Lista_4_de_Exercicios

Prévia do material em texto

Lista 4 de Exercícios: 
1. Para cada uma das curvas no R
2
, faça um esboço e calcule uma parametrização da reta 
tangente e da reta normal nos pontos dados: 
 
a. ���� = ��, ���, � ∈ 	 �� � = 2. 
b. ���� = �����, �����, � ∈ �0,2���� � = �. 
c. ���� = �����, 2�����, � ∈ �0,2���� � = �/2. 
d. ���� = ���, ��, � ∈ 	 �� � = 1. 
e. �� + �� = 9 �� �3,0�. 
f. �� − 3�� + �� + 1�� = 1 �� �3, −2�. 
g. �� + 1�� + �� + 2�� = 1 �� �−1, −1�. 
h. � = �� �� �1, −1�. 
i. 
"#
$
+ %
#
&
= 1 �� �0,3�. 
j. 
�"'(�#
(
+ %
#
&
= 1 �� �1, −3�. 
k. ���� = �2����, 1 + 2�����, � ∈ �0,2�� �� )√3, 2+. 
 
2. Se �,��� = ��� + 1, ��, � ∈ 	 � ��0� = �1,3�, ������-� ����. 
 
3. A astróide �
#
. + �
#
. = 2
#
. tem equações paramétricas x = 2cos
3
t e y = 2sen
3
t, � ∈ �0,2��. 
Escreva a equação da reta tangente à astróide no ponto correspondente a � = /
$
. 
 
4. Seja C a curva parametrizada por ���� = �����, ����, 1 − 2�����, � ∈ �0,2��. 
a. Determine �′���. 
b. Determine uma parametrização da reta tangente em (-1,0,1). 
 
5. Faça um esboço das curvas no R
3
 definidas pelas seguintes parametrizações: 
a. ���� = �1,2, ��, � ∈ 	. 
b. ���� = ��, �, ��, � ∈ 	. 
c. ���� = �2����, 3����, 4�, � ∈ 	. 
d. ���� = �2����, 4,3�����, � ∈ 	. 
e. ���� = �� + 1, �, � − 1�, � ∈ 	. 
f. ���� = �1 + �, 2 − �, � − 5��, � ∈ 	. 
g. ���� = �1 + 2����, 2 − 4����, 9�, � ∈ 	. 
h. ���� = �����, 3 + ����, 1�, � ∈ 	. 
i. ���� = �1, ����, �����, � ∈ 	. 
j. ���� = �����, −1, �����, � ∈ 	. 
k. ���� = �4,2����, �����, � ∈ 	. 
l. ���� = �1,2, � + 1�, � ∈ 	. 
m. ���� = �1,2�, ��, � ∈ 	. 
n. ���� = �1 + 3����, 2 + 8����, 5�, � ∈ 	. 
o. ���� = ��, 2, ��, � ∈ 	. 
p. ���� = �3����, 4,3�����, � ∈ 	. 
q. ���� = ��, 2� − 1, � + 2�, � ∈ 	. 
r. ���� = �1 − �, 2 − �, � − 1�, � ∈ 	. 
6. Esboce o gráfico dos planos abaixo, e dê um vetor normal de cada um. 
 
a. � = 2. 
b. � = 3. 
c. � = 4. 
d. 4 = −4. 
e. � + 2� − 6 = 0. 
f. 3� − 24 − 12 = 0. 
g. 2� + � + 54 = 0. 
h. � + � + 4 = 1. 
i. � + � = 7. 
j. � + 4 = 2. 
k. � + 4 = 3. 
l. � + 2� + 24 = 2. 
m. � = 2. 
n. � = 2 − 4 + �. 
o. � = 2 − 6�. 
 
7. Esboce o gráfico de cada um dos cilindros abaixo: 
a. �� + �� − 2�� = 4. 
b. �� + 4� = 16. 
c. �� + 1�� + �� − 6�� = 4. 
d. �� = 94. 
e. � = |4|. 
f. �� − 4� = 0. 
g. �� + �� = 1. 
h. �� + 4� = 9. 
i. �� = ��. 
j. �� = �� − 1��. 
k. �� = � 
l. � = ����. 
m. � = ��.