15 Quantificadores lo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.16 Negac¸a˜o de proposic¸o˜es quantificadas . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.17 Exerc´ıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Demonstrac¸a˜o em Matema´tica 26
2.1 Argumentos va´lidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Modus Ponens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Exemplos de “Modus Ponens” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Modus Tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Exemplos de “Modus Tollens” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Lei do Silogismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7 Exemplos da “Lei do Silogismo” . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.8 Regras diversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9 Regras de Infereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.10 Argumentos com conclusa˜o condicional . . . . . . . . . . . . . . 32
2.11 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.12 Implicac¸a˜o e equivaleˆncia lo´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1
2.13 Teorema, lema e corola´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.14 Instaˆncia de um teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.15 Siglas no final de uma demonstrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.16 Te´cnicas de demonstrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.17 Teoremas cujas concluso˜es sa˜o condicionais . . . . . . . . . . . . 41
2.18 Demonstrac¸a˜o direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.19 Demonstrac¸a˜o por contradic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.20 Demonstrac¸a˜o pelo contrapositivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.21 Demonstrac¸a˜o por enumerac¸a˜o de casos . . . . . . . . . . . . . 43
2.22 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A Leituras adicionais 49
A.1 O inverso do ca´lculo da tabela-verdade . . . . . . . . . . . . . . 49
A.2 Formas conjuntiva e disjuntiva normais . . . . . . . . . . . . . . 51
B Exerc´ıcios Suplementares 52
C Avaliac¸o˜es 61
2
Cap´ıtulo 1
Noc¸o˜es de Lo´gica Matema´tica
1.1 Proposic¸o˜es
Definic¸a˜o: Uma proposic¸a˜o ou sentenc¸a e´ uma orac¸a˜o declarativa que pode
ser classificada em verdadeira ou falsa.
• Sendo uma orac¸a˜o, toda proposic¸a˜o tem sujeito e predicado.
• Toda proposic¸a˜o e´ declarativa; na˜o pode ser interrogativa e nem exclama-
tiva.
• Toda proposic¸a˜o e´ verdadeira ou falsa.
• Uma proposic¸a˜o na˜o pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
Exemplos: Sa˜o exemplos de proposic¸o˜es:
• Sete e´ maior do que treˆs (em s´ımbolos: 7 > 3)
• Dois e dois sa˜o cinco (em s´ımbolos: 2 + 2 = 5)
• Quatro e´ divisor de dezesseis (em s´ımbolos: 4 | 16)
• Marte e´ um planeta pro´ximo da Terra
Na˜o sa˜o proposic¸o˜es:
• 1 + 2 + 3 + 4 (falta o predicado)
• Que dia e´ hoje? (orac¸a˜o interrogativa)
• 4x+ 1 = 3x+ 7 (na˜o pode ser classificada em verdadeira ou falsa pois o x
na˜o e´ conhecido)
• A a´rea do quadrado de lado 2 cm (falta o predicado)
3
1.2 Conectivos - Proposic¸o˜es compostas
A partir de proposic¸o˜es dadas, podemos construir novas proposic¸o˜es deno-
minadas compostas atrave´s do uso dos conectivos E (∧), OU (∨) e NA˜O (¬ ou
∼). Pareˆnteses tambe´m podem ser usados em proposic¸o˜es que tenham dois ou
mais conectivos.
Exemplo: Dadas as proposic¸o˜es p, q e r (consideradas simples), a partir delas,
podemos formar novas proposic¸o˜es compostas:
• p ∨ q
• ¬p ∧ ¬q
• ¬(q ∧ r)
• (p ∨ q) ∧ r
• (¬p ∧ q) ∨ (q ∧ ¬r)
1.3 Negac¸a˜o – O conectivo ¬
A proposic¸a˜o ¬p tem o valor lo´gico oposto ao de p: ¬p e´ falsa quando p
e´ verdadeira e ¬p e´ verdadeira quando p e´ falsa. Isso pode ser resumido na
seguinte tabela, onde o V representa o valor lo´gico verdadeiro e o F representa
o falso.
p ¬p
V F
F V
Observac¸a˜o: O conectivo NA˜O tambe´m costuma ser denotado por ∼.
1.4 Conjunc¸a˜o – O conectivo ∧
Dadas as proposic¸o˜es p e q, a conjunc¸a˜o p∧ q e´ verdadeira quando p e q sa˜o
ambas verdadeiras; se pelo menos uma delas for falsa, p ∧ q e´ falsa. Isso pode
ser resumido na tabela:
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
4
Exemplo: Consideremos as proposic¸o˜es p: “5 e´ maior do que 4” e q: “12 e´
divis´ıvel por 7”. Temos que p ∧ q e´ a proposic¸a˜o “5 e´ maior do que 4 e 12 e´
divis´ıvel por 7” e´ falsa porque q e´ falsa.
1.5 Disjunc¸a˜o – O conectivo ∨
Dadas as proposic¸o˜es p e q, a disjunc¸a˜o p ∨ q e´ verdadeira se pelo menos p
ou q e´ verdadeira; se as duas forem falsas, p∨ q e´ falsa. Isso pode ser resumido
na tabela:
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Exemplo: Consideremos as proposic¸o˜es p: “5 e´ maior do que 4” e q: “12 e´
divis´ıvel por 7”. Temos que p ∨ q e´ a proposic¸a˜o “5 e´ maior do que 4 ou 12 e´
divis´ıvel por 7” e´ verdadeira porque p e´ verdadeira.
1.6 Tabelas-verdade
• Os poss´ıveis valores lo´gicos de uma proposic¸a˜o composta costumam ser
organizados em forma de tabelas, denominadas tabelas-verdade.
• Nessas tabelas, o valor lo´gico de uma proposic¸a˜o verdadeira e´ representado
por V e o valor lo´gico de uma sentenc¸a falsa e´ denotado por F.
• Cada possibilidade de combinac¸a˜o dos valores lo´gicos das proposic¸o˜es que
compo˜em uma proposic¸a˜o composta da´ origem a uma linha da tabela-
verdade.
• Em geral, se uma proposic¸a˜o composta for formada a partir de n pro-
posic¸o˜es simples (componentes), enta˜o a tabela-verdade dessa proposic¸a˜o
composta tera´ 2n linhas.
Exemplo: Sendo p, q e r proposic¸o˜es, construir a tabela-verdade de
(p ∧ ¬q) ∨ ¬r
5
p q r ¬q ¬r p ∧ ¬q (p ∧ ¬q) ∨ ¬r
V V V F F F F
V V F F V F V
V F V V F V V
F V V F F F F
V F F V V V V
F V F F V F V
F F V V F F F
F F F V V F V
A u´ltima coluna dessa tabela e´ a mais importante e a 4a, 5a e 6a colunas servem
apenas para auxiliar na obtenc¸a˜o dessa u´ltima coluna.
1.7 Proposic¸o˜es equivalentes
• Dadas as proposic¸o˜es p e q, dizemos que “p e´ equivalente a q”(em s´ımbolos:
p ≡ q) quando elas teˆm sempre o mesmo valor lo´gico para quaisquer valores
das proposic¸o˜es componentes.
• p ≡ q somente quando ha´ uma coincideˆncia nos valores das u´ltimas colunas
de suas tabelas-verdade.
• p ≡ q tambe´m costuma ser denotado por p⇔ q.
Exemplo A seguir, verificamos que
• ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
• ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
Essas duas equivaleˆncias sa˜o muito importantes porque mostram como fazer a
negac¸a˜o

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