Exercícios de revisão AV1 - Cálculo Integral e Diferencial II

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EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II
Obs.: As letras em negrito representam vetores.
1 - Calcular os limites das funções vetoriais:
a) 
b) 
2 - Uma partícula se desloca no plano com o vetor posição dado por: R(t) = ti + t2j, em que t 0. Pede-se: 
a) o gráfico da trajetória;
b) os vetores velocidade e aceleração da partícula;
c) os módulos da velocidade e da aceleração da partícula nos instantes t = 1 s e t = 5 s;
d) o versor do movimento nos instantes do item acima;
e) os ângulos que os vetores velocidade e aceleração fazem entre si nos instantes do item (c).
3 - Uma partícula se desloca no plano com o vetor posição dado por: R(t) = (2cos t)i + (3sen t)j, em que 0 t 2. Pede-se: 
a) o gráfico da trajetória;
b) os vetores velocidade e aceleração da partícula;
c) os módulos da velocidade e da aceleração da partícula nos instantes t = 0 e t = /2 s;
d) o versor do movimento nos instantes do item acima;
e) os ângulos que os vetores velocidade e aceleração fazem entre si nos instantes do item (c).
4 – Calcular as integrais definidas abaixo:
a) 
b) 
5 – O vetor velocidade de uma partícula é dado por: . Determinar o vetor posição da partícula, sabendo que no instante inicial, t = 0, o vetor posição é R(0) = i + j.
6 – O vetor aceleração de uma partícula é dado por: . Determinar o vetor velocidade da partícula, sabendo que no instante inicial, t = 0, o vetor velocidade é v(0) = 10i + 10j.
7 - Substituir a equação polar por uma equação cartesiana equivalente.
a) r.sen = 0
b) r2 = 4r.sen
8 - Substituir a equação cartesiana por uma equação polar equivalente.
a) 
b) y2 = 4x
9 – Calcular o coeficiente angular (dy/dx) das curvas abaixo em cada ponto indicado.
a) r = -1 + sen		em  = 0 e  = ;
b) r = cos(2)	em  = -/2,  = 0 e  = .
10 - Encontrar as retas tangentes no polo (origem), para as funções abaixo:
a) r = 3.cos		0  2
b) r = sen(4)		0  2
11 – Determinar a área de cada região abaixo:
a) dentro da limaçon oval r = 4 + 2.cos
b) dentro de uma das quatro pétalas da rosácea r = cos(2)
12 – Determinar a área da região correspondente à intersecção dos círculos r = 2cos e r = 2sen.
13 – Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P(3, -4, 1) e é paralela ao vetor: v = i + j +k.
14 – Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P (2, 4, 5) e é perpendicular ao plano 3x + 7y – 5z = 21.
15 - Determinar a equação do plano que passa pelo ponto P (0, 2, -1) e é normal ao vetor: n = 3i - 2j – k.
16 – Determinar a equação do plano que passa pelos pontos P (1, 1, -1), Q (2, 0, 2) e R (0, -2, 1).
17 – Uma partícula se desloca no espaço com o vetor posição dado por: r(t) = (2cost)i + (2sent)j + 51/2tk. Determinar o vetor tangente unitário da curva. Calcular o comprimento da curva entre os instantes t = 0 e t = .
18 - Determinar os vetores unitários T e N, e a curvatura, , para a curva plana: r(t) = ti + ln(cost)j compreendida entre -/2 t /2.
19 - Determinar os vetores unitários T e N, e a curvatura, , para a curva: r(t) = (3sent)i + (3cost)j + 4tk.
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
1 – No cálculo dos limites substitui-se a variável t nas respectivas equações e realiza-se o caçulo:
a) 
b) 
2 – a) as funções componentes escalares são: x = f(t) = t e y = g(t) = t2. Assim, a dependência entre x e y é: y = x2. Como t 0, então, x 0 e y 0, logo a trajetória é o ramo da parábola no primeiro quadrante, conforme a figura abaixo:
b) v(t) = = i + 2tj		e		a(t) = = 2j 
c) |v| = 		e	|a| = = 2
para t = 1, então |v| = 			e	|a| = 2
para t = 5, então |v| = 		e	|a|| = 2
d) versor: 
para t = 1, vem: 		e		para t = 5, vem: 
e) o ângulo entre os dois vetores é dado por: 
O produto escalar dos dois vetores é: v·a = (i + 2tj)·(2j) = 4t
para t =1, tem-se: cos = 	e	 = arc cos () = 26,6o
para t = 5, tem´se: cos = 		e	 = arc cos () = 5,7o
3 – a) as funções componentes escalares são: x = f(t) = 2cos t e y = g(t) = 3sen t. Para determinar a dependência entre y e x, faz-se: x/2 = cos t e y/3 = sen t. Elevando ambas as expressões ao quadrado e somando-as membro a membro, vem: ou . Essa equação representa uma elipse com centro na origem e tendo eixo maior igual a 3 no eixo das ordenadas e eixo menor igual a 2 no eixo das abscissas, conforme a figura abaixo:
A partícula descreve uma trajetória elipse anti-horária, pois em t = 0 a partícula se encontra no ponto (2,0) e em t = /2, se encontra no ponto (0,3).
b) v(t) = = -2sen(t) i + 3cos(t) j		e		a(t) = = -2cos(t) i – 3sen(t)j 
c) |v| = 
e
|a| = 
para t = 0, então |v| = 			e	|a| = 2
para t = /2, então |v| = 2		e	|a|| = 3
d) o vetor velocidade para t = 0 é v(t) = 3j e assim o versor do movimento será: 
o vetor velocidade para t = /2 é v(t) = -2i e assim o versor do movimento será: 
e) o ângulo entre os dois vetores é dado por: 
O produto escalar dos dois vetores é:
v·a = (-2sent i + 3cost j)·(-2cost i – 3sent j) = 4sent.cost + 9sent.cost = 13sent.cost.
para t =0, tem-se: v·a = 0, logo cos = 0 	 	e	 = arc cos (0) = 90o
para t = /2, v·a = 0, logo cos = 0 	 	e	 = arc cos (0) = 90o
4 – a) 
 = [((3(2) - 23) – (3(0) – 03)]i + [(2(2)2 + 2) – (2(0)2 – 0)]j = -2i + 10j.
b) =
= - [(cos(/4) – cos(-/4)]i + [(/4 + sen(/4)) – (-/4 + sen(-/4))]j = -(i + [(j = 
5 – R(t) = = (t4/4 + 2t)i + t2/2j + C
onde C é o vetor constante de integração. O cálculo do vetor C se faz, utilizando a condição inicial:
para t = 0, então R(0) = [(0)4/4 + 2(0)]i + [(0)2/2]j + C = i + j
Logo, C = i + j
O vetor posição da partícula será: R(t) = (t4/4 + 2t2 + 1)i + (t2/2 + 1)j
6 - v(t) = -32tj + C
onde C é o vetor constante de integração. O cálculo do vetor C se faz, utilizando a condição inicial:
para t = 0, então v(0) = -32(0)j + C = 10i + 10j
Logo, C = 10i + 10j
O vetor velocidade da partícula será: v(t) = 10i + (10 – 32t)j
7 – a) Como y = rsen, então y = 0.
b) Como r2 = x2 + y2 e y = rsen, então, tem-se: x2 + y2 = 4y.
8 – a) Substituindo x = rcos e y = rsen, vem: ou r2(4cos2 + 9sen2) = 36.
b) Fazendo as mesmas substituições realizadas no item anterior, vem: (rsen)2 = 4(rcos) ou rsen2 = 4cos.
9 – O coeficiente angular é dado pela expressão da derivada:
a) f() = -1 + sen	e	f’() = cos
para  = 0, vem: f(0) = -1; f’(0) = 1; sen0 = 0 e cos0 = 1, assim:
 
para  = , vem: f() = -1; f’() = -1; sen = 0 e cos = -1, assim:
 
b) f() = cos(2)		e	f’() = -2sen(2)
para  = -/2, vem: f(-/2) = cos[2(-/2)] = -1; f’(-/2) = -2sen[2(-/2)] = 0; sen(-/2) = -1 e cos(-/2) = 0; assim:
 
para  = 0, vem: f(0) = cos(2.0) = 1; f’(0) = -2.sen(2.0) = 0; sen(0) = 0 e cos(0) = 1; assim:
 = não definida – a reta tangente é vertical
para  = , vem: f() = cos(2.) = 1; f’() = -2.sen(2.) = 0; sen() = 0 e cos() = -1; assim:
 não definida – a reta tangente é vertical
Obs: Os gráficos das duas funções estão representados abaixo:
a) r = -1 + sen						b) r = cos(2)
10 – O coeficiente angular no polo é dado por: = m; e a equação da reta tangente passando pela origem é dada por: y = mx.
a) r = f() = 3.cos = 0
Os valores de  que satisfazem a equação acima são:  = /2 e  = 3/2.
Assim: tg(/2) = não é definida – reta tangente vertical: x = 0;
e tg(3/2) = não é definida – reta tangente vertical: x = 0.
b) r = f() = sen(4) = 0
Os valores de que satisfazem a equação acima são: 4 = 0, , 2, 3, 4, ...
logo  = 0, /4, /2, 3/4, , 5/4, 3/2, 7/4 e 2.
Os valores das tangentes e as equações das retas tangentes são:
	
	tg
	equação da reta
	0
	0
	y = 0 (horizontal)
	/4
	1
	y = x
	/2
	nd
	x = 0 (vertical)
	3/4
	-1
	y = -x
	
	0
	y = 0 (horizontal)
	5/4
	1
	y = x
	3/2
	nd
	x = 0 (vertical)
	7/4
	-1
	y = -x
	2
	0
	y = 0 (horizontal)
Obs.: Os gráficos das duas funções estão representados abaixo:
a) r = 3cos						b) r = sen(4)
11 – Em coordenadas polares a área deuma região é calculada por: área = 
onde e são limites de integração do ângulo azimutal, .
a) r = 4 + 2cos
O gráfico dessa função está representado abaixo:
O ângulo, , varia desde  = 0 até  = 2 para cobrir toda a região interna da curva, logo a área será:
área = = 
área = 
área = 2[ 4|02 + 4sen|02 + (1/2)(|02 + (1/2)sen(2)|02] = 2[8 +] = 18
Obs.: cos2 = (1/2)(1 + cos2)
b) r = cos(2)
O gráfico dessa função está representado abaixo:
Como as 4 pétalas apresentam a mesma área, podemos calcular a área da pétala à direita.
Os limites de  para este caso são: cos(2) = 0, então 2 = -/2 e /2, ou seja,  vai de -/4 até /4.
área = 
área = (1/4)[(/4 – (-/4)) + (sen - sen(-))]
área = /8
12 – A área da região procurada está representada na figura abaixo. É a região comum entre os círculos.
A interseção dos dois círculos fornece: 2cos = 2sen ou cos = sen, assim  = /4.
Os limites de integração são: para o círculo em azul:  vai de 0 até /4; e para o círculo preto:  varia de /4 até /2.
Assim, a área da interseção é:
área = 
área = 
área 
área = /2 - 1
Obs.: sen2 = (1/2)(1 – cos2)
13 – Se v = v1i + v2j + v3k é um vetor paralelo a uma reta que passa pelo ponto P(xo,yo,zo), então, as equações paramétricas da reta são: x = xo + v1t; y = yo + v2t; e z = zo + v3t.
Substituindo os dados do problema nas expressões gerais das equações paramétricas, vem:
x = 3 + t		y = -4 + t	z = 1 + t
14 – O vetor normal ao plano dado é: n = 3i + 7j – 5k. Esse vetor é paralelo à reta procurada, pois a reta é perpendicular ao plano, assim: n = v; e as equações paramétricas da reta são:
x = 2 + 3t	y = 4 + 7t	z = 5 – 5t
15 – A equação de um plano que passa por um ponto P(xo,yo,zo) e é normal ao vetor: n = Ai + Bj + Ck é:
A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0.
Substituindo os dados do problema na expressão geral do plano, vem:
3(x – 0) - 2(y – 2) – (z + 1) = 0	ou	3x – 2y –z + 3 = 0
16 – A partir dos três pontos, constroem-se dois vetores, por exemplo: PQ = i – j + 3k e PR = -i – 3j + 2k.
O produto vetorial destes dois vetores é normal ao plano que contém os três pontos.
n = PQxPR = = 7i – 5j – 4k
A equação do plano, usando o ponto P é: 7(x – 1) – 5(y – 1) – 4(z + 1) = 0 	ou	7x – 5y – 4z – 6 = 0.
17 – Cálculo do vetor tangente unitário:
v(t) = -2sent i + 2cost j + 51/2 k
|v| = 
T = 
Cálculo do comprimento da curva: s = 
s = = 3( - 0) = 3.
18 – Cálculo do vetor tangente unitário (T):
O vetor tangente unitário é o versor do movimento, assim:
T = v/|v|
vetor velocidade: v(t) = dR(t)/dt = i – (sent/cost)j = i – (tgt)j
modulo do vetor velocidade: |v| = 
vetor tangente unitário: T = 
o vetor normal unitário, N, é dado por: N = 
cálculo de dT/dt: dT/dt = -sent i – cost j
cálculo de |dT/dt|: |dT/dt| = = 1
assim,
N = -sent i – cost j
A curvature, , é dada pela expressão: 
logo,
 = (1/sec t) = cost
19 – Os cálculos de T, N e são análogos aos do exercício anterior, assim:
T = v/|v			N = 			
Logo:
v = 3cost i – 3sent j + 4k
|v| = 
vetor tangente unitário: T = 
dT/dt = = 		e		| dT/dt| = 3/5
vetor normal unitário: N = 
curvatura: