EQUAÇOES DIFERENCIAIS EU

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INTRODUÇÃO
A teoria das Equações Diferenciais é objeto de intensa atividade de pesquisa, pois apresenta aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações, além de apresentar diversas ramificações.
Definem-se equações diferenciais ordinárias equações compostas por incógnitas em forma de derivadas. Equações diferenciais são usadas muito frequentemente para descrever processos nos quais a mudança de uma medida ou dimensão é causada pelo próprio processo. Historicamente, as primeiras equações diferenciais foram às relativas à aceleração igual ou desigual, que Galileo Galilei pôde medir, ainda que com métodos geométricos.
2. APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAS ORDINÁRIAS
É frequentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos.
Como hipóteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais, e podem ter diversas aplicações.
- Desenvolvimento 
- Problemas de crescimento e Decaimento.
- Quedas dos corpos (2ª lei de Newton).
- Temperatura.
 - Diluição. 
- Circuitos elétricos (Kirchhoff) 
Problemas de crescimento 
Resolução do modelo de Malthus 
Método separação de variáveis 
	 Anos
	IBEGE 
População (p0)
	Taxa media de crescimento anual 
	2001
	36131
	1,46% aa
Aplicando-se o Modelo de Malthus encontre a população presente em um (t = 6) anos.
Ln |p| = kit + c
 =
 = 
P = P0
P = 36131.
P = 39439 habitantes.
Suponhamos que tenha 100 bactérias no instante 0 e 200 bactérias no instante 10s.
Quantas bactérias terão um minuto do instante 0 (em 60 segundos)?
Primeiro temos de resolver a equação, em que a solução é dada por:
P(t) = C
100 = P(0) = C = C;
200 = P(10) = C
200 = P(10) = 100
2= 
= k = 0,069
P(60)= 100
P(60)
Portanto em um instante de 1 minuto P(60) teremos 6280 bactérias .
Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional a quantidade presente, determine a expressão que fornece o numero de bactérias em função do tempo.
Ln|Q| = kit + c
 =
 = 
Q = C
Sabendo que:
1h = 1000 bactérias
4hrs = 3000 bactérias
Qual e a quantidade inicial de bactérias presente?
Q(1) = 1000
1000 = C
C = 
Q(4) = 3000
3000 = C
3000 = . 
3 =
3 = 
 k
K = 0. 366
C = 
C = 693,5
Quantidade inicial será:
Q(0) = 693,5 
Problemas de Decaimento 
Uma substancia radioativa diminui a uma taxa proporcional a quantidade presente. Se inicialmente a quantidade de material e 50mg e após 2h perde-se 10% da massa inicial. Determine uma expressão para achar massa restante em um tempo t.
Ln|m| = kt + c
 =
 = 
m = C 
m (0)=50 m(2)=45
50 = C
C = 50
45 = 50
=
= k
K = -0,0527
Portanto nossa expressão será: m = 50
Use a expressão para achar qual e a massa restante após 4 horas.
: m = 50
 m(4) = 40,5 mg
Qual é o tempo necessário para que a massa fique reduzida a metade?
25= 50
=
= t 
t = 13,15 anos.
Problemas de Queda dos corpos (2ª lei de Newton)
	
Ma = 
 
 
I) Um paraquedista, pesando 70kg, salta de um avião e abre o paraquedas após 10s. Antes da abertura do paraquedas o seu coeficiente de atrito e é kspq = 5 kg s-1, depois é kspq = 
100 kg s-1
Determine a velocidade do paraquedista no instante em que ele abre o paraquedas?
= 
V( t=o) 0= C=
V=
A velocidade do paraquedista após 10s e: 70ms-1 
 II) Qual a distancia percorrida em queda livre?
Sendo a velocidade a derivada da distancia percorrida em relação ao tempo temos:
V=
x=
x=
Condição inicial
x(t=0)= 0 = C
x=
A distancia percorrida no tempo 10s e:
x== 392m
III) Qual a velocidade mínima que o paraquedista poderá atingir após a abertura do paraquedas? 
V=
Vmin= ===6,86m/s
Problemas de Temperatura
 
 
Ln = kt }+ C
 =
 = 
T(t) - Tm = C 
T(t) = Tm + C 
Quando retiramos um bolo do forno, ele apresenta temperatura de 150 °C. Três minute depois, sua temperatura é de 94 °C. Quanto tempo demorará para o bolo atingir a temperatura ambiente de 20 °C?
150 = 20 + C (t=0)
C = 130
94 = 20 + 130 (t=3)
=
= k
K -0,19
Para encontrar a tempo necessário em que a temperatura seja 20°C vamos aproximar a temperatura para 20,1°C já que ln(0) tende ao infinito assim teremos:
20,1 = 20 + 130
=
Ln|0,0007|= -0,19t
t = =
t 38 minutos
Um objeto à temperatura inicial de 50 F° é colocado ao ar livre , onde a temperatura ambiente é de 100 F° . Se após 5 minutos a temperatura do objeto é de 60 F°, determinar o tempo necessário para a temperatura atingir 75 F° 
T(t) = Tm + C 
60 = 100 + 50
60-100 = 50
=
Ln(-0,8)= 5K
K = = 0,04462
75-100 = 50
-25 = 50
Ln|-0,5|= -0,044t
t = 
t = 15,5 minutos
Qual a temperatura do corpo após 20 minutos.
T(t) = Tm + C 
T(20) = 100 + 50 
T(20)= 100-20.5
T(20)= 79.5 F°
Problemas de Diluição
Tent – Tsai = 
Tent: be onde b e a quantidade de sal por l, e a quantidade de l que entra por minuto. 
Tsai et e o que entrou em t min
 ft e a quantidade que saiu em t min
V0 e o volume inicial
be -ou =be
Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com 0,1 kg de sal. No instante t 0, adiciona-se outra solução de salmoura com 0, l kg de sal por litro, a razão de 3 litros por minuto, enquanto que a mistura resultante se escoa do tanque à mesma taxa, determine a quantidade de sal presente no tanque no instante t;
V0= 100, a=1, b=0,1 e e=f=3
 
Aplicando fator de integração temos:
 Q(t) = C+ 10
Quando t = 0 e Q = a= 1
Q(t)= -9+10
Encontre o tempo t quando Q = 5
5 = -9+10
=
Ln(-0,55555)= -0.03t
t= 19,5 minutos 
Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 10 kg de sal. No instante t 0, água pura começa a entrar no tanque a razão de 20 l por minuto, enquanto a mistura sai do tanque a mesma taxa. Determine expressão para a quantidade de sal no tanque no instante t.
V0 = 350 L b=0 e=20 f=20 L/min
Q0= 10 KG
 =0 . 20
 = 0
Aplicando fator integrante temos 
I(t) = = e
 0 . e
 
 
Q = Ce
Sendo assim a expressão será: 
Q(t) = 10e
Circuitos elétricos Lei de kirchhoff
Circuito em serie L R
 = E(t)
Circuito em serie RC
 = 
Aplicando fator integrante temos a solução geral da equação:
Q(t) = C
Uma força eletromotriz de 30 volts é aplicada a um circuito em série LR no qual a indutância é de 0,1 henry e a resistência é de 50 ohms. Encontre a corrente i(t) se i(0) = 0.
 = 30 .(10)
 = 300
Encontrando o fator integrante
I(t) = = e500t
 e500t e500t300
300 dt
=+ C
= 0,6e500t+ c
i = 0,6e -500t+ C
C e nossa constante de integração. (PVI)
0= 0,6 + e0+ C
C = -0,6
nossa função i(t) e dada: i(t) = 0,6-0,6 e -500t
Conclusões
Quando aplicamos nosso conhecimento em busca de um melhor resultado encontramos então mais eficácia na resolução do problema, com conhecimento nas EDO de primeira ordem, podemos compreender que a partir de uma taxa que e uma derivada, sendo proporcional ao tempo aplicando -a integral temos o numero x em função do tempo t que pode representar uma população de bactérias ou a queda de temperatura de algum corpo.
Em vista do que aprendemos em sala e aplicando nossos conhecimentos no cotidiano podemos buscar aprimorar o uso e o desenvolvimento dos meios a quais estejam sendo trabalhados.
Bibliografia
http://www.ufpel.edu.br/ifm/dme/professores/vbo/EDO/apostilaEDO.pdf acesso em: 10 de novembro 2013
http://w3.ualg.pt/~holivei/Apontamentos%20EDO%202008-2009.pdf acesso em: 10 de novembro de 2013
http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/circuitos-eletricos/circuitos-eletricos-1.php acesso em: 10 de novembro de 2013
http://www.mat.uel.br/matessencial/ acesso em: 11 de novembro de 2013
http://people.ufpr.br/~eidam/2012/2/CM121/CM121_Listas.pdf superior/pdfs/edo.pdfacesso em: 11 de novembro de 2013
http://www.feg.unesp.br/~ernesto/guiaedo/Tcc.pdf acesso em 12 novembro de 2013
Howard Anton, Iri Bivens, Stphen Davi, CALCULO volume II, 8ª edição
Willian E. Boyce, Richard C. Diprima Equações Diferenciais Elementares E problemas de Contorno, 9ª edição