AD2 Met Est I Gabarito (1)

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
AVALIAC¸A˜O A` DISTAˆNCA 2 - (AD2)
2o Semestre de 2017
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Gabarito
1. (3,0 pontos) Considere a palavra “FLAMINGO”.
(a) (1,0 pt) Quantos sa˜o os anagramas desta palavra tais que a expressa˜o “GOL” aparece?
(b) (1,0 pt) Quantos sa˜o os anagramas desta palavra tais que as vogais estejam sempre juntas?
(c) (1,0 pt) Quantos sa˜o os anagramas desta palavra que comec¸am com a expressa˜o “FLA”?
2. (4,0 pontos) Um grupo de pessoas foi entrevistado sobre idiomas que preferem aprender. O
resultado da pesquisa esta˜o na tabela abaixo.
Idade Ingleˆs (I) Franceˆs (F ) Espanhol (E) Alema˜o (A) Total
Ate´ 18 anos (B) 60 15 35 10 120
De 19 a 39 anos (C) 50 10 30 20 110
Mais de 39 anos (D) 40 30 30 30 130
Total 150 55 95 60 360
Assuma que uma pessoa deste grupo for selecionada aleatoriamente:
(a) (1,0 pt) Qual a probabilidade de esta pessoa preferir aprender Franceˆs ou Alema˜o?
(b) (1,0 pt) Qual a probabilidade de esta pessoa preferir aprender Espanhol e ter de 19 a 39
anos?
(c) (1,0 pt) Qual a probabilidade de esta pessoa preferir aprender Ingleˆs ou ter mais de 39
anos?
(d) (1,0 pt) Sabendo que a pessoa selecionada tem ate´ 18 anos, qual a probabilidade de ela
preferir aprender Alema˜o?
3. (3,0 pontos) Das pec¸as vendidas em um estabelecimento comercial, 22% sa˜o provenientes do
fornecedor A , 37% sa˜o provenientes do fornecedor B e as demais sa˜o provenientes do fornecedor
C . Do histo´rico de fornecimento de pec¸as ao estabelecimento, sabe-se que o percentual de pec¸as
que chegam com atraso de cada fornecedor sa˜o de 0,4%, 0,55% e 0,45% respectivamente para os
forncedores A , B e C . Uma pec¸a deste estabelecimento e´ selecionada aleatoriamente.
(a) (1,0 pt) Qual a probabilidade de ela ter sido entregue pelo fornecedor C ?
(b) (1,0 pt) Qual a probabilidade de ela ter chegado com atraso?
(c) (1,0 pt) Sabendo que ela chegou com atraso, qual a probabilidade de ela ter sido entregue
pelo fornecedor A ?
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Gabarito:
1. (a) A palavra “FLAMINGO” tem 8 letras.
Para que a palavra “GOL” aparec¸a, estas treˆs letras devem aparecer juntas nesta ordem.
Um detalhe importante aqui e´ o fato de que a palavra “FLAMINGO” na˜o tem letra repetida.
Enta˜o basta considerar a expressa˜o “GOL” como uma “letra”. Assim, teremos 5 letras+a
letra “GOL”. Ou, seja, teremos 6 “letras” a serem permutadas.
Logo:
P6 = 6! = 720
(b) Tambe´m temos 3 vogais (A, I, O). E, assim como no item anterior, poder´ıamos considerar
estas treˆs letras como uma “letra”. Pore´m, ale´m disso, a ordem das treˆs letras pode ser per-
mutada, de modo que teremos o mesmo do item anterior com a inclusa˜o desta permutac¸a˜o,
ouseja:
P6P3 = 6!3! = 720× 6 = 4.320
(c) Para comec¸ar com a expressa˜o “FLA”, estas treˆs letras teˆm que estar juntas, nesta ordem
e fixas no in´ıcio do anagrama. Assim, retirando estas treˆs letras, sobram as outras 5 para
permutarem. Logo;
P5 = 5! = 120
2. (a) Temos um total de 55 pesoas que preferem Franceˆs e um total de 60 pessoas que prefere
Alema˜o. Assim, o total de pessoas que preferem Franceˆs ou Alema˜o e´ de 115 pessoas, uma
vez que sa˜o evento mutuamente excludentes. Logo:
P (F ∪ A) = n(F ∪ A)
n(Ω)
=
115
360
= 0,3194
(b) Uma pessoa que se enquadra neste requisito esta´ na intersec¸a˜o entre estes dois eventos, ou
seja, no “cruzamento” entre estes dois eventos. Logo:
P (E ∩ C) = n(E ∩ C)
n(Ω)
=
30
360
= 0,0833
(c) Probabilidade da unia˜o de dois eventos que na˜o sa˜o mutuamente excludentes:
P (I ∪D) = P (I) + P (D)− P (I ∩D) = 150
360
+
130
360
− 40
360
=
150 + 130− 40
360
=
240
360
= 0,6667
(d) Probabilidade condicional:
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
=
10/360
120/360
=
10
120
= 0,0833
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3. Considere os segintes eventos:
• A : As pec¸as sa˜o provenientes do forncedero A ;
• B : As pec¸as sa˜o provenientes do forncedero B ;
• C : As pec¸as sa˜o provenientes do forncedero C ;
• D : A pec¸a chegou com atraso.
Temos as seguintes informac¸o˜es do enunciado do problema:
P (A) = 0, 22 P (B) = 0, 37
P (D|A) = 0, 004 P (D|B) = 0, 0055 P (D|C) = 0, 0045
(a) Como apenas os treˆs fornecedores entregam as pec¸as ao estabelecimento, enta˜o:
P (A) + P (B) + P (C) = 1
P (C) = 1− P (A)− P (B)
= 1− 0, 22− 0, 37
= 0,41
(b) Esta probabilidade sera´ obtida a partir do Teorema da Probabilidade Total.
P (D) = P (A)P (D|A) + P (B)P (D|B) + P (C)P (D|C)
= (0, 22× 0, 004) + (0, 37× 0, 0055) + (0, 41× 0, 0045)
= 0, 00088 + 0, 002035 + 0, 001845
= 0,00476
(c) Teorema de Bayes:
P (A|D) = P (A)P (D|A)
P (D)
=
0, 00088
0, 00476
= 0,184874
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