Exercícios de geometria analítica

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Lista2CVGA20132(1).pdf
Universidade Veiga deAlmeida
Professora: Adriana Nogueira
Curso: Ba´sico das Engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
2a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1: Represente no sistema de coordenadas cartesianas os ve-
tores abaixo:
(a) −→v = (4, 0, 2)
(b) −→v = (−1, 2, 3)
(c) −→v = (2, 4, 5)
(d) −→v = (3,−2, 4)
Exerc´ıcio 2: Dados os vetores −→u = 2−→i +3−→j −5−→k , −→v = −→i −−→j −3−→k ,
−→w = 6−→i − 7−→j + 3−→k , determine:
(a) −→r = 2−→u + 3−→v ;
(b) −→r = −→u + 5−→w ;
(c) −→r = −→u −−→v +−→w ;
(d) −→r = −→u − 2−→i + 7−→j +−→w .
Exerc´ıcio 3: Dados os pontos A=(1,2,6), B=(3,-2,5) e C=(1,1,-1), de-
termine:
(a) Os vetores −−→AB, −−→CB e −→AC;
(b) |−−→AB|, |−−→BC|;
(c) d(A,C);
(d) O ponto me´dio entre A e B;
(e) O ponto me´dio entre A e C.
Exerc´ıcio 4: Determine os versores de:
(a) −→u = (1, 5, 2);
(b) −→u = (−2, 6, 0);
(c) −→u = (1, 1, 6).
Exerc´ıcio 5: Determine o ponto inicial do segmento orientado AB
que representa o vetor −→v = (−1, 2, 1) sabendo que sua extremidade e´
B = (2, 9, 4).
1
Exerc´ıcio 6: Encontre os mo´dulos dos vetores dados abaixo:
(a) −→u = (2, 1,−3);
(b) −→u = (5, 0, 1);
(c) −→u = (1, 1, 3).
Exerc´ıcio 7: Dado o vetor −→u = (1, 3, 2), determine o vetor −→v paralelo
a −→u que tenha:
(a) mesmo sentido de −→u e comprimento cinco vezes o comprimento de −→u ;
(b) sentido oposto ao de −→u e mo´dulo 5.
Exerc´ıcio 8: Determine a distaˆncia do ponto A=(1,2,7)
(a) ao plano xz;
(b) ao plano xy;
(c) ao plano yz;
(d) ao eixo x;
(e) ao eixo y;
(f) ao eixo z.
Exerc´ıcio 9: Determine quais dos vetores abaixo sa˜o paralelos:
−→u = (1, 3,−2), −→v = (2, 6,−4), −→w = (−1,−3, 4), −→t = (11, 33,−22).
Exerc´ıcio 10: Dado o vetor −→u = (α, 12 , 13), determine α para que −→u
seja um versor.
Exerc´ıcio 11: Sendo A = (−1, 3, 1) e B = (2, 4,−1) ve´rtices consec-
utivos do paralelogramo ABCD, determine os pontos C e D sabendo que
M = (1, 0,−1) e´ o ponto me´dio das diagonais.
Exerc´ıcio 12: Obtenha um ponto P no eixo das abscissas de tal maneira
que d(P,Q) = 5, sendo Q = (−1, 1, 3).
Exerc´ıcio 13: Dados A = (−1, 1, 5), B = (2, 3, 1), C = (5,−2, 4),
determine o ponto D que verifica:
−−→
AB − 3−−→CD = −→0
2
Exerc´ıcio 14: Calcule os valores de a para que o vetor −→u = (1, a,−3)
tenha o mesmo comprimento de −→v = (5,−1, 1).
Exerc´ıcio 15: Dados −→u = (2a + 3, 5, 2 + c), −→v = (1, 1 − b, 3), −→w =
(4, 4,−3), calcule os valores de a, b e c para os quais:
−→u + 2−→v − 3−→w = −→0
3
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Professora: Adriana Nogueira
Curso: Ba´sico das Engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
2a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1: Represente no sistema de coordenadas cartesianas os ve-
tores abaixo:
(a) −→v = (4, 0, 2)
(b) −→v = (−1, 2, 3)
(c) −→v = (2, 4, 5)
(d) −→v = (3,−2, 4)
Exerc´ıcio 2: Dados os vetores −→u = 2−→i +3−→j −5−→k , −→v = −→i −−→j −3−→k ,
−→w = 6−→i − 7−→j + 3−→k , determine:
(a) −→r = 2−→u + 3−→v ;
(b) −→r = −→u + 5−→w ;
(c) −→r = −→u −−→v +−→w ;
(d) −→r = −→u − 2−→i + 7−→j +−→w .
Exerc´ıcio 3: Dados os pontos A=(1,2,6), B=(3,-2,5) e C=(1,1,-1), de-
termine:
(a) Os vetores −−→AB, −−→CB e −→AC;
(b) |−−→AB|, |−−→BC|;
(c) d(A,C);
(d) O ponto me´dio entre A e B;
(e) O ponto me´dio entre A e C.
Exerc´ıcio 4: Determine os versores de:
(a) −→u = (1, 5, 2);
(b) −→u = (−2, 6, 0);
(c) −→u = (1, 1, 6).
Exerc´ıcio 5: Determine o ponto inicial do segmento orientado AB
que representa o vetor −→v = (−1, 2, 1) sabendo que sua extremidade e´
B = (2, 9, 4).
1
Exerc´ıcio 6: Encontre os mo´dulos dos vetores dados abaixo:
(a) −→u = (2, 1,−3);
(b) −→u = (5, 0, 1);
(c) −→u = (1, 1, 3).
Exerc´ıcio 7: Dado o vetor −→u = (1, 3, 2), determine o vetor −→v paralelo
a −→u que tenha:
(a) mesmo sentido de −→u e comprimento cinco vezes o comprimento de −→u ;
(b) sentido oposto ao de −→u e mo´dulo 5.
Exerc´ıcio 8: Determine a distaˆncia do ponto A=(1,2,7)
(a) ao plano xz;
(b) ao plano xy;
(c) ao plano yz;
(d) ao eixo x;
(e) ao eixo y;
(f) ao eixo z.
Exerc´ıcio 9: Determine quais dos vetores abaixo sa˜o paralelos:
−→u = (1, 3,−2), −→v = (2, 6,−4), −→w = (−1,−3, 4), −→t = (11, 33,−22).
Exerc´ıcio 10: Dado o vetor −→u = (α, 12 , 13), determine α para que −→u
seja um versor.
Exerc´ıcio 11: Sendo A = (−1, 3, 1) e B = (2, 4,−1) ve´rtices consec-
utivos do paralelogramo ABCD, determine os pontos C e D sabendo que
M = (1, 0,−1) e´ o ponto me´dio das diagonais.
Exerc´ıcio 12: Obtenha um ponto P no eixo das abscissas de tal maneira
que d(P,Q) = 5, sendo Q = (−1, 1, 3).
Exerc´ıcio 13: Dados A = (−1, 1, 5), B = (2, 3, 1), C = (5,−2, 4),
determine o ponto D que verifica:
−−→
AB − 3−−→CD = −→0
2
Exerc´ıcio 14: Calcule os valores de a para que o vetor −→u = (1, a,−3)
tenha o mesmo comprimento de −→v = (5,−1, 1).
Exerc´ıcio 15: Dados −→u = (2a + 3, 5, 2 + c), −→v = (1, 1 − b, 3), −→w =
(4, 4,−3), calcule os valores de a, b e c para os quais:
−→u + 2−→v − 3−→w = −→0
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Curso: Ba´sico das engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
Professora: Adriana Nogueira
3a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1: Dados −→u = (2, 1, 0), −→v = (−1,−2, 3), −→w = (3, 2, 1) cal-
cule os seguintes produtos escalares:
a) 2−→u · −→v
b) (−→u +−→v ) · −→w
c) −→w · (−→u + 3−→v )
d) (−→u +−→v ) · (−→v −−→w )
Exerc´ıcio 2: Considere os vetores −→u e −→v tais que |−→u | = 3, |−→v | = 2 e
o aˆngulo entre eles e´ de θ = 150◦. Calcule:
a) −→u · −→v
b) |−→u +−→v |
c) |−→u −−→v |
d) (−→u −−→v ) · (−→u +−→v )
Exerc´ıcio 3: Sabendo que |−→u | = 3, |−→v | = 7 e −→u · −→v = −2, calcule:
a) (2−→u +−→v ) · −→v
b) (−→u − 3−→v ) · (4−→u +−→v )
c) (3−→u + 2−→v ) · (−→u −−→v )
1
Exerc´ıcio 4: Calcule o aˆngulo entre os vetores dados abaixo:
a) −→u = (1,−1, 2) e −→v = (4, 1, 7)
b) −→u = (−3, 2, 7) e −→v = (0, 0, 2)
c) −→i e −→u = (1, 0, 3)
Exerc´ıcio 5: Verifique se os vetores abaixo sa˜o ortogonais:
a)−→u = (1, 0,−3) e −→v = (0, 1, 1)
b) −→u = (0, 1, 1) e −→v = (−1, 2,−2)
c) −→u = (2, 5, 5) e −→v = (5, 0,−2)
Exerc´ıcio 6: Calcule o valor de a para que os vetores −→u = (3a+1, 5,−3)
e −→v = (2, a− 3, 7) sejam ortogonais.
Exerc´ıcio 7: Considere o triaˆngulo ABC com ve´rtices em A = (1, 2, 1),
B = (−1, 3, 2) e C = (2, 1, 1). Determine o aˆngulo interno ao ve´rtice A.
Exerc´ıcio 8: Dados os pontos A = (0, a + 1, 4), B = (a − 1, 2a, 2) e
C = (1, a−5,−1), determine a de modo que o triaˆngulo ABC seja retaˆngulo
em A.
Exerc´ıcio 9: Determine o vetor −→u ortogonal ao vetor −→v = (−1, 0, 1),
tal que |−→u | = 5 e o aˆngulo entre −→u e −→w = (1, 0, 1) e´ θ = 45o.
Exerc´ıcio 10: Dado o vetor −→u = (1, 2, 1) , determine:
a) Um vetor ortogonal a −→u
b) Um vetor unita´rio ortogonal a −→u
c) Um vetor de mo´dulo 2 ortogonal a −→u
2
Exerc´ıcio 11: Sabe-se que −→v e´ um vetor no espac¸o que forma com os
vetores −→i e −→k aˆngulos de α = 30o e β = 60o respectivamente. Determine
−→v sabendo que |−→v | = 6 .
Exerc´ıcio 12: Sabe-se que −→v e´ um vetor no espac¸o que forma com os
vetores −→i e −→j aˆngulos de α = 60o e β = 120o respectivamente. Determine
−→v sabendo que |−→v | = 2 .
Exerc´ıcio 13: Determine os aˆngulos diretores dos vetores:
a) −→v = (1, 0,−1)
b) −→v = (2, 2, 0)
c) −→v = (1, 2,−1)
Exerc´ıcio 14: Dados os vetores −→u e −→v abaixo, encontre a projec¸a˜o
ortogonal de −→v sobre −→u .
a) −→u = (1, 2,−1) e −→v = (−1, 0, 3)
b) −→u = (0, 3, 1) e −→v = (1, 1,−2)
c) −→u = (1, 1, 4) e
−→v = (−2, 3, 0)
Exerc´ıcio 15: Calcule o comprimento da projec¸a˜o ortogonal do vetor
−→v = (3,−2, 5) sobre o vetor −→i .
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Curso: Ba´sico das engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
Professora: Adriana Nogueira
3a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1: Dados −→u = (2, 1, 0), −→v = (−1,−2, 3), −→w = (3, 2, 1) cal-
cule os seguintes produtos escalares:
a) 2−→u · −→v
b) (−→u +−→v ) · −→w
c) −→w · (−→u + 3−→v )
d) (−→u +−→v ) · (−→v −−→w )
Exerc´ıcio 2: Considere os vetores −→u e −→v tais que |−→u | = 3, |−→v | = 2 e
o aˆngulo entre eles e´ de θ = 150◦. Calcule:
a) −→u · −→v
b) |−→u +−→v |
c) |−→u −−→v |
d) (−→u −−→v ) · (−→u +−→v )
Exerc´ıcio 3: Sabendo que |−→u | = 3, |−→v | = 7 e −→u · −→v = −2, calcule:
a) (2−→u +−→v ) · −→v
b) (−→u − 3−→v ) · (4−→u +−→v )
c) (3−→u + 2−→v ) · (−→u −−→v )
1
Exerc´ıcio 4: Calcule o aˆngulo entre os vetores dados abaixo:
a) −→u = (1,−1, 2) e −→v = (4, 1, 7)
b) −→u = (−3, 2, 7) e −→v = (0, 0, 2)
c) −→i e −→u = (1, 0, 3)
Exerc´ıcio 5: Verifique se os vetores abaixo sa˜o ortogonais:
a)−→u = (1, 0,−3) e −→v = (0, 1, 1)
b) −→u = (0, 1, 1) e −→v = (−1, 2,−2)
c) −→u = (2, 5, 5) e −→v = (5, 0,−2)
Exerc´ıcio 6: Calcule o valor de a para que os vetores −→u = (3a+1, 5,−3)
e −→v = (2, a− 3, 7) sejam ortogonais.
Exerc´ıcio 7: Considere o triaˆngulo ABC com ve´rtices em A = (1, 2, 1),
B = (−1, 3, 2) e C = (2, 1, 1). Determine o aˆngulo interno ao ve´rtice A.
Exerc´ıcio 8: Dados os pontos A = (0, a + 1, 4), B = (a − 1, 2a, 2) e
C = (1, a−5,−1), determine a de modo que o triaˆngulo ABC seja retaˆngulo
em A.
Exerc´ıcio 9: Determine o vetor −→u ortogonal ao vetor −→v = (−1, 0, 1),
tal que |−→u | = 5 e o aˆngulo entre −→u e −→w = (1, 0, 1) e´ θ = 45o.
Exerc´ıcio 10: Dado o vetor −→u = (1, 2, 1) , determine:
a) Um vetor ortogonal a −→u
b) Um vetor unita´rio ortogonal a −→u
c) Um vetor de mo´dulo 2 ortogonal a −→u
2
Exerc´ıcio 11: Sabe-se que −→v e´ um vetor no espac¸o que forma com os
vetores −→i e −→k aˆngulos de α = 30o e β = 60o respectivamente. Determine
−→v sabendo que |−→v | = 6 .
Exerc´ıcio 12: Sabe-se que −→v e´ um vetor no espac¸o que forma com os
vetores −→i e −→j aˆngulos de α = 60o e β = 120o respectivamente. Determine
−→v sabendo que |−→v | = 2 .
Exerc´ıcio 13: Determine os aˆngulos diretores dos vetores:
a) −→v = (1, 0,−1)
b) −→v = (2, 2, 0)
c) −→v = (1, 2,−1)
Exerc´ıcio 14: Dados os vetores −→u e −→v abaixo, encontre a projec¸a˜o
ortogonal de −→v sobre −→u .
a) −→u = (1, 2,−1) e −→v = (−1, 0, 3)
b) −→u = (0, 3, 1) e −→v = (1, 1,−2)
c) −→u = (1, 1, 4) e −→v = (−2, 3, 0)
Exerc´ıcio 15: Calcule o comprimento da projec¸a˜o ortogonal do vetor
−→v = (3,−2, 5) sobre o vetor −→i .
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Curso: Ba´sico das Engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
Professora: Adriana Nogueira
4a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1: Dados os vetores −→u = (0, 0, 2), −→v = (−3, 1, 3), −→w =
(1, 1, 0), calcule:
(a) −→u ×−→u ;
(b) −→u ×−→v ;
(c) −→v ×−→w ;
(d) (−→u ×−→v ) + (−→v ×−→u );
(e) −→v .(−→u ×−→v );
(f) (2−→v )× (3−→v );
(g) (−→u −−→v )× (−→u +−→v ).
Exerc´ıcio 2: Calcule:
(a) (5−→i )× (3−→i + 4−→j )
(b) (2−→j +−→k )× (8−→k )
(c) (4−→i − 5−→j )× (3−→j )
(d) (5−→k − 3−→j )× (8−→j )
Exerc´ıcio 3: Dados os pontos A = (1, 2, 0), B = (−1,−2, 3) e C =
(2,−1, 1), determine o ponto D para que se tenha −−→AD = −−→BC ×−→AC.
1
Exerc´ıcio 4: Sabendo que |−→u | = 1, |−→v | = 7 e o aˆngulo entre os vetores
−→u e −→v e´ θ = pi6 calcule:
(a) |−→u ×−→v |;
(b) |13−→u × 34−→v |
Exerc´ıcio 5: Calcule a a´rea do paralelogramo formado pelos vetores
−→u = (1, 1,−1) e −→v = (2, 1, 4).
Exerc´ıcio 6: Calcule a a´rea do triaˆngulo formado pelos vetores −→u =
(0, 1, 3) e −→v = (−1, 1, 0).
Exerc´ıcio 7: Ache um vetor ortogonal a:
(a) −→u = (1, 1,−1) e −→v = (0, 1, 3);
(b) −→u = (1, 1,−1) e −→v = (0, 1, 3) e unita´rio;
(c) −→u = (1, 1,−1) e −→v = (0, 1, 3) com mo´dulo 3.
Exerc´ıcio 8: Calcule a a´rea do paralelogramo ABCD sabendo-se que os
ve´rtices A, B e C sa˜o dados por A = (1, 3, 1), B = (2, 0, 3) e C = (0, 1,−1).
Exerc´ıcio 9: Calcule a a´rea do triaˆngulo ABC sabendo-se que os
ve´rtices A, B e C sa˜o dados por A = (1, 1, 2), B = (2, 1, 5) e C = (2, 3, 2).
Exerc´ıcio 10: Dados os vetores −→u = (2, 1, 2), −→v = (3, 2, 6), calcule:
(a) |−→u | e |−→v |;
(b) A a´rea do paralelogramo formado pelos vetores −→u e −→v ;
(c) A altura do paralelogramo formado pelos vetores −→u e −→v relativa a
base formada por −→u ;
(d) A a´rea do triaˆngulo formado pelos vetores −→u e −→v ;
(e) A altura do triaˆngulo formado pelos vetores −→u e −→v relativa a base
formada por −→v .
2
Exerc´ıcio 11: Calcule:
(a) < −→i ,−→j ,−→k >;
(b) < 2−→i ,−→j , 5−→k >;
(c) < 3−→i , 6−→j + 3−→k , 2−→k >
Exerc´ıcio 12: Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos
vetores −→u = (3,−1, 4), −→v = (2, 0, 1) e −→w = (−2, 1, 5).
Exerc´ıcio 13: Dados os vetores −→u = (−1, 1, 0), −→v = (1, 2, 1) e −→w =
(0, 1, 5), calcule:
(a) Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u , −→v
e −→w ;
(b) Calcule a altura do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u , −→v
e −→w relativa a` base constitu´ıda pelos vetores −→u e −→v .
RESPOSTAS
Exerc´ıcio 1:
(a) −→u ×−→u = −→0 ;
(b) −→u ×−→v = (−2,−6, 0);
(c) −→v ×−→w = (−3, 3,−4);
(d) (−→u ×−→v ) + (−→v ×−→u ) = −→0 ;
(e) −→v .(−→u ×−→v ) = 0;
(f) (2−→v )× (3−→v ) = −→0 ;
(g) (−→u −−→v )× (−→u +−→v ) = (−4,−12, 0).
3
Exerc´ıcio 2: (a) 20−→k (b) 16−→i (c) 12−→k (d) −40−→i
Exerc´ıcio 3: D = (−4,−3,−10)
Exerc´ıcio 4: (a) |−→u ×−→v | = 72 ; (b) |13−→u × 34−→v | = 78
Exerc´ıcio 5: A =
√
62.
Exerc´ıcio 6: A =
√
19
2 .
Exerc´ıcio 7:
(a)−→w = (4,−3, 1); (b)−→w = (2
√
26
13 ,
−3√26
26 ,
√
26
26 ); (c)
−→w = (6
√
26
13 ,
−9√26
26 ,
3
√
26
26 ).
Exerc´ıcio 8: A = 5
√
5
Exerc´ıcio 9: A = 72
Exerc´ıcio 10:
(a) |−→u | = 3 e |−→v | = 7;
(b) A =
√
41;
(c) h =
√
41
3 ;
(d) A =
√
41
2 ;
(e) h =
√
41
7 .
Exerc´ıcio 11:
(a) < −→i ,−→j ,−→k >= 1;
(b) < 2−→i ,−→j , 5−→k >= 10;
(c) < 3−→i , 6−→j + 3−→k , 2−→k >= 36
Exerc´ıcio 12: V = 17.
Exerc´ıcio 13: (a) V = 14 (b) h = 14
√
11
11
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Curso: Ba´sico das Engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
Professora: Adriana Nogueira
4a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1: Dados os vetores −→u = (0, 0, 2), −→v = (−3, 1, 3), −→w =
(1, 1, 0), calcule:
(a) −→u ×−→u ;
(b) −→u ×−→v ;
(c) −→v ×−→w ;
(d) (−→u ×−→v ) + (−→v ×−→u );
(e) −→v .(−→u ×−→v );
(f) (2−→v )× (3−→v );
(g) (−→u −−→v )× (−→u +−→v ).
Exerc´ıcio 2: Calcule:
(a) (5−→i )× (3−→i + 4−→j )
(b) (2−→j +−→k )× (8−→k )
(c) (4−→i − 5−→j )× (3−→j )
(d) (5−→k − 3−→j )× (8−→j )
Exerc´ıcio 3: Dados os pontos A = (1, 2, 0), B = (−1,−2, 3) e C =
(2,−1, 1), determine o ponto D para que se tenha −−→AD = −−→BC ×−→AC.
1
Exerc´ıcio 4: Sabendo que |−→u | = 1, |−→v | = 7 e o aˆngulo entre os vetores
−→u e −→v e´ θ = pi6 calcule:
(a) |−→u ×−→v |;
(b) |13−→u × 34−→v |
Exerc´ıcio 5: Calcule a a´rea do paralelogramo formado pelos vetores
−→u = (1, 1,−1) e −→v = (2, 1, 4).
Exerc´ıcio 6:
Calcule a a´rea do triaˆngulo formado pelos vetores −→u =
(0, 1, 3) e −→v = (−1, 1, 0).
Exerc´ıcio 7: Ache um vetor ortogonal a:
(a) −→u = (1, 1,−1) e −→v = (0, 1, 3);
(b) −→u = (1, 1,−1) e −→v = (0, 1, 3) e unita´rio;
(c) −→u = (1, 1,−1) e −→v = (0, 1, 3) com mo´dulo 3.
Exerc´ıcio 8: Calcule a a´rea do paralelogramo ABCD sabendo-se que os
ve´rtices A, B e C sa˜o dados por A = (1, 3, 1), B = (2, 0, 3) e C = (0, 1,−1).
Exerc´ıcio 9: Calcule a a´rea do triaˆngulo ABC sabendo-se que os
ve´rtices A, B e C sa˜o dados por A = (1, 1, 2), B = (2, 1, 5) e C = (2, 3, 2).
Exerc´ıcio 10: Dados os vetores −→u = (2, 1, 2), −→v = (3, 2, 6), calcule:
(a) |−→u | e |−→v |;
(b) A a´rea do paralelogramo formado pelos vetores −→u e −→v ;
(c) A altura do paralelogramo formado pelos vetores −→u e −→v relativa a
base formada por −→u ;
(d) A a´rea do triaˆngulo formado pelos vetores −→u e −→v ;
(e) A altura do triaˆngulo formado pelos vetores −→u e −→v relativa a base
formada por −→v .
2
Exerc´ıcio 11: Calcule:
(a) < −→i ,−→j ,−→k >;
(b) < 2−→i ,−→j , 5−→k >;
(c) < 3−→i , 6−→j + 3−→k , 2−→k >
Exerc´ıcio 12: Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos
vetores −→u = (3,−1, 4), −→v = (2, 0, 1) e −→w = (−2, 1, 5).
Exerc´ıcio 13: Dados os vetores −→u = (−1, 1, 0), −→v = (1, 2, 1) e −→w =
(0, 1, 5), calcule:
(a) Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u , −→v
e −→w ;
(b) Calcule a altura do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u , −→v
e −→w relativa a` base constitu´ıda pelos vetores −→u e −→v .
RESPOSTAS
Exerc´ıcio 1:
(a) −→u ×−→u = −→0 ;
(b) −→u ×−→v = (−2,−6, 0);
(c) −→v ×−→w = (−3, 3,−4);
(d) (−→u ×−→v ) + (−→v ×−→u ) = −→0 ;
(e) −→v .(−→u ×−→v ) = 0;
(f) (2−→v )× (3−→v ) = −→0 ;
(g) (−→u −−→v )× (−→u +−→v ) = (−4,−12, 0).
3
Exerc´ıcio 2: (a) 20−→k (b) 16−→i (c) 12−→k (d) −40−→i
Exerc´ıcio 3: D = (−4,−3,−10)
Exerc´ıcio 4: (a) |−→u ×−→v | = 72 ; (b) |13−→u × 34−→v | = 78
Exerc´ıcio 5: A =
√
62.
Exerc´ıcio 6: A =
√
19
2 .
Exerc´ıcio 7:
(a)−→w = (4,−3, 1); (b)−→w = (2
√
26
13 ,
−3√26
26 ,
√
26
26 ); (c)
−→w = (6
√
26
13 ,
−9√26
26 ,
3
√
26
26 ).
Exerc´ıcio 8: A = 5
√
5
Exerc´ıcio 9: A = 72
Exerc´ıcio 10:
(a) |−→u | = 3 e |−→v | = 7;
(b) A =
√
41;
(c) h =
√
41
3 ;
(d) A =
√
41
2 ;
(e) h =
√
41
7 .
Exerc´ıcio 11:
(a) < −→i ,−→j ,−→k >= 1;
(b) < 2−→i ,−→j , 5−→k >= 10;
(c) < 3−→i , 6−→j + 3−→k , 2−→k >= 36
Exerc´ıcio 12: V = 17.
Exerc´ıcio 13: (a) V = 14 (b) h = 14
√
11
11
4
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Curso: Ba´sico das Engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
Professora: Adriana Nogueira
5a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1: Determine as equac¸o˜es parame´tricas das retas que passam
pelo ponto A e na direc¸a˜o do vetor −→v em cada um dos seguintes casos:
(a) A = (1, 3, 2), −→v = (−1, 0, 3);
(b) A = (−2, 3,−5), −→v = (2, 1,−2);
(c) A = (0, 0, 1), −→v = (−1, 2, 1);
(d) A = (3, 0, 0), −→v = (2,−7, 1);
(e) A = (−7, 8, 0), −→i ;
(f) A = (1, 3), −→v = (2, 3);
(g) A = (5, 2), −→v = (−1, 0).
Exerc´ıcio 2: Determine a equac¸a˜o vetorial da reta que passa por A e
B onde:
(a) A = (1, 0, 5) e B = (5,−3, 2);
(b) A = (−2, 1, 3) e B = (3, 9,−3);
(c) A = (3, 2,−4) e B = (1, 0, 0);
(d) A = (2,−5, 8) e B = (5, 1, 1);
(e) A = (1, 0) e B = (−3, 2);
1
(f) A = (4, 5) e B = (1, 2).
Exerc´ıcio 3: Determine a equac¸a˜o vetorial da reta que passa pelo ponto
A = (2, 7, 3) na direc¸a˜o do vetor −→v = (3, 0, 1). Verifique se os pontos
P1 = (5, 7, 4) e P2 = (8, 0, 5) pertencem a esta reta.
Exerc´ıcio 4: Obtenha as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel x da reta:
(a) que passa por A = (4, 0,−3) na direc¸a˜o do vetor −→v = (2, 4, 5);
(b) que passa pelos pontos A = (2,−5, 1) e B = (3, 1, 2);
(c) dada por r :

x = 2− t
y = 3t
z = 4t− 5
Exerc´ıcio 5: Determine as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel z da reta que
passa por A = (0, 3, 0) e B = (2, 0, 1).
Exerc´ıcio 6: Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por:
(a) A = (3,−2, 4) e e´ paralela ao eixo dos x;
(b) A = (2, 2, 4) e e´ perpendicular ao plano xOz;
(c) A = (3, 0, 7) e tem a direc¸a˜o do vetor −→v = (3, 0, 4).
Exerc´ıcio 7: Dada a reta r : (x, y, z) = (3, 8, 2) + t(3,−3, 4), determine
as equac¸o˜es parame´tricas de r.
Exerc´ıcio 8: Na reta r :

x = 2 + t
y = 3− 3t
z = 5 + 4t
, determine o ponto de r tal que:
(a) a abscissa seja 6;
(b) a abscissa seja igual a ordenada.
2
Exerc´ıcio 9: Na reta r :
{
y = x+ 2
z = 3x− 1 , determine o ponto de r tal que
a ordenada seja igual a 3.
Exerc´ıcio 10: A reta r passa pelo ponto A = (4,−3,−2) e e´ paralela a`
reta
s :

x = 1 + 3t
y = 2− 4t
z = 3− t
.
Se P = (m,n, 5) ∈ r, determine m e n.
Exerc´ıcio 11: Determine equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por
A = (2,−4, 3) e e´ paralela ao eixo Oz.
Exerc´ıcio 12: Verifique se as retas r1 e r2 dadas abaixo sa˜o ortogonais:
r1 :

x = 2 + t
y = 3− 3t
z = −1 + t
; r2 :

x = 5− 4t
y = 3 + t
z = 3 + 7t
.
Exerc´ıcio 13: Determine o aˆngulo entre as retas dadas abaixo:
r1 :

x = 1 +
√
2t
y = t
z = 5− 3t
; r2 :

x = 3
y = 2
z = h
.
Exerc´ıcio 14: Verifique se as retas abaixo sa˜o concorrentes e em caso
afirmativo, determine o ponto de intersec¸a˜o.
r1 :

x = 2− t
y = 3− 5t
z = 6− 6t
; r2 :

x = −3 + 6h
y = 1 + 7h
z = −1 + 13h
.
3
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Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
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5a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1: Determine as equac¸o˜es parame´tricas das retas que passam
pelo ponto A e na direc¸a˜o do vetor −→v em cada um dos seguintes casos:
(a) A = (1, 3, 2), −→v = (−1, 0, 3);
(b) A = (−2, 3,−5), −→v = (2, 1,−2);
(c) A = (0, 0, 1), −→v = (−1, 2, 1);
(d) A = (3, 0, 0), −→v = (2,−7, 1);
(e) A = (−7, 8, 0), −→i ;
(f) A = (1, 3), −→v = (2, 3);
(g) A = (5, 2), −→v = (−1, 0).
Exerc´ıcio 2: Determine a equac¸a˜o vetorial da reta que passa por A e
B onde:
(a) A = (1, 0, 5) e B = (5,−3, 2);
(b) A = (−2, 1, 3) e B = (3, 9,−3);
(c) A = (3, 2,−4) e B = (1, 0, 0);
(d) A = (2,−5, 8) e B = (5, 1, 1);
(e) A = (1, 0) e B = (−3, 2);
1
(f) A = (4, 5) e B = (1, 2).
Exerc´ıcio 3: Determine a equac¸a˜o vetorial da reta que passa pelo ponto
A = (2, 7, 3) na direc¸a˜o do vetor −→v = (3, 0, 1). Verifique se os pontos
P1 = (5, 7, 4) e P2 = (8, 0, 5) pertencem a esta reta.
Exerc´ıcio 4: Obtenha as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel x da reta:
(a) que passa por A = (4, 0,−3) na direc¸a˜o do vetor −→v = (2, 4, 5);
(b) que passa pelos pontos A = (2,−5, 1) e B = (3, 1, 2);
(c) dada por r :

x = 2− t
y = 3t
z = 4t− 5
Exerc´ıcio 5: Determine as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel z da reta que
passa por A = (0, 3, 0) e B = (2, 0, 1).
Exerc´ıcio 6: Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por:
(a) A = (3,−2, 4) e e´ paralela ao eixo dos x;
(b) A = (2, 2, 4) e e´ perpendicular ao plano xOz;
(c) A = (3, 0, 7) e tem a direc¸a˜o do vetor −→v = (3, 0, 4).
Exerc´ıcio 7: Dada a reta r : (x, y, z) = (3, 8, 2) + t(3,−3, 4), determine
as equac¸o˜es parame´tricas de r.
Exerc´ıcio 8: Na reta r :

x = 2 + t
y = 3− 3t
z = 5 + 4t
, determine o ponto de r tal que:
(a) a abscissa seja 6;
(b) a abscissa seja igual a ordenada.
2
Exerc´ıcio 9: Na reta r :
{
y = x+ 2
z = 3x− 1 , determine o ponto de r tal que
a ordenada seja igual a 3.
Exerc´ıcio 10: A reta r passa pelo ponto A = (4,−3,−2) e e´ paralela a`
reta
s :

x = 1 + 3t
y = 2− 4t
z = 3− t
.
Se P = (m,n, 5) ∈ r, determine m e n.
Exerc´ıcio 11: Determine equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por
A = (2,−4, 3) e e´ paralela ao eixo Oz.
Exerc´ıcio 12: Verifique se as retas r1 e r2 dadas abaixo sa˜o ortogonais:
r1 :

x = 2 + t
y = 3− 3t
z = −1 + t
; r2 :

x = 5− 4t
y = 3 + t
z = 3 + 7t
.
Exerc´ıcio 13: Determine o aˆngulo entre as retas dadas abaixo:
r1 :

x = 1 +
√
2t
y = t
z = 5− 3t
; r2 :

x = 3
y = 2
z = h
.
Exerc´ıcio 14: Verifique se as retas abaixo sa˜o concorrentes e em caso
afirmativo, determine o ponto de intersec¸a˜o.
r1 :

x = 2− t
y = 3− 5t
z = 6− 6t
; r2 :

x = −3 + 6h
y = 1 + 7h
z = −1 + 13h
.
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Curso: Ba´sico das Engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
Professora: Adriana Nogueira
6a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1: Determine a equac¸a˜o geral de cada um dos planos dados
abaixo:
(a) O plano pi1 que e´ ortogonal ao vetor −→v = (3, 0, 7) e passa pelo ponto
P = (3, 5,−2);
(b) O plano pi2 que passa pelo ponto P = (2, 1, 6) e e´ paralelo aos vetores−→u = (1,−1, 2) e −→v = (3, 1, 2);
(c) O plano pi3 que passa pelo ponto P = (3, 2, 5) e e´ paralelo aos vetores
2−→i e 5−→k ;
(d) O plano pi4 que passa pelo ponto P = (0, 0, 4) e e´ paralelo ao plano XOY.
Exerc´ıcio 2: Determine as equac¸o˜es parame´tricas dos planos que passam
por A e paralelos aos vetores u e v em cada um dos itens abaixo:
(a) A = (0, 2, 0), −→u = (5, 0, 3) e −→v = (0, 2,−3);
(b) A = (3, 0, 0), −→u = (0, 5,−2) e −→v = (3, 2,−7);
(c) A = (5, 1,−1), −→u = (3, 0, 0) e −→v = (−2,−3, 4);
(d) A = (9, 6, 4), −→u = (1,−1, 4) e −→v = (6, 1, 2).
Exerc´ıcio 3: Determine o aˆngulo entre os planos pi1 : x + y − z + 3 = 0 e
pi2 : 2x− y + 3z − 4 = 0.
Exerc´ıcio 4: Verifique se os planos pi1 : 3x + y − 5z + 3 = 0 e pi2 :
2x− y + z − 4 = 0 sa˜o ortogonais.
1
Exerc´ıcio 5: Verifique se a reta r :
 x = 2 + 3ty = 3− 2t
z = 5 + 4t
e´ paralela ao plano
pi : 2x+ y − z − 3 = 0.
Exerc´ıcio 6: Determine a intersec¸a˜o da reta r :
{
y = 2x− 3
z = −x+ 2 com o
plano pi : 2x+ 4y − z − 4 = 0.
Exerc´ıcio 7: Encontre as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel x da reta intersec¸a˜o
dos planos pi1 : x+ y − z + 2 = 0 e pi2 : x+ y + 2z − 1 = 0.
RESPOSTAS:
Exerc´ıcio 1:
a) 3x+ 7z + 5 = 0 b) −x+ y + z − 5 = 0 c) y = 2 d) z = 4
Exerc´ıcio 2:
a) pi1 :
 x = 5ty = 2 + 2h
z = 3t− 3h
; t ∈ R, h ∈ R
b) pi2 :
 x = 3 + 3hy = 5t+ 2h
z = −2t− 7h
; t ∈ R, h ∈ R
c) pi3 :
 x = 5 + 3t− 2hy = 1− 3h
z = −1 + 4h
; t ∈ R, h ∈ R
d) pi4 :
 x = 9 + t+ 6hy = 6− t+ h
z = 4 + 4t+ 2h
; t ∈ R, h ∈ R
Exerc´ıcio 3: θ = arccos(
√
42
21
)
Exerc´ıcio 4: Sa˜o ortogonais.
Exerc´ıcio 5: Sa˜o paralelos.
Exerc´ıcio 6: P = ( 1811 ,
3
11 ,
4
11 ).
Exerc´ıcio 7:
{
y = −x− 1
z = 1
2
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Professora: Adriana Nogueira
Curso: Ba´sico das engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
1a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1: Represente os vetores dados abaixo no sistema de coorde-
nadas cartesianas:
(a) −→r = (4,−2)
(b) −→s = (−1, 3)
(c) −→t = 3−→i + 5−→j
(d) −→u = −4−→i − 3−→j
Exerc´ıcio 2: Dados os vetores −→u = 3−→i + 2−→j , −→v = −5−→i + −→j e
−→w = −→i − 2−→j , determine:
(a) −→p = 2−→u + 3−→v
(b) −→q = −→u + 5−→v
(c) −→r = −→u −−→v +−→w
(d) −→s = −→u − 2−→i + 7−→j +−→w .
Exerc´ıcio 3: Dados os vetores −→u = (2, 1), −→v = (3,−2) e −→w = (−1,−1),
determine o vetor −→r em cada item abaixo:
(a) 5−→r − 2−→v +−→w = 3−→u + 2−→r
(b) 2−→r + 3(−→u − 3−→w ) = 32−→r − 5−→v
1
Exerc´ıcio 4: Dados os vetores −→u = (2, 1), −→v = (1,−1) e −→w = (5, 7),
determine os valores de a e b tais que:
−→w = a−→u + b−→v
Exerc´ıcio 5: Dados os pontos A = (1, 2), B = (3,−2) e C = (1,−1),
determine a expressa˜o anal´ıtica dos vetores indicados abaixo:
(a) −→u = −−→AB − 3−−→CB
(b) −→v = −−→CB + 2−→AC
(c) −→w = 2−−→BC −−→AC +−→OA
Considere O como a origem do sistema cartesiano.
Exerc´ıcio 6: Determine a extremidade do segmento orientado AB que
representa o vetor −→u = (3,−5), sabendo que sua origem e´ A = (−1, 2).
Exerc´ıcio 7: Verifique se o quadrila´tero ABCD com ve´rtices nos pon-
tos A = (1, 1), B = (4, 2), C = (5, 4) e D = (2, 3), e´ um paralelogramo.
Considere o ve´rtice C oposto ao ve´rtice A.
Exerc´ıcio 8: Dados os pontos A = (1, 2), B = (−2, 5) e C = (1, 1), fac¸a
o que e´ pedido abaixo:
(a) Calcule os comprimentos dos vetores −−→AB e −−→BC;
(b) Calcule a distaˆncia entre os pontos A e C;
(c) Determine o ponto me´dio entre A e B.
Exerc´ıcio 9: Determine o versor de cada um dos vetores dados abaixo:
(a) −→u = (1, 5)
(b) −→u = (−2, 6)
2
Exerc´ıcio 10: Dados os vetores −→u = (−1, 1), −→v = (3,−2) e −→w =
(2,−1), calcule:
(a) |−→u |, |−→v |, |−→w |
(b) |2−→u −−→v |
(c) |−→u + 3−→v |
Exerc´ıcio 11: Dado o vetor −→u = (2, 5), determine o vetor −→v paralelo
a −→u que tenha:
(a) mesmo sentido de −→u e o o triplo do comprimento de −→u ;
(b) sentido oposto ao de −→u e mo´dulo 5;
(c) sentido oposto ao de −→u e mo´dulo 8.
Exerc´ıcio 12: Calcule os valores de a para que o vetor −→u = (a, 15) seja
um versor.
Exerc´ıcio 13: Calcule o valor de a para que os vetores −→u = (2a− 1, 3)
e −→v = (5, 7) sejam paralelos.
Exerc´ıcio 14: Calcule os valores de a de tal forma que o vetor−→u = (a, 3)
tenha medida 7.
Exerc´ıcio 15: Encontre o vetor −→v paralelo a −→i , com mesmo sentido
de −→i e tal que |−→v | = 6.
3
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Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
1a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1: Represente os vetores dados abaixo no sistema de coorde-
nadas cartesianas:
(a) −→r = (4,−2)
(b) −→s = (−1, 3)
(c) −→t = 3−→i + 5−→j
(d) −→u = −4−→i − 3−→j
Exerc´ıcio 2: Dados os vetores −→u = 3−→i + 2−→j , −→v = −5−→i + −→j e
−→w = −→i − 2−→j , determine:
(a) −→p = 2−→u + 3−→v
(b) −→q = −→u + 5−→v
(c) −→r = −→u −−→v +−→w
(d) −→s = −→u − 2−→i + 7−→j +−→w .
Exerc´ıcio 3: Dados os vetores −→u = (2, 1), −→v = (3,−2) e −→w = (−1,−1),
determine o vetor −→r em cada item abaixo:
(a) 5−→r − 2−→v +−→w = 3−→u + 2−→r
(b) 2−→r + 3(−→u − 3−→w ) = 32−→r − 5−→v
1
Exerc´ıcio 4: Dados os vetores −→u = (2, 1), −→v = (1,−1) e −→w = (5, 7),
determine os valores de a e b tais que:
−→w = a−→u + b−→v
Exerc´ıcio 5: Dados os pontos A = (1, 2), B = (3,−2) e C = (1,−1),
determine a expressa˜o anal´ıtica dos vetores indicados abaixo:
(a) −→u = −−→AB − 3−−→CB
(b) −→v = −−→CB + 2−→AC
(c) −→w = 2−−→BC −−→AC +−→OA
Considere O como a origem do sistema cartesiano.
Exerc´ıcio 6: Determine a extremidade do segmento orientado AB que
representa o vetor −→u = (3,−5), sabendo que sua origem e´ A = (−1, 2).
Exerc´ıcio 7: Verifique se o quadrila´tero ABCD com ve´rtices nos pon-
tos A = (1, 1), B =
(4, 2), C = (5, 4) e D = (2, 3), e´ um paralelogramo.
Considere o ve´rtice C oposto ao ve´rtice A.
Exerc´ıcio 8: Dados os pontos A = (1, 2), B = (−2, 5) e C = (1, 1), fac¸a
o que e´ pedido abaixo:
(a) Calcule os comprimentos dos vetores −−→AB e −−→BC;
(b) Calcule a distaˆncia entre os pontos A e C;
(c) Determine o ponto me´dio entre A e B.
Exerc´ıcio 9: Determine o versor de cada um dos vetores dados abaixo:
(a) −→u = (1, 5)
(b) −→u = (−2, 6)
2
Exerc´ıcio 10: Dados os vetores −→u = (−1, 1), −→v = (3,−2) e −→w =
(2,−1), calcule:
(a) |−→u |, |−→v |, |−→w |
(b) |2−→u −−→v |
(c) |−→u + 3−→v |
Exerc´ıcio 11: Dado o vetor −→u = (2, 5), determine o vetor −→v paralelo
a −→u que tenha:
(a) mesmo sentido de −→u e o o triplo do comprimento de −→u ;
(b) sentido oposto ao de −→u e mo´dulo 5;
(c) sentido oposto ao de −→u e mo´dulo 8.
Exerc´ıcio 12: Calcule os valores de a para que o vetor −→u = (a, 15) seja
um versor.
Exerc´ıcio 13: Calcule o valor de a para que os vetores −→u = (2a− 1, 3)
e −→v = (5, 7) sejam paralelos.
Exerc´ıcio 14: Calcule os valores de a de tal forma que o vetor−→u = (a, 3)
tenha medida 7.
Exerc´ıcio 15: Encontre o vetor −→v paralelo a −→i , com mesmo sentido
de −→i e tal que |−→v | = 6.
3
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Universidade Veiga deAlmeida
Professora: Adriana Nogueira
Curso: Ba´sico das Engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
Respostas da 2a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2:
(a) −→r = (7, 3,−19)
(b) −→r = (32,−32, 10)
(c) −→r = (7,−3, 1)
(d) −→r = (6, 3,−2).
Exerc´ıcio 3:
(a) −−→AB = (2,−4,−1), −−→CB = (2,−3, 6) e −→AC = (0,−1,−7);
(b) |−−→AB| = √21, |−−→BC| = 7;
(c) d(A,C) = 5
√
2;
(d) O ponto me´dio entre A e B e´ M = (2, 0, 112 );
(e) O ponto me´dio entre A e C e´ M = (1, 32 ,
5
2).
Exerc´ıcio 4:
(a)−→v = (
√
30
30 ,
√
30
6 ,
√
30
15 ); (b)
−→v = (−
√
10
10 ,
3
√
10
10 , 0); (c)
−→v = (
√
38
38 ,
√
38
38 ,
3
√
38
19 );
Exerc´ıcio 5: A = (3, 7, 3).
Exerc´ıcio 6: (a) |−→u | = √14; (b) |−→−→u | = √26; (c) |−→u | = √11.
1
Exerc´ıcio 7: (a) −→v = (5, 15, 10); (b) −→v = (−5
√
14
14 ,
−15√14
14 ,
−5√14
7 ).
Exerc´ıcio 8:
(a) 2 (b) 7 (c) 1 (d)
√
53 (e) 5
√
2 (f)
√
5.
Exerc´ıcio 9: −→u , −→v e −→t sa˜o paralelos.
Exerc´ıcio 10: S = {−
√
23
6 ,
√
23
6 }.
Exerc´ıcio 11: C = (3,−3,−3) e D = (0,−4,−1).
Exerc´ıcio 12: P = (
√
15− 1, 0, 0).
Exerc´ıcio 13: D = (6, −43 ,
8
3).
Exerc´ıcio 14: a =
√
17 ou a = −√17.
Exerc´ıcio 15: a = 72 , b =
−5
2 , c = −17
2
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Universidade Veiga deAlmeida
Curso: Ba´sico das Engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
Professora Adriana Nogueira
Respostas da 3a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1: a) -8; b) 4; c) -4; d) 6.
Exerc´ıcio 2: a) −3√3; b)
√
13− 6√3; c)
√
13 + 6
√
3; d) 5.
Exerc´ıcio 3: a) 45; b) -89; c) -69.
Exerc´ıcio 4:
a) θ = arccos( 17
√
11
66 ); b) θ = arccos(
7
√
62
62 ); c) θ = arccos(
√
10
10 )
Exerc´ıcio 5:
a) Na˜o sa˜o ortogonais; b) Sa˜o ortogonais; c) Sa˜o ortogonais.
Exerc´ıcio 6: a =
34
11
.
Exerc´ıcio 7: θ = 150o
Exerc´ıcio 8: a = 3
Exerc´ıcio 9: −→u = (5
2
,
5
√
2
2
,
5
2
) ou −→u = (5
2
,
−5√2
2
,
5
2
)
Exerc´ıcio 10:
(a) −→v = (1, 0,−1) (b) −→w = (
√
2
2
, 0,−
√
2
2
) (c) −→t = (√2, 0,−√2)
Exerc´ıcio 11: −→v = (3√3, 0, 3)
1
Exerc´ıcio 12: −→v = (1,−1,√2) ou −→v = (1,−1,−√2)
Exerc´ıcio 13:
a) α = 45o, β = 90o, γ = 135o;
b) α = 45o, β = 45o, γ = 90o;
c) α = arccos(
√
6
6 ), β = arccos(
√
6
3 ), γ = arccos(
−√6
6 ).
Exerc´ıcio 14:
a) proj
−→v−→u = (
−2
3 ,
−4
3 ,
2
3 );
b) proj
−→v−→u = (0,
3
10 ,
1
10 );
c) proj
−→v−→u = (
1
18 ,
1
18 ,
2
9 ).
Exerc´ıcio 15: 3
2
RespostasPrimeiraListaCVGA20132.pdf
Universidade Veiga deAlmeida
Professora: Adriana Nogueira
Curso: Ba´sico das engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
Respostas da 1a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2:
(a) −→p = −9−→i + 7−→j
(b) −→q = −22−→i + 7−→j
(c) −→r = 9−→i −−→j
(d) −→s = 2−→i + 7−→j
Exerc´ıcio 3:
(a) −→r = (13
3
, 0)
(b) −→r = (−60,−4)
Exerc´ıcio 4: a = 4 e b = −3
Exerc´ıcio 5:
(a) −→u = (−4,−1) (b) −→v = (2,−7) (c) −→w = (−3, 7)
Exerc´ıcio 6: B = (2,−3)
Exerc´ıcio 7: O quadrila´tero e´ um paralelogramo.
1
Exerc´ıcio 8:
(a) |−−→AB| = 3√2 e |−−→BC| = 5
(b) d(A,C) = 1
(c) M = (−12 , 72)
Exerc´ıcio 9:
(a) −→v = (
√
26
26 ,
5
√
26
26 )
(b) −→v = (−
√
10
10 ,
3
√
10
10 )
Exerc´ıcio 10:
(a) |−→u | = √2, |−→v | = √13, |−→w | = √5
(b) |2−→u −−→v | = √41
(c) |−→u + 3−→v | = √89
Exerc´ıcio 11:
(a) −→v = (6, 15)
(b) −→v = (−10
√
29
29 ,
−25√29
29 )
(c) −→v = (−16
√
29
29 ,
−40√29
29 )
Exerc´ıcio 12: a = 2
√
6
5 e a =
−2√6
5
Exerc´ıcio 13: a = 117
Exerc´ıcio 14: a = 2
√
10 e a = −2√10
Exerc´ıcio 15: −→v = 6−→i
2
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Universidade Veiga deAlmeida
Curso: Ba´sico das Engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
Professora: Adriana Nogueira
Respostas da 5a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1:
(a) r :

x = 1− t
y = 3
z = 2 + 3t
; (b) r :

x = −2 + 2t
y = 3 + t
z = −5− 2t
; (c) r :

x = −t
y = 2t
z = 1 + t
;
(d) r :

x = 3 + 2t
y = −7t
z = t
; (e) r :

x = −7 + t
y = 8
z = 0
; (f) r :
{
x = 1 + 2t
y = 3 + 3t
;
(g) r :
{
x = 5− t
y = 2
.
Exerc´ıcio 2:
(a) r : (x, y, z) = (1, 0, 5) + t(4,−3,−3), t ∈ R;
(b) r : (x, y, z) = (−2, 1, 3) + t(5, 8,−6), t ∈ R;
(c) r : (x, y, z) = (3, 2,−4) + t(−2,−2, 4), t ∈ R;
(d) r : (x, y, z) = (2,−5, 8) + t(3, 6,−7), t ∈ R;
(e) r : (x, y) = (1, 0) + t(−4, 2), t ∈ R;
(f) r : (x, y) = (4, 5) + t(−3,−3), t ∈ R;
Exerc´ıcio 3:
r : (x, y, z) = (2, 7, 3) + t(3, 0, 1), t ∈ R;
P1 = (5, 7, 4) pertence a reta e P2 = (8, 0, 5) na˜o pertence a esta reta.
1
Exerc´ıcio 4:
(a) r :
{
y = 2x− 8
z = 5x−262
; (b) r :
{
y = 6x− 17
z = x− 2 ; (c) r :
{
y = −3x+ 6
z = −4x+ 3 ;
Exerc´ıcio 5: r :
{
x = 2z
y = −3z + 3 ;
Exerc´ıcio 6:
(a) r :

x = 3 + t
y = −2
z = 4
; (b) r :

x = 2
y = 2 + t
z = 4
; (c) r :

x = 3 + 3t
y = 0
z = 7 + 4t
.
Exerc´ıcio 7: r :

x = 3 + 3t
y = 8− 3t
z = 2 + 4t
.
Exerc´ıcio 8: (a) P = (6,−9, 21); (b) P = (94 , 94 , 8).
Exerc´ıcio 9: P = (1, 3, 2).
Exerc´ıcio 10: m = −17 e n = 25.
Exerc´ıcio 11: r :

x = 2
y = −4
z = 3 + t
.
Exerc´ıcio 12: As retas r1 e r2 sa˜o ortogonais.
Exerc´ıcio 13: θ = 30o.
Exerc´ıcio 14: Sa˜o concorrentes com ponto de intersec¸a˜o P = (3, 8, 12).
2
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Universidade Veiga deAlmeida
Curso: Ba´sico das Engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
Professora: Adriana Nogueira
Respostas da 5a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1:
(a) r :

x = 1− t
y = 3
z = 2 + 3t
; (b) r :

x = −2 + 2t
y = 3 + t
z = −5− 2t
; (c) r
:

x = −t
y = 2t
z = 1 + t
;
(d) r :

x = 3 + 2t
y = −7t
z = t
; (e) r :

x = −7 + t
y = 8
z = 0
; (f) r :
{
x = 1 + 2t
y = 3 + 3t
;
(g) r :
{
x = 5− t
y = 2
.
Exerc´ıcio 2:
(a) r : (x, y, z) = (1, 0, 5) + t(4,−3,−3), t ∈ R;
(b) r : (x, y, z) = (−2, 1, 3) + t(5, 8,−6), t ∈ R;
(c) r : (x, y, z) = (3, 2,−4) + t(−2,−2, 4), t ∈ R;
(d) r : (x, y, z) = (2,−5, 8) + t(3, 6,−7), t ∈ R;
(e) r : (x, y) = (1, 0) + t(−4, 2), t ∈ R;
(f) r : (x, y) = (4, 5) + t(−3,−3), t ∈ R;
Exerc´ıcio 3:
r : (x, y, z) = (2, 7, 3) + t(3, 0, 1), t ∈ R;
P1 = (5, 7, 4) pertence a reta e P2 = (8, 0, 5) na˜o pertence a esta reta.
1
Exerc´ıcio 4:
(a) r :
{
y = 2x− 8
z = 5x−262
; (b) r :
{
y = 6x− 17
z = x− 2 ; (c) r :
{
y = −3x+ 6
z = −4x+ 3 ;
Exerc´ıcio 5: r :
{
x = 2z
y = −3z + 3 ;
Exerc´ıcio 6:
(a) r :

x = 3 + t
y = −2
z = 4
; (b) r :

x = 2
y = 2 + t
z = 4
; (c) r :

x = 3 + 3t
y = 0
z = 7 + 4t
.
Exerc´ıcio 7: r :

x = 3 + 3t
y = 8− 3t
z = 2 + 4t
.
Exerc´ıcio 8: (a) P = (6,−9, 21); (b) P = (94 , 94 , 8).
Exerc´ıcio 9: P = (1, 3, 2).
Exerc´ıcio 10: m = −17 e n = 25.
Exerc´ıcio 11: r :

x = 2
y = −4
z = 3 + t
.
Exerc´ıcio 12: As retas r1 e r2 sa˜o ortogonais.
Exerc´ıcio 13: θ = 30o.
Exerc´ıcio 14: Sa˜o concorrentes com ponto de intersec¸a˜o P = (3, 8, 12).
2
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Universidade Veiga deAlmeida
Curso: Ba´sico das Engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
Professora: Adriana Nogueira
Respostas da 5a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1:
(a) r :

x = 1− t
y = 3
z = 2 + 3t
; (b) r :

x = −2 + 2t
y = 3 + t
z = −5− 2t
; (c) r :

x = −t
y = 2t
z = 1 + t
;
(d) r :

x = 3 + 2t
y = −7t
z = t
; (e) r :

x = −7 + t
y = 8
z = 0
; (f) r :
{
x = 1 + 2t
y = 3 + 3t
;
(g) r :
{
x = 5− t
y = 2
.
Exerc´ıcio 2:
(a) r : (x, y, z) = (1, 0, 5) + t(4,−3,−3), t ∈ R;
(b) r : (x, y, z) = (−2, 1, 3) + t(5, 8,−6), t ∈ R;
(c) r : (x, y, z) = (3, 2,−4) + t(−2,−2, 4), t ∈ R;
(d) r : (x, y, z) = (2,−5, 8) + t(3, 6,−7), t ∈ R;
(e) r : (x, y) = (1, 0) + t(−4, 2), t ∈ R;
(f) r : (x, y) = (4, 5) + t(−3,−3), t ∈ R;
Exerc´ıcio 3:
r : (x, y, z) = (2, 7, 3) + t(3, 0, 1), t ∈ R;
P1 = (5, 7, 4) pertence a reta e P2 = (8, 0, 5) na˜o pertence a esta reta.
1
Exerc´ıcio 4:
(a) r :
{
y = 2x− 8
z = 5x−262
; (b) r :
{
y = 6x− 17
z = x− 2 ; (c) r :
{
y = −3x+ 6
z = −4x+ 3 ;
Exerc´ıcio 5: r :
{
x = 2z
y = −3z + 3 ;
Exerc´ıcio 6:
(a) r :

x = 3 + t
y = −2
z = 4
; (b) r :

x = 2
y = 2 + t
z = 4
; (c) r :

x = 3 + 3t
y = 0
z = 7 + 4t
.
Exerc´ıcio 7: r :

x = 3 + 3t
y = 8− 3t
z = 2 + 4t
.
Exerc´ıcio 8: (a) P = (6,−9, 21); (b) P = (94 , 94 , 8).
Exerc´ıcio 9: P = (1, 3, 2).
Exerc´ıcio 10: m = −17 e n = 25.
Exerc´ıcio 11: r :

x = 2
y = −4
z = 3 + t
.
Exerc´ıcio 12: As retas r1 e r2 sa˜o ortogonais.
Exerc´ıcio 13: θ = 30o.
Exerc´ıcio 14: Sa˜o concorrentes com ponto de intersec¸a˜o P = (3, 8, 12).
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Curso: Ba´sico das Engenharias
Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica
Professora: Adriana Nogueira
Respostas da 5a Lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1:
(a) r :

x = 1− t
y = 3
z = 2 + 3t
; (b) r :

x = −2 + 2t
y = 3 + t
z = −5− 2t
; (c) r :

x = −t
y = 2t
z = 1 + t
;
(d) r :

x = 3 + 2t
y = −7t
z = t
; (e) r :

x = −7 + t
y = 8
z = 0
; (f) r :
{
x = 1 + 2t
y = 3 + 3t
;
(g) r :
{
x = 5− t
y = 2
.
Exerc´ıcio 2:
(a) r : (x, y, z) = (1, 0, 5) + t(4,−3,−3), t ∈ R;
(b) r : (x, y, z) = (−2, 1, 3) + t(5, 8,−6), t ∈ R;
(c) r : (x, y, z) = (3, 2,−4) + t(−2,−2, 4), t ∈ R;
(d) r : (x, y, z) = (2,−5, 8) + t(3, 6,−7), t ∈ R;
(e) r : (x, y) = (1, 0) + t(−4, 2), t ∈ R;
(f) r : (x, y) = (4, 5) + t(−3,−3), t ∈ R;
Exerc´ıcio 3:
r : (x, y, z) = (2, 7, 3) + t(3, 0, 1), t ∈ R;
P1 = (5, 7, 4) pertence a reta e P2 = (8, 0, 5) na˜o pertence a esta reta.
1
Exerc´ıcio 4:
(a) r :
{
y = 2x− 8
z = 5x−262
; (b) r :
{
y = 6x− 17
z = x− 2 ; (c) r :
{
y = −3x+ 6
z = −4x+ 3 ;
Exerc´ıcio 5: r :
{
x = 2z
y = −3z + 3 ;
Exerc´ıcio 6:
(a) r :

x = 3 + t
y = −2
z = 4
; (b) r :

x = 2
y = 2 + t
z = 4
; (c) r :

x = 3 + 3t
y = 0
z = 7 + 4t
.
Exerc´ıcio 7: r :

x = 3 + 3t
y = 8− 3t
z = 2 + 4t
.
Exerc´ıcio 8: (a) P = (6,−9, 21); (b) P = (94 , 94 , 8).
Exerc´ıcio 9: P = (1, 3, 2).
Exerc´ıcio 10: m = −17 e n = 25.
Exerc´ıcio 11: r :

x = 2
y = −4
z = 3 + t
.
Exerc´ıcio 12: As retas r1 e r2 sa˜o ortogonais.
Exerc´ıcio 13: θ = 30o.
Exerc´ıcio 14: Sa˜o concorrentes com ponto de intersec¸a˜o P = (3, 8, 12).
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