Hidrodinâmica: Fundamentos e Equações

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HIDRÁULICA (Aula 03) 
Prof. Jonathan T. Lima, M.Sc. 
 
 
Sumário 
Hidrodinâmica ............................................................................ 2 
3.1 Fundamentos da hidrodinâmica ................................. 2 
3.2 Linhas de corrente e equipotenciais .......................... 2 
3.3 Equação da continuidade .......................................... 3 
3.4 Classificação dos escoamentos................................. 7 
3.5 Equação de Bernoulli ................................................. 9 
Problemas ................................................................................ 14 
Referências .............................................................................. 14 
 
 
Hidrodinâmica 
A Hidrodinâmica é a área da Hidráulica que estudo e 
descreve o movimento da água através de tubulações, canais, 
vertedouros, diques e outras estruturas hidráulicas. 
3.1 Fundamentos da hidrodinâmica 
Nesta aula o aluno deve ser capaz de compreender e 
interpretar as variáveis de um escoamento como a velocidade, 
aceleração e os campos vetoriais de pressão. 
3.2 Linhas de corrente e equipotenciais 
Considerando um escoamento bastante lento e uniforme 
é possível supor o caminho percorrido por um elemento de flui-
do qualquer. Caso esse escoamento seja mantido da mesma 
forma por um longo período não é difícil imaginar um elemento 
de fluido seguindo o mesmo caminho que o posterior e assim, 
sucessivamente. A trajetória seguida pelos elementos de fluido 
é denominada linha de corrente. Apesar do exemplo referir-se 
a escoamento lento, as linhas de correntes também podem ser 
imaginadas para um escoamento rápido. Na natureza, todos os 
3 
 
fluxos (térmico, elétrico, massa, volume etc) ocorrem de uma 
posição com maior potencial (energia) para outra posição com 
menor potencial (energia). Uma equipotencial é uma linha 
imaginária que representa o lugar geométrico formado pelos 
pontos com a mesma energia. Geometricamente, as 
equipotenciais são transversais às linhas de corrente. 
3.3 Equação da continuidade 
Considere a tubulação esquematizada na figura abaixo. 
O duto representado é tipo convergente, passando de um 
diâmetro maior para um diâmetro menor. As linhas tracejadas 
em branco compreendem um lugar “imaginário” denominado 
volume de controle (V.C.). Esse conceito é muito utilizado na 
engenharia hidráulica para isolar e representar partes 
complexas de uma estrutura e facilitar a solução de problemas. 
 
 
Figura 3.1. Volume de controle em um duto. 
4 
 
 
Define-se vazão volumétrica como a taxa de variação do 
volume no tempo como dado na equação 3.1. 
 
t
V
Q



 (3.1) 
 
Q – vazão (m3/s); 
ΔV – variação do volume (m3); 
Δt – variação do tempo (s). 
 
Pode-se ainda definir a vazão mássica (Eq. 3.2) e a 
vazão em peso (Eq. 3.3). 
 
 
Q
t
v
t
m
Qm 






 (3.2) 
 
 
Q
t
v
t
W
Qp 






 (3.3) 
 
Ao observar a figura 3.1, verificamos que a velocidade de 
deslocamento do fluido pode ser dada como na eq. 3.4. 
5 
 
 
t
v


 1

 (3.4) 
 
Δℓ1 – variação de um elemento do fluido no espaço (m). 
 
Como o volume de controle é o produto de ℓ1 pela área 
da seção transversal ao fluxo, vem 
 
1
11 vA
t
A
t
V
Q 







 (3.5) 
 
Analogamente, 
 
vAQm 
 
vAQp 
 
 
Para um escoamento contínuo a vazão em massa que 
atravessa o volume de controle 1 deve ser igual àquela que 
atravessa o volume de controle 2, logo 
 
222111 AvAv 
 (3.6) 
6 
 
 
A equação 3.6 é conhecida como equação da 
continuidade. Para o caso particular em que o fluido é 
incompressível, vem 
2211 AvAv 
 
 
Exercício 3.1: Uma tubulação semelhante àquela da figura 
3.1 possui diâmetro menor equivalente a 1/3 do diâmetro 
maior. A velocidade no trecho de maior diâmetro é igual a 
0,5 m/s. calcule a velocidade no trecho de menor diâmetro. 
 
Assumindo que o fluido é incompressível, vem 
 
2
2
2
2
12
2
2
1
1
2
1
122211
3
r
r
v
r
r
v
A
A
vvAvAv 



 
sm,vv 549 12 
 
 
 
Exercício 3.2: Uma tubulação com diâmetro de 250 mm 
transporta uma vazão de 0,08 m³/s. Calcule a velocidade do 
escoamento. 
7 
 
  222 04908601250 m,,rA 
 
sm,
,
,
A
Q
v 631
0490860
080

 
3.4 Classificação dos escoamentos 
Os escoamentos em Hidráulica podem ser de diversos 
tipos como laminar ou turbulento, livre ou forçado, permanente 
ou variável, uniforme ou variado, entre outros. A classificação é 
fundamental pois cada grupo de escoamentos possui suas 
características básicas, a partir das quais os escoamentos são 
analisados. 
 
→ escoamento laminar: as partículas do fluido movem-se ao 
longo de trajetórias bem definidas. Esse tipo de escoamento é 
realizado para fluidos com viscosidade muito elevada ou com 
baixas velocidades de escoamento. 
 
→ escoamento turbulento: as partículas do fluido movem-se em 
trajetórias irregulares com troca de quantidade de movimento 
entre regiões da massa líquida. Essa é a situação mais próxima 
do real nos problemas práticos da Hidráulica. 
8 
 
 
→ escoamento unidimensional: as propriedades do fluido (pres-
são, velocidade, vazão, massa específica) variam em uma úni-
ca dimensão no espaço. Os escoamentos podem ainda ser do 
tipo bidimensional ou tridimensional. 
 
→ escoamento rotacional: sempre que as partículas do líquido 
apresentarem rotação em relação a um eixo qualquer. Do con-
trário, o escoamento será irrotacional. 
 
→ escoamento permanente: quando as propriedades e carac-
terísticas do escoamento, em cada ponto do espaço, são cons-
tantes no tempo. Do contrário, o escoamento será não perma-
nente ou variável. 
 
→ escoamento uniforme: ocorre quando o vetor velocidade é 
idêntico, em módulo, direção e sentido, em todos os pontos do 
escoamento para um mesmo instante ou, 
v
0
s



 
Admite-se que para um fluido real, o escoamento será uniforme 
quando, por exemplo, a velocidade média para cada seção do 
9 
 
duto (ou canal) seja a mesma para um determinado instante. 
Do contrário, o escoamento é dito não uniforme ou variado. 
 
→ escoamento livre: quando todas as seções do escoamento 
estiverem em contato com a atmosfera, caso dos rios e canais. 
Ocorre em função da gravidade. 
 
→ escoamento forçado: ocorre no interior das tubulações quan-
do o fluido ocupa toda a seção transversal do escoamento. 
Pode ocorrer em função da gravidade ou de bombeamento. 
3.5 Equação de Bernoulli 
A equação de Bernoulli também denominada equação 
da conservação da energia mecânica é dada como abaixo: 
 
g
v
z
P
g
v
z
P
22
2
2
2
2
2
1
1
1 



 (3.7) 
 
Essa equação é utilizada para analisar a variação da energia 
ao longo de uma linha de escoamento e determina que a soma 
das energias em um ponto a montante (1) é igual a soma das 
energias para um ponto a jusante (2). 
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O primeiro termo da equação 3.7 é denominado energia 
devido à pressão estática; z é a energia de posição e o terceiro 
termo é a energia cinética. A soma da energia de pressão mais 
a energia de posição é denominada cota/carga piezométrica. 
Caso um indivíduo fizesse um pequeno furo em um duto 
e encaixasse um tubo capilar nessa posição ocorreria a ascen-
são da água no tubo. Definido um nível de referência, a altura 
de ascensão do fluido do tubo pode ser analisada em analogia 
com a equação de Bernoulli como na figura 3.2. 
 
 
Figura 3.2. Distribuição da energia em um ponto do escoamento em 
uma tubulação. 
11A altura atingida pelo fluido em relação ao nível de refe-
rência pode ser dividida em três componentes: a energia de 
posição (z), a energia devido à pressão estática e a energia 
devido a velocidade. Percebe-se que essas energias são con-
venientemente dadas na forma de alturas. 
 

P
 - elevação devido à pressão estática (m); 
 
z
 - elevação devido a posição (m); 
 
g
v
2
2 - elevação devido a velocidade (m); 
 
P
z

 - cota ou carga piezométrica (m). 
 
Curiosamente, nota-se que para um sistema hidrostático (v = 0) 
e quando o referencial é escolhido convenientemente só exis-
tirá a elevação devida a pressão (Teorema de Stevin). 
 
12 
 
Exercício 3.3: Um sistema semelhante aquele da figura 3.2 
possui energia total equivalente a 6,0m. Admita que a posição 
coincide com o nível de referência. A vazão de escoamento é 
de 0,05 m3/s e a tubulação possui diâmetro de 125 mm. Calcu-
le a pressão no sistema. 
sm
m
sm
A
Q
v 07,4
4
125,0
05,0
2
2
3



 
kPa
m
N
g
v
EPE
g
v
z
P
58,50
81,92
07,4
69810
22
2
3
22
















 
 
Perda de carga 
 
Nos escoamentos reais, a passagem do fluido pelos 
dutos e canais é realizada com a presença do atrito entre o 
líquido e as paredes sólidos (ou sólidos). Essa resistência ao 
escoamento dissipa a energia do fluido (perda de carga), assim 
13 
 
não é possível assegurar que a energia total do escoamento é 
mantida. Nesse caso, a equação 3.7 pode ser reescrita (3.8). 
 
2 2
1 1 2 2
1 2 12
P v P v
z z H
2g 2g
      
 
 (3.8) 
12H
 - perda de carga entre os pontos 1 e 2 (m). 
 
O escoamento sempre se dará no sentido do ponto de maior 
energia para o ponto de menor energia, isto é, no sentido da 
perda de carga. 
 
A equação universal de perda de carga ou equação de 
Darcy-Wisbach é dada como abaixo: 
 
2L v
H f
D 2g
 
 (3.9) 
 
f – fator de atrito da tubulação (-); 
D – diâmetro da tubulação (m); 
v – velocidade média do escoamento (m/s); 
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Problemas 
3.1. Foi construído um reservatório elevado com altura útil de 
12,0 m. Uma tubulação (ϕ = 150 mm) foi instalada no fundo do 
reservatório para transportar água até uma residência. Calcule: 
 
a) A vazão transportada no sistema quando o nível no 
reservatório varia muito lentamente (quase estático); 
b) A vazão quando o nível no reservatório varia de forma 
considerável (ϕ = 4,0 m). 
 
3.2. (PORTO, 2006) Numa tubulação de 300 mm de diâmetro, 
água escoa em uma extensão de 300,0 m, ligando um ponto A 
na cota topográfica de 90,0 m, no qual a pressão interna é de 
275 kN/m2, a um ponto B na cota topográfica de 75,0 m, no 
qual a pressão interna é de 345 kN/m2. Calcule a perda de 
carga entre A e B e o sentido do escoamento. Se a vazão for 
igual a 0,14 m3/s, calcule o fator de atrito da tubulação e a 
velocidade de atrito. 
Referências 
PORTO, R. M. Hidráulica Básica. 4.ed. São Paulo: EESC-
USP/Projeto REENGE, 2006.