conjuntos fuzzy

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Disciplina: Métodos matemáticos aplicados à Engenharia de Produção 
Curso: Engenharia de Produção/ 8º Período 
Professor: Tarcísio Costa Brum 
Faculdade Estácio de Sá – Juiz de Fora/MG 
 
 
LISTA 2: Conjuntos fuzzy 
 
1) Dado os números fuzzy triangulares A=(1,2,3) e B=(4,5,6), verifique a convexidade dos 
conjuntos A, B e A U B. 
 
Dado par de pontos r e s pertencentes a um conjunto, temos que, para qualquer α ϵ (0,1) 
T= α r+(1- α)s também pertence ao conjunto. 
 
Para α=0.4 verifiquemos: 
 
A: r=1 e s=2 t=0.4*1+0.6*2=1.8 ϵ A logo o conjunto representado pelo número fuzzy A é 
convexo. 
B: r=4 e s=5 t=0.4*4+0.6*5=4.6 ϵ B logo o conjunto representado pelo número fuzzy B é 
convexo. 
A U B: r=2 e s=5 t=0.4*2+0.6*5=3.8 ɇ A U B logo o conjunto representado pelo número fuzzy 
A U B é não convexo. 
 
2) Dado o conjunto universo U={a,b,c,d,e,f,g} e os conjuntos fuzzy A={1/a, 0.7/b, 0.4/c, 0/d, 
0.8/e, 0.1/f, 0.2/g} e B={0.2/a, 0.3/b, 0.4/c, 0.5/d, 0.6/e, 0.7/f, 1/g}. Determine os conjuntos: 
 
a. C= A ∩ B 
b. C= A U B 
c. C= A̅ 
 
C= A ∩ B={0.2/a, 0.3/b, 0.4/c, 0/d, 0.6/e, 0.1/f, 0.2/g}→{a,b,c,e,f,g} 
C= A U B={1/a, 0.7/b, 0.4/c, 0.5/d, 0.8/e, 0.7/f, 1/g} → {a,b,c,d,e,f,g} 
C= A̅={0/a,0.3/b, 0.6/c, 1/d, 0.2/e, 0.9/f, 0.8/g} → {b,c,d,e,f,g} 
 
3) Analise o gráfico dos números fuzzy a seguir e responda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Qual o suporte do conjunto adulto? 
Sup=[15,...,42] 
b. Qual o suporte do conjunto adolescente? 
Sup=[9,...,20] 
c. Qual o universo do discurso da variável idade? 
U=[0,...,100] 
d. Qual o universo do discurso da variável meia idade? 
U=[0,...,100] 
e. Em qual intervalo de idade uma pessoa pode ser classificada como adolescente e 
criança? 
I=[9,...,13] 
f. Em qual faixa de idade uma pessoa é classificada somente como adolescente? 
I=[13,...,15] 
 
 
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4) Considere os conjuntos fuzzy que representam a classificação de uma pessoa quanto a ser jovem, 
adulta e idosa, de acordo com a idade. 
 
Idade Jovem Adulto Idoso 
5 0 0 0 
15 0.2 0.1 0 
25 0.9 0.5 0 
35 1 0.8 0 
45 0.6 1 0.1 
55 0.2 1 0.2 
65 0.1 1 0.6 
75 0 1 1 
85 0 1 1 
90 0 1 1 
95 0 1 1 
100 0 1 1 
 
a. Qual o suporte dos conjuntos jovem, adulto e idoso? 
Sup_jovem=[15,...,65]; Sup_adulto=[15,...,100]; Sup_idoso=[45,...,100] 
b. Qual a altura dos conjuntos jovem, adulto e idoso? 
Alt_jovem=1; Alt_adulto=1; Alt_idoso=1 
c. Represente o conjunto idoso de acordo com a classificação brasileira para uma pessoa ser 
considerada idosa. (idade>=60). O conjunto idoso nesta situação pode ser considerado como 
conjunto fuzzy? 
Idade Idoso 
5 0 
15 0 
25 0 
35 0 
45 0 
55 0 
65 1 
75 1 
85 1 
90 1 
95 1 
100 1 
 
Nesta situação, o conjunto idoso é um conjunto clássico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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d. Sendo um conjunto α-Corte, Determine 𝐽𝑜𝑣𝑒𝑚0.2 U 𝐴𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜0.2; 𝐽𝑜𝑣𝑒𝑚0.5 ∩ 𝐴𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜0.3. 
 
Idade Jovem Adulto 𝐽𝑜𝑣𝑒𝑚0.2 U 𝐴𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜0.2 𝐽𝑜𝑣𝑒𝑚0.5 ∩ 𝐴𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜0.3 
5 0 0 0 0 
15 0.2 0.1 0.2 0 
25 0.9 0.5 0.9 0.5 
35 1 0.8 1 0.8 
45 0.6 1 1 0.6 
55 0.2 1 1 0 
65 0.1 1 1 0 
75 0 1 1 0 
85 0 1 1 0 
90 0 1 1 0 
95 0 1 1 0 
100 0 1 1 0 
 
e. Em qual (is) idade (s) uma pessoa pode ser considerada jovem, adulta e idosa ao mesmo tempo? 
Jovem ∩ Adulto ∩ Idoso= [45,...65] 
 
5) Descreva as diferenças entre a lógica clássica e a lógica difusa, mostrando por um exemplo os 
conjuntos de elementos clássicos e os conjuntos difusos. Faça também uma representação 
gráfica. 
A lógica clássica possui função de pertinência do tipo booleana, com valores de 0 ou 1. A lógica 
difusa possui função de pertinência com valores contidos no intervalo entre 0 e 1. 
Considere um exemplo de conjunto de pessoas “altas”. Em uma abordagem clássica, pessoas 
com altura igual ou maior a 1.75m são consideradas altas e, abaixo disso não altas. Na lógica 
difusa, uma pessoa é considera alta pelo seu grau de pertinência, tendo pessoas com 1.60m 
consideradas altas com grau baixo de pertinência e pessoas com 1.90m consideradas altas com 
alto grau de pertinência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Dados dois números fuzzy triangular A e B quaisquer, utilizando representação gráfica explique 
porque A U B = max{𝜇𝐴(𝑥), 𝜇𝐵(𝑥)} e A ∩ B = min{𝜇𝐴(𝑥), 𝜇𝐵(𝑥)}. 
 
 
No primeiro gráfico (A U B), tem-se que a pertinência do elemento x ϵ (A U B) é sempre a 
maior entre os conjuntos A e B enquanto no segundo gráfico (A ∩ B) a pertinência do elemento 
x ϵ (A ∩ B) é sempre a menor entre A e B. 
 
 
 
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7) Dadas as funções a seguir, definidas no universo X=[0,1,2,...,10] determine: 
 
𝜇𝐴(𝑥) =
1
1 + 𝑒−𝑥
 𝜇𝐵(𝑥) = 1 − 2 (
𝑥 − 1
3
)
2
 𝜇𝐶(𝑥) =
𝑥
𝑥 + 5
 
 
𝐴0.2 ∩ 𝐴0.5 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,910} 
 𝐴0.5 U 𝐵0.2 = {0,1,2,3} 
𝐴0.8 U 𝐶0.2 = {2,3,4,5,6,7,8,9,10} 
 𝐵0.2 ∩ 𝐶0.8 = {⊘} 
𝐴1 U 𝐶0.5 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,910} 
 𝐴0 U 𝐵0 U 𝐶0 = {0,1,2,3} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os gráficos são recursos para ilustrar a visualização das funções e não são exigência da 
questão. 
 
 
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8) Para os conjuntos B e C, definidos no universo U=[0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4], conforme figura 
abaixo, determine: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. 𝑆∩(𝐵, 𝐶) = 0.3892 
 
b. 𝑆𝑈(𝐵, 𝐶) = 0.4240 
 
c. 𝑆∩(𝐶, 𝐵) = 0.8657 
 
d. 𝑆𝑈(𝐶, 𝐵) = 0.9430 
 
e. 𝑆𝑈(𝐵𝛼=0.3, 𝐶𝛼=0.3) = 0.4457 
 
f. 𝑆𝑈(𝐵+𝛼=0.3, 𝐶+𝛼=0.3) = 0.4019 
 
g. 𝑆𝑈(𝐵𝛼=0.3, 𝐶𝛼=0.7) = 0.2217 
 
9) Sejam os conjuntos fuzzy triangulares A=(-3,2,8) e B=(-1,3,15). Para os conjuntos α-Corte com 
α=0.3; α=0.9 e α= (interseção das retas) escreva: 
 
a. Os elementos x do conjunto universo X  R tal que x ϵ (A ꓵ B)
𝛼
. 
 
(A ꓵ B)
0.3
= [0.2, … ,6.2] 
(A ꓵ B)
0.9
= [2.6] 
(A ꓵ B)
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒çã𝑜
= [2.6] 
 
b. Os elementos x do conjunto universo X  R tal que x ϵ (A U B)
𝛼
 
 
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(A U B)
0.3
= [−1.5, … ,11.4] 
(A U B)
0.9
= [1.5, … ,4.2] 
(A U B)
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒çã𝑜
= [1.5, … ,4.2] 
 
10) Dado um número fuzzy triangular A = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) qualquer (mostrado na figura a seguir), mostre 
que sua função de pertinência é expressa da forma 𝜇𝐴(𝑥), onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvendo a equação (2) temos: 
a=tgα = 𝑎 = 𝑡𝑔 𝛼 =
1
𝑎2−𝑎1
 
Por semelhança de triângulos temos que: 
𝑡𝑔 α =
𝑏
−𝑎1
=
1
𝑎2 − 𝑎1𝜇𝐴(𝑥) =
𝑥
𝑎2 − 𝑎1
−
𝑎1
𝑎2 − 𝑎1
=
𝑥 − 𝑎1
𝑎2 − 𝑎1
 
𝜇𝐴(𝑥) = −𝑎𝑥 + 𝑏 (3) 𝜇𝐴(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 (2) 
𝜇𝐴(𝑥) = 0 (4) 𝜇𝐴(𝑥) = 0 (1) 
α