notasdeaula tensores

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CAP´ıTULO 2
Tensores
Vimos no cap´ıtulo anterior como tratar com coordenadas generalizadas.
Calculamos o volume, a´rea sob uma superf´ıcie etc. Se no lugar de escre-
vermos nossas quantidades com as coordenadas u = (u1, u2, u3) usa´ssemos
coordenadas u′ = (u′1, u′2, u′3) dever´ıamos ter
(2.1) e′i =
∂r
∂u′i
.
Nesta nova base os vetores seriam escrito como
(2.2) V = V ′ie′i.
Como x = x(u), u = u(x) e x = x(u′), u′ = u′(x) temos que u = u(u′) e
u′ = u′(u). Pela regra da cadeia,
(2.3) e′i =
∂r
∂u′i
=
∂r
∂uj
∂uj
∂u′i
=
∂uj
∂u′i
ej .
De (2.2)
(2.4) V ′ie′i = V
j
ej ⇒ V ′i
∂uj
∂u′i
ej = V
j
ej ⇒ V ′i =
∂u′i
∂uj
V j
Os elementos da matriz me´trica escritos na nova base, esta˜o relacionados
com os elementos na base velha como
(2.5) g′ij = e
′
i · e′j =
∂ul
∂u′i
∂uk
∂u′j
el · ek =
∂ul
∂u′i
∂uk
∂u′j
glk
As diferenciais du′i e as derivadas parciais:
(2.6) du′i =
∂u′i
∂uj
duj
(2.7)
∂
∂u′i
=
∂uj
∂u′i
∂
∂uj
Note que alguns elementos se transformam como as diferenciais dui, no caso
as componentes V i e outros como
∂
∂u′i
, no caso a base ei, ou como o produto
de fatores como no caso de gij . E´ ai que surge a necessidade de definirmos
os tensores.
Um tensor do tipo (p, q) e´ um objeto invariante cujas componentes em
relac¸a˜o a` uma base se transformam como
(2.8) T
′j1j2···jp
i1i2···iq
(u′) =
∂u′j1
∂ul1
∂u′j2
∂ul2
· · · ∂u
′jp
∂ulp
∂uk1
∂u′i1
∂uk2
∂u′i2
· · · ∂u
kq
∂u′iq
T
l1l2···lp
k1k2···kq
(u).
De acordo com a definic¸a˜o de tensores, gij sa˜o componentes de um tensor
tipo (0, 2), ou simplesmente dizemos que sa˜o tensores do tipo (0, 2), V i
11
12 2. TENSORES
tensores tipo (1, 0) etc. Para o caso de tensores (1, 0) ou (0, 1) dizemos
vetores contravariantes e vetores covariantes respectivamente. Para tensores
(0, 0) damos o nome de escalares. No caso de escalares a transformac¸a˜o na˜o
possui fatores
∂u
∂u′
e
∂u′
∂u
:
(2.9) φ′(u′) = φ(u).
Um exemplo de um escalar e´ o elemento de comprimento ds:
ds′2 = g′ijdu
′idu′j =
∂uk
∂u′i
∂ul
∂u′j
∂u′i
∂um
∂u′j
∂un
gkldu
mdun = gkldu
kdul = ds2,
onde usamos
(2.10)
∂u′j
∂un
∂um
∂u′j
= δmn =
∂ui
∂u′n
∂u′m
∂ui
A ordem de um tensor (p, q) e´ a soma p + q. O nu´mero de componentes
de um tensor (p, q) em treˆs dimenso˜es sa˜o 3p+q. No caso de haver simetrias
nos ı´ndices o nu´mero de componentes independentes fica reduzido. Por
exemplo como gij e´ sime´trico na troca de i por j, o nu´mero de componentes
independentes em treˆs dimenso˜es sa˜o 6.
O produto de duas componentes de dois tensores e´ uma componente de
um novo tensor. Por exemplo sejam Ai e Bj as componentes de dois vetores
covariantes enta˜o AiBj e´ componente de um tensor (0,2):
A′iB
′
j =
∂uk
∂u′i
Ak
∂ul
∂u′j
Bl =
∂uk
∂u′i
∂ul
∂u′j
AkBl
Isto e´ o que chamamos de produto direto. O produto direto de um tensor
(p, q) por um tensor (r, s) e´ um novo tensor (p + r, q + s). Em termos da
base ei, o produto direto de dois vetores (1,0) pode ser escrito como
(2.11) A⊗B = AiBjei ⊗ ej ,
que e´ um tensor (2,0). A base de um tensor (p, q) pode ser contru´ıda atrave´s
do produto direto de ei com f
j e um tensor fica escrito como
(2.12) T(u) = T
i1i2···ip
j1j2···jq
(u)ei1 ⊗ ei2 · · · eip ⊗ f j1 ⊗ f j2 · · · ⊗ f jq
Quando somamos ı´ndices contravariantes com ı´ndices covariantes de um
tensor, o tensor baixa sua ordem. Por exemplo no tensor AiB
j quando
fazemos i = j e somamos, AiB
i passa a ser um escalar. Isto porque para
cada ı´ndice contravariante aparecem fatores ∂u
′
∂u
e para covariantes ∂u
∂u′
:
A′iB
′i =
∂ul
∂u′i
Al
∂u′i
∂uk
Bk = δlkAlB
k = AkB
k.
1. Derivada covariante
A derivada parcial de um escalar e´ um tensor (0, 1), como podemos ver
∂φ(u′)
∂u′i
=
∂uk
∂u′i
∂φ(u)
∂uk
.
2. PSEUDO-TENSORES 13
Como se transforma a derivada parcial da componente contra-varianteAi(u)?
Vejamos a seguir
∂Ai(u′)
∂u′j
=
∂uk
∂u′j
∂
∂uk
(
∂u′i
∂ul
Al(u)
)
=
∂uk
∂u′j
∂u′i
∂ul
∂Al(u)
∂uk
+
∂uk
∂u′j
∂2u′i
∂uk∂ul
Al(u).
Como podemos ver ha´ um termo de derivada segunda que na˜o esta´ na
definic¸a˜o das transformac¸o˜es de tensores. Se a transfomac¸a˜o for linear
u′i = aiju
j + bi onde aij , b
j sa˜o constantes enta˜o o termo de derivada se-
gunda na˜o existiria. Esse e´ o caso quando estamos no sistema cartesiano de
coordenadas e fazemos uma rotac¸a˜o que lava a outro sistema de coodenadas
cartesiano. No caso geral, desejamos definir uma espe´cie de derivac¸a˜o onde
a derivac¸a˜o de um tensor resulte num tensor. Como A = Aiei e´ invari-
ante sobre transformac¸o˜es de coordenadas enta˜o ∂jA = (∂jA
i+ΓijkA
k)ei se
transforma como um tensor (0,1), ou seja ∂jA
i+ΓijkA
k se transforma como
um tensor (1, 1). Deste modo podemos definir a derivada covariante de um
tensor (p, q) como
(2.13) ∂kT (u) = DkT
i1i2···ip
j1j2···jq
(u)ei1 ⊗ ei2 · · · eip ⊗ f j1 ⊗ f j2 · · · ⊗ f jq ,
lembrando que ∂iej = Γ
k
ijek e que ∂if
j = −Γjikfk. Por exemplo DkT ij =
∂kT
ij + ΓiklT
ij + ΓjklT
il, DkT
i
j = ∂kT
i
j + Γ
i
klT
i
j − ΓlkjT il . Pela definic¸a˜o, a
derivada covariante satisfaz a regra de Leibniz Dk(A
iBj) = (DkA
i)Bj +
Ai(DkB
j). Da definic¸a˜o temos que Diej = 0 e Dkgij = 0.
2. Pseudo-Tensores
Um pseudo-tensor (p, q) de peso r, ou simplesmente pseudo-tensor (p, q, r)
e´ um objeto cujas componentes se transformam como
(2.14)
T
′j1j2···jp
i1i2···iq
(u′) = Dr
∂u′j1
∂ul1
∂u′j2
∂ul2
· · · ∂u
′jp
∂ulp
∂uk1
∂u′i1
∂uk2
∂u′i2
· · · ∂u
kq
∂u′iq
T
l1l2···lp
k1k2···kq
(u),
onde
D =
∣∣∣∣ ∂u∂u′
∣∣∣∣ ,
e´ o determinante da transfomac¸a˜o inversa. O determinante da me´trica se
transforma como
(2.15) g′ = D2g,
onde usamos transformac¸a˜o da me´trica. Logo g e´ um pseudo-escalar de
peso 2. Usando a definic¸a˜o do determinante, podemos ver que o s´ımbolo de
Levi-Civita e´ um pseudo-tensor (0,3,-1) invariante:
(2.16) ǫijk = D
−1ǫlmn
∂ul
∂u′i
∂um
∂u′j
∂un
∂u′k
= ǫ′ijk
O produto direto de dois pseudo-tensores (p, q, a) (r, s, b) e´ um pseudo-tensor
(p+r, q+s, a+ b). Se a+ b = 0, o produto direto da´ um tensor (p+r, q+s).
Exemplo de produto direto, seja D > 0,√
g′ = D
√
g,
14 2. TENSORES
logo g e´ pseudo-escalar de peso 1. Consequentemente
(2.17) ǫijk
√
g,
e´ um tensor (0, 3). Podemos concluir que f ijk/
√
g e´ um tensor (3, 0)
3. Tensores e Pseudo-tensores Invariantes
Um tensor e´ invariante, quando suas componentes na˜o mudam sob trans-
formac¸o˜es de coordenadas. Por exemplo, para um tensor invariante tipo
(0, 2) temos:
T ′ij = Tij .
Para transformac¸o˜es gerais de coordenadas δij e´ um tensor invariante:
δij =
∂u′i
∂u′j
=
∂u′i
∂uk
∂ul
∂u′j
δkl .
Outros tensortes invariantes de maior ordem podem ser constru´ıdos
atrave´s do produto direto de δij , ǫijk e f
ijk. Sendo ǫijk e f
ijk pseudo-tensores
(0, 3,−1) e (3, 0, 1) o produto ǫijkf lmn e´ um tensor (3,3) invariante que pode
ser escrito como produto anti-simetrizado de δij .
4. Simetrias nos ı´ndices
Dado um tensor (p, q), se trocarmos um ı´ndice por outro ambos con-
travariantes ou covariantes e componente do tensor na˜o muda, dizemos que
o tensor e´ sime´trico na troca destes dos ı´ndices, se muda de sinal antis-
sime´trico. Um exemplo de tensor sime´trico e´ o tensor gij . Dado um tensor
(0, 2) ou (2, 0) qualquer, podemos decompo-lo em uma parte sime´trica e
outra antissime´trica:
Aij = (Aij +Aji)/2 + (Aij −Aji)/2.
Se for em D-dimenso˜es o nu´mero de componentes de Aij e´ D
2 a parte
sime´trica temD(D+1)/2 e a parte antissime´tricaD(D−1)/2, como podemos
ver D2 = D(D + 1)/2 +D(D − 1)/2. Destemodo a simetria nos ı´ndices do
tensor reduz o numero de componentes independentes. Para um tensor tipo
(p, q) em D-dimenso˜es o nu´mero de componentes e´ Dp+q.