(20170919161322)Aula 8 Consolidação

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Lizandra Nogami
Universidade de Cuiabá
Campus Barão
Curso de Engenharia Civil
Cálculo de Recalques
 Recalques imediatos ou recalques elásticos
 Ocorrem imediatamente após a aplicação da carga, sem alteração do 
teor de umidade.
 Os recalques imediatos (Si) podem ser estimados utilizando-se equações 
deduzidas a partir da Teoria da Elasticidade.


I
E
BqSi
21
.


Onde:
q =carga líquida
B = largura da fundação (ou diâmetro de uma fundação circular)
 = coeficiente de Poisson
E = módulo de elasticidade do solo
I = Fator de influência (adimensional)
Recalque Elástico
Recalque Elástico – Fatores de Influência
Forma m1
Ip
Flexível
Rígida
Centro Canto
Circular --- 1.00 0.64 0.79
Retangular 1 1.12 0.56 0.88
1.5 1.36 0.68 1.07
2 1.53 0.77 1.21
3 1.78 0.89 1.42
5 2.10 1.05 1.70
10 2.54 1.27 2.10
20 2.99 1.49 2.46
50 3.57 1.8 3.0
100 4.01 2.0 3.43
m1= comprimento da fundação/ largura da fundação
Recalque Primário
2
Variação volumétrica que ocorre nos solos finos ao longo do tempo!
Para o Cálculo de Recalques por Adensamento Primário...
Hipóteses:
 Deformações horizontais nulas
 Ds’ , mv e Cc constantes com a profundidade
s’O s’1
Ds’
e 1
e 0
Ds
Sc
z
dz
H
Recalque Primário
Solos Normalmente Adensados
Solos pré-adensados na zona de recompressão
Solos pré-adensados na zona da reta virgem
Recalque Primário
O índice de compressão é muito útil para o cálculo de recalque, em solos
que estejam comprimindo, ao longo da reta virgem. O recalque total (𝛥H)
por causa de uma variação do índice de vazios (𝛥e), numa camada de espessura H, é
dado por:
 O progresso do processo de adensamento pode ser expresso
em termos de índice de vazios. Para um instante particular, o
grau de adensamento (Uz) é definido como:
10
0
z
ee
ee
U



 eo = índice de vazios no início do processo de adensamento
 e1 = índice de vazios no final do processo de adensamento
 e = índice de vazios no instante considerado, durante o 
processo de adensamento
Grau de Adensamento
 Assumindo que a curva e-s’ seja linear, no intervalo de 
tensões em questão, o grau de adensamento pode ser 
expresso em termos de s’:
e0
e
e1
s’0 s’ s’1
u1
ue
10
0
z
ee
ee
U



01
0
z
''
''
U
ss
ss

Grau de Adensamento
 Tensão total vertical: so  s1
 Deformações laterais nulas
 Instante inicial (to): tensão total = s1
 (logo após o incremento de carga)
tensão efetiva = so’
 Instante final (tf): tensão total = s1
tensão efetiva = s1’
Grau de Adensamento
 Poropressão antes do aumento da tensão total: uo
 Excesso de poropressão imediatamente após o aumento da 
tensão total: ui
 Excesso de poropressão num instante t, durante o processo de 
adensamento: ue
 Tensão efetiva num instante t, durante o processo de 
adensamento: s’ 
 Durante o processo de adensamento, o incremento de tensão 
efetiva vertical é numericamente igual ao decréscimo do excesso 
de poropressão: Ds’ = -Due
Grau de Adensamento
 Então pode ser escrita a seguinte relação:
e0
e
e1
s’0 s’ s’1
u1
ue
ci01 u'u'' sss
 O grau de adensamento pode 
ser expresso por:
01
0
z
''
''
U
ss
ss

i
e
i
ei
z
u
u
1
u
uu
U 


Grau de Adensamento
Hipóteses:
 Solo homogêneo
 Solo totalmente saturado
 Partículas sólidas e água incompressíveis
 Compressão e fluxo unidimensionais (verticais)
 Pequenas deformações
 Validade da Lei de Darcy para qualquer gradiente hidráulico
 Existem evidências de que para baixos gradientes hidráulicos a 
Lei de Darcy deixa de valer.
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
Hipóteses:
 A condutividade hidráulica (k) e o coeficiente de
compressibilidade volumétrica (mv) permanecem constantes
durante todo o processo de adensamento.
 Na realidade, durante o processo de adensamento, a condutividade
hidráulica diminui com a diminuição do índice de vazios;
 O coeficiente de compressibilidade volumétrica também diminui
durante o processo de adensamento, pois a relação e-s’ não é linear;
entretanto, para pequenos incrementos de tensão, pode-se aceitar a
validade desta hipótese.
 Existe uma relação única, independente de tempo, entre o índice
de vazios (e) e a tensão efetiva (s’).
 Resultados experimentais mostram que a relação entre o índice de
vazios e as tensão efetiva não é independente do tempo.
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
Hipóteses:
 A teoria relaciona as seguintes três grandezas:
 Excesso de poropressão (ue).
 Profundidade (z) abaixo da superfície superior da camada de 
argila.
 Tempo (t), medido a partir da aplicação instantânea do 
incremento de tensão total.
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
 Seja considerado um elemento de dimensões dx, dy e dz situado no 
interior de uma camada de argila.
 A espessura da camada de argila é 2d.
 O elemento é submetido a um incremento de tensão total vertical Ds.
2d
dx.dy
dz
zDs
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
 A velocidade do fluxo através do elemento é dado pela Lei de 
Darcy:
 Considerando que qualquer alteração na carga total (h) é 
devida exclusivamente a uma alteração na poropressão, 
então:
 Derivando mais uma vez esta expressão em relação a z, 
resulta:
z
h
kkv izz



z
k
v ue
w
z




2
e
2
w
z
z z
uk
)v(






Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
• Como já foi visto anteriormente, a equação da continuidade 
é dada por:
 
2
2
z
uk
v
z
e
w
z






 Sendo vx = 0 e , resulta:
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
 Define-se o coeficiente de consolidação ou coeficiente de
adensamento, pela seguinte expressão:
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
 Onde a𝜈 é o coeficiente de compressibilidade:
 Quanto maior o valor do Cv, mais rápido se processa o adensamento
do solo.
• A variação de volume pode ser expressa em termos do coeficiente 
de compressibilidade volumétrica mv:
 O incremento de tensão total é gradualmente transferido para o 
esqueleto sólido.
 Na mesma proporção que a tensão efetiva aumenta, o excesso de 
poropressão diminui (Ds’ = -Due). Portanto, a taxa de variação de 
volume pode ser expressa por:
')('
'
0
0
sss DDDDDD dxdydzmVVmVV Vm vvv
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
• Combinando as expressões 1 e 2:
(1)
(2)
resulta:
 Fazendo (coeficiente de adensamento), resulta a 
chamada equação de adensamento unidimensional:
wv
v
m
k
c


Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
Solução da equação de adensamento:
Ds
 O incremento de tensão total (Ds) é aplicado instantaneamente.
 No instante inicial (t = 0), este incremento de tensão é suportado
totalmente pela água, ou seja, o valor inicial do excesso de
poropressão (ui) é igual a Ds.
 Assume-se que as fronteiras superior e inferior da camada de argila
sejam totalmente drenantes.
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
• O valor inicial do excesso de poropressão é igual a Ds e a condição 
inicial é:
ue = ui para 0< z< 2d quando t = 0
• As condições de contorno em qualquer instante são:
ue = 0 para z = 0 e z = 2d , quando t > 0.
Ds
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
• Paraestas condições de contorno, a solução da equação
diferencial de adensamento é:
Onde:
d = comprimento da trajetória mais longa
ue = excesso de poropressão inicial
z = “profundidade”
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
• Para o caso particular no qual ui é constante em toda a
camada de argila, tem-se:
 Nota-se que quando:
▪ n é par  (1-cos n) = 0
▪ n é ímpar  (1-cos n) = 2
 Portanto, interessam somente os valores ímpares de n.
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
• Fazendo-se as seguintes substituições:
A equação anterior torna-se:
(adimensional denominado Fator de Tempo)
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
• O andamento do processo de adensamento pode ser
mostrado plotando-se uma série de curvas ue versus z,
para diferentes valores de t.
• Estas curvas, chamadas isócronas, e suas formas
dependem de:
– distribuição inicial do excesso de poropressão;
– condições de drenagem nas fronteiras da camada de
argila.
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
• Exemplo (a): 
 Neste exemplo,
 a distribuição inicial de ui é constante;
 a drenagem se dá pelas superfícies superior e inferior;
 as isócronas são simétricas em relação à linha de centro;
 a parte superior do diagrama também representa o caso de uma
camada, de espessura d, com drenagem somente na superfície
superior.
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
• O grau de adensamento pode ser determinado substituindo-se o 
valor de ue na expressão 2:
(2)
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
• Nos problemas práticos, de um modo geral, só existe interesse no 
grau de adensamento médio (U ) ao longo de toda a espessura da 
camada, como um todo.
• O recalque por adensamento num instante t é dado pelo produto de 
U pelo recalque final.
• O grau de adensamento médio, num instante t, para uma 
distribuição inicial de ui constante, é dado por:
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
• Determinar a porcentagem média de recalque U: 
• Onde 𝜌 é o recalque parcial, após um tempo t e 𝛥H é o recalque total da 
camada.
0.001 0.01 0.1 1
Tv= 
c vt
d 2
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
U
• A relação entre U e Tv, dada pela expressão anterior, é representada 
pela curva mostrada na figura abaixo: 
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
• A equação anterior também pode ser representada quase que
exatamente pelas seguintes expressões empíricas:
0.001 0.01 0.1 1
Tv= 
c vt
d 2
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
U
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
• Se ui não for constante, o grau de adensamento médio (U) é dado 
por:
Onde:
área sob a isócrona (no tempo em questão)
área sob a isócrona inicial
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
• A Teoria de Terzaghi assume que a variação do índice
de vazios é devida exclusivamente à dissipação do
excesso de poropressão.
• Entretanto, resultados experimentais mostram que a
compressão não cessa, mesmo após o excesso de
poropressão ter se dissipado totalmente.
• As deformações continuam acontecendo, a taxas cada
vez menores, mesmo com tensão efetiva constante.
• Estas deformações são referidas como compressão
secundária ou adensamento secundário.
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
• Supõe-se que a compressão secundária seja devida a um gradual
rearranjo das partículas de argila para uma configuração mais
estável, a partir de um distúrbio estrutural causado pela
diminuição do índice de vazios.
• A taxa de compressão secundária é controlada pelo filme
altamente viscoso de água adsorvida que envolve as partículas de
mineral argiloso.
• Um fluxo viscoso muito lento da água adsorvida, permite uma
aproximação das partículas. Isto faz com que a viscosidade
aumente ainda mais, resultando numa conseqüente redução da
taxa de compressão.
Teoria do Adensamento Unidimensional de 
Terzaghi
Determinação do coeficiente de adensamento
• Método de Casagrande (log do tempo)
50
2
2
196.0
196.0%50
t
d
c
d
tc
T
TU
v
v
v
v


Adensamento Secundário
• Método de Taylor (raiz quadrada do tempo)
90
2
2
848.0
848.0%90
t
d
c
d
tc
T
TU
v
v
v
v


l
1.15l
Adensamento Secundário
1. A altura inicial de uma amostra é 2 cm e o seu índice de vazios
ei=1,18. Submetida a um ensaio de adensamento, a altura se reduz
para 1,28 cm. Qual o índice de vazios final?
2. O recalque total de um edifício construído sobre uma camada de
argila rija, com 18 m de espessura, foi de 5,46 cm. Sabendo-se que a
pressão média, na camada de argila, aumentou de 0,7 kgf/cm2.
Determine o coeficiente de decréscimo de volume mv.
3. O recalque de um edifício apoiado sobre uma camada de argila, com
20 m de espessura, estabilizou-se em 4 cm após certo número de
anos. A pressão média aplicada à camada era de 0,8 kgf/cm2.
Calcular a perda especificada de água intersticial da camada de
argila.
Exercícios