Cálculo 1 - Integral e Primitivas

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO AMAPA´
DISCIPLINA : CA´LCULO 1
PROFESSOR : FERNANDO BRUNO MARTINS NUNES
ASSUNTO : INTEGRAL
0.1 PRIMITIVAS
0.1.1 RELAC¸A˜O ENTRE FUNC¸O˜ES COM DERIVADAS IGUAIS
Ja´ sabemos que a derivada de uma func¸a˜o constante e´ ZERO, mas uma func¸a˜o pode ter
derivada zero em todos os pontos de seu domı´nio e NA˜O ser constante. Como no exemplo
abaixo,
f(x) =
 2, se x > 01, se x < 0,
este exemplo nos mostra que f
′
(x) = 0 para x ∈ Df , mas f na˜o e´ constante.
Teorema. Seja f cont´ınua no intervalo I. Se f
′
(x) = 0 em todo x interior a I, enta˜o
existira´ uma constante k tal que f(x) = k para todo x em I.
Este Teorema nos diz que se f tiver derivada zero em todos os pontos de um intervalo,
enta˜o f sera´ constante neste intervalo.
Uma consequeˆncia deste teorema e´ o pro´ximo resultado, que relaciona func¸o˜es com
derivadas iguais.
Corola´rio. Sejam f e g func¸o˜es cont´ınuas no intervalo I. Se f
′
(x) = g
′
(x) em todo x
interior a I, enta˜o existira´ uma constante k tal que
f(x) = g(x) + k
1
para todo x em I.
0.1.2 PRIMITIVA DE UMA FUNC¸A˜O
Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo I. Uma primitiva de f em I e´ uma func¸a˜o F
definida em I tal que
F
′
(x) = f(x)
para todo x em I.
1. EXEMPLOS.
(a) F (x) =
1
3
x3 e´ uma primitiva de f(x) = x2.
(b) F (x) = sin(x) e´ uma primitiva de f(x) = cos(x).
(c) F (x) = 3x e´ uma primitiva de f(x) = 3.
OBS 1: Desde que F e´ uma primitiva de f em I, pelo que vimos nos exemplos
anteriores, para toda constante K segue que F + k e´ uma primitiva de f em I.
OBS 2: Pelo corola´rio segue que, se duas func¸o˜es tem derivadas iguais em um intervalo
I, as func¸o˜es se diferem neste intervalo I por uma constante.
OBS 3: Concluimos que as primitivas de f em I sa˜o da forma F (x) + k, onde k e´
constante.
Portanto, definimos a famı´lia das primitivas de f em I e´ dada por
y = F (x) + k,
k uma constante.
NOTAC¸A˜O :
∫
f(x)dx sera´ usada para representar a famı´lia das primitivas de f em
I,
2
∫
f(x)dx = F (x) + k,
a func¸a˜o f sera´ denominado integrando e
∫
f(x)dx e´ dita integral indefinida de f .
OBS 4: O domı´nio da func¸a˜o f em que tivermos
∫
f(x)dx e´ um intervalo, nos casos
em que na˜o for dito, fica impl´ıcito que se trata de um intervalo.
2. EXEMPLOS. Calcule:
(a)
∫
x2dx.
(b)
∫
cos(x)dx.
(c)
∫
3dx.
(d)
∫
x7dx.
(e)
∫
(sec(x))2dx.
(f)
∫
sin(x)dx.
(g)
∫
1
x
dx, x > 0.
(h)
∫
(x2 + 1)dx.
(i)
∫ √
xdx.
(j)
∫
3
√
x2dx.
(k)
∫
(x+
1
x8
)dx.
Alguns dos exemplos acima podem ser resolvidos com a seguinte te´cnica. Seja α um
nu´mero real fixo, enta˜o
∫
xαdx =

xα+1
α + 1
+ k, se α 6= −1
(lnx) + k, se α = −1(x > 0).
3