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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ 
DISCIPLINA: Resistência dos materiais 
Professor: Vladimir J. Ferrari 
 
Aula: Deformações em vigas 
 
1-Introdução 
 
Os esforços solicitantes (forças normais de compressão, forças normais de 
tração, forças tangenciais, momentos fletores e momentos torsores) causam 
deformações nas estruturas. O fato de a maioria das deformações serem menores que a 
acuidade visual permite detectar, sua importância teórica, entretanto, é enorme. 
Devemos estudar as deformações de vigas pelos seguinte motivo: 
• Limitar as deformações nas estruturas. 
 
2-Equação diferencial da curva deformada da viga 
 
Considere uma viga engastada com um carregamento concentrado atuando na 
extremidade livre (Figura 1a). Sob a ação desse carregamento, o eixo da viga deforma-
se em uma curva, como mostrado na Figura 1b. Os eixos de referência têm sua origem 
na extremidade fixa da viga, com o eixo x direcionado para a direita e o eixo y 
direcionado para cima. 
 
A flecha v é o deslocamento na direção y de qualquer ponto no eixo da viga. 
 
 
 
Figura 1 – Eixo deformado de uma viga engastada 
 
Para obter a equação da curva do eixo deformado, precisamos expressar a flecha 
v como uma função da coordenada x. Para isso, vamos analisar o eixo deformado com 
mais detalhes (Figura 2). 
A flecha v em qualquer ponto m1 no eixo deformado é mostrado na Figura 2a. O 
ponto m1 está localizado à distância x a partir da origem. Um segundo ponto m2, 
localizado à distância x+dx a partir da origem, é também apresentado. A flecha nesse 
segundo ponto é v+dv, em que dv é incremento na flecha conforme andamos ao longo 
da curva desde m1 até m2. 
 
Figura 2 – Curva do eixo deformado de uma viga 
 
Quando a viga é flexionada, não há somente uma flecha em cada ponto ao longo 
do eixo, mas também uma rotação. O ângulo de rotação (θ) do eixo da viga é o ângulo 
entre o eixo x e a tangente à curva deformada, como mostrado para o ponto m1, na 
Figura 2b. 
O ângulo de rotação no ponto m2 é θ+dθ, em que dθ é o aumento no ângulo 
conforme andamos do ponto m1 para o ponto m2. Construindo-se linhas normais às 
tangentes, o ângulo entre essas normais é dθ e, o ponto de interseção dessas normais é o 
centro de curvatura O’ (Figura 2a). A distância do centro de curvatura à curva é 
chamado de raio de curvatura ρ. Da Figura 2a, vemos que: 
 
dsθd.ρ = 
 
Em que ds é a distância ao longo da curva deformada entre os pontos m1 e m2. A 
curvatura κ é dada pela equação: 
ds
θd
ρ
1
κ == (1) 
A convenção de sinal para a curvatura está exemplificada na Figura 3. Note que 
a curvatura é positiva quando o ângulo de rotação aumenta conforme nos movemos ao 
longo da viga na direção x positiva. 
 
 
Figura 3 – Convenção de sinal para a curvatura 
 
A inclinação da curva deformada é a primeira derivada dv/dx da expressão 
para a flecha v. Em termos geométricos, a inclinação é o incremento dv na flecha, 
dividido pelo incremento dx na distância ao longo do eixo x. Uma vez que dv e dx são 
infinitesimalmente pequenos, a inclinação dv/dx é igual à tangente do ângulo de rotação 
θ. Assim, 
θtan
dx
dv = (2) 
De modo similar, obtemos também as seguintes relações: 
 
ds
dx
θcos = (3a) 
ds
dv
θsen = (3b) 
 
As estruturas encontradas na prática, sofrem variações relativamente pequenas 
na forma enquanto estão em serviço. As mudanças são tão pequenas que não são 
percebidas por um observador casual. Consequentemente, as curvas dos eixos 
deformados da maioria das vigas e das colunas têm ângulos de rotação muito pequenos, 
flechas muito pequenas e curvaturas muito pequenas. Sob essas condições podemos 
fazer algumas aproximações matemáticas que simplificam a análise. 
Se o ângulo de rotação θ é um valor muito pequeno (eixo deformado é 
praticamente horizontal), vemos imediatamente que a diferença ds ao longo da curva é 
praticamente a mesma que o incremento dx ao longo do eixo x. Essa mesma conclusão 
pode ser diretamente obtida da equação 3ª. Uma vez que cós é aproximadamente 1 
quando o ângulo θ é pequeno, a equação 3a resulta em: 
 
dxds ≅ 
Assim, da equação 1: 
dx
θd
ρ
1
κ == (4) 
Uma vez que θθ ≅ quando θ é pequeno, podemos fazer a seguinte aproximação 
para a equação 2: 
dx
dv
θtanθ =≅ (5) 
Assim, se as rotações de uma viga são pequenas, podemos assumir que o ângulo 
de rotação θ e a inclinação dv/dx são iguais. 
Tomando a derivada de θ com relação à x na equação (5), obtemos: 
2
2
dx
vd
dx
θd = (6) 
Combinando (6) com (4), obtemos uma relação entre a curvatura de uma viga e 
sua flecha: 
2
2
dx
vd
ρ
1
κ == (7) 
Essa equação é válida para uma viga de qualquer material, com a condição de 
que as rotações sejam pequenas. 
Se o material de uma viga é elástico linear e segue a lei de Hooke, a curvatura é: 
EI
M
ρ
1
κ == (8) 
Em que M é o momento fletor e EI é a rigidez de flexão da viga. Combinando a 
equação (7) com (8), obtém-se a equação diferencial do eixo deformado de uma viga: 
EI
M
dx
vd
2
2
= (9) 
Essa equação pode ser integrada em cada caso particular para encontrar a flecha 
v, com a condição de que o momento fletor M e a rigidez EI sejam conhecidos como 
funções de x. 
Convenções de sinal: 
a)os eixos x e y são positivos para a direita e para cima, respectivamente; 
b)a flecha v é positiva para cima; 
c)a inclinação dv/dx e o ângulo de rotação θ são positivos quando anti-horários 
com relação ao eixo x positivo; 
d)a curvatura κ é positiva quando a viga é fletida côncava para cima; 
e)o momento fletor M é positivo quando produz tração na parte inferior da viga. 
 
Sabemos que: 
q
dx
dV −= V
dx
dM = (10) 
As convenções de sinal para o carregamento distribuído q e para o esforço V são 
mostrados na Figura 4. 
 
Figura 4 – Convenção de sinal para q e V 
 
Diferenciando a equação (9) com relação a x e substituindo, então, as equações 
(10), podemos obter as equações adicionais: 
 
M
dx
vdEI 2
2
= ; V
dx
vdEI 3
3
= ; q
dx
vdEI 4
4
−= (11) 
 
Podemos também representar da seguinte maneira: 
 
EI.v”=M; EI.v´´`=V; EI.v””=-q (12) 
 
2.1-Considerações sobre a equação diferencial da curva deformada da viga 
 
Independentemente do número de equações de momento fletor para a viga, o 
procedimento geral para resolver equações diferenciais é como segue: 
 
a)Para cada região da viga, substituímos as expressões para M na equação 
diferencial e integramos para obter a inclinação v´. Cada uma das integrações produz 
uma constante de integração; 
b)Integra-se cada equação da inclinação para obter a flecha v. Novamente, cada 
integração produz uma nova constante. Assim, há duas constantes de integração para 
cada região da viga. As constantes são avaliadas a partir de condições conhecidas 
relativas às inclinações e flechas: 
c)Condições de contorno são relacionadas às flechas e inclinações nos apoios da 
viga. Por exemplo, como mostrado na Figura 5. Em um apoio simples, a flecha é nula e, 
em um apoio engastado, tanto a flecha como a inclinação são nulas. 
 
Figura 5 – Condições de contorno 
 
d)Condições de continuidade ocorrem em pontos em que as regiões de 
integração encontram-se, como no ponto C da Figura 6. A curva do eixo deformado 
dessa viga é fisicamente contínua no ponto C, e em conseqüência a flecha no ponto C, 
determinada pela parte esquerda da viga, precisa ser igual à flecha determinada pela 
parte direita. De forma similar, as inclinações encontradas para cada parte da viga 
precisam ser iguais no ponto C. 
 
e)Condições de simetria podem também ser avaliadas. Por exemplo, se uma viga 
suporta uma carga uniforme em todo o seu comprimento, sabemos antecipadamente que 
a inclinação da curva do eixo deformado noponto médio precisa ser zero. 
 
2.2-Flecha por integração da equação da força de cisalhamento e da equação de 
carregamento 
 
As equações da curva do eixo deformado em termos da força de cisalhamento V 
e do carregamento q (equações 11b e 11c) podem também ser integradas para obter 
inclinações e flechas. Uma vez que os carregamentos são valores usualmente 
conhecidos, enquanto os momentos fletores precisam ser determinados a partir de 
diagramas de corpo livre e equações de equilíbrio, muitos preferem iniciar com a 
equação de carregamento. 
Os procedimentos para resolver tanto a equação de carregamento como a 
equação da força de cisalhamento são similares àqueles para resolver a equação do 
momento fletor, exceto que mais integrações são exigidas. Por exemplo, se começamos 
com a equação de carregamento, quatro integrações são necessárias de modo a chegar à 
flecha. 
 
 
3-Exercícios: Equação diferencial da curva deformada da viga 
 
1)A curva do eixo deformado da viga AB é dada pela seguinte equação: 
)x3xL10L7(
LEI360
xq
v 42240 +−−= 
Descreva o carregamento que está atuando na viga. 
 
 
 
2) 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
Respostas dos exercícios: 
1)carga triangular agindo para baixo: 
L
xq
q 0= 
2)h=96mm 
 
3)80,3GPa 
 
4)1/320 
 
4-Método da área do momento 
 
Neste item iremos descrever outro método para encontrar flechas e ângulos de 
rotação de vigas. Como o método é baseado em dois teoremas relacionados à área do 
diagrama do momento fletor, é chamado de método da área do momento. 
O método é válido somente para vigas elásticas lineares com pequenas 
inclinações. Do ponto de vista prático, o método é limitado para encontrar flechas e 
ângulos de rotação em pontos específicos no eixo de uma viga. 
 
4.1-Primeiro Teorema da Área do momento 
 
Considere um segmento AB da curva deformada de uma viga em uma região em 
que a curvatura é positiva (Figura 6). No ponto A, a tangente AA’ à curva deformada 
tem ângulo θA em relação ao eixo x e, no ponto B, a tangente BB’ tem ângulo θB. Essas 
duas tangentes encontram-se no ponto C e o ângulo entre elas é denotado por θB/A, e é 
igual a diferença entre θB e θA: 
θB/A = θB - θA (13) 
Assim, o ângulo θB/A pode ser descrito como o ângulo à tangente em B medido 
relativo à tangente em A. 
 
Considere agora dois pontos m1 e m2 no eixo deformado da viga. Esses pontos 
estão separados por uma pequena distância ds. As tangentes à curva deformada nesses 
pontos são mostradas na Figura 6 pelas linhas m1p1 e m2p2. As normais a essas 
tangentes se cruzam no centro de curvatura (não representado na figura). O ângulo dθ 
entre as normais é dado pela seguinte relação: 
ρ
ds
θd = (14) 
Em que ρ é o raio de curvatura e dθ é medido em radianos. Como as normais e 
as tangentes são perpendiculares, segue-se que o ângulo entre as tangentes é também 
igual a dθ. 
 
Figura 6 – Primeiro teorema da área do momento 
 
Para uma viga com pequenos ângulos de rotação, podemos substituir ds por dx. 
Assim; 
ρ
dx
θd = (15) 
 
Da equação (8) sabemos que: 
EI
M
ρ
1
κ == 
E, em conseqüência: 
EI
dx.M
θd = (16) 
Em que, M é o momento fletor e EI é a rigidez a flexão da viga. 
 
A quantidade M.dx/EI tem uma interpretação geométrica simples. Reporte-se a 
Figura 6, em que desenhamos o diagrama M/EI abaixo da viga. Em qualquer ponto ao 
longo do eixo x, a altura desse diagrama é igual ao momento fletor M no ponto dividido 
pela rigidez EI nesse ponto. Assim, o diagrama M/EI tem a mesma forma que o 
diagrama do momento fletor, sempre que EI seja constante. 
O termo M.dx/EI é a área da faixa hachurada de largura dx dentro do diagrama 
M/EI. 
 
Vamos agora integrar dθ (equação 16) entre os pontos A e B da curva 
deformada da viga: 
∫ ∫=B
A
B
A EI
dx.M
θd (17) 
A integral do lado esquerdo torna-se θB - θA, que é exatamente o ângulo θB/A. A 
integral do lado direito é a área do diagrama M/EI entre os pontos A e B. 
Agora podemos escrever a equação (17) como segue: 
∫= B
A
A
B EI
dx.M
θ (18.a) 
θB/A = área do diagrama M/EI entre os pontos A e B (18.b) 
 
A equação (18) pode ser estabelecida como um teorema: 
 
Primeiro Teorema da área do momento: o ângulo θB/A entre as tangentes à 
curva do eixo deformado em dois pontos A e B é igual a área do diagrama M/EI entre 
esses pontos. 
 
Convenção de sinais: 
1-os ângulos θA e θB são positivos quando no sentido anti-horário; 
2-o ângulo θB/A entre as tangentes é positivo quando o ângulo θB é 
algebricamente maior que θA; 
3-o momento M é positivo como apresentado na Figura 4. 
 
As convenções de sinais colocadas anteriormente são frequentemente ignoradas 
na prática porque as direções dos ângulos de rotação são usualmente óbvias a partir de 
uma inspeção da viga e de seus carregamentos. Se esse é o caso, podemos simplificar os 
cálculos ignorando os sinais e usando somente valores absolutos. 
 
4.2-Segundo Teorema da Área do Momento 
 
O segundo Teorema está relacionado às flechas em vez dos ângulos de rotação. 
Considere a curva do eixo deformado entre os pontos A e B (Figura 7). 
 
Figura 7 – Segundo Teorema da Área do Momento 
 
Desenhamos a tangente no ponto A e notamos que sua interseção com uma linha 
vertical através do ponto B está no ponto B1. A distância vertical entre os pontos B e B1 
é denotada por tB/A. Essa distância é referida como o desvio tangencial de B com 
relação a A, ou seja, é o desvio vertical do ponto B na curva do eixo deformado da 
tangente em A. 
Para determinar o desvio tangencial, selecionamos dois pontos m1 e m2 
separados por uma pequena distância na curva. O ângulo entre as tangentes nesses dois 
pontos é dθ, e o segmento na linha BB1 entre essas tangentes é dt. Uma vez que esses 
ângulos entre as tangentes e o eixo x são realmente muito pequenos, vemos que a 
distância vertical dt é igual a x1.dθ, em que x1 é a distância horizontal do ponto B ao 
pequeno elemento m1m2. Uma vez que dθ=M.dx/EI, obtemos: 
EI
dx.M.xθd.xdt 11 == (19) 
A expressão x1.M.dx/EI pode ser interpretada geometricamente como o primeiro 
momento da área da faixa hachurada de largura dx dentro do diagrama M/EI. Esse 
primeiro momento é avaliado com relação à linha vertical através do ponto B. 
Integrando a equação (19) entre os pontos A e B, temos: 
∫ ∫=B
A
B
A
1 EI
dx.M.xdt (20) 
A integral do lado esquerdo é igual a tB/A, isto é, igual ao desvio do ponto B da 
tangente em A. A integral no lado direito representa o primeiro momento com relação 
ao ponto B da área do diagrama M/EI entre A e B. Assim, podemos reescrever a 
equação (20) como: 
∫=
B
A
1
A
B EI
dx.M.xt (21) 
tB/A = primeiro momento da área do diagrama M/EI entre os pontos A e B, avaliado com 
relação a B 
 
A equação (21) representa o segundo teorema: 
 
Segundo teorema da área do momento: o desvio tangencial tB/A do ponto B da 
tangente no ponto A é igual ao primeiro momento da área do diagrama M/EI entre A e 
B, avaliado com relação a B. 
 
4.3-Aplicações do método da área do momento 
 
Aplicação 1: Determine o ângulo de rotação θB e a flecha δB na extremidade livre B de 
uma viga engastada AB suportando um carregamento concentrado P. A viga tem 
comprimento L e uma rigidez a flexão EI constante. 
 
O diagrama de momento fletor é de forma triangular com momento no apoio dado por –P.L; 
 
Uma vez que a rigidez EI é constante, o diagrama M/EI tem a mesma forma que o diagrama do 
momento fletor; 
 
Do teorema da área do momento sabemos que o ângulo θB/A entre as tangentes nos pontos B e A é 
igual à área do diagrama M/EI entre esses pontos. Essa área, que iremos denotar por A1, é: 
EI2
L.P
EI
L.P)L(
2
1A
2
1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=O ângulo de rotação relativo entre os pontos A e B, do primeiro teorema, é: 
EI2
L.PAθθθ
2
1AB
A
B ==−= 
Uma vez que a tangente à curva do eixo deformado no apoio A é horizontal (θA=0), 
EI2
L.P
θ
2
B = 
A flecha δB pode ser obtida a partir do segundo teorema da área do momento. Nesse caso, o desvio 
tangencial tB/A do ponto B da tangente em A é igual à própria flecha δB. O primeiro momento de área 
do diagrama M/EI, avaliado com relação ao ponto é: 
_
32
11 EI3
PL
3
L2
EI2
L.Px.AQ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛== 
Estamos desprezando os sinais e usando somente valores absolutos. 
Do segundo teorema da área do momento, sabemos que a flecha δB é igual ao primeiro momento Q1. 
Assim, 
_
3
B EI3
PL
δ = 
 
5-Exercícios: Método da área do momento 
 
1-Uma viga simples ADB suporta um carregamento concentrado P atuando na posição 
mostrada na figura. Determine o ângulo de rotação θA no apoio A e a flecha δD sob o 
carregamento P. 
 
 
2-Encontre o ângulo de rotação θB e a flecha δB na extremidade livre B de uma viga 
engastada ACB suportando um carregamento uniforme de intensidade q atuando sobre a 
metade direita da viga. 
 
q
A C B
L/2 L/2
 
 
 
Respostas: 
 
1-
LEI3
bPa
δ);bL(
LEI6
Pab
θ
22
DA =+= ; 
 
2-
EI384
qL41
δ;
EI48
qL7
θ
4
B
3
B ==