Lista 3

Prévia do material em texto

Ca´lculo I - Lista de Exerc´ıcios no¯ 3 - 1o¯ semestre/2016
1. Considere a func¸a˜o f : R→ R definida por f(x) = x2 − 3x. Determine:
(a) f
(
1
2
)
; (b) f
(√
2
)
; (c) f(a), sendo a ∈ R; (d) f(2a− b), sendo a, b ∈ R.
2. Considere a func¸a˜o f : R→ R definida por f(x) =

3− x se x < −1;
x+ 1 se −1 ≤ x < 7;
4 se x ≥ 7.
Determine:
(a) f
(
1
2
)
; (b) f
(
−
√
2
)
; (c) f(3) + f(10); (d) f(−2) − f(0).
3. Determine o domı´nio de cada func¸a˜o abaixo.
(a) f(x) =
3
x2 − 3
(b) f(x) = 3
√
x− 3 (c) f(x) =
√
x− 2
3+ x
(d) f(x) =
√
x2 + 3x (e) f(x) =
3
√
x− 5√
x
(f) f(x) =
√
x2 − 2
4− x2
(g) f(x) =
√
−x2 + 4x− 3 (h) f(x) =
√
x−
√
x (i) f(x) =
√
x+ 3+
√
7− x
(j) f(x) = ln(3x− 4) (k) f(x) = x ln x− x (l) f(x) = ln
√
5− x2
(m) f(x) = ln(x2 − 1) (n) f(x) = ln(4− x2) (o) f(x) = ln(x3 + 1)
(p) f(x) =
√
ln |x+ 3| (q) f(x) = ln ln x (r) f(x) = ln ln |x|
(s) f(x) = ln
√
x− 2
3− x
(t) f(x) =
√
x2 + ex (u) f(x) =
1√
3− ex
4. A figura ao lado mostra o gra´fico de
uma func¸a˜o definida por y = f(x), cujo
domı´nio e´ o intervalo [−6, 0] e a imagem
o intervalo [0, 3].
Esboce os gra´ficos das func¸o˜es dadas por:
x
y
3
-3-6
(a) y = f(x) + 2 (b) y = −f(x) (c) y = f(2x) (d) y = −2− f(x)
(e) y = f(x+ 2) (f) y = f(−x) (g) y = 2f(x) (h) y = f(−2− x)
5. Determine o domı´nio, a imagem e esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) = ma´x
{
x,
1
x
}
.
6. Em cada caso esboce o gra´fico da func¸a˜o y = f(x) dada implicitamente pela equac¸a˜o:
(a) x2 + y2 = 4, y ≤ 0 (b) x− y2 = 0, y ≥ 0
Instituto de Matema´tica Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
7. Determine o domı´nio e a imagem e esboce o gra´fico de cada func¸a˜o dada.
(a) f(x) = x2 − 4x+ 4 (b) f(x) = (x+ 2)3 −
1
2
(c) f(x) = 1+ |2x− 3|
(d) f(x) = |x| + 3x− 1 (e) f(x) = |4− x| − |3x+ 2| (f) f(x) =
3− x
2− x
(g) f(x) = 1− |x2 − 1| (h) f(x) = |x2 − 4|x (i) f(x) =
√
x+ 4
(j) f(x) =
√
x2 − 9 (k) f(x) = −1+
√
5− x2 (l) f(x) =
√
2+ x2
(m) f(x) =
√
9− (2− x)2 (n) f(x) = sen(2x) (o) f(x) = 2cos(x)
(p) f(x) = 1+ |sen(x)| (q) f(x) = 3x (r) f(x) = (0, 4)x
(s) f(x) = e|x| (t) f(x) = log3 x (u) f(x) = e
x+2
(v) f(x) = ln(x− 1) (w) f(x) = log 1
3
x (x) f(x) = | ln |x| |
(y) f(x) =

x+ 1 se x < −1;
3 se −1 ≤ x < 2;
−x+ 1 se x ≥ 2.
(z) f(x) =

ex se x ≤ 0;
−x+ 1 se 0 < x < 1;
−x2 + 4x− 5 se x ≥ 1.
8. Verifique que Im(f) ⊂ D(g) e determine a composta h(x) = g(f(x)).
(a) g(x) =
√
x e f(x) = 2+ x2 (b) g(x) =
√
x e f(x) = x2 − x, x ≤ 0 ou x ≥ 1
(c) g(x) =
x+ 1
x− 1
e f(x) =
x
x+ 1
(d) g(x) =
2
x− 2
e f(x) = x+ 1, x 6= 1
9. Determine o “maior” conjunto A tal que Im(f) ⊂ D(g); em seguida construa a composta
h(x) = g(f(x)).
(a) g(x) =
2
x+ 2
e f : A→ R, f(x) = x+ 3 (b) g(x) = √x− 1 e f : A→ R, f(x) = x2
10. Determine f de modo que g(f(x)) = x para todo x ∈ D(f), sendo g dada por
(a) g(x) =
1
x
. (b) g(x) =
x+ 2
x+ 1
. (c) g(x) = x2 − 4x+ 3, x ≥ 2.
11. Em cada caso, determine a fo´rmula expl´ıcita da func¸a˜o inversa. Esboce o gra´fico da func¸a˜o
dada e de sua inversa.
(a) f(x) = 5x− 2 (b) f(x) =
3x
x+ 2
, x 6= −2 (c) f(x) = √x− 1, x ≥ 1
(d) f(x) = x2 − 4, x ≥ 0 (e) f(x) = x2 − 4, x ≤ 0 (f) f(x) = x
2
x2 + 1
, x ≥ 0
(g) f(x) = ex+4 (h) f(x) = ln(5− x), x < 5 (i) f(x) =
√
9− x2, −3 ≤ x ≤ 0
12. Encontre as func¸o˜es inversas das seguintes func¸o˜es e esboce os gra´ficos de f e f−1 no mesmo
sistema de coordenadas:
(a) f : [−1, 1]→ [0, 4], definida por f(x) = 2x+ 2;
(b) f : [0, 2]→ [−1, 1], definida por f(x) = 1−√4− x2;
(c) f : [0,+∞)→ [√3,+∞), definida por f(x) = √3+ x2.
Instituto de Matema´tica Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
13. Em uma experieˆncia sobre deteriorac¸a˜o de alimentos, constatou-se que a populac¸a˜o de certo
tipo de bacte´ria dobrava a cada hora. No instante em que comec¸aram as observac¸o˜es, havia
50 bacte´rias na amostra.
(a) Fac¸a uma tabela para representar a populac¸a˜o de bacte´rias nos seguintes instantes (a
partir do in´ıcio da contagem): 1 hora, 2 horas, 3 horas, 4 horas e 5 horas.
(b) Obtenha a lei que relaciona o nu´mero de bacte´rias (n) em func¸a˜o do tempo (t).
14. (FGV-SP) Curva de Aprendizagem e´ um conceito criado por psico´logos que constataram
a relac¸a˜o existente entre a eficieˆncia de um indiv´ıduo e a quantidade de treinamento ou
experieˆncia possu´ıda por este indiv´ıduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem e´ dado
pela expressa˜o Q = 700− 400e−0,5t, em que:
Q = quantidade de pec¸as produzidas mensalmente por um funciona´rio;
t = meses de experieˆncia;
e ≈ 2, 7183.
(a) De acordo com essa expressa˜o, quantas pec¸as um funciona´rio com 2 meses de experieˆncia
devera´ produzir mensalmente?
(b) E, quantas pec¸as um funciona´rio sem qualquer experieˆncia devera´ produzir mensal-
mente? Compare esse resultado com o resultado do item 14a. Ha´ coereˆncia entre
eles?
15. (UFPE) O prec¸o de um automo´vel, P(t), desvaloriza-se em func¸a˜o do tempo t, dado em
anos, de acordo com a uma func¸a˜o do tipo exponencial P(t) = b · at, com a e b sendo
constantes reais. Se, hoje (quanto t = 0), o prec¸o do automo´vel e´ de 20.000 e valera´ 16.000
reais daqui a treˆs anos (quando t = 3), em quantos anos o prec¸o do automo´vel sera´ de 8.192
reais? (Dado
8.192
20.000
= 0, 84.)
16. (VUNESP) O alt´ımetro dos avio˜es e´ um instrumento que mede a pressa˜o atmosfe´rica e
transforma esse resultado em altitude. Suponha que a altitude h acima do n´ıvel do mar,
em quiloˆmetros, detectada pelo alt´ımetro de um avia˜o seja dada , em func¸a˜o da pressa˜o
atmosfe´rica p, em atm, por
h(p) = 20 · log
(
1
p
)
.
Num determinado instante, a pressa˜o atmosfe´rica medida pelo alt´ımetro era 0, 4 atm.
Considerando a aproximac¸a˜o log(2) = 0, 3, qual era a altitude h do avia˜o nesse instante, em
quiloˆmetros?
Instituto de Matema´tica Universidade Federal de Mato Grosso do Sul