Análise Combinatória: Triângulos, Anagramas e Probabilidade

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Questão 1/5 - Análise Combinatória
Marcam-se 5 pontos sobre uma reta rr e 8 pontos sobre uma reta ss paralela a rr. Assinale a alternativa que apresenta o número exato de triângulos que existem com vértices em 3 desses 13 pontos.
Nota: 20.0
	
	A
	38
	
	B
	80
	
	C
	144
	
	D
	220
Você acertou!
Para formar um triângulo, ou tomamos um vértice em rr e dois em ss ou tomamos um vértice em ss e dois em rr. O número de triângulos do 1º tipo é 5⋅C8,25⋅C8,2 e o do 2º tipo é 8⋅C5,2.8⋅C5,2. Portanto, existem 5⋅C8,2+8⋅C5,2=140+80=2205⋅C8,2+8⋅C5,2=140+80=220 triângulos.
	
	E
	448
Questão 2/5 - Análise Combinatória
Com base na palavra CAPÍTULO, analise as afirmativas:
I. O número de anagramas dessa palavra é igual a 5040.
II. O número de anagramas dessa palavra que começam por consoante e terminam por vogal é igual a 11520. 
III. O número de anagramas dessa palavra que têm as letras C, A, P juntas nessa ordem é igual a 120. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 20.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
Você acertou!
O número de anagramas da palavra CAPÍTULO é igual a 8!=403208!=40320. Logo, a afirmativa I é incorreta. Observamos que há 4 maneiras de escolher a consoante que será a primeira letra do anagrama e 4 maneiras de escolher a vogal que será a última letra do anagrama. Depois disso, há 6!6! modos de arrumar as demais letras entre a primeira e a última. Portanto, o número de anagramas que começam por consoante e terminam por vogal é igual a 4×4×6!=115204×4×6!=11520. Assim, a afirmativa II é correta. Para a afirmativa III, consideramos CAP como se fosse uma única letra. Assim, devemos permutar 6 objetos: CAP, I, T, U, L, O. Portanto, o número de anagramas que podemos formar com as letras C, A, P juntas nessa ordem é igual a 6!=7206!=720 e a afirmativa III é incorreta.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 3/5 - Análise Combinatória
Lança-se um dado perfeito (com seis faces, numeradas de 1 a 6, todas com a mesma probabilidade de serem obtidas) e verifica-se o número voltado para cima. Com base nesse experimento aleatório, coloque V quando for verdadeira e F quando falsa.
I.  (   ) A probabilidade de tirar um 3 é 1616.
II. (   ) A probabilidade de tirar um número ímpar é 1212. 
III.  (   ) A probabilidade de tirar um 3 ou um 5 é 1313. 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 20.0
	
	A
	V – V – V
Você acertou!
O espaço amostral é dado por Ω={1,2,3,4,5,6}Ω={1,2,3,4,5,6} e #Ω=6#Ω=6. Considere AA o evento "tirar um 3". Então, A={3}A={3} com #A=1#A=1. Logo, a probabilidade de tirar um 3 é P(A)=#A#Ω=16P(A)=#A#Ω=16 e a afirmativa I é verdadeira. Seja BB o evento "tirar um número ímpar". Então, B={1,3,5}B={1,3,5} com #B=3#B=3. Assim, P(B)=36=12P(B)=36=12 e a afirmativa II é verdadeira. Para a afirmativa III, seja CC o evento "tirar um 5". Logo, a probabilidade de tirar um 3 ou um 5 é dada por P(A∪C)=P(A)+P(C)=16+16=13P(A∪C)=P(A)+P(C)=16+16=13, uma vez que os eventos AA e CC são mutuamente exclusivos (A∩C=∅A∩C=∅). Assim, a afirmativa III é verdadeira.
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 4/5 - Análise Combinatória
Considere o triângulo de Pascal parcialmente apresentado abaixo:
1a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:13311a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:1331
Com base nesse triângulo, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) A terceira linha do triângulo de Pascal contém os números binomiais com n=2n=2, isto é, (20),(21)(20),(21) e (22).(22).
 
II. (   ) A quinta linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 4, 6, 4 e 1, dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
III. (   ) Os coeficientes que aparecem no desenvolvimento do binômio (x+a)5(x+a)5 com a∈R,a≠0a∈R,a≠0 são 1, 5 e 10. 
 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 20.0
	
	A
	V – V – V
Você acertou!
A terceira linha do triângulo de Pascal é formada pelos números (20)=1,(21)=2(20)=1,(21)=2 e (22)=1.(22)=1. Logo, a afirmativa I é verdadeira. A 5ª linha é formada pelos números binomiais: (40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4(40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4 e (44)=1.(44)=1. Assim, a afirmativa II é verdadeira. Notamos também que a 6ª linha do triângulo de Pascal contém os coeficientes do desenvolvimento de (x+a)5(x+a)5. Calculando os números binomiais com n=6n=6, encontramos os coeficientes: 1, 5 e 10. Portanto, a afirmativa III é verdadeira.
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 5/5 - Análise Combinatória
Uma urna contém 10 bolas brancas, 5 bolas amarelas e 10 bolas pretas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna e verifica-se que não é preta. Assinale a alternativa que apresenta a probabilidade da bola ser amarela.
Nota: 0.0
	
	A
	1313
Trata-se de uma probabilidade condicional. Sejam AA o evento "bola selecionada é amarela" e BB o evento "bola selecionada não é preta". Verificamos que P(A∩B)=525P(A∩B)=525 e P(B)=1525P(B)=1525. Assim, a probabilidade da bola escolhida ser amarela, uma vez que não é preta é P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=13.P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=13.
	
	B
	1515
	
	C
	325325
	
	D
	225225 
	
	E
	125125
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