Questões de prova

Prévia do material em texto

TRIGONOMETRIA 
 
Exemplos      DE   QUESTÕES   DISCURSIVAS      em   que   muitos   alunos   tem 
dificuldade   :   estudem   e   comentem   no   Forum   de   Discussão  
  
 
   1)         Uma   rampa   de   10m   tem      inclinação   de   30graus   em   relação   ao   solo.   Qual   a 
altura   h   que   alcança?  
 
Solução    :  
desenhe   um   triângulo   retângulo   ABC   onde:  
   a      hipotenusa   AB   é   a   rampa;  
   a   altura   h   alcançada   é   o   cateto   BC   ,oposto   ao   ângulo   Â      de      inclinação      30º 
a   distância   no   solo   é   o      cateto   AC   ,   adjacente   ao   ângulo   30º. 
 
Por   definição      seno   30º   =      cateto   oposto   /   hipotenusa            e   seno   30º   =   ½   . 
Então:         ½   =   h   /   10         donde         2h   =   10            e       h=   10/2   =   5   metros 
 
 
 
 
 
2)          Considere   um   ângulo   A      pertencente   ao   4º   quadrante.  
Se   senA=   ­   4/5,   determine   os   valores   das   razões   trigonométricas   cosseno, 
tangente,   cotangente,   secante   e   cossecante   de   A. 
 
Solução   :   Nesses   casos,   dado   apenas   o   seno   ou   o   cossseno      ,   deve   sempre   usar   a 
relação   fundamental:            sen²   A      +      cos²   A      =      1   
 
16/25   +   cos²   A   =1  
cosA   =   ±   3/5         (   raiz   quadrada   pode   ser   +      ou   ­      ) 
Mas   como   A      pertence   ao   4º   quadrante,   cos   A   é   positivo      =   +3/5   
cos   A=+3/5  
tg   A=   senA   /   cosA      =      ­   4/3 
cotg   A   =   1/tgA      =   ­3/4 
sec   A=   1/cos   A   =   5/3 
cossec   A   =   1/senA   =   ­5/4 
 
 
   
 
 
3   )Uma      pessoa   está   deitada   a   uma   distância      x   de   uma   torre   de   altura   h      e   vê   o 
seu      topo      sob   um   ângulo   de   60   graus.  
Deitada   20m      mais   distante      ve   a   altura   h   sob   angulo   30º.  
Determinar   a   altura   h   do   torre. 
Solução   :  
   Deve   sempre   fazer   um   desenho   resumindo   os   dados   .   Trata­se   de   2   triângulos 
retângulos. 
 
 
  A   pessoa   está   deitada   a   uma   distância      x      e   vê   altura   h   sob   60graus   ;  
tg   60º   =   h/x            então          x    =   h/tg   60º   =    h   /   raiz   3       ...   (1) 
Deitada   20   mais   distante   =   20   +   x   ,   ve   a   altura   h   sob   angulo   30º.   
Portanto   tg   30º   =   h   /   (20+x)         então          20   +   x    =   h/tg   30º    =   raiz3.h    ...(2) 
Substituindo   x   da   equação   (1)   na   equação   (2)      fica   :         20   +   (h   /   raiz3)=      (raiz3   )   h. 
Eliminando   o   denominador   raiz3      fica   :  
20raiz3   +   h   =   3   h         então         2h   =   20   raiz   3               daí         h   =   20raiz3   /   2   =   10   raiz3      =   17m   . 
   
 
 
 
4)         Determine   se      os   arcos    7π/3      e   19π/3    são   côngruos   e   calcule   o   cosseno   de 
19π/3 
Solução   :  
Como   π   radianos   =   180º   ,      7π/3   corresponde   a      7   x   180/3      =   7   x60   =   420º  
Analisando   as   voltas   desse   arco      temos   que      420º   =   1x360º   +   60º 
Assim,   a   sua   primeira   determinação   é   60º. 
 
19π/3   corresponde   a   19   x   180   /3   =   19   x60      =   1140º 
1140º   =   3x   360º   +   60º  
Assim,   a   sua   primeira   determinação   será   60º 
Então   os   arcos   são   côngruos   pois   eles   tem   a   mesma    primeira   determinação       60º   . 
 
Então   o   cosseno   de   19π/3         =   cos   7π/3      =      cos   60º         =   1/2   . 
 
 
5)      Qual   a   distância   percorrida   pela   extremidade   do      ponteiro   dos   minutos   que 
tem   10m   de   comprimento   ,   em   um      relógio,   entre   as   12   h   e   12h   e   20min. 
 
Solução   :  
Entre   12h   e   12:20   ,   há   20   minutos   .   
Em   1   hora   o   ponteiro      percorre   60   min   e   a   circunferência   =   360º   =   2pi   radianos. 
Então   em   20   minutos   o   ponteiro   percorre      um   arco   de   abertura   (   ângulo   )   : 
   20/60   =   1/3      da   circunferência   =   360/3   =      120º   =    2pi   /3      radianos    .      (   pi   =3,14...) 
O   comprimento   ou   percurso   na   linha   do   arco      é   :         C   =      radianos      x   Raio   . 
Então   o      percurso   da   ponta   do   ponteiro   de   raio   10   é   : 
      2pi/3      x   10   =      (2   x   3,14   /3)   x   10   =      (   6,28/3)         x10         =    20,93   m    aproximadamente. 
 
Poderia   fazer   também   como   sendo   ⅓   da   circunferência   total   do   relógio   : 
1/3      x   2pi   R   =      1/3      x   2   x   3,14   x10      =         1/3   x   62,8         =   20,93m  
 
 
 
 
 
6)   Calcule    secx   .   cotgx      ,   sendo   x   do   segundo   quadrante   e   cos   x   =   ­V3/   2   . 
 
Solução   :  
secx   .   cotgx      =      1/cosx   .   cosx/senx   =   1/senx  
cos   x   =   ­V3   /   2      (   negativo   )   =   ­   cos   30º      e      x      é   do   2º   quadrante   : 
Então   x   =   180   ­   30   =   150º  
sen   x   =   sen150º   =   sen   30º         =   1/2  
Então         secx   .   cotgx   =   1/senx      =      2 
 
 
 
 
7)    Numa   experiência      os   resultados   y   dependem   da   variável   x   segundo   a 
função      y   =   200   cos   2x.      Qual   o      valor   de   x   ,   de      0   a      pi   rad   ,   que   resulta   no 
valor   mínimo   de   y   ?  
 
Solução   : 
O   valor   mínimo   de      y   será   quando      o      cos   2x      for   mínimo   . 
O   valor   de   cosseno   mínimo   é   ­1   ,   que   ocorre      para   o   arco   =   180º      ou   pi   rad. 
Então   cos   2x   é   mínimo   se      2x   =   180º   =   pi   rad         então    x   =   pi/2   rad 
 
 
8)   Calcular   a   diferença   de   área   entre   dois      retângulos   cujas   medidas   do   maior 
são   cos   a      e   cos   b      e   as   medidas   de   menor   são      sen   a   e   sen   b.  
 
Solução   : 
Áreas   dos      retângulos   =   produto   das   dimensões   =      cosa.   cosb   e      sena.senb   . 
Então   a   diferença   de   área      é   dada   por   A   =   cosa.cosb   ­   sena.senb   que   é   a 
expressão   de   cos(a+b)   .   Então   a   diferença   de      área   =   cos(a+b). 
Foi   dado   que   a+b   =60º,      então   essa   área   é   cos   60º      =1/2   unidade   de   área. 
 
 
 
9)    Utilize   a   expressão   trigonométrica   da   soma   ou   da   diferença   de   dois 
ângulos   notáveis   e   calcule   cos15°. 
Solução   : 
15º   =         45º   ­   30º   . 
Então   cos   15º   =   cos   (45º      ­   30º)  
Sabemos   que   cos   (a   ­   b   )   =   cosa.cosb      +      senasenb   , 
Então   cos   15º   =         cos   45º.cos30º   ­      sen   45º.sen   30º         =  
=   V2/2   .   V3/2   ­      V2/2   .   1   /2   =         =      V6/4   ­   V2/4   =            (V6   ­V2)   /4 
 
 
 
10)   A   quantidade   P   de   um   determinado   vegetal      varia   com   o   tempo   t   expresso 
em   número   de   meses   conforme   a   função    P(t)   =   400   ­      50   cos   [   (t+2)   π/3   ] 
Sendo   t   =   1   no   final   de   janeiro   ,qual   a   quantidade   disponível   no   final   de 
junho?  
 
Solução:  
No   final   de   junho   t=   6   . 
Então   substituindo   t   por   6   resulta   : 
cos   (t+2)π/3   =   cos   8π/3   =   cos   8   x   60   =   cos   480º 
  
480º   =   360º   +   120º         então      cos480º      =   cos120º      =   cos(180   ­   60)   =   ­   cos   60   =   ­   1/   2  
 
Na   função   fica   então: 
P(6)   =   400   ­   50(­1/2)   =      400   +   25      =   425