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Mecânica dos Fluidos II (PME 2330) Gabarito Primeira Prova - 2015 1. (4 pontos) Num duto bidimensional convergente a parede inferior é plana e a superior é curva, de modo que a velocidade u na direção x varia linearmente de smu /1001 = na seção (1) a smu /3002 = na seção (2). A massa específica ρ do ar também varia linearmente de 3 1 /2,1 mkg=ρ na seção (1) para 3 2 /85,0 mkg=ρ na seção (2). Considerando o escoamento permanente, não-viscoso e que a altura de seção (1) é de mh 21 = e o comprimento do duto é de mL 2= , determine: a) A expressão da velocidade na direção y , ( )yxvv ,= . (3,0 pontos) b) A altura 2h da seção (2). (1,0 ponto) (Adaptado de Çengel e Cimbala, “Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications”, McGraw Hill, 2006) Continuidade: ( ) 0. =∇+ ∂ ∂ Vρρ t Solução: a) A velocidade u e a massa específica ρ são dadas pelas expressões: baxu += , com L uua 12 −= , 1ub= ; resultam 1100 −= sa , smb /100= . dcx+=ρ , com L c 12 ρρ −= , 1ρ=d ; resultam 4/175,0 mkgc −= , 3/2,1 mkgd = . A equação da continuidade resulta: ( ) ( ) 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ y v x u ρρ 0 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ y vv yx uu x ρ ρ ρ ρ ( ) ( ) ( ) dcx adbcacx y v y vdcxadcxbaxc + ++ −= ∂ ∂ ⇒= ∂ ∂ +++++ 20 Integrando, resulta: L = ( ) )(2, xfy dcx adbcacxyxv + + ++ −= Como ( ) 00, =xv , segue que 0)( =xf ; assim, ( ) y dcx adbcacxyxv + ++ −= 2, ; resulta ys xm xmv 11 1 175,02,1 5,10235 − − − − − = b) Da equação de continuidade: 222111 huhu ρρ = , que resulta 1 22 11 2 hu uh ρ ρ = m941,02 =h 2. (6 pontos) Na lubrificação hidrostática a sustentação é obtida pela introdução do lubrificante dentro da área carregada do mancal a uma pressão suficiente para separar as superfícies com um filme de óleo, sem necessidade do movimento relativo (como acontece com a lubrificação hidrodinâmica). Considere o escoamento com forças de inércia e de volume desprezíveis de um óleo incompressível de viscosidade µ e massa específica ρ , no espaço entre um disco de raio b e uma superfície paralela separados por uma folga constante e pequena ( bh << ), conforme mostrado na figura (notar que a figura está fora de escala). No centro é injetada uma vazão volumétrica Q , que enche uma câmara de raio a a alta pressão e escoa radialmente através da folga. Nestas condições, calcular a força F vertical que suporta o mancal. Para resolver este problema, considerar que o campo de velocidade (em coordenadas cilíndricas) na folga h é da forma ( )zruu rr ,= , 0== θuuz e seguir o seguinte roteiro: a) Demonstrar que a velocidade radial é da forma ( ) ( ) r zfzrur =, . (0,5 pontos) b) Demonstrar que a distribuição de pressão é puramente radial, isto é ( )rpp = , assim como que a distribuição de velocidade radial resulta localmente Couette, isto é, ( ) −−= h z h z dr dphzrur 12 , 2 µ . (2 pontos) c) Aplicando a equação de continuidade na superfície lateral na posição r , demonstrar que o gradiente de pressão resulta rh Q dr dp 16 3π µ −= . (1,5 pontos) d) Considerando como condição de contorno ( ) 0=bp , calcular a distribuição de pressão e a pressão na câmara ( )appa = . (0,5 pontos) e) Supondo que para ar ≤ a pressão é constante e igual a ap , demonstrar que a força resulta −= 2 3 2 13 b a h bQF µ . (1,0 pontos) f) Considerando como termos representativos da força de inércia e força viscosa respectivamente a r uu rr ∂ ∂ e 2 2 z ur ∂ ∂ ν , fazer uma análise de ordens de grandeza e demonstrar que a condição para que o escoamento seja considerado de inércia desprezível é 1<< a h a Q ν . Discutir as consequências desta condição. (0,5 pontos) Continuidade: ( ) 011 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z uu r ur rr z r θ θ Navier-Stokes, componente r : ∂ ∂ −− ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ++ ∂ ∂ −=− ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ θθ ν ρθ θθθ u rr u z uu rr ur rr G r p r u z uuu r u r uu t u rrrr r r z rr r r 222 2 2 2 2 2 2111 Navier-Stokes, componente z : ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ++ ∂ ∂ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 111 z uu rr ur rr G z p z uuu r u r uu t u zzz z z z zz r z θ ν ρθ θ Ajudas para o cálculo: ctexxxdxxx +−=∫ 22 4 1ln 2 1ln ; ( ) 6 11 1 0 =−∫ dxxx Solução: a) Da equação de continuidade: ( ) ( ) ( ) r zfuzfurur rr rrr =⇒=⇒= ∂ ∂ 01 . Notar que ∞→ru para 0→r , mas a origem não forma parte do recinto. b) Da equação de Navier-Stokes na componente z , resulta 0= ∂ ∂ z p ; como o problema tem simetría de revolução, resulta ( )rpp = . Calculamos os termos para substituir na equação de Navier-Stokes, componente r : 22 ;; r f r ur rr f r ur r f r u rrr = ∂ ∂ ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ Substituindo, com a condição de escoamento de inércia desprezível, resulta: cteA dz fd r pr dz fd rr f dz fd rr f r p === ∂ ∂ ⇒= −+= ∂ ∂ 2 2 2 2 32 2 3 1 µ µµ Para calcular ( )zf , integramos a expressão anterior, obtendo: ( ) CzBzAzf ++= 2 2 1 disco superfície F ur r z h b a Q Da condição de contorno ( ) ( ) 0,0, == hruru rr resulta ( ) ( ) 00 == hff ; daqui resultam 0=C , hAB 2 1 −= . Substituindo, obtemos: ( ) −−= −−= h z h z dr dphr h z h zhAzf 1 2 11 2 1 22 µ ( ) −−= h z h z dr dphzrur 12 1, 2 µ c) Calculamos a vazão volumétrica: ( ) rh Q dr dp dr dprhdzzz dr dprhdzruQ h r 16 6 12 3 3 *1 0 ** 3 0 π µ µ π µ π π −=⇒−=−−== ∫∫ d) Integrando entre r e b , com a condição de contorno ( ) 0=bp , calculamos a distribuição de pressão e a pressão na câmara: ( ) ( ) ( ) −=⇒ =− b r h Qrp b r h Qrpbp ln6ln6 33 π µ π µ ( ) −== b a h Qpap a ln 6 3π µ e) A força resulta, integrando a distribuição de pressão: ( ) ( ) ∫∫∫ − −=+== 1 / *** 3 2 3 2 2 0 ln26ln622 ba b aa b drrr h bQ b a h aQdrrrpapdrrrpF µµπππ −= + −− −=⇒ + −−=∫ 2 3 2222 3 2 22 1 / *** 13 2 1ln 2 1ln6 4 1ln 2 1 4 1ln b a h bQ b a b a b a b a b a h bQF b a b a b adrrr ba µµ f) Fazendo uma análise de ordens de grandeza, temos que: 322 2 23 2 ; hr Q hhr Q z u hr Q rhr Q hr Q r uu hr Qu rrrr ννν =∝∂ ∂ =∝ ∂ ∂ ⇒∝ 12323 2 2 2 <<⇒<<⇒ ∂ ∂ << ∂ ∂ r hQ hr Q hr Q z u r uu rrr ν νν O valor máximo da expressão anterior é para ar = , resultando finalmente 1<< a h a Q ν . Osignificado da expressão anterior é que a aproximação de inércia desprezível deixa de ser válida para valores de raio da câmara muito pequenos.
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