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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considere a função f(x)=x3/2.f(x)=x3/2. O arco do gráfico desta função no intervalo [0,1][0,1] é apresentado na figura abaixo: O comprimento deste arco vale Nota: 10.0 A L=2/27(10√10−1)u.c. B L=2/27(10√10 )u.c C L=2/27(13√13−1)u.c. D L=1/27(10√10−1)u.c. E L=1/27(13√13−8)u.c. Você acertou! A fórmula que fornece o comprimento de arco é L=∫ba√ 1+[f′(x)]2 dx.L=∫ab1+[f′(x)]2dx. Assim, L=∫10 ⎷1+(3√ x 2)2 dx=∫10√1+9x4 dx=12∫10√4+9xdx=127[13√13−8]u.c.L= ∫011+(3x2)2dx=∫011+9x4dx=12∫014+9xdx=1/27[1313−8]u.c. Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Dada a função vetorial ⃗F(x,y,z)=2x2y^i+2yz^j+4xyz2^zF→(x,y,z)=2x2yi^+2yzj^+4xyz2z^, o divergente de ⃗FF→ é Nota: 10.0 A ∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz. B ∇⋅⃗F(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.∇⋅F→(x,y,z)=8xy+2z+4xyz. C ∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz. D ∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy+2z+8xyz. Você acertou! Observamos que ∇⋅⃗F(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z),∇⋅F→(x,y,z)= ∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z), onde F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2.F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2.Logo, ∇⋅⃗F(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)= ∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz. E ∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz. Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis A respeito da sequência an=3+7n2n+n2an=3+7n2n+n2, pode-se afirmar que Nota: 10.0 A é convergente com limite 3. B é convergente com limite 7. Você acertou! Observamos que limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71= 7.limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7. Logo, podemos afirmar que a sequência é convergente com limite igual a 7. C é convergente com limite 10. D é divergente. E é convergente com limite infinito. Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Seja SS o sólido limitado superiormente pelo plano z=5z=5, inferiormente por z=2z=2 e lateralmente pelos planos y=0, y=3, x=0 e x=1.y=0, y=3, x=0 e x=1. O volume de SS é Nota: 10.0 A V=18u.v. B V=9u.v. Você acertou! Inicialmente, observamos que S={(x,y,z)∈R3; 0≤x≤1, 0≤y≤3 e 2≤z≤5} S={(x,y,z)∈R3; 0≤x≤1, 0≤y≤3 e 2≤z≤5} e seu volume pode ser obtido a partir da integral tripla: ∭1dV.∭1dV. Assim, V=∭V1dV=∫10∫30∫52dzdydx=∫10∫30[z]∣∣∣52dydx=∫10∫303dydx=∫10[3y]∣∣∣30dx= ∫109dx=9u.v.V=∭V1dV=∫01∫03∫25dzdydx=∫01∫03[z]|25dydx=∫01∫033dydx= ∫01[3y]|03dx=∫019dx=9u.v. C V=3u.v. D V=12u.v. E V=6u.v. Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considere a área AA da região do primeiro quadrante limitada pela parábola y=x2y=x2, pelo eixo yy e pela reta y=4y=4. É correto afirmar que Nota: 0.0 A A=∫40∫√ y 0dxdy=163u.a. Um esboço desta região é apresentado abaixo: Note que esta região pode ser descrita como R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤√ y }. R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤y}. Assim, A=∫40∫√ y 0dxdy=∫40(∫√ y 0dx)dy=∫40√y dy=[23√ y3 ]∣∣∣40=163u.a.A=∫04∫0ydxdy= ∫04(∫0ydx)dy=∫04ydy=[23y3]|04=163u.a. B A=∫40∫√ y 0dydx=165u.a. C A=∫40∫√ y 0dxdy=165u.a. D A=∫40∫√ y 0dydx=65u.a. E A=∫40∫√ y 0dxdy=67u.a uestão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considere a função z=x3−4x2y+xy2−y3+1,z=x3−4x2y+xy2−y3+1, onde x=sentx=sent e y=cost.y=cost. Então, a derivada de z em relação à variável t é Nota: 10.0 A dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent. Você acertou! Pela Regra da Cadeia, como xx e yy estão em função de tt, temos dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt.dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt. Portanto, dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy−3y2)(−sent)= (3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy−3y2)(−sent)= (3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent. B dzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sent.. C dzdt=(3x2−8xy+y2)cost−(4x2−2xy+3y2)cost.. D dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent. E dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(2xy+3y2)sent. Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis O departamento de estradas de rodagem está planejando construir um local de piquenique para motoristas à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular com uma área de 5000 metros quadrados e cercado nos três lados que não dão para a rodovia. As dimensões deste local para que a despesa com a cerca usada na obra seja a menor possível são Nota: 10.0 A 50m e 100m. Você acertou! O objetivo é minimizar a função que dá o comprimento da cerca f(x,y)=x+2yf(x,y)=x+2y com a restrição g(x,y)=5000.g(x,y)=5000. Pelo Método dos Multiplicadores de Lagrange, temos ⎧⎨⎩1=λy,2=λx,xy=5000.{1=λy,2=λx,xy=5000. Como x,y≠0,x,y≠0, combinando as duas primeiras equações do sistema acima, temos x=2y.x=2y. Usando a última equação, segue que 2y2=50002y2=5000, isto é, y=±50.y=±50. Logo, y=50y=50 e x=100x=100 são as dimensões que minimizam a função f.f. B 20m e 250m. C 25m e 200m. D 10m e 500m. E 5m e 1000m. Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Dada a função f(x,y)=√x2+y2 f(x,y)=x2+y2, o gradiente de ff no ponto P=(1,1)P=(1,1) é Nota: 10.0 A ∇f(1,1)=2√ 2 ^i+2√ 2 ^j.∇f(1,1)=22i^+22j^. B ∇f(1,1)=2√ 2 ^i−2√ 2 ^j.∇f(1,1)=22i^−22j^. C ∇f(1,1)=√ 2 2^i+√ 2 2^j.∇f(1,1)=22i^+22j^. Você acertou! O gradiente de f(x,y)f(x,y) é definido por ∇f(x,y)=∂f∂x(x,y)^i+∂f∂y(x,y)^j.∇f(x,y)= ∂f∂x(x,y)i^+∂f∂y(x,y)j^. Notamos que ∂f∂x(x,y)=2x2√ x2+y2 =x√ x2+y2∂f∂x(x,y)=2x2x2+y2= xx2+y2 e ∂f∂y(x,y)=2y2√ x2+y2 =y√ x2+y2 .∂f∂y(x,y)=2y2x2+y2=yx2+y2. Com isso, ∂f∂x(1,1)=1√ 2 =√ 2 2∂f∂x(1,1)=12=22 e ∂f∂y(1,1)=1√ 2 =√ 2 2.∂f∂y(1,1)=12=22. Portanto, ∇f(1,1)=√ 2 2^i+√ 2 2^j.∇f(1,1)=22i^+22j^. D ∇f(1,1)=√ 2 ^i−√ 2 ^j.∇f(1,1)=2i^−2j^. E ∇f(1,1)=√ 2 3^i−√ 2 3^j.∇f(1,1)=23i^−23j^. Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Seja I=∫2−1∫42xydydx.I=∫−12∫24xydydx. O valor de II é Nota: 10.0 A 8. B 27. C 9. Você acertou! Para obter o valor de II, inicialmente integramos com respeito a variável yy (neste caso, mantemos a variável xx constante). Assim, ∫42xydy=x∫42ydy=x(y22)∣∣∣42=x(8−2)=6x.∫24xydy=x∫24ydy=x(y22)|24=x(8−2)=6x. Finalmente, I=∫2−1∫42xydydx=∫2−16xdx=6(x22)∣∣∣2−1=6(2−12)=9.I=∫−12∫24xydydx=∫−126xdx= 6(x22)|−12=6(2−12)=9. D 3. E 18. Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considere a função f(x,y)=lnx−lny.f(x,y)=lnx−lny. Assinale a alternativa que corresponde a derivada de ff no ponto P=(12,−13)P=(12,−13), na direção do vetor unitário ⃗u=(35,−45).u→=(35,−45). Nota: 10.0 A ∂f∂⃗u(35,−13)=85.∂f∂u→(35,−13)=8/5. B ∂f∂⃗u(35,−13)=−135.∂f∂u→(35,−13)=−13/5. C ∂f∂⃗u(35,−13)=−65.∂f∂u→(35,−13)=−6/5. Você acertou! Notamos que ∂f∂⃗u(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅⃗u.∂f∂u→(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅u→. Assim, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)= ∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5).∂f∂u→(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5). Como ∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y,∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y, temos ∇f(1/2,−1/3)= (2,3)∇f(1/2,−1/3)=(2,3) e, portanto, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.∂f∂u→(1/2,−1/3)= (2,3)⋅(3/5,−4/5)=−6/5. D −5/7 E −8/5
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