Equações Diferenciais de Primeira Ordem

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Equações Diferenciais de Primeira Ordem
Equação diferencial de primeira ordem é da forma:
Se g(x) é uma função continua dada, então a equação de primeira ordem 
 (1)
Pode ser resolvida por integração. A solução é
Equação Separável
 
Definição – Equação Separável
Uma equação diferencial da forma
é chamada de separável ou tem variáveis separáveis.
Observe que uma equação separável pode ser escrita como
 (2)
É imediato que (2) se reduz a (1) quando h(y) = 1.
Agora, se y = f (x) denota uma solução para (2), temos
logo,
Mas dy = f´(x)dx, a eq. acima é o mesmo que
Equação Homogênea
Definição – Função Homogênea
Se uma função f satisfaz
			
Para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.
Definição – Equação Homogênea
Uma equação diferencial da forma
é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau.
Método de Solução
Uma equação diferencial homogênea pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica. Especificamente, a substituição y = ux ou x = vy, em que ‘u’ e ‘v’ são novas variáveis independentes, transformará a equação diferencial de primeira ordem separável . Para ver isso, seja y = ux; então, sua diferencial dy = u dx + x du. Substituindo na eq. Homogênea, temos
Equação Exata
Definição – Equação Exata
Uma expressão diferencial
é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f (x, y). Uma equação diferencial da forma
é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata.
Teorema – Critério para uma diferencial exata
Sejam M (x, y) e N (x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R definida por a < x < b, c < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente para que
			
seja uma diferencial exata é
Método de Solução
Dada a equação 
Mostre primeiro que
Depois suponha que
daí podemos encontrar f integrando M(x, y) com relação a x, considerando y constante.
Escrevemos,
 
em que a função arbitrária g (y) é a constante de integração. Agora, derivando f(x,y) com relação a y e supondo 
Assim,
			
 
Finalmente, integre g’(y) com relação a y e substitua o resultado em f(x,y). A solução para a equação é f (x, y) = c.
Equação Linear
Definição – Equação Linear
Uma equação diferencial da forma
			
é chamada de equação linear.
Resolvendo uma Equação Linear de Primeira Ordem
Para resolver uma equação linear de primeira ordem, primeiro coloque – a na forma abaixo, isto é, faça o coeficiente de 
Identifique P(x) e encontre o fator de integração
Multiplique a equação obtida em pelo fator de integração:
O lado esquerdo da equação em é a derivada do produto do fator de integração e a variável independente y; isto é,
Integre ambos os lados da equação encontrada e obtemos
Equações de Bernoulli, Ricatti e Clairaut
Equação de Bernoulli
A equação diferencial
			
 
em que n é um número real qualquer, é chamada de Equação de Bernoulli. Para n = 0 e n = 1, a equação é linear em y. Agora, se y 
0, pode ser escrita como
			
 
Se fizermos w = y 1 – n, n 
0, n 
1, então
			
Com essa substituição, transforma – se na equação linear
			
 
	
Resolvendo e depois fazendo y 1 – n = w, obtemos uma solução para.
Equação de Ricatti
A equação diferencial não – linear
			
 
é chamada de equação de Ricatti. Se y1 é uma solução particular para 
então as substituições
		
 e 
produzem a seguinte equação diferencial para u:
		
 
Como é uma equação de Bernoulli com n = 2, ela pode, por sua vez, ser reduzida à equação linear
		
 (6)
através da substituição w = u – 1.
Equação de Clairaut
Como exercício você deverá mostrar que uma solução para a equação de Clairaut
			
	 (7)
é a família de retas y = cx + f (c), em que c é uma constante arbitrária. Ainda, (7) pode também possuir uma solução em forma paramétrica:
			
Essa última solução é singular, pois, se f´´ (t) 
0, ela não pode ser obtida da família de soluções y = cx + f (c).
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