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Unidade I MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Maurício Manzalli Objetivos da disciplina Proporcionar ao aluno conhecimento da área financeira. Conhecimento das ferramentas de Matemática Financeira. Oferecer condições para que o aluno possa bem julgar oportunidades financeiras, tanto de financiamento quanto de investimentos. Amplitude tanto no âmbito pessoal quanto no empresarial. Natureza do estudo da Matemática Financeira A Matemática Financeira estuda as relações entre os valores financeiros e suas datas, devido a: inflação; taxas de juros; prazo de remuneração de capital. Assuntos da unidade Fundamentos/conceitos básicos Juro simples Desconto simples Taxa efetiva na operação de desconto Fundamentos/conceitos básicos Principal (P): capital inicial de uma aplicação. Juro (J): valor pago ou recebido como remuneração (aluguel) pelo uso de um capital. Montante (M): é a soma do Principal de uma aplicação com o seu Juro. M = P + J Fundamentos/conceitos básicos Custo (C): quanto se paga por uma determinada mercadoria ou se gasta para prestar um determinado serviço. Lucro (L): ganho adicionado ao custo da mercadoria ou serviço para se calcular seu preço de venda. Preço de Venda (V): resultado da soma do custo com o lucro. V = C + L Aplicação Exemplo Por quanto devo vender um bem com custo de R$ 60.000,00 para eu ter 30% de lucro sobre o preço de venda? Fórmula V = C + L Solução: V = C + L V = 60.000,00 + [(30/100).V] V = 60.000,00 + 0,30.V V – 0,30.V = 60.000,00 0,70V = 60.000,00 V = 60.000,00/0,70 V = R$ 85.714,28 Resposta: Devo vender o bem pelo preço de R$ 85.714,28. Fundamentos/conceitos básicos Número de períodos (n): é a medida do prazo de uma aplicação ou dívida, expressa na unidade de tempo da taxa de juros. Ano exato: é o critério em que o prazo é contado dia a dia, perfazendo um ano de 365 dias. Ano comercial: é o critério em que o prazo é contado em meses de 30 dias, totalizando um ano de 360 dias. Fundamentos/conceitos básicos Taxa de juros (r ou i): é o índice referido a uma unidade de tempo, por meio do qual calculamos os juros; será denominada r quando for percentual (base 100) ou i quando for de base unitária. De maneira geral, a unidade de tempo da taxa de juros é indicada de forma abreviada. Exemplos: a.a. = ao ano; a.m. = ao mês; a.t. = ao trimestre; a.b. = ao bimestre. Fundamentos/conceitos básicos Exemplos de taxas proporcionais: 2% ao mês = 24% ao ano 1% ao bimestre = 3% ao semestre 5% ao trimestre = 20% ao ano 2% ao dia e 60% ao mês Interatividade Uma papelaria compra um mouse de computador por R$ 20,00 e o vende por R$ 30,00. Podemos afirmar que seu lucro sobre o preço de custo será de: a) 30% b) 25% c) 20% d) 50% e) 40% Juros simples Em todos os períodos, o juro é calculado aplicando-se a taxa sobre o principal. Também denominado: Juro não capitalizado, Juro linear, Juro proporcional. Juros simples Fórmulas a. Juro: como cada período renderá juro igual ao principal vezes a taxa de juros, em uma aplicação de n períodos, teremos o juro total igual a: J = P . i . n Juros simples Exemplo Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês? Fórmula: J = P . i . n Solução: J = 10.000,00 x (3/100) x 5 J = 10.000,00 x 0,03 x 5 J = 1.500,00 Resposta: o valor dos juros é de R$ 1.500,00. Juros simples b. Montante: será a soma do principal do período com o seu juro: M = P + J M = P + P.i.n M = P . (1 + i . n) Juros simples Exemplo Se aplicar R$ 850,00 por três meses à taxa de juros simples de 1,2% ao mês, quanto terei ao final do período? Fórmula: M = P . (1 + i . n) M = 850,00 . (1 + 0,012 . 3) M = 850,00 . 1,036 M = 880,60 Terei, ao final do período, o montante de R$ 880,60. Juros simples: valor atual e valor nominal Valor atual: valor de uma dívida em data anterior à do vencimento. Valor atual = A = N/(1 + i.n) Valor nominal: valor de uma dívida na data de vencimento. Valor nominal = N = A.(1 + i.n) Juros simples: valor atual e valor nominal Exemplo Calcule o prazo de vencimento de um título cujo valor atual é a metade do nominal correspondente, sabendo que a taxa de juros é de 5% ao mês. Resolução: Julgar valores: Nominal: R$ 100,00 Atual: R$ 50,00 Juros simples: valor atual e valor nominal Resolução: Julgar valores: Nominal: R$ 100,00 Atual: R$ 50,00 N = A . (1 + i . n) 100,00 = 50,00 . (1 + 0,05 . n) (100,00/50,00) = 1 + 0,05n 0,05n = 2 – 1 n = 1/0,05 n = 20 meses Juros simples ia = taxa de juros unitária anual im = taxa de juros unitária mensal Número de períodos: um ano para a taxa anual ou doze meses para a taxa mensal. M = P.(1+ ia) e M = P.(1+ im .12) Juros simples Exemplo Qual o capital que, aplicado à taxa de 117,6% a.a., durante cinco meses, deu um retorno de R$ 161.665,00? Resolução: Lembrando que 5 meses de um ano = 5/12 Fórmula M = P . (1+ i . n) Solução: 161.665,00 = P . (1 + (117,6/100) . (5/12) 161.665,00 = P . (1 + (1,176 . 0,41) 161.665,00 = P . (1 + 0,48216) 161.665,00 = P . 1,48216 P = 161.665,00 / 1,48216 Resposta: P = R$ 108.500,00 (valor arredondado, admitindo P = 161.665,00 / 1,49) Interatividade Um poupador aplica R$ 1.000,00 em um banco que paga juros simples de 2% a.m. Depois de sete meses, o cliente poderá sacar um montante de: a) R$ 1.150,00 b) R$ 1.180,00 c) R$ 1.140,00 d) R$ 1.145,00 e) R$ 1.135,00 Desconto simples Conceitos Desconto (D ou d): é o abatimento dado no valor nominal de uma dívida, como consequência da antecipação da sua data de pagamento. Prazo de antecipação (n): é a medida do tempo que vai da data de pagamento efetivo até a data de vencimento. Desconto simples Valor descontado ou líquido (VD ou Vd): é o valor efetivamente pago ou recebido, após o abatimento do desconto. Taxa de desconto é a taxa de juros utilizada nos cálculos dos descontos. Desconto simples: racional ou por dentro Utilizado para pagamento antecipado de uma dívida. Uma forma de se calcular o desconto: Desconto = Valor descontado: Desconto simples: valor descontado racional Exemplo Calcule o desconto simples racional de um título de valor nominal de R$ 3.000,00, em uma antecipação de seis meses, à taxa de desconto de 5% ao mês. Fórmula: D = (N.i.n) / 1 + (i.n) Solução: D = (3000,00 . (5/100) . 6) / 1 + (5/100) . 6 D = (3000,00 . 0,05 x 6) / 1 + (0,05 . 6) D = 900,00 / 1 + 0,3 D = 900,00 / 1,3 D = 692,30 Resposta: O desconto simples racional é de R$ 692,30. Desconto simples: comercial ou por fora Tem-se por base o valor nominal da dívida para o cálculo do desconto. Fórmulas: Desconto = d = N . i. n Valor descontado = Vd = N . (1 – i . n) Desconto simples: comercial ou por fora Exemplo O portador de uma nota promissória de R$ 60.000,00; necessitando de dinheiro, procurou uma agência bancária, 60 dias antes do vencimento do título, a fim de resgatá-lo. O banco fez o desconto comercial com taxa de 8% ao mês. Calcule o valor do desconto feito pelo banco. Determinar a quantia recebida pelo portador do título. Fórmulas: Desconto comerciald = N.i.n Valor descontado ou líquido comercial Vd = N.(1 – i.n) Desconto simples: comercial ou por fora Exemplo Dados N = 60.000,00 i = 8% a.m. n = 60 dias, que correspondem a 2 meses Solução: Calcule o valor do desconto feito pelo banco d = N.i.n d = 60000,00 . (8/100) . 2 d = 60000,00 . 0,08 . 2 d = 9600,00 Resposta: O desconto foi de R$ 9.600,00. Desconto simples: comercial ou por fora Exemplo Dados N = 60.000,00 i = 8% a.m. n = 60 dias, que correspondem a 2 meses Solução: Determinar a quantia recebida pelo portador do título: Vd = N . (1 – i . n) Vd = 60000,00 . (1 – (8/100) . 2) Vd = 60000,00 . 1 – (0,08 . 2) Vd = 60000,00 . 1 – 0,16 Vd = 60000,00 . 0,84 Vd = 50400,00 Resposta: O portador recebeu R$ 50.400,00 pelo título. Interatividade Um agiota calcula o juro que recebe pelo empréstimo de seu dinheiro, por meio do critério de desconto racional, usando a taxa de 6% a.m. Para um valor nominal de R$ 1.000,00; em oito meses, podemos afirmar que o valor líquido será: a) R$ 670,00. b) R$ 680,00. c) R$ 675,68. d) R$ 680,78. e) R$ 670,56. Desconto simples bancário Fórmulas Desconto simples bancário: db = N.( i.n + h ) Valor descontado bancário (valor líquido bancário): Vdb = N . [ 1 – ( i.n + h ) ] Desconto simples bancário Exemplo Um banco faz empréstimos pelo critério de desconto bancário. Para um pedido de R$ 10.000,00 a cinco meses, o banco cobra taxa de 3% a.m., mais uma taxa administrativa de 1%. Qual o valor líquido retirado pelo cliente? Fórmula: Vdb = N . [1 – (i . n + h)] Solução: Vdb = N . [1 – (i . n + h)] Vdb = 10000,00 . [1 – (3/100) . 5 + (1/100)] Vdb = 10000,00 . [1 – (0,03 . 5) + 0,01] Vdb = 10000,00 . [1 – 0,15 + 0,01] Vdb = 10000,00 . [1 – 0,16] Vdb = 10000,00 . 0,84 Vdb = 8400,00 Resposta: O valor líquido retirado pelo cliente é R$ 8.400,00. Desconto simples bancário Exemplo Calcule o desconto simples bancário de um título no valor nominal de R$ 700,00; em uma antecipação de 4 meses, à taxa de desconto de 5% a.m., sabendo-se que a financeira cobrou 2% de taxa administrativa. db = N.(i.n+h) db = 700,00 . (0,05 . 4 + 0,02) db = 700,00 . (0,2 + 0,02) db = 700,00 . 0,22 db = 154,00 Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário Definição Utilização em antecipação de recebíveis. Taxa que o banco cobra, “ganha” em antecipações. Fórmulas: Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário Exemplo Calculando a taxa efetiva e o desconto simples comercial de um título de valor nominal R$ 1.000,00; em uma antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês, quais os valores encontrados? Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário Solução Dados: N = 1.000,00 n = 3 i = 4% Calculando o desconto comercial: d = N . I . n d = 1.000,00 . 0,04 . 3 d = 120,00 Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário Solução Dados: N = 1.000,00 n = 3 i = 4% Calculando a taxa efetiva: if = d/(Vd . n) if = 120,00 / [(1.000,00 – 120,00) . 3 if = 120,00 / (880,00 . 3) if = 120,00 / 2.640,00 if = 0,045 a.m. If = 4,55% a.m. Interatividade Um título de R$ 5.500,00 foi descontado no banco X, que cobra 2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado três meses antes do seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é de 40% a.a., qual o desconto bancário? Quanto recebeu o proprietário do título? a) 660,00; 4.840,00. b) 4.840,00; 660,00. c) 66,00; 484,00. d) 6.600,00; 3.850,00. e) Não há informações suficientes para efetuar o cálculo solicitado. ATÉ A PRÓXIMA! Slide Number 1 Objetivos da disciplina Natureza do estudo da Matemática Financeira Assuntos da unidade Fundamentos/conceitos básicos Fundamentos/conceitos básicos Aplicação Fundamentos/conceitos básicos Fundamentos/conceitos básicos Fundamentos/conceitos básicos Interatividade Resposta Juros simples Juros simples Juros simples Juros simples Juros simples Juros simples: valor atual e valor nominal Juros simples: valor atual e valor nominal Juros simples: valor atual e valor nominal Juros simples Juros simples Interatividade Resposta Desconto simples Desconto simples Desconto simples: racional ou por dentro Desconto simples: valor descontado racional Desconto simples: comercial ou por fora Desconto simples: comercial ou por fora Desconto simples: comercial ou por fora Desconto simples: comercial ou por fora Interatividade Resposta Desconto simples bancário Desconto simples bancário Desconto simples bancário Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário Taxa efetiva nos descontos comercial e bancário Interatividade Resposta Slide Number 44
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