2016 2 EDO Atv02

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DISCIPLINA: EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS
PROFESSOR: GISLAN SILVEIRA SANTOS
CURSO: SEMESTRE: 2016-2
DATA DE ENTREGA: 07/03/2017
NOTA:
ALUNOS:
2ª Atividade Avaliativa - Valor 2, 0 pontos
1. Somente sera˜o aceitas as questo˜es com os ca´lculos e/ou justificativas;
2. Na˜o sera˜o aceitas respostas a` la´pis. Responda com caneta de tinta azul ou preta;
3. Sejam organizados (as). Evitem rasuras.
1. (1,00) Considere a seguinte equac¸a˜o:
y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = g(x) (1)
(a) Encontre uma fo´rmula envolvendo integrais para uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o diferencial (1).
(b) Usando a fo´rmula encontrada no item (a), determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (1) se g(x) = x−2ex.
2. (1,00) Considere a seguinte equac¸a˜o de Cauchy-Euler:
x2y′′ + α1xy′ + α2y = 0 , α1, α2 ∈ R (2)
(a) Mostre que a substituic¸a˜o x = et , x > 0 reduz a equac¸a˜o (2) a uma equac¸a˜o linear com coeficientes
constantes na varia´vel t.
(b) Mostre que as soluc¸o˜es da equac¸a˜o obtida no item (a) sa˜o do tipo:
ert , tert , eαt cosβt , eαt senβt
Desta forma, as soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Cauchy-Euler (2) teˆm a forma:
ert = (et)
r
= xr ou
tert = (lnx)xr ou
eαt cosβt = (et)
α
cosβt = xα cosβlnx ou
eαt senβt = (et)
α
senβt = xα senβlnx