Aula 1 Conjuntos

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NOÇÕES DE CONJUNTO 
Profa Maria Estela 
Um conjunto se pode entender como uma
coleção ou agrupamento bem definido de
objetos de qualquer classe. Os objetos
que formam um conjunto são chamados
membros ou elementos do conjunto.
Exemplo:
- Conjunto das vogais;
- Conjunto dos números impares positivos;
- Conjunto dos planetas do sistema solar.
NOTAÇÃO
Todo conjunto se escreve entre chaves { } e
se denota mediante letras maiúsculas A, B,
C, ...,
Seus elementos se separam mediante ponto
e vírgula ou vírgula .
Exemplo:
Conjunto das vogais: 
Conjunto dos planetas do sistema solar:
P = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte …}
V = {a; e; i; o; u} 
Exemplo:
A = {a; b; c; d; e} seu cardinal n(A) = 
B = {x; x; x; y; y; z} seu cardinal n(B) =
Na teoria de conjuntos não precisa repetir os
elementos, por exemplo:
O conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será
{ x; y; z }.
Ao número de elementos que tem um conjunto Q
chamamos CARDINAL DO CONJUNTO e se
representa por n(Q).
5
3
Para indicar que um elemento pertence a 
um conjunto se usa o símbolo:

Se um elemento não pertence a um
conjunto se usa o símbolo:

Exemplo: Seja M = {2; 4; 6; 8; 10}
2 M ... se lê 2 pertence ao conjunto M
5 M
... se lê 5 não pertence ao conjunto M
Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A é um
subconjunto de B se, e somente se, para todo elemento x
pertencente ao conjunto A, x pertence também a B.
Podemos dizer a mesma coisa de quatro maneiras diferentes.
A é subconjunto de B.
A é parte de B.
A está contido em B. BA 
B contém A.
AB 
SUBCONJUNTO
• Um conjunto que não possui elementos
será denominado Conjunto Vazio e
representado por .
• Admitiremos a existência de um conjunto
que contém todos os elementos com os
quais estamos trabalhando. Denominaremos
este conjunto de Conjunto Universo e
representaremos pela letra U.
• IMPORTANTÍSSIMO
– O símbolo  relaciona elemento e conjunto.
– O símbolo  relaciona dois conjuntos.
Assim dizemos que 1  {0, 1, 2, 3} e que
{1}  {0, 1, 2, 3}
Uma ferramenta muito importante para se “entender” as relações
entre conjuntos e as operações entre eles é utilizar uma
representação visual.
Diagramas de Venn
Uma representação visual de conjuntos é dada
pelos diagramas de Venn, onde representamos
conjuntos por regiões. Normalmente se
representa um conjunto universo U por um
retângulo e subconjuntos de U por regiões
dentro do retângulo.
Exemplo; 
Abaixo, alguns diagramas de Venn representando determinadas situações:
a) Os conjuntos A e B são iguais.
b) A é subconjunto próprio de B.
c) Os conjuntos A e B não são subconjuntos um do outro, mas há elementos que 
pertencem a ambos.
d) Os conjuntos A e B não são subconjuntos um do outro e não possuem elementos 
comuns.
OPERAÇÃO COM 
CONJUNTOS 
Operações com conjuntos
Uma operação é uma “regra” ou procedimento que aplicada a dois 
objetos permite obter um outro objeto do mesmo tipo.
Para conjuntos quaisquer, estudaremos as operações de união, 
interseção, complementar e diferença. 
Daqui em diante, assumiremos que todos os conjuntos são 
subconjuntos de um mesmo conjunto universo.
Exemplos: 
UNIÃO
Para qualquer conjunto A, vale 
A∪A=A
A∪∅=A
7 6
55
6
A B
A B
    A B x / x A x B
Exemplo:
9
87
3
1
4
2
 A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9
  A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
UNIÃO
INTERSECÇÃO
Exemplos: 
7 6
55
6
A B
A B
A B x / x A x B    
Exemplo:
9
87
3
1
4
2
A B 5;6;7 
  A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
INTERSECÇÃO
Diferença
Exemplos: 
Para qualquer conjunto A, vale
A−A=∅, 
A−∅=A.
7 6
55
6
A B
A B
A B x / x A x B    
Exemplo:
9
87
3
1
4
2
A B 1;2;3;4 
  A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
Diferença
7 6
55
6
A B
O conjunto “B menos A” que se representa 
é o conjunto formado por todos os elementos que 
pertencem a B e não pertencem a A.
B A
B A x / x B x A    
Exemplo:
9
87
3
1
4
2
B A 8;9 
  A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
Complementar de um conjunto
Se B  A, então o complementar de B em relação a A é o conjunto 
A - B, denotado por ∶
𝑪𝑨
𝑩 = 𝑨 − 𝑩
Exemplo: 
Se A = 1, 2, 4 e B = 0, 1, 2, 4, 6, 9, encontre o 
complementar de B – A. 
𝑪𝑩
𝑨 = B – A = 0, 6, 9
EXERCÍCIOS 
OPERAÇÃO ENTRE CONJUNTOS 
1) Dados os conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {-1, 0, 1, 2, 3}, 
represente as operações abaixo.
a) A u B
b) A n B
c) A – B
d) B – A
a) A u B = {-1, 0, 2, 3, 4, 5, 6}
b) A n B = {2, 3}
c) A – B = {4, 5, 6}
d) B – A = {-1, 0}
RESPOSTAS 
2) Dados os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = { 4, 5, 6, 7 } e 
C = { 4, 5, 6, 8}, descubra o resultado de: (A - C) ∩ (B - C)
A – C = {0, 1, 2, 3} → Esse é o conjunto de todos os elementos de 
A que não pertencem a B;
B – C = {7} → Esse é o conjunto de todos os elementos que 
pertencem a B e não pertencem a C;
Logo,
a intersecção entre (A - C) ∩ (B – C) é vazia, visto que nenhum 
número se repete nesses dois conjuntos.
Solução 
3) Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 1, 2} e C = {2, 3}, 
determine (A U B) ∩ (B U C).
A = {0, 1}
B = {0, 1, 2}
C = {2, 3}
A U B = {0, 1, 2}
B U C = {0, 1, 2, 3}
(A U B) ∩ (B U C) = {0, 1, 2}
Solução 
4) Considerando os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2},
B = {2, 3, 4}, C = {4, 5} determine (U – A) ∩ (B U C).
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2}
B = {2, 3, 4}
C = {4, 5}
(U – A) ∩ (B U C)
(U – A) → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} – {1, 2} → {0, 3, 4, 5, 6}
(B U C) → {2, 3, 4} U {4, 5} → {2, 3, 4, 5}
(U – A) ∩ (B U C) = {0, 3, 4, 5, 6} ∩ {2, 3, 4, 5}
(U – A) ∩ (B U C) = {3, 4, 5}
Solução 
5) Dados U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A = {0,2,4,6,8}, B = {1,3,5,7,9} , 
determine: 
a) 𝐶𝑈
𝐴 = 𝑈 − 𝐴; b) 𝐶𝑈
𝐵 = 𝑈 − 𝐵
SOLUÇÃO: 
a) Queremos os complementar de A em relação a U.
A = {0,2,4,6,8} e U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Quero que A fique igual a U. O que eu tenho que completar em A 
para ficar igual a U?
Falta em A os elementos {1,3,5,7,9}. Esse é o complementar.
b) B = {1,3,5,7,9} e U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 
𝐶𝑈
𝐵 = U – B = {0, 2, 4, 6, 8} 
Intervalos e produto 
cartesiano
Representação de um intervalo na reta real
Um intervalo é representado na reta real utilizando-se
de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um
dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de
uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo
pertence.
Intervalo aberto
{x   a < x < b} ou a, b
{x   −4 < x < 0} ou −4, 0
Intervalo fechado
{x   a  x  b} ou a, b
{x   −4  x  0} ou −4, 0
−
Intervalo fechado à esquerda
Intervalo fechado à direita
Intervalos
Observe as representações gráficas e algébricas:
{x  x > a} ou 
]a, +∞[ 
{x   x ≥ a} ou 
[a, +∞[ 
{x  x < a} ou 
]−∞, a[
{x   x  a} ou 
]−∞, a]
Operações com intervalos
A  B
A  B = {x  –3  x  8} ou [–3, 8]
Operações com intervalos
A  B
A  B = {x   0 < x < 2} ou ]0, 2[
Operações com intervalos
A – B
A – B = {x   –3  x  0} ou [–3, 0]
Operações com intervalos
B – A
B – A = {x   2  x  8} ou [2, 8]
Produto cartesiano
A = {1, 2, 3}
B = {4, 5}
A x B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}.
Produto cartesiano
A = {1, 2, 3}
B = {4, 5}
B x A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}
Conjuntos Numéricos
Principais Conjuntos Numéricos
Números Naturais
 Conjunto dos Números Naturais
N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
 Ao somarmos oumultiplicarmos dois números
naturais o resultado é um número natural, por isso
dizemos que o conjunto dos números naturais é
fechado para as operações de soma e multiplicação.
 Isto não ocorre para a operação de subtração, por
exemplo: 1 N, 3  N , porém 1 – 3 = -2 N.
Números Inteiros
 Conjunto dos Números Inteiros 
Z={. . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}
 Veja que ao somarmos, multiplicarmos, ou subtrairmos,
dois números inteiros, o resultado continua sendo um
numero inteiro, por isso o conjunto dos números inteiros
é fechado para estas operações.
 Isto não ocorre para a operação de divisão, por exemplo:
-3  Z, -4  Z , porém –3/-4  Z
Números Racionais
 Conjunto dos Números Racionais
}0,,|{  bZbZa
b
aQ
N* N  Z Q
N* é a designação do Conjunto dos números naturais sem o zero.
Todo número racional pode ser representado sob a forma decimal e sua 
representação é infinita e periódica. 
Números Reais
 O conjunto dos números reais (R)
R = Q I
onde I é o conjunto dos números irracionais
Todo número irracional pode ser representado sob a forma decimal infinita 
porém a sua representação não pode ser periódica. 
Exemplo:
...41421356,12 
Toda raiz quadrada de numero inteiro cujo resultado não é 
um inteiro, é um número irracional.