Distribuicão Binominal

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Universidade Federal do Acre
Centro de Ciências da Saúde e do Desporto
Curso Bacharelado em Nutrição
CRÍCIA MARIA OLIVEIRA DA CRUZ
Trabalho de estatística aplicada sobre distribuição binominal e normal
Rio Branco- Acre
2016
CRÍCIA MARIA OLIVEIRA DA CRUZ
Trabalho de estatística aplicada sobre distribuição binominal e normal
Trabalho sobre distribuição binomial e normal apresentado à Universidade Federal do Acre como requisito para a obtenção parcial referente à avaliação da N1 da disciplina de estatística aplicada.
 Professor: Antonio Carlos Fonseca Pontes
Rio Branco- Acre
2016
Distribuição Binominal
Definição
Entende-se por distribuição binomial como sendo aquela em que os termos da expansão do binômio (ou multinômio) correspondem às probabilidades de todos os eventos possíveis do espaço amostral. O binômio (ou multinômio) é formado pelas probabilidades de cada acontecimento elevado ao número total de ocorrências.
A distribuição binomial verifica as seguintes condições:
1. A experiência tem um nº fixo de provas, 
2. As provas são independentes. (O resultado de uma prova não afecta probabilidade de ocorrência das restantes.)
3. Cada prova origina um de dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.
4. A probabilidade de sucesso, denotada por p, é constante em cada prova.
n denota o nº de provas (valor fixo à partida).
x denota um nº específico de sucessos em n provas, logo x pode ser qualquer nº entre 0 e n, inclusive.
p denota a probabilidade de sucesso em cada uma das n provas.
q denota a probabilidade de insucesso em cada uma das n provas.
P(x) denota a probabilidade de obter exatamente sucessos em n provas (P(x)=P(X=x)).
A função binomial é dada por
onde : 
Cada termo da função binomial corresponde a um conjunto específico de ramos dos diagramas de árvore apropriados.
Exemplos: 	
1- Um industrial percebeu que 15% das peças produzidas por uma certa máquina apresentam defeitos. Em uma amostra aleatória de 5 peças produzidas pela máquina, qual será a probabilidade de: (a) todas serem defeituosas; (b) uma ser defeituosa; (c) duas serem defeituosas; e (d) pelo menos uma ser defeituosa. A probabilidade de uma peça ser defeituosa é p = 0,15, de maneira que q = 1 - 0,15 = 0,85. Temos 5 repetições do experimento binomial. Logo:
Note que o último item poderia ser resolvido de outra maneira mais direta lembrando que P(ao menos uma) = 1 – P(nenhuma) = 1 – q 5 = 1 – 0,444 = 0,556.
2- Sabe-se que 90% dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Se onze pacientes realizaram a cirurgia qual a probabilidade de que: (A) Todos sobrevivam; (B) Ninguém sobreviva; (C)nove ou mais sobreviva?
p(de morte) = 0,10
p = 0,10
1 - p = 0,90
n = 11
(A): k = 0
P[X=0] = 31,38%
(B): k = 11
P[X=11] = 0,00%
(C): 
Equivalente a Dois ou menos morram, ou seja, P[X<=2];
P[X<=2] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2]
P[X=0] = 31,38%
P[X=1] = 38,35%
P[X=2] = 21,31%
P[X<=2] = 31,38% + 38,35% + 21,31%
P[X<=2] = 91,04%
Distribuição Normal
A distribuição normal é	a distribuição contínua	de probabilidades mais importante em estatística. Pode ser usada para modelar muitos conjuntos de medidas na natureza, na industria e no comércio, na saúde, etc. A distribuição normal é uma distribuição contínua de uma variável aleatória x e seu gráfico é chamado de curva normal. Uma variável aleatória contínua  tem distribuição Normal se sua função densidade de probabilidade for dada por:
	
	
 	
Usamos a notação 
A variação natural de muitos processos industriais é realmente aleatória. Embora as distribuições de muitos processos possam assumir uma variedade de formas, muitas variáveis observadas possuem uma distribuição de frequências que é, aproximadamente, uma distribuição de probabilidade Normal.		Probabilidade é a chance real de ocorrer um determinado evento, isto é, a chance de ocorrer uma medida em um determinado intervalo. Por exemplo, a frequência relativa deste intervalo, observada à partir de uma amostra de medidas, é a aproximação da probabilidade. E a distribuição de frequências é a aproximação da distribuição de probabilidades. A distribuição é normal quando tem a forma de "sino":
Para achar a área sob a curva normal devemos conhecer dois valores numéricos, a média  e o desvio padrão . A Figura a seguir mostra algumas áreas importantes:
Quando  e  são desconhecidos (caso mais comum), estes valores serão estimados por  e , respectivamente, a partir da amostra, em que  e 
Para cada valor de  e/ou  temos uma curva de distribuição de probabilidade. Porém, para se calcular áreas específicas, faz-se uso de uma distribuição particular: a "distribuição normal padronizada", também chamada de Standartizada ou reduzida, o qual é a distribuição normal com  e . 
Para obter tal distribuição, isto é, quando se tem uma variável  com distribuição normal com média  diferente de (zero) e/ou desvio padrão  diferente de  (um), devemos reduzi-la a uma variável , efetuando o seguinte cálculo
	
	
Assim, a distribuição passa a ter média  e desvio padrão . Pelo fato da distribuição ser simétrica em relação à média , a área à direita é igual a área à esquerda de . Por ser uma distribuição muito usada, existem tabelas a qual encontramos a resolução de suas integrais. Assim, a tabela fornece áreas acima de valores não negativos que vão desde 0,00 até 4,09. 
Gráfico da curva Normal padronizada
Exemplo : 
Suponha que a espessura média de arruelas produzidas em uma fábrica tenha distribuição normal com média 11,15mm e desvio padrão 2,238mm.Qual a porcentagem de arruelas que tem espessura entre 8,70mm e 14,70mm?
Para encontrar a porcentagem de arruelas com a espessura desejada devemos encontrar a área abaixo da curva normal, compreendida entre os pontos 8,70mm e 14,70mm
Para isso, temos que encontrar dois pontos da distribuição normal padronizada.
O primeiro ponto é
	
	
 A área para valores maiores do que  -1,09 é 0,8621, ou seja,86,21%. Portanto, a área para valores menores do  que -1,09 é de 0,1379.
O segundo ponto é:
	
	
 A área para valores maiores do que 1,58  é 0,0571,ou seja,5,71%. Logo,o que procuramos é a área entre  e , que é dada por
1 - (0,1379 + 0,0571) = 1 - 0,195 = 0,8050
	
	
Logo, a porcentagem de arruelas com espessura entre 8,70 e 14,70 (limites de tolerância da especificação) é de 80,50%.
Referências
STEIMACHER, Alysson. Estatística e probabilidade. Apostila Probabilidade, aula 8, cap 5, UFMA. Disponível em: < http://www.gpcmb.ufma.br/steimacher/estat/Aula8-Cap_05.pdf> acesso em 08 Mar. 2016
Distribuição Normal, USP, Aula 8. Disponível em: <https://www.ime.usp.br/~chang/home/mae116/aulas/Aula%206_distribui%E7%E3o%20Normal.pdf> acesso em 08 Mar. 2016
Adilson; Janaina et all. Estatística Geral- Distribuição Binominal, 2009. Disponível em: < http://estatisticageral.blogspot.com.br/2009/05/distribuicao-binomial.html> acesso em 08 Mar. 2016
Distribuição Normal – UFPE. Disponível em: <http://www.cin.ufpe.br/~rmcrs/ESAP/arquivos/DistribuicaoNormal.pdf> acesso em 08 Mar. 2016